Procenty - zadania
Zadanie 4. (1pkt) Samochód kosztował \(30000zł\). Jego cenę obniżono o \(10\%\), a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o \(10\%\). Po tych obniżkach samochód kosztował:
A) \(24400zł\)
B) \(24700zł\)
C) \(24000zł\)
D) \(24300zł\)
Wyjaśnienie:
Tego typu zadania możemy rozwiązać na dwa sposoby.
Sposób I - rozwiązanie na konkretnych liczbach:
Krok 1. Obliczenie wysokości pierwszej obniżki.
Pierwsza obniżka jest o \(10\%\) z \(30000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot30000zł=3000zł$$
Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
$$30000zł-3000zł=27000zł$$
Krok 3. Obliczenie wysokości drugiej obniżki.
Nasza druga obniżka jest także o \(10\%\), ale tym razem już z \(27000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot27000zł=2700zł$$
Krok 4. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
$$27000zł-2700zł=24300zł$$
Sposób II - rozwiązanie na wyrażeniach algebraicznych (metoda bardziej uniwersalna):
Krok 1. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
Oznaczmy cenę samochodu jako \(x\) i obliczmy wartość samochodu po pierwszej obniżce. Skoro obniżka jest o \(10\%\), to nowa cena stanowi teraz \(90\%\) ceny podstawowej. Cena samochodu po pierwszej obniżce jest więc równa \(0,9x\).
Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
Ceną wyjściową jest dla nas teraz \(0,9x\) i to od tej ceny ponownie odejmujemy \(10\%\), czyli cena samochodu po drugiej obniżce będzie równa:
$$0,9\cdot0,9x=0,81x$$
Cena samochodu po dwóch obniżkach stanowi więc \(0,81\) ceny podstawowej (czyli \(81\%\)). Chcąc poznać nową cenę wystarczy teraz pomnożyć \(0,81\) przez początkową cenę samochodu.
$$0,81\cdot30000zł=24300zł$$
Zadanie 5. (1pkt) Suma liczby \(x\) i \(15\%\) tej liczby jest równa \(230\). Równaniem opisującym tę zależność jest:
A) \(0,15\cdot x=230\)
B) \(0,85\cdot x=230\)
C) \(x+0,15\cdot x=230\)
D) \(x-0,15\cdot x=230\)
Wyjaśnienie:
\(15\%\) możemy zapisać w formie ułamka dziesiętnego jako \(0,15\). W związku z tym \(15\%\) z \(x\) jest równe \(0,15\cdot x\). Wiemy, że suma \(x\) oraz \(0,15\cdot x\) jest równa \(230\), zatem poszukiwanym równaniem jest:
$$x+0,15\cdot x=230$$
Zadanie 7. (1pkt) Cenę nart obniżono o \(20\%\), a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze \(30\%\). W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o:
A) \(44\%\)
B) \(50\%\)
C) \(56\%\)
D) \(60\%\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ceny nart po pierwszej obniżce.
Jeżeli przyjmiemy początkową cenę nart jako \(x\), to po obniżce o \(20\%\) nasza nowa cena nart będzie równa \(80\%\) ceny wyjściowej, czyli \(0,8x\).
Krok 2. Obliczenie ceny nart po drugiej obniżce.
Tym razem ceną wyjściową do obniżki jest już \(0,8x\). Obniżka nastąpiła o \(30\%\), a więc nowa cena nart stanowi tym razem \(70\%\) ceny starej. To oznacza, że narty kosztują teraz \(0,7\cdot0,8x=0,56x\).
Krok 3. Obliczenie wysokości całkowitej obniżki.
Skoro na początku narty kosztowały \(x\), a teraz kosztują \(0,56x\), to ich cena spadła o \(x-0,56x=0,44x\), czyli o \(44\%\).
Zadanie 15. (1pkt) Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. \(10\%\) tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?
A) \(25\)
B) \(40\)
C) \(45\)
D) \(55\)
Wyjaśnienie:
\(x\) - tyle oszczędności miała Julia
\(0,5x\) - tyle oszczędności przeznaczyła Julia na prezent dla Maćka
\(x-0,5x=0,5x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupie prezentu
\(0,1\cdot0,5x=0,05x\) - tyle pieniędzy przeznaczyła Julia na prezent dla Dominiki
\(0,5x-0,05x=0,45x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupach dwóch prezentów
Julce zostało \(0,45x\) oszczędności, więc zostało jej \(45\%\).
Zadanie 16. (1pkt) Cena towaru została podwyższona o \(30\%\), a po pewnym czasie nową, wyższą cenę ponownie podwyższono, tym razem o \(10\%\). W rezultacie obu podwyżek wyjściowa cena towaru zwiększyła się o:
A) \(15\%\)
B) \(20\%\)
C) \(40\%\)
D) \(43\%\)
Wyjaśnienie:
Przyjmijmy cenę początkową jako \(x\).
Po pierwszej podwyżce cena towaru wyniosła \(x\) plus \(30\%\) z ceny \(x\), czyli \(1,3x\).
Po drugiej podwyżce cena towaru wzrosła o \(10\%\), ale nie z ceny \(x\), tylko z \(1,3x\). Zatem mamy \(1,1\cdot1,3x=1,43x\).
Cena towaru wzrosła o \(1,43x-x=0,43=43\%\).
Zadanie 17. (1pkt) Kwotę \(1000zł\) ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości \(19\%\). Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa:
A) \(1000\cdot\left(1-\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)
B) \(1000\cdot\left(1+\frac{19}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)
C) \(1000\cdot\left(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)
D) \(1000\cdot\left(1-\frac{19}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)
Wyjaśnienie:
Istota lokaty polega na tym, że wpłacamy na jakiś czas kwotę np. \(1000zł\), a po upływie określonego terminu bank wypłaci nam \(1000zł\) plus odsetki, które będą pomniejszone o podatek. Odsetki w naszym przypadku będą równe \(\frac{4}{100}\cdot1000\). Musimy je jeszcze pomniejszyć o podatek \(19\%\), czyli pomnożyć je przez \(\frac{81}{100}\) (mnożymy przez \(\frac{81}{100}\), bo po odliczeniu podatku otrzymana kwota będzie stanowiła \(81\%\) kwoty wyjściowej).
Po roku możemy więc wypłacić \(1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000\). Takiego zapisu nie mamy w sugerowanych odpowiedziach \(ABCD\), ale wystarczy wyłączyć wartość \(1000\) przed nawias i okaże się, że prawidłowa będzie odpowiedź trzecia, bowiem:
$$1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000=1000\cdot(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100})$$
Zadanie 19. (1pkt) Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że:
A) \(c=1,5a\)
B) \(c=1,6a\)
C) \(c=0,8a\)
D) \(c=0,16a\)
Wyjaśnienie:
Z treści zadania wiemy, że:
$$b=0,48a \\
b=0,32c$$
To pozwoli nam ułożyć proste równanie i tym samym znaleźć pasującą relację między liczbami \(c\) oraz \(a\)
$$0,48a=0,32c \\
c=\frac{0,48}{0,32}a \\
c=1,5a$$
Zadanie 20. (1pkt) Cenę pewnego towaru podwyższono o \(20\%\), a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o \(30\%\). Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką:
A) o \(50\%\)
B) o \(56\%\)
C) o \(60\%\)
D) o \(66\%\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ceny towaru po pierwszej podwyżce.
Jeżeli za \(x\) przyjmiemy początkową cenę towaru, to po podwyżce o \(20\%\) otrzymamy nową cenę równą \(120\%\cdot x=1,2x\).
Krok 2. Obliczenie ceny towaru po drugiej podwyżce.
Cena towaru ponownie ulega podwyżce, ale tym razem punktem wyjściowym jest już nasze \(1,2x\). Nowa cena jest więc równa: $$130\%\cdot1,2x=1,3\cdot1,2x=1,56x$$
Krok 3. Obliczenie całkowitego wzrostu cen.
Cena towaru wzrosła o \((1,56x-x)\cdot100\%=56\%\), więc chcąc zastąpić te dwie podwyżki jedną równoważną należy podwyższyć cenę towaru o \(56\%\).
Zadanie 25. (4pkt) Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o \(10\%\) większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o \(10\%\) mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o \(12\) minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek.
Odpowiedź
\(t_{wt}=54 min.\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Wypiszmy sobie poszczególne informacje z zadania. Przydatnym w tym zadaniu będzie wzór:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow t=\frac{s}{v}$$
\(v\) - zakładana prędkość przelotowa
\(1,1v\) - prędkość osiągnięta we wtorek
\(0,9v\) - prędkość osiągnięta w czwartek
\(s\) - długość trasy
\(t\) - standardowy czas pokonania trasy
\(t_{wt}=\frac{s}{1,1v}\) - czas przelotu we wtorek
\(t_{czw}=\frac{s}{0,9v}\) - czas przelotu w czwartek
W tym momencie warto jest się wykazać sprytem. Korzystając z tego, że \(t=\frac{s}{v}\) to czasu przelotu wtorkowego i czwartkowego możemy zapisać jako:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1} \\
t_{czw}=\frac{t}{0,9}$$
Krok 2. Wyznaczenie czasu standardowego przelotu.
Z treści zadania możemy ułożyć (i rozwiązać) następujące równanie:
$$\frac{t}{0,9}-\frac{t}{1,1}=12 \quad\bigg/\cdot9,9 \\
11t-9t=118,8 \\
2t=118,8 \\
t=59,4$$
Wyznaczyliśmy w ten sposób czas standardowego przelotu.
Krok 3. Obliczenie czasu wtorkowego przelotu.
Znając wartość \(t=59,4\) bez problemu obliczymy czas wtorkowego przelotu, podstawiając tę wartość do wzoru wyznaczonego w pierwszym kroku. Zatem:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1}=54[min.]$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz jedno z równań, które opisuje zależność prędkości, czasu i drogi np. \(t_{wt}=\frac{s}{1,1v}\) lub \(t_{czw}=\frac{s}{0,9v}\) (patrz: Krok 1.) albo \(1,1v\cdot t=s\) lub \(0,9v\cdot(t+12)=s\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi np.\(1,1v\cdot t=0,9v\cdot(t+12)\) lub w postaci układu równań.
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą np.\(\frac{t}{0,9}-\frac{t}{1,1}=12\) (patrz: Krok 2.) albo \(11t=9(t+12)\) itd.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Bardzo pomocne zadnia.Polecam
Warto uczyć się z tej strony, szczególnie do maturki.
Przygotowując się z Tobą, maturka będzie zdana na 100%
dzien dobry dlaczego w pierwszym zadaniu1% =1,5 kompletnie nie potrafie zrozumiec procentow :(
Skoro 6% to 9, to 1% (czyli 6 razy mniej niż 6%) będzie równe 9/6, czyli właśnie 1,5.
Schodzimy do 1%, bo tak łatwiej nam dojść później do 100% (bo wystarczy wtedy liczby pomnożyć przez 100). Aczkolwiek tutaj równie dobrze moglibyśmy zapisać, że np. 2% (czyli 3 razy mniej niż 6%) to będzie 9/3, czyli 3. I wtedy także z łatwością dojdziemy do 100%, mnożąc liczby przez 50 :)
można też proporcją czyli 100%-x 6%-9 i na krzyż potem sprawdzić czy pasuję ta liczba co wyszła na ;)
Często popełniałem błędy w zadaniach dotyczących podatków, lecz teraz mam wrażenie, że dzięki Tobie już się nie pomylę:).
I o to właśnie chodzi ;) Cieszę się, że mogłem pomóc!
Skąd w zadaniu 18 wzięła się liczba 36600?
Dzielimy obie strony równania przez 1,23 :) Dzięki temu po lewej stronie zostaje sam x, no a po prawej będzie dokładnie 36600.
Czemu w drugim zadaniu jest 0,7?
30% z ceny x to 0,3x. Więc jeśli coś kosztuje x, a potem cena jest obniżona o 0,3x, no to nowa cena jest równa 0,7x :)
super strona, bardzo przydatna
Dlaczego w ostatnim zadaniu mnoży się obustronnie akurat o 9,9?
Nasze ułamki mają mianowniki 0,9 oraz 1,1, zatem najmniejszy wspólny mianownik będzie tutaj równy 0,9*1,1 czyli właśnie 9,9 :)
Nie wiem czemu ale u mnie jest troszkę inna logika przy rozwiązywaniu takiego typu zadań.
np zad 1.
6% = 9
100% = x
więc x = (9 x100) : 6 = 150
zad2
126 – 70%
x – 100%
a więc x = (126×10) : 7 = 180
Może starej daty jestem ale pamiętam że ten sposób bardzo mi pomagał jeszcze na chemii w liceum (równania stechiometryczne się to chyba nazywało)
Pozdrawiam i dziękuję za materiały. Świetna strona! :)
Każdy sposób dobry, jeśli prowadzi do celu :D
To też Mój sposób i proporcją rozwiążesz każde zadanie, to jest najłatwiejszy sposób, innych nie rozumiem :)
Czy w zadaniu 8 mmożna było obliczyć toz proporcji czyli
1,5% – 3000zł
100% – x zł
1,5x= 3000*100 /:1,5
x= 200 000
czy to przypadek że wyszło?
Pewnie, że można! :)
Czy na tej stronce są wszystkie zadania z matur? probne też?
Wszystkich zadań z matur tutaj nie dawałem, bo nie chciałem Was zasypywać identycznymi przykładami ;) Jest to więc taki przegląd zadań, które wystąpiły na maturze (także próbnej) :)
Witam. Mam problem w zadaniu 7 sposob 2. Skad wiadomo,że x-0,56x = 0,44x ?
x to tak naprawdę 1x. Więc tak jak 1-0,56=0,44, tak samo 1x-0,56x=0,44x :)