Procenty – zadania maturalne

B

Możemy ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(6\%\) jest równe \(9\)
to \(1\%\) jest równy \(1,5\)
więc \(100\%\) jest równe \(150\).

B

Krok 1. Wypisanie danych z zadania.
Spodnie przed obniżką kosztowały \(x\).
Po obniżce o \(30\%\) kosztują \(x-0,3x=0,7x\) i wiemy, że jest to wartość równa \(126zł\).

Krok 2. Obliczenie wartości spodni przed obniżką.
Skorzystamy tutaj z prostej proporcji.
$$0,7x=126zł \\
0,1x=18zł \\
x=180zł$$

A

Naszym zadaniem jest tak naprawdę policzenie ceny brutto tego towaru. Aby tego dokonać musimy do ceny netto (czyli \(60zł\)) dodać wartość podatku VAT (czyli \(22\%\) z \(60zł\)). Zatem:
$$C_{brutto}=60+22\%\cdot60 \\
C_{brutto}=60+0,22\cdot60 \\
C_{brutto}=60+13,20 \\
C_{brutto}=73,20[zł]$$

D

Tego typu zadania możemy rozwiązać na dwa sposoby.

Sposób I - rozwiązanie na konkretnych liczbach:
Krok 1. Obliczenie wysokości pierwszej obniżki.
Pierwsza obniżka jest o \(10\%\) z \(30000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot30000zł=3000zł$$

Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
$$30000zł-3000zł=27000zł$$

Krok 3. Obliczenie wysokości drugiej obniżki.
Nasza druga obniżka jest także o \(10\%\), ale tym razem już z \(27000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot27000zł=2700zł$$

Krok 4. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
$$27000zł-2700zł=24300zł$$

Sposób II - rozwiązanie na wyrażeniach algebraicznych (metoda bardziej uniwersalna):
Krok 1. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
Oznaczmy cenę samochodu jako \(x\) i obliczmy wartość samochodu po pierwszej obniżce. Skoro obniżka jest o \(10\%\), to nowa cena stanowi teraz \(90\%\) ceny podstawowej. Cena samochodu po pierwszej obniżce jest więc równa \(0,9x\).

Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
Ceną wyjściową jest dla nas teraz \(0,9x\) i to od tej ceny ponownie odejmujemy \(10\%\), czyli cena samochodu po drugiej obniżce będzie równa:
$$0,9\cdot0,9x=0,81x$$

Cena samochodu po dwóch obniżkach stanowi więc \(0,81\) ceny podstawowej (czyli \(81\%\)). Chcąc poznać nową cenę wystarczy teraz pomnożyć \(0,81\) przez początkową cenę samochodu.
$$0,81\cdot30000zł=24300zł$$

C

\(15\%\) możemy zapisać w formie ułamka dziesiętnego jako \(0,15\). W związku z tym \(15\%\) z \(x\) jest równe \(0,15\cdot x\). Wiemy, że suma \(x\) oraz \(0,15\cdot x\) jest równa \(230\), zatem poszukiwanym równaniem jest:
$$x+0,15\cdot x=230$$

B

Niezależnie od tego ile płyt kupimy to tak czy inaczej zapłacimy po prostu \(20\%\) mniej. Prawidłowa jest więc odpowiedź druga.

A

Krok 1. Obliczenie ceny nart po pierwszej obniżce.
Jeżeli przyjmiemy początkową cenę nart jako \(x\), to po obniżce o \(20\%\) nasza nowa cena nart będzie równa \(80\%\) ceny wyjściowej, czyli \(0,8x\).

Krok 2. Obliczenie ceny nart po drugiej obniżce.
Tym razem ceną wyjściową do obniżki jest już \(0,8x\). Obniżka nastąpiła o \(30\%\), a więc nowa cena nart stanowi tym razem \(70\%\) ceny starej. To oznacza, że narty kosztują teraz \(0,7\cdot0,8x=0,56x\).

Krok 3. Obliczenie wysokości całkowitej obniżki.
Skoro na początku narty kosztowały \(x\), a teraz kosztują \(0,56x\), to ich cena spadła o \(x-0,56x=0,44x\), czyli o \(44\%\).

C

Oczywiście możemy to zadanie policzyć na piechotę i sprawdzić po kolei każdą z odpowiedzi, obliczając po kolei \(1,5\%\) z \(45zł\), potem z \(2000zł\) itd. Najszybciej będzie jednak ułożyć prostą proporcję:
$$1,5\%\text{ z }x\text{ to }3000zł \\
0,5\%\text{ z }x\text{ to }1000zł \\
100\%\text{ z }x\text{ to }200\;000zł$$

C

Krok 1. Przyjęcie poprawnych oznaczeń.
Aby dobrze rozwiązać to zadanie musimy dobrze opisać sobie poszczególne dane z treści zadania:
\(a\) - długość boku pierwszego kwadratu
\(1,1a\) - długość boku drugiego kwadratu, bo ma to być długość o \(10\%\) większa od boku \(a\).
\(P_{1}\) - pole powierzchni pierwszego kwadratu
\(P_{2}\) - pole powierzchni drugiego kwadratu

Naszym zadaniem jest policzenie stosunku pól powierzchni (wyrażając wynik w procentach):
$$\frac{P_{2}}{P_{1}}\cdot100\%$$

Krok 2. Obliczenie pól powierzchni i różnicy między nimi.
Obliczamy pola powierzchni obydwu kwadratów:
$$P_{1}=a\cdot a=a^2 \\
P_{2}=1,1a\cdot1,1a=1,21a^2$$

Znając pola powierzchni możemy obliczyć o ile większe jest pole drugiego kwadratu:
$$\frac{P_{2}-P_{1}}{P_{1}}\cdot100\%=\frac{1,21a^2-a^2}{a^2}\cdot100\%=\frac{0,21a^2}{a^2}\cdot100\%=21\%$$

B

Musimy matematycznie zapisać relację między liczbami \(a\) i \(b\), a następnie wyznaczyć z danego równania wartość \(a\):
$$0,12a=0,15b \\
a=\frac{0,15}{0,12}b \\
a=\frac{5}{4}b \\
a=\frac{125}{100}b \\
a=1,25b$$

\(a\) jest więc równe \(125\%\) liczby \(b\).

C

Zgodnie z treścią zadania:
$$x=70\%\cdot y \\
x=\frac{7}{10}\cdot y \quad\bigg/\cdot\frac{10}{7} \\
y=\frac{10}{7}x$$

A

Zgodnie z treścią zadania musimy ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$17\%\cdot21-21\%\cdot17= \\
=\frac{17}{100}\cdot21-\frac{21}{100}\cdot17= \\
=\frac{17\cdot21}{100}-\frac{21\cdot17}{100}=0$$

B

Skoro liczba \(78\) jest o \(50\%\) większa od liczby \(c\), to znaczy że:
$$78=1,5c \\
c=52$$

C

Oznaczmy sobie udziały poszczególnych wspólników jako: \(12x,8x,3x,2x\). Łącznie udziałów mamy:
$$12x+8x+3x+2x=25x$$

Musimy teraz obliczyć jaką część udziałów ma największy inwestor, a widzimy że ma on \(12x\) z \(25x\), czyli:
$$\frac{12x}{25x}\cdot100\%=48\%$$

C

\(x\) - tyle oszczędności miała Julia
\(0,5x\) - tyle oszczędności przeznaczyła Julia na prezent dla Maćka
\(x-0,5x=0,5x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupie prezentu
\(0,1\cdot0,5x=0,05x\) - tyle pieniędzy przeznaczyła Julia na prezent dla Dominiki
\(0,5x-0,05x=0,45x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupach dwóch prezentów

Julce zostało \(0,45x\) oszczędności, więc zostało jej \(45\%\).

D

Przyjmijmy cenę początkową jako \(x\).
Po pierwszej podwyżce cena towaru wyniosła \(x\) plus \(30\%\) z ceny \(x\), czyli \(1,3x\).
Po drugiej podwyżce cena towaru wzrosła o \(10\%\), ale nie z ceny \(x\), tylko z \(1,3x\). Zatem mamy \(1,1\cdot1,3x=1,43x\).

Cena towaru wzrosła o \(1,43x-x=0,43=43\%\).

C

Istota lokaty polega na tym, że wpłacamy na jakiś czas kwotę np. \(1000zł\), a po upływie określonego terminu bank wypłaci nam \(1000zł\) plus odsetki, które będą pomniejszone o podatek. Odsetki w naszym przypadku będą równe \(\frac{4}{100}\cdot1000\). Musimy je jeszcze pomniejszyć o podatek \(19\%\), czyli pomnożyć je przez \(\frac{81}{100}\) (mnożymy przez \(\frac{81}{100}\), bo po odliczeniu podatku otrzymana kwota będzie stanowiła \(81\%\) kwoty wyjściowej).

Po roku możemy więc wypłacić \(1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000\). Takiego zapisu nie mamy w sugerowanych odpowiedziach \(ABCD\), ale wystarczy wyłączyć wartość \(1000\) przed nawias i okaże się, że prawidłowa będzie odpowiedź trzecia, bowiem:
$$1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000=1000\cdot(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100})$$

B

Cena brutto to cena netto plus podatek VAT wyliczany z ceny netto. Tego zadania nie możemy więc rozwiązać mnożąc \(45\;018zł\) przez \(0,77\) (tak jak robimy to w przypadku obliczania podatku od np. lokat). Oto jak powinniśmy podejść do takiego zadania:

Krok 1. Zapisanie odpowiednich relacji między ceną netto i brutto.
\(x\) - cena netto
\(0,23x\) - podatek VAT
\(x+0,23x=1,23x\) - cena brutto

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Skoro cena brutto to \(45\;018zł\), to:
$$1,23x=45\;018zł \\
x=36\;600zł$$

Cena netto samochodu jest więc równa \(36\;600zł\).

A

Z treści zadania wiemy, że:
$$b=0,48a \\
b=0,32c$$

To pozwoli nam ułożyć proste równanie i tym samym znaleźć pasującą relację między liczbami \(c\) oraz \(a\)
$$0,48a=0,32c \\
c=\frac{0,48}{0,32}a \\
c=1,5a$$

B

Krok 1. Obliczenie ceny towaru po pierwszej podwyżce.
Jeżeli za \(x\) przyjmiemy początkową cenę towaru, to po podwyżce o \(20\%\) otrzymamy nową cenę równą \(120\%\cdot x=1,2x\).

Krok 2. Obliczenie ceny towaru po drugiej podwyżce.
Cena towaru ponownie ulega podwyżce, ale tym razem punktem wyjściowym jest już nasze \(1,2x\). Nowa cena jest więc równa: $$130\%\cdot1,2x=1,3\cdot1,2x=1,56x$$

Krok 3. Obliczenie całkowitego wzrostu cen.
Cena towaru wzrosła o \((1,56x-x)\cdot100\%=56\%\), więc chcąc zastąpić te dwie podwyżki jedną równoważną należy podwyższyć cenę towaru o \(56\%\).

B

Krok 1. Obliczenie wysokości obniżki.
$$220zł-176zł=44zł$$

Krok 2. Obliczenie o ile procent obniżono cenę butów.
Cenę obniżono o \(44zł\) z \(220zł\), czyli:
$$\frac{44}{220}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$

A

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(x\) - liczba zwierząt w 2011 roku
\(x\) plus \(120\%x\), czyli \(2,2x\) - obecna liczba zwierząt

Krok 2. Ułożenie i rozwiązania równania.
Zgodnie z treścią zadania:
$$2,2x=8910 \\
x=4050$$

C

\(x\) - liczba dziewczyn
\(4x\) - liczba chłopców
\(x+4x=5x\) - tyle dzieci jest w klasie

Dziewczyny stanowią \(\frac{x}{5x}=\frac{1}{5}=20\%\) klasy.

D

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni przed przekształceniem.
Prostokąt przed przekształceniem ma pole powierzchni równe:
$$P_{1}=40cm\cdot100cm \\
P_{1}=4000cm^2$$

Krok 2. Obliczenie wymiarów oraz pola powierzchni po przekształceniu.
Jeżeli dłuższy bok wydłużymy o \(20\%\) to otrzymamy bok o długości: \(1,2\cdot100cm=120cm\).
Jeżeli krótszy bok skrócimy o \(20\%\) to otrzymamy bok o długości: \(0,8\cdot40cm=32cm\).

To oznacza, że pole powierzchni przekształconego prostokąta wyniesie:
$$P_{2}=120cm\cdot32cm \\
P_{2}=3840cm^2$$

Krok 3. Obliczenie o ile zmniejszy się pole powierzchni prostokąta po przekształceniu.
Pole powierzchni zmniejszyło się o:
$$4000cm^2-3840cm^2=160cm^2$$

To oznacza, że w procentowym ujęciu pole zmniejszy się o:
$$\frac{160cm^2}{4000cm^2}=\frac{4}{100}=4\%$$

\(t_{wt}=54 min.\)

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Wypiszmy sobie poszczególne informacje z zadania. Przydatnym w tym zadaniu będzie wzór:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow t=\frac{s}{v}$$

\(v\) - zakładana prędkość przelotowa
\(1,1v\) - prędkość osiągnięta we wtorek
\(0,9v\) - prędkość osiągnięta w czwartek
\(s\) - długość trasy
\(t\) - standardowy czas pokonania trasy
\(t_{wt}=\frac{s}{1,1v}\) - czas przelotu we wtorek
\(t_{czw}=\frac{s}{0,9v}\) - czas przelotu w czwartek

W tym momencie warto jest się wykazać sprytem. Korzystając z tego, że \(t=\frac{s}{v}\) to czasu przelotu wtorkowego i czwartkowego możemy zapisać jako:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1} \\
t_{czw}=\frac{t}{0,9}$$

Krok 2. Wyznaczenie czasu standardowego przelotu.
Z treści zadania możemy ułożyć (i rozwiązać) następujące równanie:
$$\frac{t}{0,9}-\frac{t}{1,1}=12 \quad\bigg/\cdot9,9 \\
11t-9t=118,8 \\
2t=118,8 \\
t=59,4$$

Wyznaczyliśmy w ten sposób czas standardowego przelotu.

Krok 3. Obliczenie czasu wtorkowego przelotu.
Znając wartość \(t=59,4\) bez problemu obliczymy czas wtorkowego przelotu, podstawiając tę wartość do wzoru wyznaczonego w pierwszym kroku. Zatem:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1}=54[min.]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz jedno z równań, które opisuje zależność prędkości, czasu i drogi np. \(t_{wt}=\frac{s}{1,1v}\) lub \(t_{czw}=\frac{s}{0,9v}\) (patrz: Krok 1.) albo \(1,1v\cdot t=s\) lub \(0,9v\cdot(t+12)=s\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi np.\(1,1v\cdot t=0,9v\cdot(t+12)\) lub w postaci układu równań.
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą np.\(\frac{t}{0,9}-\frac{t}{1,1}=12\) (patrz: Krok 2.) albo \(11t=9(t+12)\) itd.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.