Matura próbna – Matematyka – Operon 2019

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci \(2x-3\lt 3x-5\) lub \(2^{12}\cdot(2x-3x)\lt2^{12}\cdot(3-5)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$2^{13}\cdot x-3\cdot4^6\lt 8^4(3x-5) \\
2^{13}\cdot x-3\cdot\left(2^{2}\right)^6\lt \left(2^3\right)^4\cdot(3x-5) \\
2^{13}\cdot x-3\cdot2^{12}\lt 2^{12}\cdot(3x-5) \quad\bigg/:2^{12} \\
\frac{2^{13}\cdot x}{2^{12}}-3\lt 3x-5 \\
2x-3\lt 3x-5 \\
-x\lt-2 \\
x\gt2$$

Pamiętaj, że mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności na przeciwny, tak jak przy tym ostatnim przekształceniu.

To oznacza, że rozwiązaniem nierówności jest \(x\gt2\), co możemy jeszcze zapisać jako \(x\in(2;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że ten trójkąt jest prostokątny (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Dostrzeżenie tego, iż jest to trójkąt prostokątny.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąt o wskazanych bokach jest trójkątem prostokątnym. Przeciwprostokątną takiego trójkąta jest najdłuższy bok, czyli w tym przypadku \(\sqrt{15}\). To, że jest to trójkąt prostokątny możemy udowodnić z Twierdzenia Pitagorasa.
$$\sqrt{5}^2+\sqrt{10}^2=\sqrt{15}^2 \\
5+10=15 \\
15=15 \\
L=P$$

Skoro lewa strona jest równa prawej, to możemy być pewni, że ten trójkąt jest jak najbardziej prostokątny.

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym ma pewną specyficzną własność. Długość średnicy takiego okręgu jest zawsze równa długości przeciwprostokątnej trójkąta. My wiemy, że nasza przeciwprostokątna ma długość \(\sqrt{15}\), zatem średnica okręgu będzie równa \(d=\sqrt{15}\). Nas interesuje poznanie długości promienia, a skoro promień jest zawsze dwa razy krótszy od średnicy, to:
$$r=\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie prostej \(AB\), ewentualnie prostej \(AC\) lub \(BC\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy bez problemów wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. Możemy w tym celu skorzystać z długiego wzoru dostępnego w tablicach maturalnych lub też możemy zbudować odpowiedni układ równań. Podstawiając do postaci \(y=ax+b\) współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) otrzymamy:
\begin{cases}
3=-2a+b \\
5=2a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-2=-4a \\
a=\frac{1}{2}$$

Znamy już wartość współczynnika \(a\). Wartość współczynnika \(b\) obliczymy podstawiając do dowolnego równania (np. drugiego) wyznaczoną przed chwilą wartość \(a=\frac{1}{2}\). Otrzymamy zatem:
$$5=2a+b \\
5=2\cdot\frac{1}{2}+b \\
5=1+b \\
b=4$$

Mamy już obliczone wartości obydwu współczynników, zatem możemy zapisać, że równaniem prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\) będzie \(y=\frac{1}{2}x+4\).

Krok 2. Sprawdzenie, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\).
Musimy teraz sprawdzić, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Jeżeli tak, to rzeczywiście wszystkie wskazane punkty są współliniowe. Podstawmy zatem do równania prostej \(AB\) współrzędne punktu \(C\), czyli \(x=2\sqrt{2}\) oraz \(y=4+\sqrt{2}\):
$$y=\frac{1}{2}x+4 \\
4+\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}+4 \\
4+\sqrt{2}=\sqrt{2}+4 \\
L=P$$

Lewa strona jest równa stronie prawej, a to oznacza, że punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Wniosek z tego płynie taki, że wszystkie trzy punkty są współliniowe i leżą na prostej \(y=\frac{1}{2}x+4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz deltę (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie delty.
Liczba rozwiązań równania kwadratowego jest zależna od wartości delty. Spróbujmy zatem ją policzyć, tak jak robimy to przy rozwiązywaniu standardowego równania kwadratowego:
Współczynniki: \(a=1,\;b=a-1,\;c=-a\)
$$Δ=b^2-4ac=(a-1)^2-4\cdot1\cdot(-a)=a^2-2a+1+4a=a^2+2a+1$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Delta wyszła nam równa \(a^2+2a+1\). Powinniśmy dostrzec, że tę postać da się "zwinąć" przy użyciu wzorów skróconego mnożenia do postaci \((a+1)^2\).

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero, to możemy być pewni, że \((a+1)^2\) jest na pewno większe lub równe zero. Z naszej analizy wynika więc, że delta jest zawsze większa lub równa zero, a skoro tak, to równanie kwadratowe zawsze będzie mieć dwa lub jedno rozwiązanie. W ten sposób udowodniliśmy, że to równanie ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość boku kwadratu (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ułożenie równania.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro suma długości boku i przekątnej jest równa \(1\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$a+a\sqrt{2}=1$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Rozwiązywanie naszego równania zaczynamy od wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias:
$$a+a\sqrt{2}=1 \\
a\cdot(1+\sqrt{2})=1 \\
a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$$

Teraz musimy pozbyć się niewymierności z mianownika. Aby pozbyć się tej niewymierności to musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(1-\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$a=\frac{1\cdot(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot(1-\sqrt{2})} \\
a=\frac{1-\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2} \\
a=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2} \\
a=\frac{1-\sqrt{2}}{-1} \\
a=-1+\sqrt{2} \\
a=\sqrt{2}-1$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Wiemy już, że nasz kwadrat ma bok o długości \(a=\sqrt{2}-1\), zatem przekątna tego kwadratu będzie miała długość:
$$d=a\sqrt{2} \\
d=(\sqrt{2}-1)\cdot\sqrt{2} \\
d=2-\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.), ale nie policzysz prawdopodobieństwa.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Każdy rzut kością to możliwość otrzymania jednego z sześciu wyników. Takich rzutów wykonujemy dwa. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są sytuacje w których liczba oczek w drugim rzucie jest o dwa większa od liczby oczek w pierwszym rzucie. Wypiszmy zatem te możliwości, bo nie jest ich wiele:
$$(1;3), (2;4), (3;5), (4;6)$$

Widzimy, że są tylko cztery interesujące nas przypadki. W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz zależności między kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (patrz: Krok 2.) i na tej podstawie zapiszesz równanie w którym jedyną niewiadomą jest wartość pierwszego wyrazu (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy ułożysz układ równań z dwiema niewiadomymi, korzystając ze wzorów na drugi i trzeci wyraz ciągu geometrycznego, czyli \(\begin{cases} a_{1}-1=(a_{1}+3)\cdot q \\ a_{1}-4=(a_{1}+3)\cdot q^2 \end{cases}\) lub inny podobny.
3 pkt
• Gdy obliczysz wartość pierwszego wyrazu (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wynika, że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=-4\). Skoro tak, to możemy zapisać, że:
Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}\)
Drugi wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-4\)
Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-2\cdot4=a_{1}-8\)

Krok 2. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego.
Zgodnie z treścią zadania możemy zapisać, że:
Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(a_{1}+3\)
Drugi wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-4+3=a_{1}-1\)
Trzeci wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-8+4=a_{1}-4\)

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
W ciągu geometrycznym dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając zapisane przed chwilą wyrazy ciągu geometrycznego otrzymamy:
$$(a_{1}-1)^2=(a_{1}+3)\cdot(a_{1}-4) \\
{a_{1}}^2-2a_{1}+1^2={a_{1}}^2-4a_{1}+3a_{1}-12 \\
-2a_{1}+1=-a_{1}-12 \\
-a_{1}=-13 \\
a_{1}=13$$

Krok 4. Obliczenie wartości wyrazów ciągu arytmetycznego oraz geometrycznego.
Korzystając z oznaczeń, które zapisaliśmy sobie w pierwszym i drugim kroku otrzymamy:
Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(13\)
Drugi wyraz ciągu arytm.: \(13-4=9\)
Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(13-8=5\)

Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(13+3=16\)
Drugi wyraz ciągu geom.: \(13-1=12\)
Trzeci wyraz ciągu geom.: \(13-4=9\)

Możemy więc powiedzieć, że ciąg arytmetyczny tworzą liczby \(13,9,5\), a ciąg geometryczny tworzą liczby \(16,12,9\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz poprawny rysunek pomocniczy (patrz: Krok 1.) lub po prostu dostrzeżesz własności trójkąta \(EFB\).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(FB\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(EF\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(FB\) oraz \(EF\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(FB\) (patrz: Krok 2.) oraz obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(FB\) oraz \(EF\) (patrz: Krok 2.) oraz obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(EF\) (patrz: Krok 2.) oraz obliczysz pole podstawy \(P=144cm^2\).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:


Tutaj kluczowy staje się trójkąt \(EFB\), który jest trójkątem prostokątnym, a dokładniej rzecz ujmując jest to trójkąt prostokątny o kątach \(30°,60°,90°\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(FB\) oraz \(EF\).
Spójrzmy na nasz trójkąt \(EFB\). Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość \(12\sqrt{5}\). Za pomocą funkcji trygonometrycznych lub też własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) jesteśmy w stanie wyznaczyć pozostałe boki tego trójkąta. Spróbujmy może skorzystać z własności takich trójkątów i zacznijmy od wyznaczenia długości odcinka \(FB\).


Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\), odcinek \(FB\) jest dwukrotnie krótszy od przeciwprostokątnej, zatem:
$$FB=12\sqrt{5}:2 \\
FB=6\sqrt{5}$$

Teraz wyznaczmy długość odcinka \(EF\) (która jest jednocześnie wysokością naszego ostrosłupa). Ją moglibyśmy wyznaczyć nawet z Twierdzenia Pitagorasa, ale trzymając się własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) wiemy, że ten odcinek będzie \(\sqrt{3}\) razy większy od przyprostokątnej \(FB\). W związku z tym:
$$EF=6\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} \\
EF=6\sqrt{15}$$

Skoro odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa, to możemy od razu zapisać, że \(H=6\sqrt{15}\).

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy na trójkąt \(ABF\). Na pewno jest to trójkąt prostokątny, bo kąt \(FAB\) jest kątem kwadratu znajdującego się w podstawie.
Znamy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, czyli \(FB=6\sqrt{5}\). Jeżeli odcinek \(AB\) oznaczymy jako \(a\), to odcinek \(AF\) będziemy mogli zapisać jako \(\frac{1}{2}a\). W związku z tym zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2=(6\sqrt{5})^2 \\
a^2+\frac{1}{4}a^2=36\cdot5 \\
\frac{5}{4}a^2=180 \\
a^2=144 \\
a=12 \quad\lor\quad a=-12$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=12\).

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiemy już, że w podstawie ostrosłupa jest kwadrat o boku \(a=12\), a wysokość ostrosłupa to \(H=6\sqrt{15}\). Znając te dane możemy przystąpić do liczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}a^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12^2\cdot6\sqrt{15} \\
V=\frac{1}{3}\cdot144\cdot6\sqrt{15} \\
V=48\cdot6\sqrt{15} \\
V=288\sqrt{15}[cm^3]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz układ równań (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz obliczenia do postaci równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(EF\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz poprawnie liczbę kartonów (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz poprawnie liczbę róż w kartonie (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy całe zadanie rozwiążesz poprawnie, ale przykładowo nie odrzucisz ujemnego wyniku powstałego równania kwadratowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba róż w pojedynczym kartonie
\(y\) - liczba kartonów

Wiemy, że zapakowano \(480\) róż, zatem możemy zapisać, że:
$$x\cdot y=480$$

Dodatkowo wiemy, że gdyby do kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to trzeba byłoby użyć \(8\) kartonów więcej, czyli:
$$(x-3)(y+8)=480$$

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie układu równań
Z dwóch zapisanych równań w poprzednim kroku możemy zbudować następujący układ równań.
\begin{cases}
x\cdot y=480 \\
(x-3)(y+8)=480
\end{cases}

Ten układ równań najszybciej rozwiążemy metodą podstawiania, wyznaczając np. wartość \(x\) z pierwszego równania:
\begin{cases}
x=\frac{480}{y} \\
(x-3)(y+8)=480
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
\left(\frac{480}{y}-3\right)(y+8)=480 \\
\cancel{480}+\frac{3840}{y}-3y-24=\cancel{480} \\
-3y-24+\frac{3840}{y}=0 \quad\bigg/\cdot y \\
-3y^2-24y+3840=0 \quad\bigg/:(-3) \\
y^2+8y-1280=0$$

Ostatnie dzielenie przez \(-3\) nie było konieczne, ale dzięki temu za chwilę będziemy działać na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które klasycznie obliczymy za pomocą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=8,\;c=-1280\)
$$Δ=b^2-4ac=8^2-4\cdot1\cdot(-1280)=64-(-5120)=5184 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{5184}=72$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8-72}{2\cdot1}=\frac{-80}{2}=-40 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8+72}{2\cdot1}=\frac{64}{2}=32$$


Krok 4. Określenie liczby kartonów oraz róż w pojedynczym kartonie.
Zacznijmy od liczby kartonów. Z równania kwadratowego wyszło nam, że \(y=-40\) oraz \(y=32\). Oczywiście ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo liczba kartonów nie może być ujemna. W związku z tym już wiemy, że \(y=32\), czyli że pierwotnie były \(32\) kartony. Musimy jeszcze obliczyć ilość róż, zatem korzystając z dowolnego równania z układu równań (np. z pierwszego) wyjdzie nam, że:
$$x\cdot y=480 \\
x\cdot32=480 \\
x=15$$

To oznacza, że w pojedynczym kartonie znalazło się \(15\) róż, a samych kartonów było pierwotnie \(32\).