Matura próbna – Matematyka – Nowa Era 2021

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Tę nierówność możemy rozwiązać na różne sposoby, oto dwa z nich:

I sposób - korzystając z delty

Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Na początek spróbujmy doprowadzić zapis do postaci ogólnej, a w tym celu musimy wymnożyć wszystkie wyrazy znajdujące się po lewej stronie. Przyda nam się tu przy okazji wzór skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), zatem:
$$(2x-1)^2-4(2x-1)\gt0 \\
4x^2-4x+1-(8x-4)\gt0 \\
4x^2-4x+1-8x+4\gt0 \\
4x^2-12x+5\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=4,\;b=-12,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot4\cdot5=144-80=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-8}{2\cdot4}=\frac{12-8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+8}{2\cdot4}=\frac{12+8}{8}=\frac{20}{8}=2\frac{1}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\frac{1}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem przyglądamy się temu co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;\frac{1}{2})\cup(2\frac{1}{2};+\infty)$$

II sposób - wyłączając wspólny czynnik przed nawias

Krok 1. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.
Jeśli przyjrzymy się tej nierówności to zauważymy, że wspólnym elementem \((2x-1)^2\) oraz \(4(2x-1)\) jest \(2x-1\). Skoro tak, to możemy wyłączyć tę wartość przed nawias. Cały proces będzie wyglądał następująco:
$$(2x-1)^2-4(2x-1)\gt0 \\
(2x-1)\cdot(2x-1)-4(2x-1)\gt0 \\
(2x-1-4)\cdot(2x-1)\gt0 \\
(2x-5)\cdot(2x-1)\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Mając taki zapis, poznanie miejsc zerowych jest bardzo proste, ponieważ wystarczy zachować się tak jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównać wartości w nawiasach do zera. W związku z tym:
$$2x-5=0 \quad\lor\quad 2x-1=0 \\
2x=5 \quad\lor\quad 2x=1 \\
x=2\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=\frac{1}{2}$$

Cała reszta rozwiązania jest już taka sama jak w trzecim i czwartym kroku I sposobu. Wyjdzie nam więc, że \(x\in(-\infty;\frac{1}{2})\cup(2\frac{1}{2};+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór w postaci kanonicznej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli, możemy bez problemu zapisać wzór tej funkcji w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Podstawiając \(p=1\) oraz \(q=-8\), otrzymamy:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \\
f(x)=a\cdot(x-1)^2+(-8)$$

Ze wzoru podanego w treści zadania wynika, że \(a=2\), zatem możemy jeszcze zapisać, że:
$$f(x)=2\cdot(x-1)^2-8$$

Krok 2. Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej.
Celem zadania jest poznanie wzoru w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\), bo tylko wtedy będziemy w stanie podać wartość współczynników \(b\) i \(c\). W tym celu wystarczy po prostu wykonać mnożenie i potęgowanie, które znalazło się w postaci kanonicznej. Całość będzie wyglądać następująco:
$$f(x)=2\cdot(x-1)^2-8 \\
f(x)=2\cdot(x^2-2x+1)-8 \\
f(x)=2x^2-4x+2-8 \\
f(x)=2x^2-4x-6$$

To oznacza, że \(b=-4\) oraz \(c=-6\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W pojemniku mamy \(3\) kule czerwone i \(3\) białe, czyli łącznie jest to \(6\) kul. Losujemy dwie kule (bez zwracania), zatem w pierwszym losowaniu mamy możliwość wylosowania jednej z sześciu kul, a w drugim losowaniu jednej z pięciu kul. To z kolei oznacza, że wszystkich możliwości wylosowania kul mamy zgodnie z regułą mnożenia \(|Ω|=6\cdot5=30\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zadanie jest dość podchwytliwe. To nie jest typowa sytuacja, dlatego musimy sobie to wszystko bardzo dokładnie rozpisać. Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie kul, które mają taki sam kolor lub numer. Wypiszmy sobie zatem te zdarzenia, dzieląc je na dwie grupy - te, które pasują nam ze względu na kolor oraz te, które pasują ze względu na numer

Ze względu na kolor:
$$(1c,2c); (1c,3c); (2c,1c); (2c,3c); (3c,1c); (3c,2c) \\
(1b,2b); (1b,3b); (2b,1b); (2b,3b); (3b,1b); (3b,2b)$$

Ze względu na numer:
$$(1c;1b), (2c;2b), (3c;3b) \\
(1b;1c), (2b;2c), (3b;3c)$$

Łącznie mamy \(12\) zdarzeń sprzyjających ze względu na kolor i \(6\) zdarzeń sprzyjających ze względu na numer. Łącznie tych zdarzeń jest więc \(|A|=12+6=18\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \((x+6)^2\ge0\) i nie uzasadnisz, dlaczego ta nierówność jest poprawna.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Przekształcając nierówność otrzymamy następujący zapis:
$$\frac{x}{9}+\frac{4}{x}\le-\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot9 \\
x+\frac{36}{x}\le-12 \quad\bigg/\cdot x \\
x^2+36\ge-12x \\
x^2+12x+36\ge0 \\
(x+6)^2\ge0$$

Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest większa lub równa \(0\), zatem nasze dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miarę kąta \(CGD\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro trójkąty \(ACE\) i \(BDF\) są równoboczne (czyli mają wszystkie kąty o mierze \(60°\)), a przekątne kwadratu tworzą z bokami kąty \(45°\), to sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Krok 2. Obliczenie miar poszczególnych kątów.
Korzystając z rysunku możemy teraz obliczyć miarę np. kąta \(CDF\):
$$|\sphericalangle CDF|=60°-45°=15°$$

Można więc powiedzieć, że w takim razie w trójkącie równoramiennym \(CDG\) kąty przy podstawie mają \(15°\), zatem kąt \(CGD\) ma:
$$|\sphericalangle CGD|=180°-15°-15°=150°$$

Spójrzmy teraz na kąt \(CGF\). Jest on kątem przystającym do kąta \(CGD\), zatem jego miara jest równa:
$$|\sphericalangle CGF|=180°-150°=30°$$

Bardzo podobnie możemy obliczyć miarę kąta \(FCG\).
$$|\sphericalangle FCG|=180°-45°-15°=120°$$

I teraz spoglądamy na trójkąt \(CGF\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie i są to kąty o mierze \(30°\) oraz \(120°\), zatem trzeci kąt ma miarę:
$$|\sphericalangle FCG|=180°-120°-30°=30°$$

To oznacza, że kąty przy boku \(FG\) mają jednakową miarę, czyli że trójkąt \(CGF\) jest równoramienny. Skoro tak, to faktycznie \(|CG|=|CF|\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość współczynnika \(a\) prostej \(AB\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dla lepszego zobrazowania sytuacji, narysujmy sobie układ współrzędnych z zaznaczonymi informacjami z treści zadania:


Z rysunku jasno wynika, że kluczem do sukcesu będzie najpierw poznanie równania prostej \(AB\), a następnie odszukanie prostej prostopadłej, która przechodzi przez punkt \(C\). To właśnie pozwoli nam na wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), możemy bez problemu wyznaczyć wzór prostej \(AB\), która przez te punkty przechodzi. W tym celu możemy skorzystać z bardzo rozbudowanego wzoru z tablic lub z metody układu równań. Jednak nam tak naprawdę wystarczy poznanie współczynnika kierunkowego \(a\) tej prostej, bo to właśnie jego potrzebujemy do dalszego rozwiązywania. Możemy więc skorzystać ze wzoru na współczynnik \(a\), czyli:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
a=\frac{5-1}{6-3} \\
a=\frac{4}{3}$$

Oczywiście jeśli nie pamiętamy o tym wzorze, to możemy wyznaczyć ten współczynnik \(a\) w standardowy sposób, czyli w trakcie wyznaczania równania prostej. W tym celu do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), a potem współrzędne punktu \(B\), otrzymując takie oto dwa równania:
\begin{cases}
1=3a+b \\
5=6a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-4=-3a \\
a=\frac{4}{3}$$

Współczynnika \(b\) nie musimy już wyznaczać, wystarczy nam informacja, że \(a=\frac{4}{3}\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Prosta \(AC\) musi być prostopadła do \(AB\). Z własności prostych wiemy, że aby tak się stało, to iloczyn współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma ten współczynnik równy \(a=\frac{4}{3}\), to prosta \(AC\) będzie mieć \(a=-\frac{3}{4}\), bo \(-\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=-1\).

To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+b\). Musimy jeszcze odnaleźć brakujący współczynnik \(b\) tej prostej, a dokonamy tego, podstawiając do tego równania współrzędne znanego nam punktu, który do tej prostej należy, czyli w tym przypadku punktu \(A\), zatem:
$$y=-\frac{3}{4}x+b \\
1=-\frac{3}{4}\cdot3+b \\
1=-\frac{9}{4}+b \\
b=3\frac{1}{4}$$

To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+3\frac{1}{4}\).

Krok 4. Ustalenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(C\) leży na osi \(Oy\), zatem na pewno współrzędna \(x=0\). Współrzędną \(y\) możemy w takim razie odczytać wprost z równania prostej \(AC\) - jest ona równa współczynnikowi \(b\), czyli jest równa \(3\frac{1}{4}\). Jeśli o tej własności nie pamiętamy, to możemy po prostu podstawić \(x=0\) do wzoru prostej \(y=-\frac{3}{4}x+3\frac{1}{4}\). Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{3}{4}\cdot0+3\frac{1}{4} \\
y=0+3\frac{1}{4} \\
y=3\frac{1}{4}$$

To oznacza, że poszukiwane współrzędne to \(C=\left(0;3\frac{1}{4}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z dwiema niewiadomymi typu \(5a_{1}+58r=39\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz wartość różnicę ciągu (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz wartość pierwszego wyrazu ciągu (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Rozpisanie sumy dwudziestu jeden wyrazów.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu. Nasz ciąg ma \(21\) wyrazów, zatem \(n=21\). Wiemy też, że suma tych wyrazów jest równa \(147\). Podstawiając te informacje do wzoru, otrzymamy taki oto zapis:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{21}=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}\cdot21 \\
147=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}\cdot21 \\
7=\frac{a_{1}+a_{21}}{2} \\
a_{1}+a_{21}=14$$

Z własności ciągów wiemy, że \(a_{21}=a_{1}+20r\). Skoro tak, to możemy kontynuować obliczenia i zapisać, że:
$$a_{1}+a_{21}=14 \\
a_{1}+a_{1}+20r=14 \\
2a_{1}+20r=14 \\
a_{1}+10r=7$$

Krok 2. Zapisanie równania po odjęciu dwóch początkowych i trzech końcowych wyrazów.
Z treści zadania wynika, że kiedy odjęliśmy dwa początkowe i trzy końcowe wyrazy, to suma wszystkich wyrazów zmalała do \(108\), czyli zmalała o \(147-108=39\). Możemy więc matematycznie zapisać, że:
$$a_{1}+a_{2}+a_{19}+a_{20}+a_{21}=39$$

Póki co mamy bardzo dużo niewiadomych, więc spróbujmy uprościć cały zapis. Korzystając z własności ciągu, możemy teraz rozpisać, że np. \(a_{2}=a_{1}+r\) albo też \(a_{21}=a_{1}+20r\). Nasz zapis możemy więc przekształcić do następującej postaci:
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+18r+a_{1}+19r+a_{1}+20r=39 \\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+18r+a_{1}+19r+a_{1}+20r=39 \\
5a_{1}+58r=39$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z pierwszego kroku wiemy już, że \(a_{1}+10r=7\), a z drugiego wiemy, że \(5a_{1}+58r=39\). Mamy więc dwa równania i dwie niewiadome, zatem z pomocą może nam przyjść układ równań:
\begin{cases}
a_{1}+10r=7 \\
5a_{1}+58r=39
\end{cases}

\begin{cases}
a_{1}=7-10r \\
5a_{1}+58r=39
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania możemy teraz podstawić pierwsze równanie do drugiego i zapisać, że:
$$5\cdot(7-10r)+58r=39 \\
35-50r+58r=39 \\
35+8r=39 \\
8r=4 \\
r=\frac{1}{2}$$

Krok 4. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając z wybranego równania np. \(a_{1}+10r=7\), możemy podstawić \(r=\frac{1}{2}\) i obliczyć wartość \(a_{1}\), zatem:
$$a_{1}+10r=7 \\
a_{1}+10\cdot\frac{1}{2}=7 \\
a_{1}+5=7 \\
a_{1}=2$$

Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.
Znając \(r=\frac{1}{2}\) oraz \(a_{1}=2\), możemy bez przeszkód wyznaczyć wzór ogólny ciągu, podstawiając te dwie dane do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{n}=2+(n-1)\cdot\frac{1}{2} \\
a_{n}=2+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2} \\
a_{n}=\frac{1}{2}n+1\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AF\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(CF\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(BC\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro punkt \(E\) przecina odcinek \(AD\) w połowie długości, a bok \(EF\) jest prostopadły do boku \(AD\), to łącząc punkty \(A\) z \(F\) oraz \(D\) z \(F\) otrzymamy tak naprawdę trójkąt równoramienny \(AFD\), którego wysokością jest odcinek \(EF\):


A skąd wiemy, że jest to trójkąt równoramienny? Możemy być tego pewni, ponieważ wysokość trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, a to charakterystyczny element trójkątów równoramiennych.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AF\) oraz \(DF\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABF\). To właśnie z tego trójkąta jesteśmy w stanie obliczyć długość odcinka \(AF\), korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$13^2+1^2=|AF|^2 \\
169+1=|AF|^2 \\
|AF|^2=170 \\
|AF|=\sqrt{170} \quad\lor\quad |AF|=-\sqrt{170}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. To oznacza, że zarówno \(|AF|=\sqrt{170}\) jak i \(|DF|=\sqrt{170}\). Póki co możemy te wyniki zostawić w takiej postaci.

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(CF\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(DCF\). Jest to także trójkąt prostokątny, znamy dwie długości boków tego trójkąta, zatem z pomocą po raz kolejny przyjdzie nam Twierdzenie Pitagorasa:
$$11^2+|CF|^2=(\sqrt{170})^2 \\
121+|CF|^2=170 \\
|CF|^2=49 \\
|CF|=7 \quad\lor\quad |CF|=-7$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|CF|=7\).

Krok 4. Obliczenie długości boku \(BC\).
Jest to trapez prostokątny, zatem bok \(BC\) będzie jednocześnie wysokością naszej figury. Skoro znamy długości odcinków \(|BF|=1\) oraz \(|CF|=7\), to wyznaczenie długości boku \(BC\) jest formalnością:
$$|BC|=|BF|+|CF| \\
|BC|=1+7 \\
|BC|=8$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu.
Mamy wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola trapezu, ponieważ znamy długości obydwu podstaw oraz wysokości. W związku z tym:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(13+11)\cdot8 \\
P=\frac{1}{2}\cdot24\cdot8 \\
P=12\cdot8 \\
P=96$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta znajdującego się w podstawie (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole podstawy (patrz: Krok 6.).
2 pkt
• Gdy obliczysz przynajmniej dwie rzeczy za 1 punkt.
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy obliczysz objętość ostrosłupa (patrz: Krok 7.).
4 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej (patrz: Krok. 9).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek kluczowe informacje, otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a=4\). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{2} \\
h_{p}=2\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(OD\).
Wysokość ostrosłupa \(SO\) dzieli nam wysokość podstawy na dwie równe części (tak wynika wprost z zadania). Każda z tych części ma długość \(\frac{1}{2}h_{p}\). Skoro tak, to odcinek \(OD\) będzie mieć długość:
$$|OD|=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3} \\
|OD|=\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości trójkąta \(BCS\).
Trójkąt \(BCS\) jest także trójkątem równobocznym o boku \(a=4\) (wynika to z zadania). Jego wysokość obliczymy więc dokładnie tak samo, jak wysokość \(h_{p}\), zatem:
$$h_{b}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h_{b}=\frac{4\sqrt{3}}{2} \\
h_{b}=2\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spoglądamy teraz na kluczowy trójkąt prostokątny \(SOD\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć wysokość ostrosłupa:
$$(\sqrt{3})^2+H^2=(2\sqrt{3})^2 \\
3+H^2=4\cdot3 \\
3+H^2=12 \\
H^2=9 \\
H=3 \quad\lor\quad H=-3$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(H=3\).

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a=4\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{16\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=4\sqrt{3}$$

Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiemy, że \(P_{p}=4\sqrt{3}\). Wysokość ostrosłupa też już znamy, bowiem \(H=3\). Możemy zatem przystąpić do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{3}\cdot3 \\
V=4\sqrt{3}$$

Krok 8. Obliczenie długości krawędzi \(AS\).
Spoglądamy tym razem na trójkąt prostokątny \(AOS\). Odcinek \(AO\) będzie taki sam jak \(OD\), czyli ma długość \(|AS|=\sqrt{3}\). Wiemy też, że wysokość ostrosłupa jest równa \(H=3\), zatem ponownie możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa i zapisać, że:
$$(\sqrt{3})^2+3^2=|AS|^2 \\
3+9=|AS|^2 \\
|AS|^2=12 \\
|AS|=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}$$

Krok 9. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABS\) (oraz \(ACS\)).
Trójkąt \(ABS\) jest trójkątem równoramiennym (takim obróconym), w którym podstawa \(|AS|=2\sqrt{3}\), a ramiona \(|AB|=4\) oraz \(|BS|=4\).


Musimy poznać pole tego trójkąta, a do tego potrzebujemy wysokości. Wiemy, że w trójkątach równoramiennych wysokość dzieli podstawę na dwie równe części (patrz rysunek), tworząc nam tym samym kolejne trójkąty prostokątne. Ponownie z pomocą przyjdzie nam więc Twierdzenie Pitagorasa:
$$(\sqrt{3})^2+h^2=4^2 \\
3+h^2=16 \\
h=\sqrt{13}$$

To oznacza, że pole trójkąta \(ABS\) będzie równe:
$$P_{ABS}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot\sqrt{13} \\
P_{ABS}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{13} \\
P_{ABS}=\sqrt{39}$$

Analogiczna sytuacja jest w trójkącie \(ACS\) (tutaj także mamy podstawę \(|AS|=2\sqrt{3}\) oraz ramiona \(|AC|=4\) oraz \(|CS|=4\)), zatem także \(P_{ACS}=\sqrt{39}\).

Krok 10. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Podsumowując - nasz trójkąt składa się z dwóch trójkątów równobocznych o polu \(4\sqrt{3}\) (wyliczyliśmy to w szóstym kroku) oraz dwóch trójkątów o polu \(\sqrt{39}\) (wyliczyliśmy to w dziewiątym kroku). Skoro tak, to pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+\sqrt{39}+\sqrt{39}=8\sqrt{3}+2\sqrt{39}$$