Matura – Matematyka – Czerwiec 2023

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(7\cdot(7k^2+k-1)+5\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie dostrzeżenie, że liczbę \(-2\) możemy zastąpić sumą \(-7+5\), która także jest przecież równa \(-2\). Naszą liczbę rozpisalibyśmy więc jako:
$$49k^2+7k-7+5$$

Teraz wyłączając siódemkę przed nawias, otrzymamy:
$$7\cdot(7k^2+k-1)+5$$

Wartość \(7k^2+k-1\) jest na pewno liczbą całkowitą, ponieważ \(k\) jest całkowite.

Otrzymany wynik oznacza, że dzieląc naszą liczbę przez \(7\) otrzymalibyśmy \(7k^2+k-1\) (czyli jakąś liczbę całkowitą, która jest wynikiem tego dzielenia) i właśnie resztę równą \(5\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy jakiekolwiek obliczenia, musimy wykonać odpowiednie przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć jedynie \(0\), zatem:
$$x(2x-1)\lt2x \\
2x^2-x-2x\lt0 \\
2x^2-3x\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Musimy teraz wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić, kiedy \(2x^2-3x=0\). Moglibyśmy oczywiście wyznaczyć te miejsca zerowe za pomocą delty (pamiętając, że w tej sytuacji współczynnik \(c=0\)), ale takie równania kwadratowe da się rozwiązać znacznie szybciej - wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias. Całość wyglądałaby następująco:
$$2x^2-3x=0 \\
x(2x-3)=0$$

Teraz postępujemy jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy do zera to co jest przed nawiasem oraz to, co jest w nawiasie, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad 2x-3=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 2x=3 \\
x=0 \quad\lor\quad x=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (bo \(a=2\)), zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości mniejszych od zera, czyli zerkamy na to, co znajduje się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$x\in\left(0;\frac{3}{2}\right)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci iloczynowej typu \((x^2-9)(x+4)=0\)
ALBO
• Gdy otrzymasz przynajmniej jedno poprawne rozwiązanie.
2 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej, w której nie będziemy mieć niewiadomej \(x\) podniesionej do kwadratu np. \((x-3)(x+3)(x+4)=0\)
ALBO
• Gdy doprowadzisz do postaci iloczynowej typu \((x^2-9)(x+4)=0\) oraz otrzymasz przynajmniej jedno poprawne rozwiązanie.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Chcąc rozwiązać to równanie, skorzystamy z tak zwanej metody grupowania, a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x^3+4x^2-9x-36=0 \\
x^2(x+4)-9(x+4)=0 \\
(x^2-9)(x+4)=0$$

Aby lewa strona równania była równa \(0\), to wartość któregoś z nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad x+4=0 \\
x^2=9 \quad\lor\quad x=-4 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-4$$

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta "z sinusem", czyli:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\alpha$$

Istotne jest to, że w tym wzorze długości \(a\) oraz \(b\) to ramiona tworzące analizowany kąt \(\alpha\). Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom, to zauważymy, że interesują nas tak naprawdę dwie sytuacje - ramiona \(a\) oraz \(c\) z kątem \(45°\) oraz ramiona \(b\) oraz \(c\) z kątem \(30°\). Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\) oraz \(sin30°=\frac{1}{2}\), a skoro tak, to możemy zapisać dwa następujące wzory:

I wzór:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot sin45° \\
P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \\
P=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c$$

II wzór:
$$P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot sin30° \\
P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\frac{1}{2} \\
P=\frac{1}{4}\cdot b\cdot c$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy dwie liczby spośród ośmiu, ale losowanie odbywa się bez zwracania. To oznacza, że w pierwszym losowaniu wybieramy spośród ośmiu liczb, ale już w drugim tylko spośród siedmiu. W takim razie, zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć
$$|Ω|=8\cdot7=56$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie liczb, których suma jest dzielnikiem liczby \(8\). Dzielnikami tej liczby są \(1, 2, 4\) oraz \(8\). Sumy równej \(1\) oraz \(2\) nie uda nam się uzyskać w żaden sposób. Sumę równą \(4\) otrzymamy losując pary:
$$(1;3), (3;1)$$

Wariantu \((2;2)\) (który też dałby sumę równą \(4\)) nie rozważamy, bo nie da się wylosować dwóch dwójek.

Sumę równą \(8\) otrzymamy losując pary:
$$(1;7), (2;6), (3;5), \\
(5;3), (6;2), (7;1)$$

Wariantu \((4;4)\) (który też dałby sumę równą \(8\)) nie rozważamy, bo nie da się wylosować dwóch czwórek.

W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=2+6=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależność między wymiarami prostokąta np. \(y=400-4x\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór na pole prostokąta w którym użyjesz tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość drugiego boku prostokąta (patrz: Krok 6.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeśli oznaczymy boki prostokąta jako \(x\) oraz \(y\) to powstanie nam taka oto sytuacja:


Krok 2. Obliczenie pola trapezu \(ABCD\).
Na początek obliczmy pole trapezu \(ABCD\). Mamy wszystkie potrzebne dane, ponieważ \(a=400\), \(b=100\) oraz \(h=75\), zatem:
$$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(400+100)\cdot75 \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot500\cdot75 \\
P_{ABCD}=250\cdot75 \\
P_{ABCD}=18750$$

Krok 3. Zapisanie równań.
Musimy teraz skorzystać ze wskazówki zapisanej pod zadaniem, czyli z podpowiedzi, że powinniśmy skorzystać ze wzoru \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\).

Trapez \(ABFE\) będzie mieć podstawy o długości \(a=400\) oraz \(b=x\), natomiast wysokość to \(h=y\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{ABFE}=\frac{1}{2}\cdot(400+x)\cdot y \\
P_{ABFE}=(200+\frac{1}{2}x)\cdot y \\
P_{ABFE}=200y+\frac{1}{2}xy$$

Trapez \(EFCD\) będzie mieć podstawy o długości \(a=x\) oraz \(y=100\), natomiast wysokość to \(h=75-y\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{EFCD}=\frac{1}{2}\cdot(x+100)\cdot(75-y) \\
P_{EFCD}=(\frac{1}{2}x+50)\cdot(75-y) \\
P_{EFCD}=\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y$$

Wiemy też, że pole trapezu \(ABCD\) jest równe \(18750\), zatem podstawiając te wszystkie informacje do wzoru \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\), powstanie nam takie oto równanie:
$$18750=\left(200y+\frac{1}{2}xy\right)+\left(\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y\right) \\
18750=200y+\frac{75}{2}x+3750-50y \\
15000=150y+\frac{75}{2}x \\
150y=15000-\frac{75}{2}x \quad\bigg/\cdot\frac{1}{150} \\
y=100-\frac{75}{300}x \\
y=-\frac{1}{4}x+100$$

Dodatkowo możemy od razu zapisać, że pole prostokąta wyznaczymy ze wzoru:
$$P=x\cdot y$$

Krok 4. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=-\frac{1}{4}x+100\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot\left(-\frac{1}{4}x+100\right) \\
P=-\frac{1}{4}x^2+100x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(P=-\frac{1}{4}x^2+100x\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-\frac{1}{4}x^2+100x\).

Od razu też możemy zapisać dziedzinę funkcji. Z rysunku oraz treści zadania wynika, że \(x\) musi być większy od boku o długości \(100\), ale jednocześnie musi być mniejszy od \(400\), co prowadzi nas do wniosku, że dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(100;400)\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-100}{2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)} \\
x_{W}=\frac{-100}{-\frac{1}{2}} \\
x_{W}=200$$

Otrzymany wynik mieści się w dziedzinie naszej funkcji, więc długość \(x\) jest jak najbardziej poprawna.

Krok 6. Wyznaczenie długości drugiego boku prostokąta i obliczenie pola powierzchni.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie największe gdy jeden z boków prostokąta będzie miał długość \(x=200\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość drugiego boku, zatem korzystając z wcześniej zapisanego równania \(y=-\frac{1}{4}x+100\), otrzymamy:
$$y=-\frac{1}{4}\cdot200+100 \\
y=-50+100 \\
y=50$$

To oznacza, że pole naszego prostokąta będzie równe:
$$P=200m\cdot50m \\
P=10000m^2$$