Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2023
Łącznie do zdobycia jest 46 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 180 minut.
Zadanie 1. (1pkt) Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność \(|x+5|\lt15\) jest:
Zadanie 2. (1pkt) Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}\) jest równy:
Zadanie 3. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(7\cdot(7k^2+k-1)+5\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie dostrzeżenie, że liczbę \(-2\) możemy zastąpić sumą \(-7+5\), która także jest przecież równa \(-2\). Naszą liczbę rozpisalibyśmy więc jako:
$$49k^2+7k-7+5$$
Teraz wyłączając siódemkę przed nawias, otrzymamy:
$$7\cdot(7k^2+k-1)+5$$
Wartość \(7k^2+k-1\) jest na pewno liczbą całkowitą, ponieważ \(k\) jest całkowite.
Otrzymany wynik oznacza, że dzieląc naszą liczbę przez \(7\) otrzymalibyśmy \(7k^2+k-1\) (czyli jakąś liczbę całkowitą, która jest wynikiem tego dzielenia) i właśnie resztę równą \(5\), co należało udowodnić.
Zadanie 4. (1pkt) Klient wpłacił do banku \(30 000 zł\) na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(7\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa:
Zadanie 5. (1pkt) Liczba \(log_{2}\frac{1}{8}+log_{2}4\) jest równa:
Zadanie 6. (1pkt) Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa:
Zadanie 7. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) i \(2\) wyrażenie \(\dfrac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\dfrac{x-2}{x}\) jest równe:
Zadanie 8. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(x(2x-1)\lt2x\)
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy jakiekolwiek obliczenia, musimy wykonać odpowiednie przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć jedynie \(0\), zatem:
$$x(2x-1)\lt2x \\
2x^2-x-2x\lt0 \\
2x^2-3x\lt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Musimy teraz wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić, kiedy \(2x^2-3x=0\). Moglibyśmy oczywiście wyznaczyć te miejsca zerowe za pomocą delty (pamiętając, że w tej sytuacji współczynnik \(c=0\)), ale takie równania kwadratowe da się rozwiązać znacznie szybciej - wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias. Całość wyglądałaby następująco:
$$2x^2-3x=0 \\
x(2x-3)=0$$
Teraz postępujemy jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy do zera to co jest przed nawiasem oraz to, co jest w nawiasie, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad 2x-3=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 2x=3 \\
x=0 \quad\lor\quad x=\frac{3}{2}$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (bo \(a=2\)), zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości mniejszych od zera, czyli zerkamy na to, co znajduje się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$x\in\left(0;\frac{3}{2}\right)$$
Zadanie 9. (3pkt) Rozwiąż równanie \(x^3+4x^2-9x-36=0\)
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci iloczynowej typu \((x^2-9)(x+4)=0\)
ALBO
• Gdy otrzymasz przynajmniej jedno poprawne rozwiązanie.
2 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej, w której nie będziemy mieć niewiadomej \(x\) podniesionej do kwadratu np. \((x-3)(x+3)(x+4)=0\)
ALBO
• Gdy doprowadzisz do postaci iloczynowej typu \((x^2-9)(x+4)=0\) oraz otrzymasz przynajmniej jedno poprawne rozwiązanie.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Chcąc rozwiązać to równanie, skorzystamy z tak zwanej metody grupowania, a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x^3+4x^2-9x-36=0 \\
x^2(x+4)-9(x+4)=0 \\
(x^2-9)(x+4)=0$$
Aby lewa strona równania była równa \(0\), to wartość któregoś z nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad x+4=0 \\
x^2=9 \quad\lor\quad x=-4 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-4$$
Zadanie 10. (1pkt) Równanie \(\dfrac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:
Zadanie 11. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x)=(2m+3)x+5\) oraz \(g(x)=-x\) nie mają punktów wspólnych dla:
Zadanie 12. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(A=(-3;-1)\) oraz \(B=(4;3)\). Współczynnik \(a\) w równaniu tej prostej jest równy:
Zadanie 13. (3pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
Zadanie 13.1. Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.
A. \(\langle-3;-1\rangle\cup\langle1;3\rangle\)
B. \((-3;3)\)
C. \((-3;-1)\cup(1;3)\)
D. \(\langle-5;-1\rangle\cup\langle1;5\rangle\)
E. \((-5;5)\)
F. \((-5;-1)\cup(1;5)\)
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie dziedziny funkcji.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(Ox\). Widzimy, że funkcja przyjmuje swoje wartości dla argumentów od \(-5\) do \(-1\) (kropki są niezamalowane, więc nawiasy będą otwarte) oraz od \(1\) do \(5\) (i tu także kropki są niezamalowane, więc nawiasy będą otwarte. W takim razie dziedziną funkcji \(f\) będzie zbiór \((-5;-1)\cup(1;5)\).
Krok 2. Ustalenie zbioru wartości funkcji.
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od \(-3\) do \(-1\) oraz \(1\) do \(3\). I tu uwaga, choć kropki są niezamalowane, to trzeba zwrócić uwagę na to, że te wartości są jak przyjmowane przez funkcję (np. wartość \(y=-3\) jest przyjmowana dla argumentu \(x=-4,5\), czy też wartość \(y=-1\) jest przyjmowana dla argumentu \(x=-2\)). Stąd też moglibyśmy zapisać, że zbiorem wartości naszej funkcji jest \(\langle-3;-1\rangle\cup\langle1;3\rangle\).
Zadanie 13.2. Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\lt-1\).
$$......................$$
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Zapis \(f(x)\lt-1\) oznacza, że tak naprawdę musimy ustalić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartości mniejsze od \(-1\). Patrząc się na wykres widzimy, że funkcja przyjmuje wartości mniejsze od \(-1\) dla argumentów od \(-5\) do \(-3\), czyli rozwiązaniami tej nierówności będzie \(x\in(-5;-3)\).
Zadanie 14. (1pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+1\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że \(a\lt0\) i \(b\gt0\). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji.
Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku:
Zadanie 15. (2pkt) Masa \(m\) leku \(L\) zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą \(m(t)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,25t}\), gdzie:
\(m_{0}\) – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili \(t=0\) dawki leku,
\(t\) – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu \(t=0\) zażycia leku.
Zadanie 15.1. Chory przyjął jednorazowo lek \(L\) w dawce \(200 mg\). Oblicz, ile mg leku \(L\) pozostanie w organizmie chorego po \(12\) godzinach od momentu przyjęcia dawki. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Z treści zadania wynika, że \(m_{0}=200\) oraz \(t=12\). Skoro tak, to podstawiając te dane do podanego wzoru, otrzymamy:
$$m(12)=200\cdot(0,6)^{0,25\cdot12} \\
m(12)=200\cdot(0,6)^3 \\
m(12)=200\cdot0,216 \\
m(12)=43,2$$
To oznacza, że w organizmie zostanie \(43,2mg\) leku.
Zadanie 15.2. Liczby \(m(2,5)\), \(m(4,5)\), \(m(6,5)\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości \(m(2,5)\) oraz \(m(4,5)\).
Do wyznaczenia ilorazu ciągu potrzebujemy znajomości dwóch wyrazów tego ciągu. Obliczmy zatem ile wynosi \(m(2,5)\) oraz \(m(4,5)\)
$$m(2,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,25\cdot2,5} \\
m(2,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,625}$$
$$m(4,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,25\cdot4,5} \\
m(4,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{1,125}$$
Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znając dwa sąsiednie wyrazu ciągu geometrycznego, możemy bez problemu obliczyć wartość ilorazu:
$$q=\frac{m(4,5)}{m(2,5)} \\
q=\frac{m_{0}\cdot(0,6)^{1,125}}{m_{0}\cdot(0,6)^{0,625}} \\
q=\frac{(0,6)^{1,125}}{(0,6)^{0,625}} \\
q=(0,6)^{1,125}:(0,6)^{0,625} \\
q=(0,6)^{1,125-0,625} \\
q=(0,6)^{0,5} \\
q=(0,6)^{\frac{1}{2}} \\
q=\sqrt{0,6}$$
Zadanie 16. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa:
Zadanie 17. (1pkt) Trzywyrazowy ciąg \((1, 4, a+5)\) jest arytmetyczny. Liczba \(a\) jest równa:
Zadanie 18. (1pkt) Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). W tym ciągu \(a_{1}=3,75\) oraz \(a_{2}=-7,5\). Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\) jest równa:
Zadanie 19. (1pkt) Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(cos\alpha-cos\alpha\cdot sin^2\alpha\) jest równe:
Zadanie 20. (2pkt) Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary \(30°\), \(45°\) oraz \(105°\). Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – \(a\), \(b\) oraz \(c\) (zobacz rysunek).
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami:
$$......... \text{ oraz } .........$$
A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot c\)
B. \(\frac{1}{4}\cdot a\cdot c\)
C. \(\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c\)
D. \(\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot b\cdot c\)
E. \(\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\)
F. \(\frac{1}{4}\cdot b\cdot c\)
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta "z sinusem", czyli:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\alpha$$
Istotne jest to, że w tym wzorze długości \(a\) oraz \(b\) to ramiona tworzące analizowany kąt \(\alpha\). Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom, to zauważymy, że interesują nas tak naprawdę dwie sytuacje - ramiona \(a\) oraz \(c\) z kątem \(45°\) oraz ramiona \(b\) oraz \(c\) z kątem \(30°\). Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\) oraz \(sin30°=\frac{1}{2}\), a skoro tak, to możemy zapisać dwa następujące wzory:
I wzór:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot sin45° \\
P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \\
P=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c$$
II wzór:
$$P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot sin30° \\
P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\frac{1}{2} \\
P=\frac{1}{4}\cdot b\cdot c$$
Zadanie 21. (1pkt) Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC|=4\) i \(|CD|=3\) (zobacz rysunek).
Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa:
Zadanie 22. (1pkt) W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\).
Pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\).
Zadanie 23. (1pkt) Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\), takie że \(|\sphericalangle ADB|=20°\) i \(|\sphericalangle DBC|=40°\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\).
Miara kąta \(DKC\) jest równa:
Zadanie 24. (1pkt) Pole trójkąta równobocznego \(T_{1}\) jest równe \(\dfrac{(1,5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\). Pole trójkąta równobocznego \(T_{2}\) jest równe \(\dfrac{(4,5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\).
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Trójkąt \(T_{2}\) jest podobny do trójkąta \(T_{1}\) w skali:
każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.
pole trójkąta \(T_{2}\) jest \(9\) razy większe od pola trójkąta \(T_{1}\).
bok trójkąta \(T_{2}\) jest o \(3\) dłuższy od boku trójkąta \(T_{1}\).
Zadanie 25. (1pkt) Pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe \(40\sqrt{6}\). Bok \(AD\) tego równoległoboku ma długość \(10\), a kąt \(ABC\) równoległoboku ma miarę \(135°\) (zobacz rysunek).
Długość boku \(AB\) jest równa:
Zadanie 26. (1pkt) Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x+1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\).
Wzorem funkcji \(g\) jest:
Zadanie 27. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-1,5)\) oraz \(C=(3,-3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole kwadratu \(ABCD\) jest równe:
Zadanie 28. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(1,7)\) oraz \(P=(3,1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\). Punkt \(B\) ma współrzędne:
Zadanie 29. (2pkt) Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku \(6\). Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość \(12\) i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
Zadanie 29.1. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu.
Objętość tego ostrosłupa jest równa \(...........\)
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jest to ostrosłup, którego jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny, czyli ta bryła musi wyglądać w następujący sposób:
To prowadzi nas do bardzo ważnego wniosku - krawędź boczna o długości \(12\) jest jednocześnie wysokością tego ostrosłupa.
Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Ustaliliśmy już, że w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=6\), natomiast wysokość tego ostrosłupa to \(H=12\). W takim razie:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot6^2\cdot 12 \\
V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot12 \\
V=12\cdot12 \\
V=144$$
Zadanie 29.2. Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy:
Zadanie 30. (1pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny \(ABCDEFA'B'C'D'E'F\), w którym krawędź podstawy ma długość \(5\). Przekątna \(AD'\) tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(45°\) (zobacz rysunek).
Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe:
Zadanie 31. (1pkt) Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest:
Zadanie 32. (2pkt) Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od \(1\) do \(8\) – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby \(8\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy dwie liczby spośród ośmiu, ale losowanie odbywa się bez zwracania. To oznacza, że w pierwszym losowaniu wybieramy spośród ośmiu liczb, ale już w drugim tylko spośród siedmiu. W takim razie, zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć
$$|Ω|=8\cdot7=56$$
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie liczb, których suma jest dzielnikiem liczby \(8\). Dzielnikami tej liczby są \(1, 2, 4\) oraz \(8\). Sumy równej \(1\) oraz \(2\) nie uda nam się uzyskać w żaden sposób. Sumę równą \(4\) otrzymamy losując pary:
$$(1;3), (3;1)$$
Wariantu \((2;2)\) (który też dałby sumę równą \(4\)) nie rozważamy, bo nie da się wylosować dwóch dwójek.
Sumę równą \(8\) otrzymamy losując pary:
$$(1;7), (2;6), (3;5), \\
(5;3), (6;2), (7;1)$$
Wariantu \((4;4)\) (który też dałby sumę równą \(8\)) nie rozważamy, bo nie da się wylosować dwóch czwórek.
W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=2+6=8\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$$
Zadanie 33. (4pkt) Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB|=400m\) oraz \(|CD|=100 m\). Wysokość trapezu jest równa \(75 m\), a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe – \(E\) oraz \(F\) – na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek).
Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.
Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależność między wymiarami prostokąta np. \(y=400-4x\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór na pole prostokąta w którym użyjesz tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość drugiego boku prostokąta (patrz: Krok 6.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeśli oznaczymy boki prostokąta jako \(x\) oraz \(y\) to powstanie nam taka oto sytuacja:
Krok 2. Obliczenie pola trapezu \(ABCD\).
Na początek obliczmy pole trapezu \(ABCD\). Mamy wszystkie potrzebne dane, ponieważ \(a=400\), \(b=100\) oraz \(h=75\), zatem:
$$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(400+100)\cdot75 \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot500\cdot75 \\
P_{ABCD}=250\cdot75 \\
P_{ABCD}=18750$$
Krok 3. Zapisanie równań.
Musimy teraz skorzystać ze wskazówki zapisanej pod zadaniem, czyli z podpowiedzi, że powinniśmy skorzystać ze wzoru \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\).
Trapez \(ABFE\) będzie mieć podstawy o długości \(a=400\) oraz \(b=x\), natomiast wysokość to \(h=y\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{ABFE}=\frac{1}{2}\cdot(400+x)\cdot y \\
P_{ABFE}=(200+\frac{1}{2}x)\cdot y \\
P_{ABFE}=200y+\frac{1}{2}xy$$
Trapez \(EFCD\) będzie mieć podstawy o długości \(a=x\) oraz \(y=100\), natomiast wysokość to \(h=75-y\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{EFCD}=\frac{1}{2}\cdot(x+100)\cdot(75-y) \\
P_{EFCD}=(\frac{1}{2}x+50)\cdot(75-y) \\
P_{EFCD}=\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y$$
Wiemy też, że pole trapezu \(ABCD\) jest równe \(18750\), zatem podstawiając te wszystkie informacje do wzoru \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\), powstanie nam takie oto równanie:
$$18750=\left(200y+\frac{1}{2}xy\right)+\left(\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y\right) \\
18750=200y+\frac{75}{2}x+3750-50y \\
15000=150y+\frac{75}{2}x \\
150y=15000-\frac{75}{2}x \quad\bigg/\cdot\frac{1}{150} \\
y=100-\frac{75}{300}x \\
y=-\frac{1}{4}x+100$$
Dodatkowo możemy od razu zapisać, że pole prostokąta wyznaczymy ze wzoru:
$$P=x\cdot y$$
Krok 4. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=-\frac{1}{4}x+100\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot\left(-\frac{1}{4}x+100\right) \\
P=-\frac{1}{4}x^2+100x$$
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(P=-\frac{1}{4}x^2+100x\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-\frac{1}{4}x^2+100x\).
Od razu też możemy zapisać dziedzinę funkcji. Z rysunku oraz treści zadania wynika, że \(x\) musi być większy od boku o długości \(100\), ale jednocześnie musi być mniejszy od \(400\), co prowadzi nas do wniosku, że dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(100;400)\).
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-100}{2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)} \\
x_{W}=\frac{-100}{-\frac{1}{2}} \\
x_{W}=200$$
Otrzymany wynik mieści się w dziedzinie naszej funkcji, więc długość \(x\) jest jak najbardziej poprawna.
Krok 6. Wyznaczenie długości drugiego boku prostokąta i obliczenie pola powierzchni.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie największe gdy jeden z boków prostokąta będzie miał długość \(x=200\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość drugiego boku, zatem korzystając z wcześniej zapisanego równania \(y=-\frac{1}{4}x+100\), otrzymamy:
$$y=-\frac{1}{4}\cdot200+100 \\
y=-50+100 \\
y=50$$
To oznacza, że pole naszego prostokąta będzie równe:
$$P=200m\cdot50m \\
P=10000m^2$$
Poprzednie
Zakończ
Następne