Na sąsiednich działkach wybudowano domy różniące się kształtem dachów. Który dach ma większą powierzchnię?

Na sąsiednich działkach wybudowano domy różniące się kształtem dachów (patrz rysunki). Który dach ma większą powierzchnię?

egzamin ósmoklasisty

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pierwszego dachu.
Zacznijmy od obliczenia pola powierzchni pierwszego dachu. Dach składa się z czterech trójkątów równobocznych o boku długości \(8cm\). Musimy więc wyznaczyć pole każdego takiego trójkąta i pomnożyć to przez \(4\). Wyznaczyć pole tego trójkąta można tak naprawdę na dwa sposoby:

I sposób - korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.
Wzór na pole trójkąta równobocznego jest następujący:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{8^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{64\sqrt{3}}{4} \\
P=16\sqrt{3}$$

Skoro mamy cztery takie trójkąty, to pole powierzchni dachu będzie równe:
$$P_{1}=4\cdot16\sqrt{3}=64\sqrt{3}$$

II sposób - wyznaczając wysokość trójkąta równobocznego.
Tym razem możemy skorzystać ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
h=4\sqrt{3}$$

Jeśli tego wzoru nie pamiętamy, to ostatecznie możemy wyznaczyć wysokość z Twierdzenia Pitagorasa, wiedząc że wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na dwie równe części:
egzamin ósmoklasisty

$$4^2+h^2=8^2 \\
16+h^2=64 \\
h^2=48 \\
h=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$$

Znając wysokość trójkąta równobocznego możemy obliczyć już bez przeszkód jego pole standardowym wzorem na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot4\sqrt{3} \\
P=4\cdot4\sqrt{3} \\
P=16\sqrt{3}$$

Skoro mamy cztery takie trójkąty, to pole powierzchni dachu będzie równe:
$$P_{1}=4\cdot16\sqrt{3}=64\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni drugiego dachu.
egzamin ósmoklasisty

Do obliczenia pola powierzchni drugiego dachu (składającego się z dwóch prostokątów) potrzebujemy znać długość krótszego boku prostokąta. Obliczymy go z Twierdzenia Pitagorasa i trójkąta zaznaczonego na powyższym rysunku:
$$4^2+4^2=x^2 \\
16+16=x^2 \\
x^2=32 \\
x=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$

W związku z tym pojedynczy kawałek dachu jest prostokątem o wymiarach \(8\times4\sqrt{2}\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P=8\cdot4\sqrt{2} \\
P=32\sqrt{2}$$

Nasz drugi dach składa się z dwóch takich prostokątów, zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{2}=2\cdot32\sqrt{2} \\
P_{2}=64\sqrt{2}$$

Krok 3. Określenie który dach ma większą powierzchnię.
Pierwszy dach ma powierzchnię \(64\sqrt{3}\), drugi dach ma powierzchnię \(64\sqrt{2}\), zatem to pierwszy dach ma tę powierzchnię większą:
$$64\sqrt{3}\gt64\sqrt{2} \\
P_{1}\gt P_{2}$$

Odpowiedź

Większe pole powierzchni ma pierwszy dach.

Dodaj komentarz