Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Operon 2020 – Odpowiedzi

D

Aby porównać podane liczby, musimy doprowadzić wszystkie zapisy do postaci, w której wszystkie wartości znajdą się pod pierwiastkami. Zatem:
\(a=3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45} \\
b=\sqrt{15} \\
c=5\sqrt{3}=\sqrt{25\cdot3}=\sqrt{75}\)

Najmniejszą liczbą będzie ta, która ma mniejszą wartość pod pierwiastkiem, zatem:
$$\sqrt{15}\lt\sqrt{45}\lt\sqrt{75} \\
b\lt a\lt c$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości początkowej liczby.
Obliczmy najpierw wartość podanej liczby (pamiętając o kolejności wykonywania działań - czyli najpierw mnożenie):
$$3\frac{4}{5}-0,6:\frac{1}{8}=\frac{19}{5}-\frac{3}{5}\cdot8=\frac{19}{5}-\frac{24}{5}=-\frac{5}{5}=-1$$

Krok 2. Obliczenie sześcianu połowy liczby.
Otrzymaliśmy wartość \(-1\). Połowa tej liczby to w takim razie \(-\frac{1}{2}\). Musimy jeszcze obliczyć sześcian tej połowy, czyli:
$$\left(-\frac{1}{2}\right)^3=-\frac{1}{8}$$

C

W treści zadania mamy podaną informację, że uczeń uzyskał półtora raza więcej czwórek niż trójek. Skoro otrzymał on cztery trójki, to czwórek dostał:
$$1,5\cdot4=6$$

Mamy więc komplet informacji na temat ocen tego ucznia, zatem możemy przystąpić do liczenia średniej. W liczniku zapisujemy wszystkie oceny, a w mianowniku zapisujemy ile tych ocen uczeń otrzymał:
$$śr=\frac{4\cdot3+6\cdot4+3\cdot5+2\cdot6}{4+6+3+2} \\
śr=\frac{12+24+15+12}{15} \\
śr=\frac{63}{15} \\
śr=4,2$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Zamiana liczby rzymskiej na arabską.
Wiedząc, że \(M=1000, C=100, L=50, V=5\) oraz \(I=1\) możemy stwierdzić, że liczba MCMLIV\) to w zapisie arabskim \(1954\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Mamy liczbę \(y=1954\). Przestawiając cyfrę tysięcy (czyli jedynkę) z cyfrą dziesiątek (czyli piątką) otrzymamy liczbę \(x=5914\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro \(x=5914\) oraz \(y=1954\), to różnica liczb \(x\) i \(y\) wynosi:
$$x-y=5914-1954 \\
x-y=3960$$

B

Krok 1. Obliczenie liczby lewych i prawych rękawiczek.
Obliczmy ile lewych i prawych rękawiczek znalazło się w garderobie Marty. Wiemy, że znalazła \(7\) par rękawiczek (czyli \(7\) sztuk lewych i \(7\) prawych) oraz trzy pojedyncze rękawiczki lewe i jedną rękawiczkę prawą. To oznacza, że:

Liczba lewych rękawiczek: \(7+3=10\)
Liczba prawych rękawiczek: \(7+1=8\)

Krok 2. Obliczenie stosunku liczby rękawiczek lewych do prawych:
Stosunek lewych do prawych jest równy \(10:8\), co po skróceniu przez \(2\) da nam stosunek \(5:4\).

D

Zadanie można rozwiązać na kilka sposobów, spróbujmy może obliczyć to za pomocą proporcji:
Skoro \(30\%\) pewnej liczby to \(45\)
To \(10\%\) tej liczby to \(15\)
Więc \(50\%\) tej liczby to \(75\)

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Znajdująca się w liczniku suma \(x+x^2\) nie jest równa \(x^3\), tym samym wyrażenie \(\frac{x+x^2}{2}\) nie będzie równe \(\frac{1}{2}x^3\).
To byłaby prawda, gdybyśmy zamiast dodawania, mieli mnożenie \(x\cdot x^2\). Wtedy faktycznie \(\frac{x\cdot x^2}{2}\) byłoby równe \(\frac{x^3}{2}\), czyli \(\frac{1}{2}x^3\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Musimy uprościć podany iloczyn. Nie jest on może zbyt intuicyjny do szybkiego obliczenia, dlatego warto to sobie rozpisać dość dokładnie, pamiętając jednocześnie, że mnożenie jest przemienne.
$$(-a)\cdot1,5\cdot b\cdot\left(-\frac{1}{2}a\right)= \\
(-a)\cdot\left(-\frac{1}{2}a\right)\cdot1,5\cdot b= \\
=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot1,5\cdot b= \\
=\frac{1}{2}\cdot1,5\cdot a^2\cdot b=0,75a^2 b$$

Zdanie jest więc prawdą.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy odczytać z tabelki nazwę wiatru dla prędkości \(20\frac{km}{h}\), ale widzimy, że takiej wartości w jednej i drugiej tabelce nie znajdziemy. Tutaj powinniśmy dostrzec, że pierwsza tabelka ma prędkości wyrażone w \(\frac{m}{s}\), stąd też spróbujmy zamienić nasze \(20\frac{km}{h}\) na \(\frac{m}{s}\).

Wiedząc, że \(1\frac{m}{s}=3,6\frac{km}{h}\) możemy zapisać, że:
$$20\frac{km}{h}\approx5,56\frac{m}{s}$$

Obliczona prędkość mieści się w przedziale \(5,5-7,9\) i jest to wiatr umiarkowany, zatem zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Maksymalna prędkość dla silnego sztormu to \(88\frac{km}{h}\). Wynika z tego, że w ciągu godziny wiatr może pokonać \(88km\). Godzina ma \(60\) minut, więc w ciągu minuty pokona on dystans \(88km:60\approx1,47km\). Zdanie jest więc fałszem.

B

Na osi zaznaczono liczby większe lub równe \(-2\) (bo kropka przy \(-2\) jest zamalowana). Poszukiwanym przedziałem będzie więc \(x\ge-2\).

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Aby ocenić, która liczba jest większa, musimy doprowadzić do sytuacji, w której będziemy mieć jednakowe podstawy potęg lub jednakowe wykładniki. Powinniśmy zauważyć, że \(4^6\cdot5^8=(2^2)^6\cdot5^8=2^{12}\cdot5^8\), natomiast \(10^8=2^8\cdot5^8\).

Rozpisując to w ten sposób widzimy bardzo wyraźnie, że obydwa zapisy mają wspólny czynnik \(5^8\) i różny wykładnik potęgi przy podstawie równej \(2\). To oznacza, że wartość \(4^6\cdot5^8\) jest większa niż \(10^8\), bo \(2^{12}\gt2^8\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Ustaliliśmy już, że \(4^6\cdot5^8=2^{12}\cdot5^8\). Skoro tak, to:
$$2^{12}\cdot5^8=2^4\cdot2^8\cdot5^8=2^4\cdot10^8=16\cdot10^8$$

Skoro mamy w zapisie \(16\) pomnożone przez wartość \(10^8\), to znaczy, że nasza liczba będzie mieć \(8\) zer na końcu. Mówiąc bardzo obrazowo, tą liczbą jest \(1\;600\;000\;000\).

D

Rozwiążmy każde z równań po kolei:

Odp. A.
\(3x+4=5 \\
3x=1 \\
x=\frac{1}{3}\)

Odp. B.
\(3(4-x)=5 \\
12-3x=5 \\
-3x=-7 \\
x=\frac{7}{3}\)

Odp. C.
\(-3x+4=5x \\
-8x=-4 \\
x=\frac{1}{2}\)

Odp. D.
\(-3+4x=5x \\
x=-3\)

Rozwiązanie będące liczbą całkowitą otrzymaliśmy jedynie w czwartym równaniu.

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Liczbami pierwszymi są \(2\), \(3\) oraz \(5\), więc interesują nas jedynie rzędy II, III oraz V. W każdym z tych rzędów mamy \(10\) miejsc, czyli w tych trzech analizowanych rzędach mamy łącznie \(3\cdot10=30\) miejsc. W każdym interesującym nas rzędzie mamy \(5\) miejsc oznaczonych liczbą parzystą, czyli interesujących nas miejsc jest łącznie \(3\cdot5=15\). Skoro tak, to prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej w każdym z tych rzędów będzie równe:
$$p=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$$

Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Liczbami zawierającymi czwórkę są:
$$4, 14, 24, 34, 40, 41, 42, \\
43, 44, 45, 46, 47, 48, 49$$

Łącznie mamy więc \(14\) takich liczb. Skoro wszystkich liczb jest \(50\), to prawdopodobieństwo wylosowania nas interesującej liczby z czwórką będzie równe:
$$p=\frac{14}{50}=\frac{28}{100}=0,28$$

Zdanie jest więc fałszem.

B

Aby poznać rozwiązanie tego zadania, musimy obliczyć długości przeciwprostokątnych każdego z proponowanych trójkątów. W każdej z odpowiedzi mamy podaną parę długości przyprostokątnych, zatem przeciwprostokątną obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

Odp. A.
$$c^2=4^2+5^2 \\
c^2=16+25 \\
c^2=41 \\
c=\sqrt{41} \quad\lor\quad c=-\sqrt{41}$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{41}\). Od razu też widzimy, że ta odpowiedź nam nie pasuje, bo otrzymaliśmy obwód równy \(4+5+\sqrt{41}=9+\sqrt{41}\).

Odp. B.
$$c^2=3^2+6^2 \\
c^2=9+36 \\
c^2=45 \\
c=\sqrt{45} \quad\lor\quad c=-\sqrt{45}$$

Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=\sqrt{45}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(c=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\). Ta odpowiedź nam pasuje, bo wtedy faktycznie obwód jest równy \(3+6+3\sqrt{5}=9+3\sqrt{5}\).

Odp. C.
$$c^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2 \\
c^2=4\cdot5+5 \\
c^2=20+5 \\
c^2=25 \\
c=5 \quad\lor\quad c=-5$$

Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=5\). Ta odpowiedź też nam nie pasuje, bo obwód trójkąta wynosi tutaj \(2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5+3\sqrt{5}\)

Odp. D.
$$c^2=5^2+(3\sqrt{5})^2 \\
c^2=25+9\cdot5 \\
c^2=25+45 \\
c^2=70 \\
c=\sqrt{70} \quad\lor\quad c=-\sqrt{70}$$

Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=\sqrt{70}\). Ta odpowiedź też nam nie pasuje, ponieważ obwód tego trójkąta wynosi \(5+3\sqrt{5}+\sqrt{70}\).

To oznacza, że prawidłowa jest odpowiedź B.

Nie C,

Dwa trójkąty są przystające wtedy, gdy mają one jednakowe miary boków i jednakowe miary kątów. Miar boków nie jesteśmy w stanie zweryfikować, możemy jedynie przyjrzeć się miarom kątów. Spróbujmy wyznaczyć miarę kąta \(ABD\). Miara tego kąta będzie równa:
$$|\sphericalangle ABD|=360°-122°-122°=116°$$

Widzimy zatem, że kąty w trójkącie \(ABD\) mają inną miarę nić w trójkącie \(BCD\), co sprawia, iż te trójkąty na pewno nie są przystające. Prawidłową odpowiedzią będzie zatem "Nie, ponieważ kąty wewnętrzne przy wierzchołku \(B\) w obu trójkątach są różnej miary".

B, C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy dostrzec, że tak naprawdę z wystających elementów w figurze II da się ułożyć koło z figury I i zostanie nam przy tym jeden mały kwadracik w środku. Skoro więc pole pierwszej figury jest równe \(4y\), a drugiej \(x+4y\), to możemy wywnioskować, że mały kwadracik ma pole równe \(x\), a \(\frac{1}{4}\) koła ma pole \(y\). Wszystko wyjaśni poniższy rysunek:


Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Widzimy wyraźnie, że figura III będzie mieć pole równe całemu kołu plus mały kwadracik, czyli jest to dokładnie taka sama sytuacja co w figurze II. Z tego też względu pole tej figury będzie takie samo jak na rysunku II.

Krok 3. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Z rysunku szkicowego widać wyraźnie, że pole IV figury będzie równe \(4x+y\).

Bartek ma \(14\) lat.

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - wiek Bartka
\(3x\) - wiek mamy

Różnica wieku między mamą i Bartkiem wynosi \(28\), więc:
$$3x-x=28 \\
2x=28 \\
x=14$$

Skoro \(x\) to wiek Bartka, to wiemy już, że Bartek ma \(14\) lat.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz równanie, z którego można obliczyć wiek Bartka.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{c}=\frac{8}{3}\sqrt{3}\)

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi czworościanu.
Czworościan foremny to taki ostrosłup, którego wszystkie ściany wraz z podstawą są jednakowymi trójkątami równobocznymi. Mówiąc wprost, jest to bryła mająca wszystkie krawędzie jednakowej długości. Taki czworościan ma \(6\) krawędzi, a z treści zadania wiemy, że suma ich długości wynosi \(4\sqrt{6}\). To oznacza, że każda z krawędzi ma długość:
$$a=\frac{4\sqrt{6}}{6} \\
a=\frac{2}{3}\sqrt{6}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni pojedynczej ściany.
Ustaliliśmy już, że każda ściana jest trójkątem równobocznym o boku \(a=\frac{2}{3}\sqrt{6}\), zatem korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że każda ze ścian ma pole równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{\left(\frac{2}{3}\sqrt{6}\right)^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{\frac{4}{9}\cdot6\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{\frac{24}{9}\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4}$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Czworościan foremny ma cztery jednakowe ściany, każda z nich jak już obliczyliśmy ma pole powierzchni równe \(P=\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4}\), zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=4\cdot\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4} \\
P_{c}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni pojedynczej ściany (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(d=10\) oraz \(B=(-5;-4)\) oraz \(D=(3;2)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na układ współrzędnych punkty \(A\) oraz \(C\). Korzystając dodatkowo z informacji, że będziemy mieli tutaj prostokąt, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych, otrzymamy taką oto sytuację:


Z rysunku musimy też odczytać od razu wymiary naszego prostokąta (licząc po kratkach). Widzimy, że dolny bok ma długość \(8\) jednostek, natomiast drugi ma długość \(6\) jednostek.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej prostokąta.
Dwa boki prostokąta tworzą wraz z poszukiwaną przekątną trójkąt prostokątny. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zatem zapisać, że:
$$8^2+6^2=d^2 \\
64+36=d^2 \\
d^2=100 \\
d=10 \quad\lor\quad d=-10$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(d=10\).

Krok 3. Podanie współrzędnych pozostałych dwóch wierzchołków prostokąta.
Z rysunku wynika wprost, że punkt \(B\) musi mieć współrzędną \(x\) taką jak \(x_{A}\) i współrzędną \(y\) taką samą jak \(y_{C}\). Analogicznie punkt \(D\) musi mieć \(x\) taką jak \(x_{C}\) i współrzędną \(y\) taką samą jak \(y_{A}\). To oznacza, że brakującymi współrzędnymi wierzchołków prostokąta będą: \(B=(-5;-4)\) oraz \(D=(3;2)\).

Oczywiście równie dobrą odpowiedzią byłoby \(B=(3;2)\) oraz \(D=(-5;-4)\) (w zależności od tego jak podpisaliśmy wierzchołki prostokąta).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć długość przekątnej prostokąta (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(1:1\;800\;000\).

Krok 1. Obliczenie długości trasy.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na prędkość, czyli:
$$v=\frac{s}{t} \\
s=vt$$

Godzina ma \(60\) minut, więc \(54\) minuty stanowią \(\frac{54}{60}\), czyli \(0,9\) godziny. Pan Jan planuje pokonać tę trasę w \(1\) godzinę i \(54\) minuty, czyli czas podróży wyniesie \(t=1,9h\). Skoro tak, to:
$$s=90\frac{km}{h}\cdot1,9h \\
s=171km$$

Krok 2. Obliczenie skali mapy.
Trasa \(171km\) ma na mapie długość \(9,5cm\). Możemy więc ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(9,5cm\) na mapie to \(171km\) w rzeczywistości
To \(1cm\) na mapie to \(171km:9,5=18km\) w rzeczywistości

Wiemy już, że \(1cm\) odpowiada odległości \(18km\). Musimy jeszcze zapisać skalę tej mapy, a aby tego dokonać trzeba zamienić \(18km\) na centymetry. Wiemy, że \(1km\) to \(1000m\), a każdy \(1m\) to \(100cm\) długości. Skoro tak, to \(1km=100\;000cm\), czyli:
$$18km=1\;800\;000cm$$

To oznacza, że skala naszej mapy to \(1:1\;800\;000\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz czas w godzinach, czyli \(t=1,9h\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz prędkość w \(\frac{cm}{min}\), czyli \(v=150\;000\frac{cm}{min}\).
2 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(68,31zł\) oraz około \(192\) litry.

Krok 1. Obliczenie zużycia wody w marcu.
Marcowe zużycie wody będzie różnicą między odczytem marcowym i lutowym. Z tabelki wynika więc, że Państwo Malinowscy zużyli w marcu:
$$134,348m^3-128,408m^3=5,94m^3$$

Krok 2. Obliczenie wysokości opłat za wodę.
Cena za \(m^3\) wody w marcu wynosi \(11,50zł\). To oznacza, że za zużycie \(5,94m^3\) wody trzeba zapłacić:
$$5,94\cdot11,50zł=68,31zł$$

Krok 3. Obliczenie dziennego zużycia wody.
Dzienne zużycie wody musimy podać w litrach. Wiedząc, że \(1m^3=1000l\) możemy zapisać, że:
$$5,94m^3=5940l$$

Marzec ma \(31\) dni, więc każdego dnia zużyto (w zaokrągleniu do całości):
$$5940l:31\approx191,61l\approx192l$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz zużycie wody w marcu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz średnie zużycie wody w marcu (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Pan Marek może przewieźć żwir w tej przyczepce, ponieważ objętość żwiru (\(150dm^3\)) nie przekracza objętości przyczepki (\(176,8dm^3\)), a jednocześnie masa towaru (\(250kg\)) nie przekroczy maksymalnego limitu (\(350kg\)).

Krok 1. Obliczenie objętości przyczepki.
Z treści zadania wynika, że w dalszych obliczeniach będziemy posługiwać się \(dm^3\), więc już teraz na starcie dobrze byłoby zamienić wymiary przyczepki na decymetry, zatem:
$$8,5dm\times5,2dm\times4dm$$

To oznacza, że objętość przyczepki będzie równa:
$$V=abc \\
V=8,5dm\cdot5,2dm\cdot4dm \\
V=176,8dm^3$$

Krok 2. Obliczenie wagi suchego żwiru.
Z treści zadania wynika, że \(0,6dm^3\) żwiru waży \(1kg\). Skoro tak, to \(150dm^3\) żwiru będzie ważyć:
$$\frac{150}{0,6}=250[kg]$$

Krok 3. Uzasadnienie, czy przewóz żwiru jest możliwy.
Musimy pamiętać, że przewiezienie żwiru będzie możliwe tylko wtedy, gdy zmieścimy się w objętości przyczepki, a waga nie przekroczy maksymalnego pułapu \(350kg\).

Pan Marek może przewieźć żwir w tej przyczepce, ponieważ objętość żwiru (\(150dm^3\)) nie przekracza objętości przyczepki (\(176,8dm^3\)), a jednocześnie masa towaru (\(250kg\)) nie przekroczy maksymalnego limitu (\(350kg\)).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz objętość przyczepki (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz masę suchego żwiru (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy Gdy obliczysz objętość przyczepki (patrz: Krok 1.) oraz masę suchego żwiru (patrz: Krok 2.), ale nie wykonasz uzasadnienia do zadania.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.