Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) – Matematyka – 2019 – Odpowiedzi

C

Krok 1. Obliczenie łącznej liczby uczniów.
Z diagramu możemy odczytać liczbę uczniów poszczególnych klas:
· klasa IV - \(30\) uczniów
· klasa V - \(15\) uczniów
· klasa VI - \(35\) uczniów
· klasa VII - \(45\) uczniów

Łącznie liczba uczniów jest zatem równa:
$$30+15+35+45=125$$

Krok 2. Ustalenie, która klasa stanowi \(28\%\) liczby uczestników.
\(28\%\) z liczby \(125\) to:
$$0,28\cdot125=35$$

\(35\) uczniów to liczba uczniów klas VI. To oznacza, że \(28\%\) uczestników obozu stanowią uczniowie klas szóstych.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Diagram musi sumować się do \(100\%\). Skoro więc biegi uprawia \(40\%\) uczniów, a rzuty \(28\%\), to skoki uprawia:
$$100\%-40\%-28\%=32\%$$

Tym samym skoki faktycznie są uprawiane przez większą liczbę osób niż rzuty, zatem zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Łączna liczba uczniów jest równa:
$$30+15+35+45=125$$

Skoro więc biegi trenuje \(40\%\) osób, a skoki \(32\%\), to liczba trenujących daną dyscyplinę wynosi:
· biegi: \(0,4\cdot125=50\)
· skoki: \(0,32\cdot125=40\)

To oznacza, że liczba trenujących biegi jest o \(10\) większa niż trenujących skoki, zatem zdanie jest prawdą.

B

Sprawdźmy jak wyglądają poszczególne zaokrąglenia liczby \(0,84631\).
· do części dziesiątych: \(0,8\)
· do części setnych: \(0,85\)
· do części tysięcznych: \(0,846\)
· do części dziesięciotysięcznych: \(0,8463\)

Wynika stąd, że najwyższy wynik dało zaokrąglenie do części setnych, czyli największą liczbę otrzymał Bartek.

B

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy.
Rowerzysta pokonywał trasę od godziny \(10:45\) aż do godziny \(14:05\), czyli zajęło mu to \(3\) godziny i \(20\) minut. Skoro godzina trwa \(60\) minut, to możemy zapisać, że czas jazdy trwał \(3\frac{1}{3}h\).

Krok 2. Obliczenie pokonanego dystansu.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\), który po przekształceniu możemy zapisać jako \(s=v\cdot t\). Podstawiając do tego wzoru dane \(v=15\frac{km}{h}\) oraz \(t=3\frac{1}{3}h\), otrzymamy:
$$s=15\frac{km}{h}\cdot3\frac{1}{3}h \\
s=50km$$

C

Wymnażając nawiasy i uważając na znaki, otrzymamy:
$$(x-2)(4x-3)-x(1-x)= \\
=4x^2-8x-3x+6-(x-x^2)= \\
=4x^2-11x+6-x+x^2= \\
=5x^2-12x+6$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obwód pierwszej figury będzie równy:
$$Obw_{I}=b+b+b+a+a+a+a+b+b+b \\
Obw_{I}=4a+6b$$

Obwód drugiej figury będzie równy:
$$Obw_{II}=a+b+b+b+a+b+b+b \\
Obw_{II}=2a+6b$$

To oznacza, że pierwsze zdanie jest fałszem, bo obwód I figury jest większy o \(2a\), a nie o \(2b\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Powinniśmy dostrzec, że każdy element układanki ma pole powierzchni równe \(3a^2\).


Druga figura składa się z czterech elementów, zatem jej pole będzie równe:
$$P=4\cdot3a^2 \\
P=12a^2$$

Zdanie jest więc prawdą.

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Dzieląc wydajność dużej pompy przez wydajność małej pompy otrzymamy:
$$24000:1200=20$$

To oznacza, że przez dużą pompę strażacką przepłynie \(20\) razy więcej litrów wody.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Mała pompa pracuje \(15\) godzin, a w ciągu \(1\) godziny pracy zużywa \(0,931\) litra paliwa. Zużycie paliwa wyniesie zatem:
$$15\cdot0,931=13,965$$

To oznacza, że mała pompa zużyje mniej niż \(14\) litrów paliwa.

C

Z treści zadania wynika, że liczby \(k, l, m\) oraz \(n\) są liczbami całkowitymi. Nie musi to oznaczać, że podziałka jest co 1 jednostkę, choć za chwilę sobie udowodnimy, że tak właśnie jest.

Wartość \(\sqrt{41}\) to nieco więcej niż \(\sqrt{36}\) (które jest równe \(6\)) i nieco mniej niż \(\sqrt{49}\) (które jest równe \(7\)). Wartość \(\sqrt{41}\) to w przybliżeniu coś w okolicy \(6,5\). Skoro tak i skoro jedna z podanych liczb jest równa \(0\), to znaczy, że podziałka jest na pewno równa \(1\) (gdyby było inaczej, to żadna z liczb \(k, l, m, n\) nie byłaby równa \(0\)).

To prowadzi nas do wniosku, że sytuacja na osi wygląda następująco:


W związku z tym liczbę \(0\) oznaczono na osi jako \(m\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Środek odcinka \(AB\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Podstawiając do tego wzoru współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), otrzymamy:
$$S=\left(\frac{2+4}{2};\frac{1+9}{2}\right) \\
S=\left(\frac{6}{2};\frac{10}{2}\right) \\
S=(3;5)$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Środek odcinka \(CD\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{C}+x_{D}}{2};\frac{y_{C}+y_{D}}{2}\right)$$

Podstawiając do tego wzoru współrzędne punktów \(C\) oraz \(D\), otrzymamy:
$$S=\left(\frac{-2+8}{2};\frac{5+5}{2}\right) \\
S=\left(\frac{6}{2};\frac{10}{2}\right) \\
S=(3;5)$$

Środek odcinka \(CD\) jest więc takie same współrzędne jak środek odcinka \(AB\), czyli zdanie jest prawdą.

C

Odcinek \(AB\) ma \(5\) jednostek (\(5\) kratek), natomiast odcinek \(AC\) ma długość \(8\) jednostek. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy więc zapisać, że:
$$5^2+8^2=|AC|^2 \\
25+64=|AC|^2 \\
|AC|^2=89 \\
|AC|=\sqrt{89} \quad\lor\quad |AC|=-\sqrt{89}$$

Długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(|AC|=\sqrt{89}\).

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie sumy wszystkich oczek na kostkach.
Na pojedynczej kostce mamy sześć ścianek z liczbami od \(1\) do \(6\). Suma oczek na każdej kostce jest więc równa:
$$1+2+3+4+5+6=21$$

Skoro mamy cztery kostki, to łączna suma oczek wyniesie:
$$4\cdot21=84$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z treści zadania wynika, że suma oczek na widocznych ściankach jest równa \(76\). To oznacza, że na niewidocznych ściankach liczba oczek wynosi:
$$84-76=8$$

Pierwsze zdanie jest więc fałszem, bo gdyby na niewidocznych ściankach było po jednym oczku, to mielibyśmy \(4\cdot1=4\) niewidoczne oczka, a mamy \(8\).

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą, bo możliwy jest wariant, w którym na jednej kostce jest \(5\) niewidocznych oczek, a na pozostałych trzech będziemy mieć wtedy po jednym niewidocznym oczku, gdyż \(5+1+1+1=8\).

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Wyznaczenie miar kątów w trójkątach.
Znamy dwie miary kątów w każdym z trójkątów. Policzmy zatem miary brakujących kątów:

Pierwszy trójkąt:
$$180°-80°-49°=51°$$

Drugi trójkąt:
$$180°-51°-49°=80°$$

To oznacza, że obydwa trójkąty mają kąty o miarach \(49°, 51°, 80°\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W trójkątach równoramiennych mamy parę kątów o jednakowej mierze (kąty przy podstawie mają tą samą miarę). W przypadku podanych trójkątów takiej sytuacji nie mamy (każdy kąt ma inną miarę), więc na pewno nie będą to trójkąty równoramienne. Zdanie jest więc fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy już, że obydwa trójkąty mają jednakowe miary kątów: \(49°, 51°, 80°\). To oznacza, że na pewno są to trójkąty podobne (cecha kąt-kąt-kąt), ale nie wiemy jeszcze, czy są przystające (czyli czy oprócz jednakowych kątów, mają one jeszcze jednakowe długości boków).

Spójrzmy na zaznaczone odcinki \(a\). Zarówno w jednym, jak i drugim trójkącie, odcinek \(a\) jest przy kątach o mierze \(49°\) oraz \(80°\). To pozwala nam stwierdzić, że te trójkąty są faktycznie przystające (cecha kąt-bok-kąt). Zdanie jest więc prawdą.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zwróćmy uwagę, że podany trójkąt jest równoramienny (bo ramiona \(AC\) oraz \(BC\) są jednakowej długości). Skoro tak, to wysokość \(CD\) podzieli nam trójkąt na dwa identyczne trójkąty prostokątne (wysokość trójkąta równoramiennego zawsze dzieli podstawę na dwie równe części). Oznaczmy więc podstawę trójkąta jako \(x\), a ramiona jako \(y\), otrzymując taką oto sytuację:


Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest na pewno fałszem. Trójkąt \(BCD\) musi mieć taki sam obwód jak trójkąt \(ACD\), gdyż są to trójkąty przystające, zatem obwód trójkąta \(BCD\) jest równy \(24cm\).

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Podstawa ma długość \(\frac{1}{2}x\), druga przyprostokątna ma długość \(h\), a przeciwprostokątna to \(y\). Czyli:
$$\frac{1}{2}x+y+h=24$$

Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Tutaj obwód jest równy \(36 cm\), czyli zgodnie z oznaczeniami na rysunku:
$$x+2y=36$$

Jeżeli podzielimy obydwie strony tego równania przez \(2\), to otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x+y=18$$

Podstawiając teraz równanie \(\frac{1}{2}x+y=18\) do obwodu trójkąta \(ACD\), otrzymamy:
$$18+h=24 \\
h=6$$

Zdanie jest więc prawdą.

C

Z przedstawionej siatki wynika, że mamy tutaj prostopadłościan o wymiarach \(3\times4\times5\). W prostopadłościanie mamy \(12\) krawędzi: po \(4\) krawędzie o długości \(3\), \(4\) oraz \(5\), zatem suma ich długości wyniesie:
$$4\cdot3+4\cdot4+4\cdot5=12+16+20=48$$

B

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pierwszej bryły.
Każdy mały sześcian ma krawędź o długości \(1cm\), zatem pole pojedynczej ścianki sześcianu będzie równe \(1cm^2\).

Spójrzmy teraz na naszą pierwszą bryłę. Frontowa ściana składa się z sześciu "kwadracików", więc jej pole będzie równe \(6cm^2\). Analogicznie boczna część będzie miała \(2cm^2\), a górna \(3cm^2\). Każda z wymienionych ścian wystąpi podwójnie (pamiętaj o tych ściankach, których nie widać). Możemy więc powiedzieć, że pole powierzchni pierwszej bryły to:
$$P_{c1}=2\cdot6+2\cdot2+2\cdot3 \\
P_{c1}=12+4+6 \\
P_{c1}=22[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni drugiej bryły.
Podobnie przeanalizujmy drugą bryłę. Frontowa ściana ma \(4cm^2\). Boczne ściany będą miały po \(2cm^2\), a od góry mamy \(3cm^2\). I tu podobnie, tak się składa, że niewidoczne ścianki będą miały jednakowe pola powierzchni, zatem pole powierzchni drugiej bryły to:
$$P_{c2}=2\cdot4+2\cdot2+2\cdot3 \\
P_{c2}=8+4+6 \\
P_{c2}=18[cm^2]$$

Pole powierzchni drugiej bryły jest więc o \(4cm^2\) mniejsze.

\(48zł\)

Krok 1. Obliczenie ceny kwiatów.
Klient za kwiaty zapłacił:
$$3\cdot3zł+2\cdot8zł+5\cdot3zł= \\
=9zł+16zł+15zł=40zł$$

Krok 2. Obliczenie kwoty dodatków.
Dodatki będą kosztować \(20\%\) wartości kwiatów, czyli:
$$0,2\cdot40zł=8zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny całego bukietu.
Sumując kwiaty oraz dodatki wyjdzie nam, że bukiet kosztuje:
$$40zł+8zł=48zł$$

Pan Jan wybrał \(15\) banknotów \(100\)-złotowych.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba banknotów \(100zł\)
\(22-x\) - liczba banknotów \(200zł\)

Możemy więc powiedzieć, że:
\(100\cdot x\) - kwota złożona z banknotów \(100zł\)
\(200\cdot(22-x)\) - kwota złożona z banknotów \(200zł\)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma pieniędzy wybranych z bankomatu wynosi \(2900zł\), zatem możemy zapisać, że:
$$100\cdot x+200\cdot(22-x)=2900 \\
100x+4400-200x=2900 \\
-100x=-1500 \\
x=15$$

To oznacza, że pan Jan wybrał \(15\) banknotów \(100\)-złotowych.

Uzasadniono, korzystając z własności trójkątów równoramiennych oraz kątów przyległych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy na rysunku kąty proste oraz oznaczmy miejsce przecięcia się wysokości jako punkt \(S\):


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ECB\) oraz \(CSD\).
Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, zatem wysokość \(CE\) dzieli nam kąt \(ACB\) na dwie równe części. To prowadzi nas do wniosku, że kąt \(ECB\) ma także miarę \(20°\).

Spójrzmy teraz na trójkąt \(SDC\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, zatem kąt \(CSD\) będzie mieć miarę:
$$180°-90°-20°=70°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Kąty \(CSD\) oraz poszukiwany kąt \(\alpha\) to kąty przyległe, zatem łączna miara tych dwóch kątów jest równa \(180°\). Skoro tak, to:
$$\alpha=180°-70°=110°$$

Janek kupił \(2\) bilety ulgowe i \(10\) biletów normalnych.

Krok 1. Obliczenie ceny biletu ulgowego.
Skoro cena biletu ulgowego stanowi \(\frac{5}{9}\) ceny biletu normalnego, to bilet ulgowy kosztuje:
$$\frac{5}{9}\cdot45zł=25zł$$

Krok 2. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba zakupionych biletów ulgowych
\(5x\) - liczba zakupionych biletów normalnych

Skoro bilet ulgowy kosztuje \(25zł\), a normalny \(45zł\), to możemy zapisać, że:
\(25\cdot x\) - tyle złotych zapłacono za bilety ulgowe
\(45\cdot5x=225x\) - tyle złotych zapłacono za bilety normalne

Krok 3. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Wiemy, że za wszystkie bilety zapłacono \(500zł\), a skoro tak, to powstanie nam do rozwiązania następujące równanie:
$$25x+225x=500 \\
250x=500 \\
x=2$$

Krok 4. Ustalenie liczby biletów ulgowych i normalnych.
Otrzymaliśmy wynik \(x=2\). Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami wiemy już zatem, że biletów ulgowych kupiono dwie sztuki. Musimy jeszcze ustalić, ile było biletów normalnych. Tych jest pięć razy więcej niż ulgowych, czyli będzie ich \(5\cdot2=10\).

\(Obw=42\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Małe prostokąty są przystające, czyli mówiąc wprost - każdy z nich ma te same wymiary. Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że dłuższy bok prostokąta ma miarę trzy razy większą od krótszego boku:


Krok 2. Obliczenie długości krótszego boku prostokąta.
Z rysunku wynika, że suma dłuższego i krótszego boku prostokąta ma łącznie długość \(8,4\). Stosując zatem nasze oznaczenia, możemy zapisać, że:
$$3x+x=8,4 \\
4x=8,4 \\
x=2,1$$

To oznacza, że krótszy bok prostokąta ma długość \(2,1\). Gdyby zaszła taka potrzeba, moglibyśmy przy okazji policzyć, że dłuższy bok prostokąta ma długość \(3\cdot2,1=6,3\).

Krok 3. Obliczenie obwodu dużego prostokąta.
Celem zadania jest obliczenie obwodu dużego prostokąta. Patrząc się na rysunek widzimy, że dolny bok prostokąta ma długość \(3x+x+x+x=6x\), a boczny bok ma długość \(3x+x=4x\) (lub po prostu \(8,4\), bo wynika to z rysunku). To oznacza, że obwód tej figury jest równy:
$$Obw=2\cdot6x+2\cdot4x \\
Obw=12x+8x \\
Obw=20x \\
Obw=20\cdot2,1 \\
Obw=42$$

\(Obw=12\sqrt{2}\)

Krok 1. Obliczenie długości przyprostokątnych trójkąta.
Trójkąt jest prostokątny równoramienny, czyli to tak naprawdę trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\). Z własności takich trójkątów wynika, że gdy przyprostokątne mają długość \(a\), to przeciwprostokątna ma długość \(a\sqrt{2}\). Możemy więc zapisać, że:
$$a\sqrt{2}=6\sqrt{2} \\
a=6$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta.
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest podstawą trójkąta, a druga jest jego wysokością. Możemy więc bez problemu obliczyć pole tej figury, korzystając ze standardowego wzoru na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6 \\
P=3\cdot6 \\
P=18$$

Krok 3. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z treści zadania wynika, że trójkąt i kwadrat mają jednakowe pole powierzchni. Pole kwadratu zapisalibyśmy jako \(P=x^2\), a skoro tak, to:
$$x^2=18 \\
x=\sqrt{18} \quad\lor\quad x=-\sqrt{18}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(x=\sqrt{18}\), co moglibyśmy jeszcze rozpisać jako \(x=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\).

Krok 4. Obliczenie obwodu kwadratu.
Celem naszego zadania jest obliczenie obwodu kwadratu, zatem:
$$Obw=4\cdot3\sqrt{2} \\
Obw=12\sqrt{2}$$