Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Wzór na \(n\)-ty (czyli dowolny) wyraz ciągu arytmetycznego ma postać:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

Z tego wzoru możemy wywnioskować, że znając wartość pierwszego wyrazu ciągu oraz znając różnicę ciągu, możemy w prosty sposób wyznaczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego.

Przykład 1. Wyznacz czwarty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że \(a_{1}=5\) oraz \(r=3\).

Wiemy, że \(a_{1}=5\) oraz \(r=3\). Skoro szukamy wartości czwartego wyrazu to do wzoru będziemy podstawiać jeszcze \(n=4\), zatem:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{4}=a_{1}+(4-1)\cdot r \\
a_{4}=a_{1}+3\cdot r \\
a_{4}=5+3\cdot3 \\
a_{4}=5+9 \\
a_{4}=14$$

Przykład 2. Wyznacz piętnasty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że \(a_{1}=20\) oraz \(r=-2\).

Zadanie bardzo podobne do poprzedniego, tylko mamy inne dane. Tym razem szukamy wartości piętnastego wyrazu, czyli \(n=15\), zatem:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{15}=a_{1}+(15-1)\cdot r \\
a_{15}=a_{1}+14\cdot r \\
a_{15}=20+14\cdot(-2) \\
a_{15}=20-28 \\
a_{15}=-8$$

Przykład 3. Wyznacz wartość różnicy ciągu arytmetycznego, wiedząc że pierwszy wyraz ciągu jest równy \(6\), a jedenasty wyraz ciągu jest równy \(36\).

Nadal będziemy korzystać z tego samego wzoru z tą tylko różnicą, że tym razem naszą niewiadomą jest wartość różnicy ciągu arytmetycznego, czyli \(r\). Podstawiając do wzoru \(a_{1}=6\), \(a_{11}=36\) oraz \(n=11\) otrzymamy:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{11}=a_{1}+(11-1)\cdot r \\
a_{11}=a_{1}+10\cdot r \\
36=6+10r \\
30=10r \\
r=3$$

Przykład 4. Oblicz wartość pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, wiedząc że \(a_{9}=60\) oraz \(r=5\).

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{9}=a_{1}+(9-1)\cdot r \\
a_{9}=a_{1}+8\cdot r \\
60=a_{1}+8\cdot5 \\
60=a_{1}+40 \\
a_{1}=20$$

Wszystkie powyższe zadania opierały się tak naprawdę na tym, by podstawić do wzoru odpowiednie dane. Nie było w tym nic trudnego, wszak zawsze znaliśmy potrzebne dane. Czasem jednak trafimy na pewną trudność, która utrudnia nam wykonanie obliczeń, a mianowicie poproszą nas o wyznaczenie wartości np. dziesiątego wyrazu, ale zamiast wartości pierwszego wyrazu (która jest niezbędna do podstawienia do tego wzoru) podana nam zostanie wartość innego wyrazu np. trzeciego lub piątego. Co w takiej sytuacji należałoby zrobić? Są w zasadzie dwa wyjścia:
1. Możemy próbować obliczyć wartość pierwszego wyrazu – czasem jest to nawet całkiem proste, bo jak przykładowo podadzą nam informację, że różnica ciągu jest równa \(3\), a wartość drugiego wyrazu wynosi \(7\), no to nawet na logikę jesteśmy w stanie stwierdzić, że \(a_{1}=7-3=4\). W trudniejszych sytuacjach możemy wykonać obliczenia dokładnie takie jak w czwartym zadaniu, wyznaczając w ten sposób wartość pierwszego wyrazu, co z kolei pozwoli nam potem obliczyć dowolny wyraz.
2. Możemy skorzystać ze sprytnego wzoru, który jest tak naprawdę udoskonaleniem tego wzoru który już znamy. Jeżeli musimy obliczyć \(n\)-ty wyraz ciągu znając \(k\)-ty wyraz oraz różnicę \(r\), to możemy skorzystać ze wzoru:
$$a_{n}=a_{k}+(n-k)\cdot r$$

Zróbmy zatem przykładowe zadanie i rozwiążmy je jednym i drugim sposobem.

Przykład 5. Oblicz wartość trzynastego wyrazu ciągu arytmetycznego, wiedząc że \(a_{5}=17\) oraz \(r=3\).

Tak jak wspomniałem, zrobimy sobie to zadanie na dwa sposoby:
I sposób: Obliczając najpierw wartość \(a_{1}\).
Do wyliczenia wartości pierwszego wyrazu skorzystamy z wiedzy o tym jaka jest wartość piątego wyrazu \(a_{5}=17\) oraz jaka jest różnica tego ciągu, czyli \(r=3\):
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{5}=a_{1}+(5-1)\cdot r \\
a_{5}=a_{1}+4\cdot r \\
17=a_{1}+4\cdot3 \\
17=a_{1}+12 \\
a_{1}=5$$

Teraz znając wartość pierwszego wyrazu oraz znając różnicę ciągu możemy obliczyć wartość trzynastego wyrazu, korzystając cały czas z tego samego wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{13}=a_{1}+(13-1)\cdot r \\
a_{13}=a_{1}+12\cdot r \\
a_{13}=5+12\cdot3 \\
a_{13}=41$$

II sposób: Korzystając z ulepszonego wzoru.
Dla przypomnienia – chcąc policzyć \(n\)-ty wyraz mając podany \(k\)-ty wyraz oraz różnicę \(r\), możemy zastosować wzór:
$$a_{n}=a_{k}+(n-k)\cdot r$$

Poszukujemy wartość trzynastego wyrazu, więc \(n=13\), mamy podany piąty wyraz więc \(k=5\), no i znamy różnicę, czyli \(r=3\). Teraz wystarczy już tylko podstawić te dane do powyższego wzoru:
$$a_{13}=a_{5}+(13-5)\cdot r \\
a_{13}=a_{5}+8\cdot r \\
a_{13}=17+8\cdot3 \\
a_{13}=17+24 \\
a_{13}=41$$

W obydwu sposobach wyszła nam oczywiście taka sama odpowiedź.

Zobacz też: Ciąg arytmetyczny

Dodaj komentarz