Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) – Matematyka – 2020 – Odpowiedzi

C

Policzmy wszystkie wydatki po kolei, zaczynając od gry rodzinnej. Janek wypożyczył ją na siedem dni, czyli według cennika zapłacił za nią \(4zł\) za pierwsze trzy dni oraz \(4\cdot1zł=4zł\) za cztery pozostałe dni. Łączny koszt wypożyczenia wyniósł więc:
$$4zł+4zł=8zł$$

Za trzy pierwsze dni koszt wypożyczenia gry logicznej wynosi \(6zł\), a za cztery kolejne dni \(4\cdot2zł=8zł\). Musimy pamiętać, że Janek wypożyczył dwie takie gry, zatem koszt ich wypożyczenia wynosi:
$$2\cdot(6zł+8zł)=2\cdot14zł=28zł$$

Łączny koszt wypożyczenia wszystkich gier wyniósł zatem:
$$8zł+28zł=36zł$$

D

Obliczmy po kolei wartość każdego z podanych wyrażeń:
I. \(75,5\cdot2-7\cdot6,99=151-48,93=102,07\)
II. \((4,6+5,5)\cdot10=10,1\cdot10=101\)
III. \(0,26\cdot400=104\)

Widzimy, że wszystkie wyrażenia mają wartość większą od \(100\).

C

Cena o \(15\%\) niższa stanowi \(85\%\) ceny podstawowej. To oznacza, że po obniżce książka kosztuje:
$$0,85\cdot45zł=38,25zł$$

A

Do zadania możemy podejść na różne sposoby. Przykładowo, można byłoby zamienić wszystkie ułamki zwykłe na dziesiętne i sprawdzić, która odpowiedź będzie tą prawidłową. Można też rozszerzyć wszystkie ułamki do jednakowego mianownika i wtedy porównywać liczniki ułamków - w ten sposób też dojdziemy do poprawnej odpowiedzi. Nie mniej jednak najszybszym sposobem będzie dostrzeżenie, że ułamek \(-\frac{2}{6}\) to tak naprawdę \(-\frac{1}{3}\). Szukamy więc ułamka, który na osi liczbowej znajduje się między \(-\frac{1}{3}\) oraz \(-\frac{1}{6}\). Takimi ułamkami będą chociażby \(-\frac{1}{4}\) czy też \(-\frac{1}{5}\) i to właśnie ten pierwszy ułamek znalazł się w jednej z odpowiedzi.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\), który od razu możemy przekształcić do postaci \(s=v\cdot t\).

Obliczmy najpierw trasę pokonaną przez piechura. Od godziny \(8:00\) do godziny \(10:30\) mija \(2,5\) godziny, czyli czas piechura możemy zapisać jako \(t=2,5h\). Piechur porusza się z prędkością \(v=4\frac{km}{h}\), zatem:
$$s=v\cdot t \\
s=4\frac{km}{h}\cdot2,5h \\
s=10km$$

I analogicznie zróbmy obliczenia dla kolarza. Od godziny \(10:00\) do godziny \(10:30\) mija \(0,5\) godziny, czyli czas kolarza możemy zapisać jako \(t=0,5h\). Kolarz porusza się z prędkością \(v=16\frac{km}{h}\), zatem:
$$s=v\cdot t \\
s=16\frac{km}{h}\cdot0,5h \\
s=8km$$

To oznacza, że piechur i kolarz pokonali łącznie \(10km+8km=18km\). Skoro początkowo dzielił ich dystans \(48km\), to faktycznie o godzinie \(10:30\) dzieliła ich droga o długości \(48km-18km=30km\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
O godzinie \(12:00\) piechur będzie miał czas podróży \(t=4h\), natomiast kolarz \(t=2h\). Sprawdźmy zatem ile kilometrów pokonają, zaczynając od piechura:
$$s=v\cdot t \\
s=4\frac{km}{h}\cdot4h \\
s=16km$$

Tak samo obliczymy trasę pokonaną przez kolarza:
$$s=v\cdot t \\
s=16\frac{km}{h}\cdot2h \\
s=32km$$

Łącznie pokonają więc \(16km+32km=48km\), czyli dokładnie tyle, ile wynosiła początkowa odległość między piechurem i kolarzem. Drugie zdanie jest więc prawdą.

A

\(44\%\) uczniów ma siostrę i \(72\%\) uczniów ma brata. Sumując te procenty otrzymamy \(44\%+72\%=116\%\). To sugeruje nam, że \(16\%\) osób ma i siostrę, i brata.

Z treści zadania wynika, że siostrę i brata ma \(4\) uczniów. Możemy zatem ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(16\%\) uczniów to \(4\) osoby
Więc \(4\%\) uczniów to \(1\) osoba
Zatem \(100\%\) uczniów to \(25\) osób

To oznacza, że w ankiecie wzięło udział \(25\) osób.

C

Nasze zadanie polega na przekształceniu wzoru, zatem zaczynając od wymnożenia obydwu stron przez \(2\), otrzymamy:
$$s=\frac{at^2}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
2s=at^2 \\
a=\frac{2s}{t^2}$$

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Dzieląc potęgi o jednakowym wykładniku, musimy wykonać odejmowanie wykładników, zatem:
$$(-2)^4:(-2)^3=(-2)^{4-3}=(-2)^1=-2$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Mnożąc potęgi o jednakowym wykładniku, musimy wykonać dodawanie wykładników, zatem:
$$(-2)^2\cdot(-2)^3=(-2)^{2+3}=(-2)^5$$

A, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Aby obliczyć wartość tego pierwiastka, musimy najpierw wykonać dodawanie pod pierwiastkiem, a dopiero potem obliczyć jego wartość, zatem:
$$\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2. Rozwiązanie pierwszej drugiej zadania.
I tu podobnie jak przed chwilą - najpierw musimy wykonać dodawanie pod pierwiastkiem, zatem:
$$\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$

D

Zwróć uwagę, że diagramy pokazują liczbę uczniów (a nie procent). Musimy zatem obliczyć ilu uczniów przemieszczało się poszczególnymi środkami transportu. Skoro wszystkich uczniów jest 180, to korzystając z danych z treści zadania możemy obliczyć, że:
· tramwajem dojeżdża \(0,3\cdot180=54\) uczniów
· autobusem dojeżdża \(\frac{1}{4}\cdot180=45\) uczniów
· rowerem dojeżdża \(0,2\cdot180=36\) uczniów
· samochodem dojeżdża \(180-54-45-36=45\) uczniów

Taka sytuacja została zaprezentowana na czwartym diagramie.

B

Wystarczy zauważyć, że trasa na rysunku B jest trasą po "jednej ściance" sześcianu. Taka trasa nam nie pasuje, bo widzimy wyraźnie, że mrówka musiała przejść przez co najmniej dwie ścianki. To sugeruje nam, że to właśnie tutaj zaznaczona jest błędna trasa.

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Przyjmując, że \(C\) to chłopiec, a \(D\) to dziewczyna, dzieci z klasy 8a stałyby w takim oto szeregu (pamiętaj, że szereg musi zaczynać i kończyć chłopiec):
$$C-D-C-D-...-C-D-C$$

Teraz do zadania możemy podejść na różne sposoby, ale warto zauważyć, że w tym zestawie każda dziewczyna może stworzyć parę z chłopcem i na koniec takiego parowania zostanie nam jeden chłopiec bez pary. Obrazowo wyglądałoby to w ten sposób:
$$CD-CD-...-CD-C$$

W ten sposób wyraźnie widać, że skoro jest \(12\) dziewcząt, to chłopców będzie \(13\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Bardzo podobnie przeanalizujemy sobie klasę 8b. Z treści zadania wynika, że mamy tutaj o \(2\) chłopców mniej niż w klasie 8a, więc tych chłopców jest:
$$13-2=11$$

Tym razem dzieci ustawione są w szeregu, który zaczyna się i kończy dziewczyną:
$$D-C-D-C-....-D-C-D$$

Możemy dla pewności obliczeń połączyć jeszcze dzieci w pary:
$$DC-DC-....-DC-D$$

Teraz widzimy wyraźnie, że skoro w tej klasie jest \(11\) chłopców, to będziemy mieć \(12\) dziewczyn. Łącznie jest to więc \(11+12=23\) uczniów.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy sobie wysokość trapezu jako \(h\). Aby powstały nam dwa trójkąty prostokątne równoramienne, to sytuacja z treści zadania musi wyglądać następująco:


Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z rysunku jasno wynika, że aby powstały nam dwa trójkąty prostokątne równoramienne, to faktycznie wysokość trapezu i krótsza podstawa muszą mieć tą samą długość. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
To zdanie będzie prawdą. Jak to udowodnić? Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Jest to trójkąt prostokątny o kątach \(45°, 45°, 90°\), zatem długość przekątnej trapezu będzie mieć długość \(h\sqrt{2}\). Ta sama długość musi być też długością ramienia \(BC\) (bo ma powstać nam trójkąt prostokątny równoramienny). W takim razie podstawa \(AB\) jest przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego \(ABC\), który także jest trójkątem o kątach \(45°, 45°, 90°\). Jego długość będzie więc \(\sqrt{2}\) razy większa od długości przyprostokątnych, zatem:
$$|AB|=h\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \\
|AB|=2h$$

Na rysunku wyglądałoby to następująco:


W ten oto sposób widzimy, że wysokość trapezu stanowi połowę dłuższej podstawy trapezu, stąd zdanie jest prawdą.

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro mamy trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów ostrych ma \(30°\), to wiemy już, że mówimy o charakterystycznym trójkącie o kątach \(30°, 60°, 90°\). Krótsza przyprostokątna to ta, która leży przy kącie o mierze \(30°\) (oznaczamy ją zwyczajowo jako \(a\)). Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie długości dłuższej przyprostokątnej.
Z treści zadania wynika, że suma długości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej jest równa \(12 cm\). Zgodnie z oznaczeniami na rysunku możemy więc zapisać, że:
$$a+2a=12cm \\
3a=12cm \\
a=4cm$$

Dłuższa przyprostokątna ma długość \(a\sqrt{3}\), zatem będzie miała ona miarę:
$$b=4\sqrt{3}cm$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Odcinek \(AC\) jest opisany jako \(x-4\), natomiast \(CD\) jest opisany jako \(x-7\). Widzimy więc, że zdanie jest fałszem, ponieważ różnica między tymi odcinkami wynosi \(3\) jednostki (bo \(7-4=3\)), a nie \(4\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(31\), to sumując boki trójkąta, otrzymamy następujące równanie:
$$x+(x-4)+(x-4)=31 \\
x+x-4+x-4=31 \\
3x-8=31 \\
3x=39 \\
x=13$$

Obwód trójkąta \(ACD\) jest równy:
$$Obw_{ACD}=(x-4)+(x-7)+(x-5) \\
Obw_{ACD}=x-4+x-7+x-5 \\
Obw_{ACD}=3x-16$$

Skoro \(x=13\), to:
$$Obw_{ACD}=3\cdot13-16 \\
Obw_{ACD}=39-16 \\
Obw_{ACD}=23$$

Zdanie jest więc prawdą.

Udowodniono, korzystając z własności trójkątów równoramiennych oraz kątów przyległych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli odcinki \(AC\) i \(BC\) są równej długości, to trójkąt \(ABC\) jest równoramienny. W trójkątach równoramiennych kąty przy podstawie mają jednakową miarę, więc \(|\sphericalangle CAB|=\alpha\). Dodatkowo oznaczmy sobie kąt \(ACB\) jako \(\gamma\) i mamy taką oto sytuację:


Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro suma miar kątów w trójkącie \(ACB\) jest równa \(180°\), a kąty przy podstawie mają miarę \(\alpha\), to:
$$2\alpha+\gamma=180°$$

Do miary kąta \(ACB\) możemy też podejść z innej perspektywy. Kąt \(\beta\) oraz kąt \(ACB\) są kątami przyległymi. To prowadzi nas do wniosku, że:
$$\beta+\gamma=180°$$

Porównując teraz otrzymane dwa zapisy wyjdzie nam, że:
$$2\alpha+\gamma=\beta+\gamma \\
2\alpha=\beta \\
\alpha=\frac{1}{2}\beta$$

W ten sposób udało nam się wykazać, że kąt \(\alpha\) stanowi połowę miary kąta \(\beta\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz równanie typu \(\beta=180°-2\alpha\) lub \(\alpha+\alpha+\gamma=\beta+\gamma\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(|BE|=4\)

Krok 1. Obliczenie pola trapezu.
Korzystając ze wzoru na pole trapezu możemy zapisać, że:
$$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(7+5)\cdot3 \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot3 \\
P_{ABCD}=6\cdot3 \\
P_{ABCD}=18$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BE\).
Pole trójkąta \(BEC\) jest trzy razy mniejsze, czyli \(P_{BEC}=18:3=6\). Skoro tak, to:
$$P_{BEC}=\frac{1}{2}ah \\
6=\frac{1}{2}\cdot|BE|\cdot3 \\
6=1,5|BE| \\
|BE|=4$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie, pozwalające obliczyć długość odcinka \(BE\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(BEC\), które jest równe \(6\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

8a otrzyma \(576zł\), natomiast 8b otrzyma \(504zł\).

Łącznie w obydwu klasach liczba uczniów wynosi:
$$32+28=60$$

Skoro mamy \(1080zł\) do podziału pomiędzy \(60\) uczniów, to na każdego ucznia przypada:
$$1080zł:60=18zł$$

To oznacza, że klasa 8a otrzyma:
$$32\cdot18zł=576zł$$

Natomiast 8b otrzyma:
$$28\cdot18zł=504zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz kwotę przypadającą na jedną osobę.
ALBO
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia kwoty, którą otrzyma jedna z klas, ale np. popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Można kupić \(9\) myszek bezprzewodowych.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena myszki przewodowej
\(x+11\) - cena muszki bezprzewodowej

Krok 2. Obliczenie ceny myszki bezprzewodowej.
Zakupiono \(6\) myszek bezprzewodowych i \(6\) myszek przewodowych i wydano na nie \(234zł\). Możemy więc ułożyć następujące równanie:
$$6\cdot x+6\cdot(x+11)=234 \\
6x+6x+66=234 \\
12x=168 \\
x=14$$

Wiemy więc, że myszka przewodowa kosztuje \(14zł\), czyli tym samym myszka bezprzewodowa kosztuje \(14zł+11zł=25zł\).

Krok 3. Ustalenie, ile myszek bezprzewodowych można zakupić.
Celem naszego zadania jest obliczenia jaka jest maksymalna liczba myszek bezprzewodowych, które można zakupić za podaną kwotę. Skoro mamy do wydania \(234zł\), a myszka bezprzewodowa kosztuje \(25zł\), to takich myszek możemy zakupić:
$$234:25=9,36\approx9$$

To oznacza, że można kupić \(9\) myszek bezprzewodowych.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia ceny myszki bezprzewodowej lub przewodowej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz łączny koszt zakupu myszki bezprzewodowej i przewodowej.
2 pkt
• Gdy obliczysz cenę myszki bezprzewodowej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia liczby myszek bezprzewodowych, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{c}=502\)

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni całkowitego pojedynczego prostopadłościanu.
Możemy oczywiście liczyć pole powierzchni całkowitej fragmentami (dodając pola poszczególnych ścian i ich wycinków), aczkolwiek istnieje nieco sprytniejszy sposób. Pole powierzchni całkowitej tej sklejonej bryły będzie równa polu powierzchni dwóch naszych prostopadłościanów, a całość będzie pomniejszona o pole dwóch ścian (a w zasadzie o jedną całą ścianę i jeden jej fragment), które się ze sobą stykają.

Pole powierzchni pojedynczego prostopadłościanu jest równe:
$$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc) \\
P_{c}=2\cdot(5\cdot7+5\cdot9+7\cdot9) \\
P_{c}=2\cdot(35+45+63) \\
P_{c}=2\cdot143 \\
P_{c}=286$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej powstałej bryły.
Mamy dwa takie prostopadłościany, zatem suma ich pól powierzchni będzie równa \(2\cdot286cm^2=572cm^2\).

Od sumy pól powierzchni dwóch prostopadłościanów musimy odjąć dwa pola powierzchni o wymiarach \(5cm\times7cm\), którymi sklejone są te dwie bryły. Pole powierzchni naszej bryły będzie więc równe:
$$P_{c}=572-2\cdot5\cdot7 \\
P_{c}=572-70 \\
P_{c}=502$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia pola powierzchni prostopadłościanu o bokach \(5cm\), \(7cm\) oraz \(9cm\).
2 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia pola powierzchni całej bryły, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Pensja Pani Marii wzrosła o \(5\%\).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wypiszmy kluczowe informacje zawarte w zadaniu:
\(x\) - miesięczna pensja (przez pierwsze 9 miesięcy)
\(3780\) - miesięczna pensja (przez pozostałe 3 miesiące roku)

Krok 2. Obliczenie miesięcznej pensji (od stycznia do września).
Skoro przez \(9\) miesięcy Pani Maria otrzymywała pensję \(x\), a przez \(3\) miesiące pensję \(3780zł\) i w ciągu roku dało to łącznie \(43740zł\), to:
$$9x+3\cdot3780=43740 \\
9x+11340=43740 \\
9x=32400 \\
x=3600$$

Krok 3. Obliczenie procentowego wzrostu pensji.
Skoro Pani Maria zarabia teraz \(3780zł\), a zarabiała \(3600zł\), to jej pensja wzrosła o:
$$3780-3600=180$$

Musimy teraz obliczyć, o ile procent wzrosła miesięczna pensja. Skoro Pani Maria zarabiała \(3600zł\) i od tej kwoty dostała \(180zł\) podwyżki, to ta podwyżka stanowi:
$$\frac{180}{3600}\cdot100\%=5\%$$

To oznacza, że pensja Pani Marii wzrosła o \(5\%\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia wysokości miesięcznych zarobków w 9 początkowych miesiącach (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia podwyżki zarobków w ostatnim kwartale roku, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.