Rozwiąż nierówność (2x-3)^2-4≥0

Rozwiąż nierówność \((2x-3)^2-4\ge0\).

Rozwiązanie

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy doprowadzić tę nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$4x^2-12x+9-4\ge0 \\
4x^2-12x+5\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=4,\;b=-12,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot4\cdot5=144-80=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-8}{2\cdot4}=\frac{12-8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+8}{2\cdot4}=\frac{12+8}{8}=\frac{20}{8}=2\frac{1}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\frac{1}{2}\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy parabolę:
matura z matematyki

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle\cup\langle2\frac{1}{2};+\infty)$$

Odpowiedź

\(x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle\cup\langle2\frac{1}{2};+\infty)\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments