Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) – Matematyka – 2022 – Odpowiedzi

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Wyznaczenie liczby osób ankietowanych.
Sumując liczbę osób, które wskazały poszczególne odpowiedzi, możemy stwierdzić, że liczba osób biorących udział w ankiecie wynosi:
$$4+7+5+12=28$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zimę wybrało \(7\) osób spośród \(28\) ankietowanych, co stanowi:
$$\frac{7}{28}=\frac{1}{4}=25\%$$

To oznacza, że pierwsze zdanie jest fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Lato wybrało \(12\) osób spośród \(28\) ankietowanych, co stanowi:
$$\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$$

To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia.
\(x\) - wiek córki
\(4x\) - wiek mamy

Suma wieku córki i mamy wynosi \(60\), zatem:
$$x+4x=60 \\
5x=60 \\
x=12$$

Wiek mamy to \(4x\), zatem będzie miała ona \(4\cdot12=48\) lat.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
W poprzednim kroku obliczyliśmy, że \(x=12\), czyli że córka ma \(12\) lat. To oznacza, że za \(8\) lat jej wiek będzie równy:
$$12+8=20$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(y\).
Z treści zadania wynika, że liczba \(y\) jest o \(0,5\) większa od \(\left(-\frac{5}{6}\right)\), zatem:
$$y=-\frac{5}{6}+0,5 \\
y=-\frac{5}{6}+\frac{1}{2} \\
y=-\frac{5}{6}+\frac{3}{6} \\
y=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(x\).
Z treści zadania wynika, że liczba \(x\) jest o \(0,5\) mniejsza od \(\left(-\frac{5}{6}\right)\), zatem:
$$x=-\frac{5}{6}-0,5 \\
x=-\frac{5}{6}-\frac{1}{2} \\
x=-\frac{5}{6}-\frac{3}{6} \\
x=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$$

D

Korzystając z działań arytmetycznych możemy zapisać, że:
$$-2(x-1)-3(2-x)=0 \\
-2x+2-(6-3x)=0 \\
-2x+2-6+3x=0 \\
x-4=0 \\
x=4$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie trwania pojedynczego odstępu na osi czasu.
Z treści zadania wynika, że w Iławie Maciek czekał \(50\) minut. Na osi czasu zostało to oznaczone za pomocą pięciu jednakowych odstępów. To oznacza, że pojedynczy odstęp będzie symbolizował \(50:5=10\) minut.

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Przejazd z Iławy do Grudziądza oznaczony został za pomocą sześciu odstępów na osi czasu. Skoro pojedynczy odstęp to \(10\) minut, to znaczy, że ten przejazd trwał \(6\cdot10=60\) minut, czyli godzinę. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Na osi mamy \(20\) jednakowych odstępów, a każdy symbolizuje \(10\) minut. To oznacza, że cała trasa zajęła Maćkowi \(20\cdot10=200\) minut, czyli \(3\) godziny i \(20\) minut.

Skoro Maciej wyruszył o \(14:50\), a pokonanie trasy zajęło \(3\) godziny i \(20\) minut, to przyjechał on do Grudziądza o godzinie \(18:10\). Zdanie jest więc prawdą.

C

Spróbujmy oszacować wartości każdej z liczb.

Liczba \(g\):
Wiemy, że \(\sqrt{121}=11\). W takim razie \(\sqrt{120}\) musi być liczbą mniejszą niż \(11\).

Liczba \(h\):
Wiemy, że \(\sqrt{16}=4\). W takim razie \(\sqrt{17}\) to nieco więcej niż \(4\). To oznacza, że \(8+\sqrt{17}\) to "\(8\) plus nieco więcej niż \(4\)", czyli da to sumę nieco większą niż \(12\).

Liczba \(k\):
Wiemy, że \(\sqrt{4}=2\), więc \(\sqrt{3}\) to nieco mniej niż \(2\). To oznacza, że \(9+\sqrt{3}\) to "\(9\) plus nieco mniej niż \(2\)", czyli da to sumę nieco mniejsza niż \(11\).

To oznacza, że liczbami mniejszymi od \(11\) są \(g\) i \(k\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z zapisanej postaci wynika, że dzieląc liczbę \(404\) przez \(19\) otrzymamy wynik równy \(21\) i zostanie nam jeszcze \(5\) reszty. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Jeżeli liczbę \(404\) pomniejszymy o \(5\), to zgodnie z podanym zapisem otrzymamy iloczyn \(21\cdot19\), który świadczy o tym, że liczba będzie podzielna przez \(21\) (wynikiem takiego dzielenia byłoby wtedy \(19\)). Zdanie jest więc prawdą.

B

Liczby dwucyfrowe mniejsze od \(40\) to liczby od \(10\) do \(39\) włącznie. Wypiszmy teraz, które z tych liczb będą podzielne przez \(3\):
$$12,15,18,21,24,27,30,33,36,39$$

Z podanych liczb interesują nas tylko te, których suma cyfr jest większa od \(7\), czyli będą to liczby:
$$18,27,36,39$$

Łącznie są to więc \(4\) liczby.

B

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena wycieczki przed obniżką
\(x-0,2x=0,8x\) - cena wycieczki po obniżce o \(20\%\)

Skoro po obniżce koszt wycieczki wyniósł \(1500 zł\), to:
$$0,8x=1500zł \\
x=1875zł$$

C

Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$3^5\cdot9^6=3^5\cdot(3^2)^6=3^5\cdot3^{2\cdot6}=3^5\cdot3^{12}=3^{5+12}=3^{17}$$

A

Nasze zadanie polega na przekształceniu podanego wzoru. Zaczynając od obustronnego odjęcia \(P_{b}\), otrzymamy:
$$P_{c}=2P_{p}+P_{b} \\
P_{c}-P_{b}=2P_{p} \\
P_{p}=\frac{P_{c}-P_{b}}{2}$$

B. 3,

Aby podane wielokąty mogły być bokami ostrosłupa, to podstawy trójkątów musiałyby być takie same jak boki prostokąta (i ten warunek jest akurat spełniony), a dodatkowo długości ramion tych trójkątów musiałyby mieć pary boków o jednakowej długości (i ten warunek nie został spełniony, przez co siatka graniastosłupa nam się nie domknie). To oznacza, że prawidłową odpowiedzią będzie "Nie, ponieważ ramiona trójkąta \(T_{1}\) mają inną długość niż ramiona trójkąta \(T_{2}\)".

C

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Romb na cztery boki równej długości, zatem skoro jego obwód jest równy \(24 cm\), to każdy bok ma:
$$a=24cm:4 \\
a=6cm$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Pamiętając o tym, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i w połowie swojej długości, otrzymamy taką oto sytuację:


Można więc powiedzieć, że po dorysowaniu krótszej przekątnej powstały nam na rysunku dwa trójkąty równoboczne.

Krok 3. Obliczenie długości dłuższej przekątnej.
Z rysunku wynika, że do obliczenia długości dłuższej przekątnej przyda nam się wyznaczenie wysokości trójkąta równobocznego, który nam powstał. Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, możemy zapisać, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{6\sqrt{3}cm}{2} \\
h=3\sqrt{3}cm$$

Dłuższa przekątna będzie dwa razy dłuższa od wysokości takiego trójkąta (co widać na rysunku), czyli będzie miała ona długość:
$$2\cdot3\sqrt{3}cm=6\sqrt{3}cm$$

D

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\) oraz \(y\).
Leżące naprzeciw siebie długości boków prostokąta mają jednakowe miary. To pozwoli nam ułożyć dwa następujące równania, z których obliczymy wartości \(x\) oraz \(y\).

Pierwsza para boków:
$$x=27-2x \\
3x=27 \\
x=9$$

Druga para boków:
$$y=2y-3 \\
-y=-3 \\
y=3$$

Krok 2. Sprawdzenie, które z podanych równań jest niepoprawne.
Musimy sprawdzić, które z podanych równań jest niepoprawne. W tym celu najłatwiej będzie podstawić wyznaczone \(x=9\) oraz \(y=3\) do działań znajdujących się po lewej stronie równań i sprawdzić, czy otrzymany wynik jest identyczny jak w podanym równaniu. W związku z tym:

Odp. A.
$$x-y=9-3=6$$

Czyli tutaj opisana zależność \(x-y=6\) jest prawidłowa.

Odp. B.
$$x+y=9+3=12$$

Czyli tutaj opisana zależność \(x+y=12\) jest prawidłowa.

Odp. C.
$$x\cdot y=9\cdot3=27$$

Czyli tutaj opisana zależność \(x\cdot y=27\) jest prawidłowa.

Odp. D.
$$y:x=3:9=\frac{1}{3}$$

Czyli tutaj opisana zależność \(y:x=3\) jest niepoprawna i to właśnie będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Podstawiając \(a=-3\) do podanego wyrażenia, otrzymamy:
$$2-2\cdot(-3)^2=2-2\cdot9=2-18=-16$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
W nawiasie mamy odejmowanie, więc ułamek \(\frac{1}{2}\) musimy wymnożyć przez jeden i drugi jednomian z nawiasu, czyli:
$$\frac{1}{2}(2-2a^2)=1-a^2$$

W kasie jest \(200\) banknotów \(20\)-złotowych.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
\(x\) - liczba banknotów \(20zł\) i jednocześnie liczba banknotów \(50zł\)

To oznacza, że:
\(20\cdot x\) - kwota w banknotach \(20zł\)
\(50\cdot x\) - kwota w banknotach \(50zł\)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że kwota wyrażona za pomocą banknotów \(50\)-złotowych jest o \(6\) tysięcy większa od wartości banknotów \(20\)-złotowych, zatem możemy ułożyć następujące równanie:
$$20x+6000=50x \\
6000=30x \\
x=200$$

To oznacza, że w kasie jest \(200\) banknotów \(20\)-złotowych.

\(3\) czerwone, \(4\) zielone i \(5\) niebieskich

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Przyjmując, że \(n\) jest dodatnią liczbą naturalną, liczbę podzielną przez \(7\) moglibyśmy zapisać jako \(7n\). Z treści zadania wynika, że liczby poszczególnych piłeczek są kolejnymi liczbami podzielnymi przez \(7\), czyli możemy zapisać, że:
\(7n\) - liczba piłeczek czerwonych
\(7n+7\) - liczba piłeczek zielonych
\(7n+14\) - liczba piłeczek niebieskich

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma piłeczek musi być równa \(84\), zatem:
$$7n+7n+7+7n+14=84 \\
21n+21=84 \\
21n=63 \\
n=3$$

Krok 3. Obliczenie liczby poszczególnych piłeczek.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami, możemy zapisać, że:
Liczba piłeczek czerwonych: \(7\cdot3=21\)
Liczba piłeczek zielonych: \(7\cdot3+7=21+7=28\)
Liczba piłeczek niebieskich: \(7\cdot3+14=21+14=35\)

To jednak nie koniec obliczeń. Celem zadania jest podanie ile poszczególnych piłeczek jest w jednym zestawie, a wiemy, że tych zestawów jest \(7\). W związku z tym:
Liczba piłeczek czerwonych w pojedynczym zestawie: \(21:7=3\)
Liczba piłeczek zielonych w pojedynczym zestawie: \(28:7=4\)
Liczba piłeczek niebieskich w pojedynczym zestawie: \(35:7=5\)

\(9\) godzin

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni części \(A\).
Korzystając ze wzoru na pole trapezu, możemy zapisać, że pole części \(A\) będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(40m+10m)\cdot80m \\
P=\frac{1}{2}\cdot50m\cdot80m \\
P=25m\cdot80m \\
P=2000m^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni części \(B\).
Korzystając ze wzoru na pole trapezu, możemy zapisać, że pole części \(B\) będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(60m+90m)\cdot80m \\
P=\frac{1}{2}\cdot150m\cdot80m \\
P=75m\cdot80m \\
P=6000m^2$$

Krok 3. Obliczenie czasu koszenia części \(B\).
Pole powierzchni części \(B\) jest \(3\) razy większe od pola \(A\), ponieważ \(6000m^2:2000m^2=3\). To oznacza, że tym samym czas koszenia będzie trzykrotnie dłuższy. Możemy więc powiedzieć, że w części \(B\) kosiarka będzie kosiła przez:
$$3\cdot3h=9h$$

\(75cm\)

Krok 1. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Z treści zadania wynika, że w podstawie graniastosłupa mamy trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość \(8cm\), a przeciwprostokątna ma długość \(10cm\). Brakującą długość drugiej przyprostokątnej możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, zatem:
$$8^2+b^2=10^2 \\
64+b^2=100 \\
b^2=36 \\
b=6 \quad\lor\quad b=-6$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, stąd też \(b=6\). Warto przy okazji zauważyć, że będzie to tym samym najkrótszy bok tego trójkąta.

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Wiemy, że najmniejsza ściana graniastosłupa ma pole równe \(54 cm^2\). Ściana graniastosłupa jest prostokątem, w którym jeden z boków to bok trójkąta znajdującego się w podstawie, a drugi bok to wysokość graniastosłupa. Najmniejsza ściana będzie wychodzić z najkrótszego boku trójkąta, czyli boku o długości \(6cm\), zatem:
$$6cm\cdot H=54cm^2 \\
H=9cm$$

Krok 3. Obliczenie sumy długości krawędzi graniastosłupa.
Celem zadania jest obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi. Nasz graniastosłup ma dwie pary krawędzi o długościach \(6cm\), \(8cm\) oraz \(10cm\) (to krawędzie z trójkątów z podstawy dolnej i górnej) oraz trzy krawędzie o długości \(9cm\). W związku z tym:
$$K=2\cdot(6cm+8cm+10cm)+3\cdot9cm \\
K=2\cdot24cm+27cm \\
K=48cm+27cm \\
K=75cm$$