Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) 2022 - matematyka
Zadanie 1. (1pkt) Wśród pewnej grupy osób przeprowadzono ankietę. Jedno z pytań brzmiało: Jaka jest twoja ulubiona pora roku? Każdy ankietowany wskazał tylko jedną porę roku. Rozkład udzielonych odpowiedzi na to pytanie przedstawiono na diagramie.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F − jeśli jest fałszywe.
Zima jest ulubioną porą roku dla mniej niż \(24\%\) liczby osób ankietowanych.
Lato jest ulubioną porą roku dla \(\frac{3}{7}\) liczby osób ankietowanych.
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie liczby osób ankietowanych.
Sumując liczbę osób, które wskazały poszczególne odpowiedzi, możemy stwierdzić, że liczba osób biorących udział w ankiecie wynosi:
$$4+7+5+12=28$$
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zimę wybrało \(7\) osób spośród \(28\) ankietowanych, co stanowi:
$$\frac{7}{28}=\frac{1}{4}=25\%$$
To oznacza, że pierwsze zdanie jest fałszem.
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Lato wybrało \(12\) osób spośród \(28\) ankietowanych, co stanowi:
$$\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$$
To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.
Zadanie 3. (1pkt) Liczby: \(x, \left(-\frac{5}{6}\right), y\) są uporządkowane rosnąco. Liczba \(y\) jest o \(0,5\) większa od \(\left(-\frac{5}{6}\right)\), a liczba \(\left(-\frac{5}{6}\right)\) jest o \(0,5\) większa od liczby \(x\). Jakie wartości mają liczby \(x\) i \(y\)?
A. \(x=-\frac{4}{3}\) i \(y=-\frac{1}{3}\)
B. \(x=-\frac{7}{6}\) i \(y=-\frac{1}{6}\)
C. \(x=-\frac{4}{3}\) i \(y=-\frac{1}{2}\)
D. \(x=-\frac{7}{6}\) i \(y=-\frac{1}{3}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(y\).
Z treści zadania wynika, że liczba \(y\) jest o \(0,5\) większa od \(\left(-\frac{5}{6}\right)\), zatem:
$$y=-\frac{5}{6}+0,5 \\
y=-\frac{5}{6}+\frac{1}{2} \\
y=-\frac{5}{6}+\frac{3}{6} \\
y=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$$
Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(x\).
Z treści zadania wynika, że liczba \(x\) jest o \(0,5\) mniejsza od \(\left(-\frac{5}{6}\right)\), zatem:
$$x=-\frac{5}{6}-0,5 \\
x=-\frac{5}{6}-\frac{1}{2} \\
x=-\frac{5}{6}-\frac{3}{6} \\
x=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$$
Zadanie 5. (1pkt) O godzinie \(14:50\) Maciek wyruszył w podróż pociągiem z Gdańska do Grudziądza. Najpierw dojechał do Iławy, gdzie po \(50\)-minutowym oczekiwaniu wsiadł do pociągu, którym dojechał do Grudziądza. Na rysunku pokazano, jak w czasie przebiegała podróż Maćka. Na osi czas przejazdu z Gdańska do Grudziądza podzielono na \(20\) jednakowych odstępów.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F − jeśli jest fałszywe.v
Przejazd z Iławy do Grudziądza trwał jedną godzinę.
Maciek przyjechał do Grudziądza o godzinie \(18:10\).
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie trwania pojedynczego odstępu na osi czasu.
Z treści zadania wynika, że w Iławie Maciek czekał \(50\) minut. Na osi czasu zostało to oznaczone za pomocą pięciu jednakowych odstępów. To oznacza, że pojedynczy odstęp będzie symbolizował \(50:5=10\) minut.
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Przejazd z Iławy do Grudziądza oznaczony został za pomocą sześciu odstępów na osi czasu. Skoro pojedynczy odstęp to \(10\) minut, to znaczy, że ten przejazd trwał \(6\cdot10=60\) minut, czyli godzinę. Zdanie jest więc prawdą.
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Na osi mamy \(20\) jednakowych odstępów, a każdy symbolizuje \(10\) minut. To oznacza, że cała trasa zajęła Maćkowi \(20\cdot10=200\) minut, czyli \(3\) godziny i \(20\) minut.
Skoro Maciej wyruszył o \(14:50\), a pokonanie trasy zajęło \(3\) godziny i \(20\) minut, to przyjechał on do Grudziądza o godzinie \(18:10\). Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie 7. (1pkt) Liczbę \(404\) można zapisać w postaci \((21\cdot19+5)\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F − jeśli jest fałszywe.
Resztą z dzielenia liczby \(404\) przez \(19\) jest \(5\).
Jeśli liczbę \(404\) zmniejszymy o \(5\), to otrzymamy liczbę podzielną przez \(21\).
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z zapisanej postaci wynika, że dzieląc liczbę \(404\) przez \(19\) otrzymamy wynik równy \(21\) i zostanie nam jeszcze \(5\) reszty. Zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Jeżeli liczbę \(404\) pomniejszymy o \(5\), to zgodnie z podanym zapisem otrzymamy iloczyn \(21\cdot19\), który świadczy o tym, że liczba będzie podzielna przez \(21\) (wynikiem takiego dzielenia byłoby wtedy \(19\)). Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie 8. (1pkt) Na tablicy zapisano wszystkie różne liczby dwucyfrowe, które jednocześnie spełniają trzy warunki: są mniejsze od \(40\), są podzielne przez \(3\), suma cyfr każdej z nich jest większa od \(7\). Ile liczb zapisano na tablicy?
A. \(3\)
B. \(4\)
C. \(5\)
D. \(6\)
Wyjaśnienie:
Liczby dwucyfrowe mniejsze od \(40\) to liczby od \(10\) do \(39\) włącznie. Wypiszmy teraz, które z tych liczb będą podzielne przez \(3\):
$$12,15,18,21,24,27,30,33,36,39$$
Z podanych liczb interesują nas tylko te, których suma cyfr jest większa od \(7\), czyli będą to liczby:
$$18,27,36,39$$
Łącznie są to więc \(4\) liczby.
Zadanie 12. (1pkt) Na rysunku przedstawiono prostokąt i dwa trójkąty równoramienne \(T_{1}\) i \(T_{2}\) oraz podano długości ich boków.
Czy te trzy wielokąty mogą być ścianami jednego ostrosłupa? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
długości boków prostokąta są równe długościom podstaw trójkątów \(T_{1}\) i \(T_{2}\).
trójkąty \(T_{1}\) i \(T_{2}\) mają podstawy różnej długości.
ramiona trójkąta \(T_{1}\) mają inną długość niż ramiona trójkąta \(T_{2}\).
Wyjaśnienie:
Aby podane wielokąty mogły być bokami ostrosłupa, to podstawy trójkątów musiałyby być takie same jak boki prostokąta (i ten warunek jest akurat spełniony), a dodatkowo długości ramion tych trójkątów musiałyby mieć pary boków o jednakowej długości (i ten warunek nie został spełniony, przez co siatka graniastosłupa nam się nie domknie). To oznacza, że prawidłową odpowiedzią będzie "Nie, ponieważ ramiona trójkąta \(T_{1}\) mają inną długość niż ramiona trójkąta \(T_{2}\)".
Zadanie 13. (1pkt) W pewnym rombie jeden z kątów wewnętrznych ma miarę \(120°\). Obwód tego rombu jest równy \(24 cm\). Dłuższa przekątna tego rombu ma długość:
A. \(3\sqrt{3}cm\)
B. \(6cm\)
C. \(6\sqrt{3}cm\)
D. \(12cm\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Romb na cztery boki równej długości, zatem skoro jego obwód jest równy \(24 cm\), to każdy bok ma:
$$a=24cm:4 \\
a=6cm$$
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Pamiętając o tym, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i w połowie swojej długości, otrzymamy taką oto sytuację:
Można więc powiedzieć, że po dorysowaniu krótszej przekątnej powstały nam na rysunku dwa trójkąty równoboczne.
Krok 3. Obliczenie długości dłuższej przekątnej.
Z rysunku wynika, że do obliczenia długości dłuższej przekątnej przyda nam się wyznaczenie wysokości trójkąta równobocznego, który nam powstał. Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, możemy zapisać, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{6\sqrt{3}cm}{2} \\
h=3\sqrt{3}cm$$
Dłuższa przekątna będzie dwa razy dłuższa od wysokości takiego trójkąta (co widać na rysunku), czyli będzie miała ona długość:
$$2\cdot3\sqrt{3}cm=6\sqrt{3}cm$$
Zadanie 16. (2pkt) W kasie są banknoty \(20\)-złotowe i \(50\)-złotowe. Liczba banknotów \(20\)-złotowych jest taka sama jak liczba banknotów \(50\)-złotowych. Łączna wartość wszystkich banknotów \(50\)-złotowych jest o \(6\) tysięcy złotych większa od łącznej wartości wszystkich banknotów \(20\)-złotowych. Oblicz, ile banknotów \(20\)-złotowych jest w kasie. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
W kasie jest \(200\) banknotów \(20\)-złotowych.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
\(x\) - liczba banknotów \(20zł\) i jednocześnie liczba banknotów \(50zł\)
To oznacza, że:
\(20\cdot x\) - kwota w banknotach \(20zł\)
\(50\cdot x\) - kwota w banknotach \(50zł\)
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że kwota wyrażona za pomocą banknotów \(50\)-złotowych jest o \(6\) tysięcy większa od wartości banknotów \(20\)-złotowych, zatem możemy ułożyć następujące równanie:
$$20x+6000=50x \\
6000=30x \\
x=200$$
To oznacza, że w kasie jest \(200\) banknotów \(20\)-złotowych.
Zadanie 17. (2pkt) Janek miał łącznie \(84\) piłeczki, z których każda była w jednym z trzech kolorów: czerwonym, zielonym lub niebieskim. Liczby piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich są - odpowiednio - kolejnymi liczbami podzielnymi przez \(7\). Janek rozdzielił wszystkie piłeczki na siedem identycznych zestawów, przy czym w każdym z nich znalazły się piłeczki w trzech kolorach. Oblicz, ile piłeczek czerwonych, ile - zielonych, a ile - niebieskich było w jednym zestawie. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\(3\) czerwone, \(4\) zielone i \(5\) niebieskich
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Przyjmując, że \(n\) jest dodatnią liczbą naturalną, liczbę podzielną przez \(7\) moglibyśmy zapisać jako \(7n\). Z treści zadania wynika, że liczby poszczególnych piłeczek są kolejnymi liczbami podzielnymi przez \(7\), czyli możemy zapisać, że:
\(7n\) - liczba piłeczek czerwonych
\(7n+7\) - liczba piłeczek zielonych
\(7n+14\) - liczba piłeczek niebieskich
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma piłeczek musi być równa \(84\), zatem:
$$7n+7n+7+7n+14=84 \\
21n+21=84 \\
21n=63 \\
n=3$$
Krok 3. Obliczenie liczby poszczególnych piłeczek.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami, możemy zapisać, że:
Liczba piłeczek czerwonych: \(7\cdot3=21\)
Liczba piłeczek zielonych: \(7\cdot3+7=21+7=28\)
Liczba piłeczek niebieskich: \(7\cdot3+14=21+14=35\)
To jednak nie koniec obliczeń. Celem zadania jest podanie ile poszczególnych piłeczek jest w jednym zestawie, a wiemy, że tych zestawów jest \(7\). W związku z tym:
Liczba piłeczek czerwonych w pojedynczym zestawie: \(21:7=3\)
Liczba piłeczek zielonych w pojedynczym zestawie: \(28:7=4\)
Liczba piłeczek niebieskich w pojedynczym zestawie: \(35:7=5\)
Zadanie 18. (3pkt) Prostokątna łąka jest podzielona na dwie części \(A\) i \(B\), tak jak pokazano na rysunku. Każda z tych części ma kształt trapezu.
Kosiarka w ciągu każdej godziny swojej pracy kosi trawę z powierzchni o takim samym polu. Trawę z części \(A\) kosiarka skosiła w ciągu trzech godzin. Oblicz, ile godzin kosiarka będzie kosiła trawę w części \(B\). Zapisz obliczenia.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni części \(A\).
Korzystając ze wzoru na pole trapezu, możemy zapisać, że pole części \(A\) będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(40m+10m)\cdot80m \\
P=\frac{1}{2}\cdot50m\cdot80m \\
P=25m\cdot80m \\
P=2000m^2$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni części \(B\).
Korzystając ze wzoru na pole trapezu, możemy zapisać, że pole części \(B\) będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(60m+90m)\cdot80m \\
P=\frac{1}{2}\cdot150m\cdot80m \\
P=75m\cdot80m \\
P=6000m^2$$
Krok 3. Obliczenie czasu koszenia części \(B\).
Pole powierzchni części \(B\) jest \(3\) razy większe od pola \(A\), ponieważ \(6000m^2:2000m^2=3\). To oznacza, że tym samym czas koszenia będzie trzykrotnie dłuższy. Możemy więc powiedzieć, że w części \(B\) kosiarka będzie kosiła przez:
$$3\cdot3h=9h$$
Zadanie 19. (3pkt) Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt prostokątny. Długość jednej z przyprostokątnych jest równa \(8 cm\), a długość przeciwprostokątnej jest równa \(10 cm\). Najmniejsza ściana boczna tego graniastosłupa ma pole równe \(54 cm^2\).
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Z treści zadania wynika, że w podstawie graniastosłupa mamy trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość \(8cm\), a przeciwprostokątna ma długość \(10cm\). Brakującą długość drugiej przyprostokątnej możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, zatem:
$$8^2+b^2=10^2 \\
64+b^2=100 \\
b^2=36 \\
b=6 \quad\lor\quad b=-6$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, stąd też \(b=6\). Warto przy okazji zauważyć, że będzie to tym samym najkrótszy bok tego trójkąta.
Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Wiemy, że najmniejsza ściana graniastosłupa ma pole równe \(54 cm^2\). Ściana graniastosłupa jest prostokątem, w którym jeden z boków to bok trójkąta znajdującego się w podstawie, a drugi bok to wysokość graniastosłupa. Najmniejsza ściana będzie wychodzić z najkrótszego boku trójkąta, czyli boku o długości \(6cm\), zatem:
$$6cm\cdot H=54cm^2 \\
H=9cm$$
Krok 3. Obliczenie sumy długości krawędzi graniastosłupa.
Celem zadania jest obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi. Nasz graniastosłup ma dwie pary krawędzi o długościach \(6cm\), \(8cm\) oraz \(10cm\) (to krawędzie z trójkątów z podstawy dolnej i górnej) oraz trzy krawędzie o długości \(9cm\). W związku z tym:
$$K=2\cdot(6cm+8cm+10cm)+3\cdot9cm \\
K=2\cdot24cm+27cm \\
K=48cm+27cm \\
K=75cm$$
bardzo mi pomogło :D
Bardzo fajne
Każdemu przed egzaminem polecam Szalone liczby
pomogło !
bardzo dziękuje pomogło mi to :)
Super pomogło mi bardzo
dziękuję bo nie wiedziałem o co chodzi w jednym zadaniu
mam nadzieje ze akurat ten egzamin nie był jakiś łatwiejszy bo poszło mi naprawdę dobrze
świetna strona