Egzamin ósmoklasisty – Matematyka – 2019 – Odpowiedzi

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Najlepiej jest to zadanie zrobić cofając się tydzień po tygodniu:
Skoro 31 sierpnia to czwartek
To 24 sierpnia to czwartek
17 sierpnia to czwartek
Zatem 18 sierpnia to piątek

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
To zadanie jest najlepiej zrobić w ten sposób:
Skoro 31 sierpnia to czwartek
To 1 września to piątek
Zatem 8, 15, 22, 29 września to także piątek
30 września to sobota
1 października to niedziela
2 października to poniedziałek

Zdanie jest więc prawdą.

C

Zaokrąglenie równe \(1450\) otrzymamy zaokrąglając do dziesiątek liczby:
$$1445,1446,1447,1448,1449, \\
1451, 1452, 1453, 1454$$
Liczby \(1450\) zgodnie z treścią zadania nie bierzemy pod uwagę. Jest więc \(9\) takich liczb.

B

Korzystając z działań na potęgach otrzymamy:
$$5^2\cdot10^8\cdot5^4=5^{2+4}\cdot10^8=5^6\cdot10^8=5^6\cdot10^6\cdot10^2=50^6\cdot10^2\\
(5^{10}:5^2)\cdot10^8=5^{10-2}\cdot10^{8}=5^{8}\cdot10^{8}=(5\cdot10)^8=50^{8} \\
2^{8}\cdot5^{8}\cdot5^{8}=(2\cdot5\cdot5)^8=50^8$$

Wyrażenie równe \(50^8\) otrzymaliśmy zatem jedynie w II i III przypadku.

D

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że:
\(\sqrt{35}\) to mniej niż \(6\), bo \(\sqrt{36}=6\)
\(\sqrt{17}\) to więcej niż \(4\), bo \(\sqrt{16}=4\)
\(\sqrt{48}\) to mniej niż \(7\), bo \(\sqrt{49}=7\)
\(\sqrt{26}\) to więcej niż \(5\), bo \(\sqrt{25}=5\)

W związku z tym:
\(4+\sqrt{35}\) to nieco mniej niż \(10\).
\(6+\sqrt{17}\) to nieco więcej niż \(10\).
\(17-\sqrt{48}\) to nieco więcej niż \(10\).
\(15-\sqrt{26}\) to nieco mniej niż \(10\).

Wyrażenia mniejsze od \(10\) to zatem I oraz IV.

B, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Adam miał \(4\) arkusze kartonu. Każdy z nich podzielił na \(4\) części, czyli w tym momencie miał \(4\cdot4=16\) części. Każdą z otrzymanych części podzielił znowu na \(4\), czyli otrzymał łącznie \(16\cdot4=64\) karty.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Skoro mamy \(64\) karty i \(5\) graczy, to na jednego gracza przypada:
$$64:5=12,8\text{ karty}$$

To oznacza, że na gracza przypada maksymalnie \(12\) kart.

E

Skoro stosunek cukru do masy wody jest równy \(5:3\) to możemy zapisać, że na każde \(5x\) cukru mamy \(3x\) wody. Cała nasza mieszanina ma więc:
$$5x+3x=8x$$

Skoro więc mamy \(5x\) cukru, a cały syrop ma masę \(8x\), to cukier stanowi:
$$\frac{5x}{8x}=\frac{5}{8}=0,625$$

Otrzymany ułamek oznacza, że cukier stanowi \(62,5\%\) syropu.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Skoro połowa pracowników zarabia \(3000zł\), a połowa zarabia \(4000zł\), to średnia płaca wynosi:
$$śr=\frac{3000zł+4000zł}{2}=3500zł$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest także prawdą, bo jak zwolni się jedna osoba z pensją \(3000zł\) i jedna z pensją \(4000zł\), to nadal połowa pracowników będzie zarabiać \(3000zł\), a połowa \(4000zł\), czyli średnia arytmetyczna się nie zmieni.

C

Możemy standardowo wymnożyć przez siebie poszczególne wyrazy, ale... możemy też postąpić nieco sprytniej. Wystarczy zamienić miejscami jednomiany w pierwszym nawiasie i otrzymamy następującą postać:
$$(2a+3b)\cdot(3b−2a)=(3b+2a)(3b-2a)$$

Taka zamiana pozwoli nam skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, a konkretnie ze wzoru:
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

W tym naszym wyrażeniu pierwszym wyrazem jest \(3b\), drugim wyrazem jest \(2a\), zatem:
$$(3b+2a)(3b-2a)=(3b)^2-(2a)^2=9b^2-4a^2$$

B

Krok 1. Obliczenie współrzędnych środka odcinka.
Środek odcinka \(KL\) (nazwijmy go \(S\)) obliczymy korzystając ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{K}+x_{L}}{2};\frac{y_{K}+y_{L}}{2}\right)$$

Podstawiając współrzędne punktu \(K\) oraz \(L\) otrzymamy:
$$S=\left(\frac{-17+15}{2};\frac{6+(-4)}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-2}{2};\frac{2}{2}\right) \\
S=(-1;1)$$

Krok 2. Umiejscowienie środka odcinka w układzie współrzędnych.
Skoro współrzędne środka odcinka wynoszą \(S=(-1;1)\), to oznacza że nasz środek musi się znaleźć w tej ćwiartce, która jest zaprezentowana w drugiej odpowiedzi.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Krok 2. Obliczenie obwodu pierwszej i drugiej figury.
Obwód pierwszej figury nie stanowi żadnego problemu, jest to po prostu:
$$Obw_{I}=4a$$

Zgodnie z naszym rysunkiem obwód drugiej figury jest równy:
$$Obw_{II}=\frac{1}{2}a+a+a+a+\frac{1}{2}a+a=5a$$

Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Różnica między obwodem drugiej figury i pierwszej wynosi: \(5a-4a=a\). W związku z tym zdanie jest fałszem.

Krok 4. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Zgodnie z obliczeniami wykonanymi w drugim kroku, obwód ułożonej figury jest faktycznie równy \(5a\), zatem to zdanie jest prawdą.

B

Krok 1. Obliczenie miar brakujących kątów w trójkątach.
Aby mieć przejrzystą sytuację to obliczmy sobie brakujące miary kątów w każdym z tych trzech podanych trójkątów.
$$|\sphericalangle ABC|=180°-45°-76°=59° \\
|\sphericalangle MKL|=180°-55°-49°=76° \\
|\sphericalangle PQR|=180°-55°-76°=49°$$

Krok 2. Weryfikacja poprawności odpowiedzi:
Odp. A - to jest na pewno nieprawda, bo miary kątów w tych trójkątach są różne.
Odp. B - to zdanie jest prawdą, bo miary kątów są jednakowe oraz trójkąty te mają identyczną długość boku między kątami o identycznych miarach.
Odp. C - to zdanie jest nieprawdą, bo miary kątów w tych trójkątach są różne.
Odp. D - to zdanie jest nieprawdą, bo trójkąt \(ABC\) ma miary kątów inne niż pozostałe trójkąty.

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
W równoległoboku kąty przy jednym ramieniu mają łączną miarę \(180°\). Skoro tak, to kąt \(ABC\) ma miarę:
$$180°-106°=74°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AED\).
Skoro kąt \(ABC\) ma miarę \(74°\), to kąt \(ADE\) ma także miarę \(74°\). Wiemy, że trójkąt \(ADE\) jest równoramienny, zatem kąty przy jego podstawie muszą mieć tą samą miarę. Skoro tak, to kąt \(DAE\) jest również kątem o mierze \(74°\). Powstała nam więc następująca sytuacja:


Teraz spójrzmy na trójkąt \(ADE\). Znamy miary dwóch kątów w tym trójkącie, zatem bez przeszkód obliczymy miarę tego trzeciego kąta:
$$|\sphericalangle AED|=180°-74°-74°=32°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(AEC\).
Kąty \(AED\) oraz \(AEC\) to kąty przyległe, a więc ich łączna miara wynosi \(180°\). Znając miarę kąta \(AED\) możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle AEC|=180°-32°=148°$$

B

Krok 1. Obliczenie długości boku \(BD\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$1^2+(\sqrt{2})^2=|BD|^2 \\
1+2=|BD|^2 \\
|BD|^2=3 \\
|BD|=\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku \(CD\).
Z rysunku wynika, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem prostokątnym w którym znamy długości dwóch boków: \(|BC|=1\) oraz \(|BD|=\sqrt{3}\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy teraz obliczyć długość poszukiwanego boku \(CD\):
$$1^2+(\sqrt{3})^2=|CD|^2 \\
1+3=|CD|^2 \\
|CD|^2=4 \\
|CD|=2$$

C

Gdybyśmy ułożyli duży sześcian o wymiarach \(5\times5\times5\), to łącznie wykorzystalibyśmy \(5\cdot5\cdot5=125\) klocków.
Gdybyśmy ułożyli duży sześcian o wymiarach \(6\times6\times6\), to łącznie wykorzystalibyśmy \(6\cdot6\cdot6=216\) klocków.

Skoro mamy \(203\) klocki, to maksymalnie ułożymy sześcian o wymiarach \(5\times5\times5\), a to oznacza, że liczba klocków jakie nam zostaną jest równa:
$$203-125=78$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Liczenie sumy długości krawędzi patrząc się jedynie na siatkę bryły może być dość problematyczne (istnieje obawa, że pewne krawędzie policzymy podwójnie i tu tkwi największa pułapka w tym zadaniu). Dlatego też dobrze jest zacząć od narysowania sobie szkicu naszego ostrosłupa:


Krok 2. Obliczenie sumy długości krawędzi.
Z rysunku możemy odczytać, że masz ostrosłup prawidłowy czworokątny ma \(4\) krawędzie podstawy oraz \(4\) krawędzie boczne. Skoro krawędź podstawy ma długość \(40cm\), a krawędź boczna \(50cm\), to suma długości wszystkich krawędzi będzie równa:
$$4\cdot40cm+4\cdot50cm=160cm+200cm=360cm$$

\(12\) meczów

Krok 1. Obliczenie ile procent meczów było przegranych.
Z diagramu kołowego wynika, że przegrane mecze stanowią:
$$100\%-45\%-25\%=30\%$$

Krok 2. Obliczenie ile było wszystkich meczów.
Skoro drużyna wygrała \(25\%\) meczów i było to \(10\) spotkań, to oznacza że drużyna rozegrała \(40\) meczów w trakcie całego sezonu.

Krok 3. Obliczenie ile meczów było przegranych.
Skoro drużyna przegrała \(30\%\) meczów, a takich spotkań rozegrała \(40\), to znaczy że liczba meczów zakończonych porażką jest równa:
$$0,3\cdot40=12$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich rozegranych meczów (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(15\) minut

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy busa.
Czas jazdy busa możemy obliczyć korzystając ze wzoru na prędkość. Skoro bus przejechał trasę \(s=120km\) z prędkością \(v=80\frac{km}{h}\), to czas jazdy wyniósł:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{120km}{80\frac{km}{h}} \\
t=1,5h=90 minut$$

Krok 2. Obliczenie o ile krótszy był czas przejazdu samochodem.
Skoro bus jechał przez \(90\) minut, a samochód przez \(75\), to czas jazdy autem był szybszy o:
$$90min-75min=15min$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz czas jazdy busa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Kwiaty nie mogły kosztować \(35zł\).

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - liczba róż w bukiecie
\(2x\) - liczba goździków w bukiecie

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego równania.
Wiemy, że w bukiecie jest \(x\) róż, każda kosztuje \(4zł\). Wiemy też, że w bukiecie mamy \(2x\) goździków, z czego każdy kosztuje \(3zł\). Skoro cały bukiet kosztował \(35zł\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$4\cdot x+3\cdot2x=35 \\
4x+6x=35 \\
10x=35 \\
x=3,5$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego rozwiązania.
Wyszło nam, że aby bukiet kosztował zgodnie z założeniami \(35zł\), to w bukiecie powinno znaleźć się \(3,5\) róży. Otrzymanie wyniku niecałkowitego sprawia, że taki bukiet nie mógł kosztować \(35zł\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 2.), ale samo równanie rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy cenę bukietu opiszesz wyrażeniem algebraicznym z jedną niewiadomą, ale nie ułożysz z niego równania np. napiszesz, że bukiet kosztuje \(4\cdot x+3\cdot2x\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Planowano przeprowadzić \(36\) konkurencji.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Cała sytuacja wyglądała następująco:
\(x\) - liczba wszystkich konkurencji
\(\frac{1}{2}x\) - liczba konkurencji zaplanowanych od 9:00 do 12:00

Skoro do godziny 12:00 zorganizowano \(\frac{1}{2}x\) konkurencji, a wszystkich konkurencji mieliśmy \(x\), to do zorganizowania zostało jeszcze
$$x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$$

Między 12:00-14:00 przeprowadzono \(\frac{1}{3}\) konkurencji z tych co pozostały! Czyli w tym czasie przeprowadzono:
$$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{6}x$$

To oznacza, że łącznie przeprowadzono:
$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x=\frac{3}{6}x+\frac{1}{6}x=\frac{4}{6}x=\frac{2}{3}x$$

Wyszło nam, że przeprowadzono dwie trzecie wszystkich konkurencji. Tym samym oznacza to, że nie przeprowadzono:
$$x-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$$


Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich konkurencji.
Z treści zadania wynika, że nie przeprowadzono \(12\) konkurencji. Możemy więc ułożyć następujące równanie:
$$\frac{1}{3}x=12 \\
x=36$$

To oznacza, że planowano przeprowadzić \(36\) konkurencji.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że w godzinach od 12:00 do 14:00 przeprowadzono \(\frac{1}{6}\) wszystkich konkurencji (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz (nawet słownie) że np. \(6\) konkurencji stanowi \(\frac{1}{3}\) z połowy (nie z całości!) zaplanowanych konkurencji.
2 pkt
• Gdy zapiszesz, że np. \(12\) konkurencji stanowi \(\frac{1}{3}\) wszystkich konkurencji (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Działka ma wymiary \(50m\times75m\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Krok 2. Wyznaczenie wartości \(x\).
Patrząc się na działkę możemy zauważyć, że jest ona prostokątem o bokach \(2x\) oraz \(3x\). Wiemy też, że jej pole powierzchni jest równe \(3750m^2\). Możemy zatem zapisać, że:
$$2x\cdot3x=3750m^2 \\
6x^2=3750m^2 \\
x^2=625m^2 \\
x=25m$$

Krok 3. Wyznaczenie wymiarów działki.
Skoro boki działki to \(2x\) oraz \(3x\), to mają one długość:
$$2x=2\cdot25m=50m \\
3x=3\cdot25m=75m$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz (lub zaznaczysz na rysunku), że stosunek długości boków pojedynczej działki po podziale jest równy \(2:1\), czyli że jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz (lub zaznaczysz na rysunku), że stosunek długości boków całej dużej działki jest równy \(3:2\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz jeden z wymiarów małego prostokąta (patrz: Krok 2.) lub dużego prostokąta (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Różnica obwodów wynosi \(4cm\).

To zadanie rozwiążemy sobie na dwa sposoby:
I sposób - obliczając obwody trójkąta i trapezu.
Krok 1. Obliczenie długości boku \(BC\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć, że:
$$12^2+16^2=|BC|^2 \\
144+256=|BC|^2 \\
|BC|^2=400 \\
|BC|=20$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta \(ABC\).
Trójkąt \(ABC\) ma obwód równy:
$$Obw_{ABC}=16cm+12cm+20cm=48cm$$

Krok 3. Obliczenie długości przecięcia.
Wiemy, że bok \(AC\) został podzielony przerywaną linią na dwie równe części, zatem powstała nam taka oto sytuacja:


Trójkąt \(DEC\) jest trójkątem podobnym do \(ABC\) (mają jednakowe miary kątów). Skoro tak, to stosunek długości odpowiadających boków musi być jednakowy, zatem możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{|AB|}{|DE|}=\frac{|AC|}{|DC|} \\
\frac{12}{|DE|}=\frac{16}{8}$$

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:
$$16\cdot |DE|=96 \\
|DE|=6$$

Krok 4. Obliczenie długości ramion trapezu.
Spróbujmy nanieść na nasz trapez te wszystkie długości, które już znamy:
Kluczowe miary tego trapezu wyglądają następująco:


Do obliczenia obwodu trapezu brakuje nam jeszcze znajomości długości odcinków \(PT\) oraz \(SR\), czyli ramion trapezu. Te dwa odcinki są na pewno równej długości, bowiem jest to trapez równoramienny. Z Twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie wyliczyć długość ramienia \(PT\):
$$6^2+8^2=|PT|^2 \\
64+36=|PT|^2 \\
|PT|^2=100 \\
|PT|=10$$

Wyszło nam więc, że ramiona tego trapezu mają długość \(10cm\).

Krok 5. Obliczenie obwodu trapezu \(PRST\).
Znamy już wszystkie miary w trapezie, zatem dodając do siebie poszczególne długości otrzymamy obwód równy:
$$Obw_{PRST}=6cm+12cm+10cm+6cm+10cm=44cm$$

Krok 6. Obliczenie różnicy obwodów.
Skoro obwód trójkąta jest równy \(48cm\), a obwód trapezu to \(44cm\), to różnica obwodów wynosi:
$$48cm-44cm=4cm$$

II sposób - bez liczenia dokładnych wartości obwodów trójkąta i trapezu.
Moglibyśmy rozwiązanie tego zadania nieco uprościć, bowiem tak prawdę mówiąc to nie ma konieczności obliczania długości ramion trapezu, a tym samym nie ma konieczności obliczania dokładnych obwodów obydwu figur. Z rysunku wynika, że miara odcinka \(CB\) jest równa sumie długości ramion \(PT\) oraz \(SR\). Naszym zadaniem jest podanie jedynie różnicy między obwodem trójkąta i trapezu, więc skoro te odcinki są sobie równe to możemy je pominąć. W związku z tym wystarczyłoby dojść do trzeciego kroku z pierwszego sposobu rozwiązania i porównać sumę odcinków \(|AB|+|AC|\) z sumą \(|PR|+|TS|\). Skoro tak, to:
$$|AB|+|AC|=12cm+16cm=28cm \\
|PR|+|TS|=6cm+12cm+6cm=24cm$$

To oznacza, że różnica obwodów wynosi:
$$28cm-24cm=4cm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie ułożysz równanie z którego można obliczyć długość boku \(BC\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz obwód trapezu (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawny sposób obliczenia obwodu trójkąta \(ABC\) i obwodu trapezu \(PRST\), ale popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.