Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Nowa Era 2019 – Odpowiedzi

D

W tym zadaniu musimy pamiętać o kolejności wykonywania działań - najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie (w kolejności występowania, od lewej do prawej), a na koniec wykonamy odejmowanie, które znalazło się na samym początku. Dobrze jest też od razu zamienić sobie ostatnią liczbę \(0,5\) na ułamek zwykły, dzięki czemu będziemy mieć proste działania na ułamkach zwykłych. Pamiętaj też, że dzielenie możemy zastąpić mnożeniem przez odwrotność danej liczby. Całość rozpisując wszystko bardzo dokładnie będzie wyglądać następująco:
$$3-\frac{1}{2}:\frac{2}{5}\cdot0,5=3-\frac{1}{2}:\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=3-\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{2}= \\
=3-\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{2}=3-\frac{5}{8}=2\frac{3}{8}=2,375$$

To oznacza, że Dominika poprawnie rozwiązała zadanie.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy odjąć od siebie te dwie liczby, zatem:
$$\sqrt{2}-1-(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}-1-1-\sqrt{2}=-2$$

\(-2\) jest liczbą całkowitą, więc zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Tym razem nasze dwie liczby musimy pomnożyć, otrzymując:
$$(\sqrt{2}-1)\cdot(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}+2-1-\sqrt{2}=1$$

\(1\) jak najbardziej jest liczbą naturalną, czyli zdanie jest prawdą.

Tak na marginesie, to zamieniając miejscami wyrazy w drugim nawiasie (a możemy to zrobić, bo dodawanie jest przemienne), otrzymalibyśmy wzór skróconego mnożenia \((a-b)\cdot(a+b)=a^2-b^2\) i całość moglibyśmy zapisać jako:
$$(\sqrt{2}-1)\cdot(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$$

B

Krok 1. Obliczenie masy całego roztworu.
Nasz roztwór składa się z wody oraz soli. Łącznie te dwa produkty mają masę równą:
$$48g+2g=50g$$

Krok 2. Obliczenie procentu udziału soli w roztworze.
Sól stanowi \(2g\) z \(50g\) roztworu, czyli stanowi:
$$\frac{2}{50}=\frac{4}{100}=4\%$$

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Liczba \(2a\) jest dwa razy większa od liczby \(a\), zatem jest od niej o \(100\%\) większa.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
\(5a\) stanowi \(\frac{5a}{2a}=\frac{5}{2}\) liczby \(2a\). Zamieniając ułamek \(\frac{5}{2}\) na procenty otrzymamy wartość \(250\%\).

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli punkty \(S\) oraz \(T\) mają nam podzielić odcinek \(AB\) na trzy równe części, to odległość od punkty \(A\) do punktu \(S\) oraz od \(T\) do \(B\) musi być taka sama jak odległość punktu \(S\) od punktu \(T\). Na rysunku będzie to wyglądać w następujący sposób:


Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Niezależnie od tego jak szczegółowo zrobimy nasz rysunek szkicowy, to powinniśmy zauważyć, że to zdanie jest fałszem. Faktycznie, obie współrzędne punktu \(A\) są ujemne, ale nie można tego powiedzieć o współrzędnych punktu \(B\). Na pewno współrzędna iksowa tego punktu jest dodatnia, a i współrzędna igrekowa nie jest ujemna (będzie ona równa \(0\)).

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Aby poznać długość odcinka \(AB\) musimy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa w układzie współrzędnych. Da się to zrobić w sumie na dwa sposoby. Możemy narysować sobie bardzo duży trójkąt prostokątny w którym odcinek \(AB\) jest przeciwprostokątną, ale jest to dość ryzykowne, bo rysunek szkicowy musi być wtedy naprawdę bardzo dokładny. Wydaje się, ze drugi sposób będzie nieco prostszy, a mianowicie łatwiej będzie nam obliczyć długość odcinka \(ST\), rysując znacznie mniejszy trójkąt prostokątny. Jak poznamy długość odcinka \(ST\) (który jest trzy razy krótszy od odcinka \(AC\)), to bardzo szybko obliczymy długość odcinka \(AB\). Wybierzmy może ten drugi sposób i narysujmy sobie taki oto trójkąt prostokątny:


Z rysunku wynika, że odcinek \(ST\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(3\) i \(4\), zatem albo z własnego doświadczenia możemy już zapisać, że \(ST=5\), albo też możemy obliczyć to sobie po kolei z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+4^2=c^2 \\
9+16=c^2 \\
c^2=25 \\
c=5 \quad\lor\quad c=-5$$

Ujemny wynik nas nie interesuje, zostaje nam zatem \(c=5\), czyli wiemy już, że odcinek \(ST\) ma długość równą \(5\). Nasz odcinek \(AB\) będzie trzy razy dłuższy od odcinka \(ST\), zatem: \(|AB|=3\cdot5=15\). Zdanie jest więc prawdą.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
To, że figura nasza jest dwunastokątem nie podlega raczej wątpliwości - wystarczy policzyć boki lub kąty. Pytanie jednak, czy jest to dwunastokąt foremny (czyli czy wszystkie boki są jednakowej długości). Jak najbardziej jest to dwunastokąt foremny, bo zarówno kwadraty jak i trójkąty równoboczne (z których zbudowana jest figura) mają krawędź o długości \(3cm\), czyli każdy bok naszego dwunastokąta ma długość \(3cm\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Aby się przekonać o tym, czy jest to prawda, musimy obliczyć pola powierzchni kwadratów i trójkątów. Zacznijmy od kwadratów. Z rysunku wynika, że mamy \(6\) kwadratów o boku \(3cm\). Pole pojedynczego kwadratu obliczamy ze wzoru \(P=a^2\), zatem skoro takich kwadratów mamy \(6\) to otrzymamy:
$$P_{k}=6\cdot3^2 \\
P_{k}=6\cdot9 \\
P_{k}=54$$

Teraz obliczmy łączną powierzchnię trójkątów. Widzimy, że mamy \(12\) trójkątów równobocznych o boku \(3cm\). Pole każdego pojedynczego trójkąta możemy obliczyć ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem łączne pole wszystkich trójkątów będzie równe:
$$P_{t}=12\cdot\frac{3^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{t}=12\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4} \\
P_{t}=3\cdot9\sqrt{3} \\
P_{t}=27\sqrt{3}$$

Jeżeli przyjmiemy, że \(\sqrt{3}\approx1,73\), to możemy wtedy zapisać, że \(P_{t}\approx27\cdot1,73\approx46,71\). To oznacza, że pole powierzchni trójkątów jest mniejsze od pola powierzchni kwadratów, zatem to zdanie jest fałszem.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z własności kątów wiemy, że kąt \(BAC\) oraz \(BDE\) będą miały jednakową miarę (są to kąty odpowiadające). Miarę kąta \(BDE\) możemy wyznaczyć w dość prosty sposób, bowiem tworzy on z kątem \(140°\) parę kątów przyległych. Wiedząc, że kąty przyległe mają miarę \(180°\) możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle BDE|=180°-140°=40°$$

Jak już ustaliliśmy, kąt \(BAC\) ma taką samą miarę co \(BDE\), zatem \(|\sphericalangle BAC|=40°\). Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy już, że kąty \(BDE\) oraz \(BAC\) mają jednakową miarę (i wiemy nawet, że jest to dokładnie \(40°\)). Wiemy też z samego rysunku, że trójkąty \(ABC\) oraz \(DBE\) mają jednakowy kąt przy wierzchołku \(B\). Wniosek z tego płynie taki, że już w tym momencie mamy pewność, że ten duży i mały trójkąt mają jednakowe miary dwóch kątów, zatem i miara trzeciego kąta musi być jednakowa (nie ma innej możliwości, bo każdy trójkąt ma taką samą sumę wszystkich kątów). Zdanie jest więc prawdą.

Gdyby ktoś nie był jeszcze o tym przekonany, to zawsze można obliczyć miarę kąta przy wierzchołku \(B\). Z poprzedniego kroku wiemy, że zarówno kąty \(BDE\) jak i \(BAC\) mają miarę \(40°\), zatem patrząc się na trójkąt \(ABC\) możemy stwierdzić, że:
$$|\sphericalangle ABC|=180°-45°-40°=95°$$

Teraz patrzymy się na trójkąt \(DBE\). Wiemy już, że kąt przy wierzchołku \(D\) ma miarę \(40°\), kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(95°\), zatem kąt przy wierzchołku \(E\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle DEB|=180°-40°-95°=45°$$

W tym momencie widzimy wyraźnie, że obydwa te trójkąty mają miary kątów \(40°, 45°, 95°\).

Tak na marginesie to zwróć uwagę na to, że rysunek szkicowy podany w treści zadania był sporą zmyłką, bo z rysunku nie wynika to, że kąt przy wierzchołku \(B\) jest rozwarty.

B

Krok 1. Wyznaczenie figury znajdującej się w podstawie ostrosłupa.
Ostrosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(2n\) krawędzi. Skoro więc nasza bryła ma \(30\) krawędzi, to:
$$2n=30 \\
n=15$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się piętnastokąt.

Krok 2. Obliczenie liczby wierzchołków.
Z własności ostrosłupów wiemy, że ostrosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(n+1\) wierzchołków. Skoro w naszej podstawie znajduje się piętnastokąt, to wierzchołków będziemy mieć \(15+1=16\).

C

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności.
Musimy sprawdzić kiedy wyrażenie \(60+15k\) przyjmuje wartości dodatnie, czyli kiedy \(60+15k\) jest większe od \(0\). W związku z tym:
$$60+15k\gt0 \\
15k\gt-60 \\
k\gt-4$$

Wiemy już, że \(k\) musi być większe od \(-4\). Szukamy teraz najmniejszej liczby całkowitej, która spełnia tę nierówność. Najmniejszą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność jest \(-3\). Zwróć uwagę na to, że \(-4\) nie spełnia tej nierówności, bo muszą to być wartości większe od \(-4\).

Krok 2. Zapisanie liczby przeciwnej.
To jednak nie jest koniec zadania. Musimy jeszcze zapisać liczbę przeciwną do tej, którą uzyskaliśmy w pierwszym kroku. Liczbą przeciwną do \(-3\) jest oczywiście \(3\) i taka też jest odpowiedź do naszego zadania.

B, C

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(x\) - liczba opakowań piłeczek białych
\(x+5\) - liczba opakowań piłeczek pomarańczowych

Wiemy, że w każdym opakowaniu białych piłeczek jest \(6\) sztuk. Skoro mamy \(x\) takich pudełek, a w każdym jest \(6\) piłeczek, to łącznie białych piłeczek będzie \(6x\).
Wiemy też, że w każdym opakowaniu pomarańczowych piłeczek są \(4\) sztuki. Skoro mamy \(x+5\) takich pudełek, a w każdym są \(4\) piłeczki, to łącznie pomarańczowych piłeczek będzie \(4\cdot(x+5)\).

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że piłeczek białych oraz pomarańczowych jest taka sama ilość, czyli możemy zapisać następujące równanie:
$$6x=4\cdot(x+5) \\
6x=4x+20 \\
2x=20 \\
x=10$$

Krok 3. Obliczenie liczby białych i pomarańczowych piłeczek.
Skoro poprzez \(x\) oznaczyliśmy sobie liczbę pudełek z białymi piłeczkami to wiemy już, że takich pudełek jest łącznie \(10\). W każdym pudełku jest \(6\) piłeczek, czyli łącznie białych piłeczek jest \(60\).

Pudełek z pomarańczowymi piłeczkami mamy \(x+5\), czyli będzie to \(10+5=15\) pudełek. W każdym pudełku znajdują się \(4\) piłeczki, zatem łącznie będzie to \(15\cdot4=60\).

Krok 4. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Z poprzedniego kroku wiemy, że mamy \(60\) piłeczek białych oraz \(60\) pomarańczowych, zatem wszystkich piłeczek jest łącznie:
$$60+60=120$$

Krok 5. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Przed chwilą obliczyliśmy sobie, że pudełek z białymi piłeczkami jest \(10\), a pudełek z pomarańczowymi jest \(15\). Pudełek z białymi piłeczkami jest więc o \(5\) mniej niż z pomarańczowymi, zatem jest ich mniej o \(\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\), czyli o jedną trzecią.

Tak na marginesie - bardzo łatwo tutaj o pomyłkę. Nie możemy zapisać, że pudełek z białymi piłeczkami jest mniej o \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), czyli o połowę, bo naszym punktem odniesienia są pudełka z pomarańczowymi piłeczkami (i dlatego to \(15\) jest w mianowniku, a nie \(10\)).

B

Naszym zadaniem jest tak naprawdę obliczenie ile jest równe \(\frac{1,0\cdot10^{26}}{3,3\cdot10^{23}}\). Aby rozwiązać to działanie, to najprościej będzie zamienić sobie \(1,0\cdot10^{26}\) na \(10\cdot10^{25}\). Co nam da taka zamiana? Dzięki niej będziemy mogli skrócić liczbę \(10\) z liczbą \(3,3\) (w zaokrągleniu \(10:3,3\) będzie równe \(3\)) Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1,0\cdot10^{26}}{3,3\cdot10^{23}}=\frac{10\cdot10^{25}}{3,3\cdot10^{23}}\approx3\cdot10^{25-23}\approx3\cdot10^2\approx3\cdot100\approx300$$

B

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy poszczególnych pociągów.
Korzystając z informacji zawartych w tabelce możemy powiedzieć, że:
\(1.\) pociąg pokonuje trasę w \(50\) minut.
\(2.\) pociąg pokonuje trasę w \(61\) minut.
\(3.\) pociąg pokonuje trasę w \(50\) minut.
\(4.\) pociąg pokonuje trasę w \(57\) minut.

W tym momencie moglibyśmy się wykazać sprytem i od razu wskazać prawidłową odpowiedź do tego zadania. W każdej z odpowiedzi mamy wymienione dwa numery pociągów, czyli zgodnie z logiką - muszą to być te dwa pociągi, które naszą trasę pokonały najszybciej. Już po tak prostej analizie możemy stwierdzić, że na pewno prawidłową odpowiedzią do tego zadania jest odpowiedź druga. Spróbujmy jednak obliczyć to sobie nieco bardziej matematycznie.

Krok 2. Obliczenie oczekiwanego czasu jazdy przy prędkości \(50\frac{km}{h}\).
Możemy oczywiście obliczyć prędkość jazdy każdego z pociągów i sprawdzić kiedy pociąg porusza się z prędkością większą niż \(50\frac{km}{h}\). Jest to jednak dość czasochłonne, zwłaszcza że bazując na czasach z pierwszego kroku trzeba jeszcze zamienić minuty na godziny, zatem będziemy mieć w działaniach dość "brzydkie" liczby.

Znacznie łatwiej jest obliczyć w jakim czasie pociąg pokona tę trasę z prędkością \(50\frac{km}{h}\), co pozwoli nam później porównać ten czas do czasu jazdy naszych czterech pociągów. Korzystając ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\) możemy zapisać, że:
$$v=\frac{s}{t} \quad\bigg/\cdot t \\
s=v\cdot t \quad\bigg/:v \\
t=\frac{s}{v}$$

Podstawiając teraz \(s=43km\) oraz \(v=50\frac{km}{h}\) otrzymamy:
$$t=\frac{43km}{50\frac{km}{h}} \\
t=\frac{43}{50}h \\
t=0,86h$$

Skoro godzina ma \(60\) minut, to:
$$t=0,86\cdot60min=51,6min$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wiemy już, że pociąg pokona trasę \(43km\) ze średnią prędkością \(50\frac{km}{h}\) w ciągu \(51,6\) minuty. My chcemy, by ta średnia prędkość była wyższa, czyli czas jazdy musi być krótszy niż \(51,6\) minuty. Z tego też względu pociągami, które pojadą szybciej są pociągi o numerach \(1\) oraz \(3\).

C

Tak prawdę mówiąc nie musimy liczyć pole powierzchni jako takiej. Wystarczy, że sprawnie obliczymy liczbę "kwadracików" każdej z podstaw oraz ścian bocznych. Ta figura, która tych "kwadracików" będzie miała najwięcej, będzie miała jednocześnie największe pole powierzchni.

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pierwszej figury.
W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(16\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(4\) kwadraty. Pole powierzchni będzie więc równe:
$$P_{I}=2\cdot16+4\cdot4 \\
P_{I}=32+16 \\
P_{I}=48$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni drugiej figury.
W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(8\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(6\) kwadratów. Ale to nie koniec, bo mamy jeszcze kwadraty wewnątrz naszej bryły - jak się dobrze przyjrzymy, to doliczymy się, że tych wewnętrznych kwadratów jest \(8\) (po dwa na każdej z czterech wewnętrznych ścian). Pole powierzchni będzie więc równe:
$$P_{II}=2\cdot8+4\cdot6+8 \\
P_{II}=16+24+8 \\
P_{II}=48$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni drugiej figury.
W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(16\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(5\) kwadratów. I tu także mamy jeszcze kwadraty wewnątrz naszej figury, a jest ich dokładnie \(12\) (po trzy na każdej z czterech wewnętrznych ścian). Pole powierzchni będzie więc równe:
$$P_{III}=2\cdot16+4\cdot5+12 \\
P_{III}=32+20+12 \\
P_{III}=64$$

To oznacza, że \(P_{I}=P_{II}\lt P_{III}\).

A

Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Nie jest to krok konieczny, ale na pewno pomaga w zrozumieniu istoty zapisów, które pojawiają się w odpowiedziach i pozwala też szybko zweryfikować poprawność naszego wyboru. Skoro pierwiastek kwadratowy z \(a\) jest równy \(36\), to \(a\) jest równe \(36^2\), czyli \(1296\).

Krok 2. Sprawdzenie poprawności odpowiedzi.
Sprawdźmy teraz poprawność każdej z odpowiedzi.
Odp. A. To jest nieprawda, bo zgodnie z definicją pierwiastków, \(\sqrt{a^2}\) będzie równe \(|a|\), czyli w naszym przypadku byłoby to \(1296\). Tymczasem po prawej stronie równania mamy \(6^2\) które jest równe \(36\).
Odp. B. To prawda, co zresztą wykorzystaliśmy do poznania wartości tej liczby w pierwszym kroku.
Odp. C. To prawda, bowiem skoro pierwiastek z \(a\) to \(36\), to mamy ułamek \(\frac{36}{6}\), co faktycznie jest równe \(6\).
Odp. D. To prawda. Po lewej stronie równania pierwiastek z potęgą się skrócą, czyli zostanie nam \(a\) (o którym wiemy już, że to jest \(1296\)). Po prawej stronie mamy \(6^4\), co jest równe właśnie \(1296\).

Nieprawdziwa była więc pierwsza równość.

Nie B,

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AE\).
Spójrzmy na biały trójkąt \(ADE\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny (bo kąt przy wierzchołku \(D\) jest kątem prostokąta). Odcinek \(AD\) ma długość \(5cm\), natomiast odcinek \(DE\) ma długość \(4cm\). Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$4^2+5^2=|AE|^2 \\
16+25=|AE|^2 \\
|AE|^2=41 \\
|AE|=\sqrt{41} \quad\lor\quad |AE|=-\sqrt{41}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(|AE|=\sqrt{41}\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(BE\).
Spoglądamy na trójkąt \(BCE\). Sytuacja jest analogiczna do tej przed chwilą - to także jest trójkąt prostokątny i to właśnie z niego wyliczymy długość boku \(BE\). Odcinek \(BC\) ma długość \(5cm\), natomiast odcinek \(EC\) ma długość \(10cm-4cm=6cm\). W związku z tym:
$$6^2+5^2=|BE|^2 \\
36+25=|BE|^2 \\
|BE|^2=61 \\
|BE|=\sqrt{61} \quad\lor\quad |BE|=-\sqrt{61}$$

Ujemny wynik także odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BE|=\sqrt{61}\).

Krok 3. Sprawdzenie, czy trójkąt \(ABE\) jest prostokątny.
Jeżeli trójkąt miałby być prostokątny to zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa \(|AE|^2+|BE|^2\) powinno być równe \(|AB|^2\). Jeżeli taka równość nie zajdzie, to trójkąt nie będzie prostokątny. Sprawdźmy zatem ile jest równe \(|AE|^2+|BE|^2\):
$$|AE|^2+|BE|^2=\sqrt{41}^2+\sqrt{61}^2=41+61=102$$

Teraz sprawdźmy ile jest równe \(|AB|^2\):
$$|AB|^2=10^2=100$$

Widzimy wyraźnie, że suma kwadratów potencjalnych długości przyprostokątnych jest większa niż kwadrat długości potencjalnej przeciwprostokątnej. Stąd też płynie wniosek, że ten trójkąt nie jest prostokątny, ponieważ \(|AE|^2+|EB|^2\gt|AB|^2\).

Ewa powinna użyć \(360ml\) ciepłej wody oraz \(16,8g\) drożdży instant.

Krok 1. Obliczenie współczynnika proporcji.
Podany przepis mówi nam, że do przygotowania pizzy potrzeba \(250g\) mąki. Skoro Ewa chce wykorzystać \(600g\), to znaczy że chce zrobić pizzę, która jest \(600:250=2,4\) razy większa. To oznacza, że każdego ze składników pizzy trzeba użyć w ilości \(2,4\) razy większej niż jest to podane w przepisie.

Krok 2. Obliczenie ilości wody oraz drożdży.
W przepisie mamy informację, że potrzebujemy \(150ml\) wody, a skoro musimy jej użyć \(2,4\) razy więcej, to zużyjemy jej:
$$150ml\cdot2,4=360ml$$

Analogicznie postąpimy z drożdżami. W przepisie jest informacja, że potrzebujemy \(7g\) drożdży instant, a skoro musimy ich użyć \(2,4\) razy więcej, to zużyjemy ich w ilości:
$$7g\cdot2,4=16,8g$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz ilość wody (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz masę drożdży (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|a-b|=2\)

Krok 1. Obliczenie wartości liczb \(a\) oraz \(b\).
Zacznijmy od liczby \(a\). Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$7^7:7^2:7^5=7^{7-2}:7^5=7^5:7^5=1$$

Teraz obliczmy wartość liczby \(b\). Tutaj raczej problemów być nie powinno, bo po prostu \(\sqrt{9}=3\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(|a-b|\).
Wiemy już, że \(a=1\) oraz \(b=3\), zatem:
$$|a-b|=|1-3|=|-2|=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz wartości liczb \(a\) oraz \(b\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Urodziny w ten sam dzień tygodnia co tata będzie miał Mateusz.

Krok 1. Obliczenie liczby dni między datą urodzin taty oraz syna Mateusza.
Musimy obliczyć ile dni jest od \(17\) kwietnia do \(17\) lipca. Możemy to zrobić dowolnie wybraną przez siebie metodą, ale najbezpieczniej będzie chyba przeanalizować to w ten sposób:
• \(18\) kwietnia to \(1.\) dzień po urodzinach
• \(30\) kwietnia to \(13.\) dzień po urodzinach
• \(31\) maja to \(44.\) dzień po urodzinach
• \(30\) czerwca to \(74.\) dzień po urodzinach
• \(17\) lipca to \(91.\) dzień po urodzinach

Krok 2. Obliczenie liczby dni między datą urodzin taty oraz syna Szymona.
Rozpiszmy to tak samo jak przed chwilą, tyle że tym razem liczymy od \(17\) lipca do \(17\) października:
• \(18\) lipca to \(1.\) dzień po urodzinach
• \(31\) lipca to \(14.\) dzień po urodzinach
• \(31\) sierpnia to \(45.\) dzień po urodzinach
• \(30\) września to \(75.\) dzień po urodzinach
• \(17\) października to \(92.\) dzień po urodzinach

Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Aby urodziny były w ten sam dzień tygodnia, to liczba dni dzieląca poszczególne urodziny musi być podzielna przez \(7\).

Urodziny taty od urodzin Mateusza dzieli \(91\) dni, czyli \(91:7=13\) pełnych tygodni. Tata z Mateuszem będą więc mieć urodziny w ten sam dzień tygodnia.

Urodziny taty od urodzin Szymona dzielą \(92\) dni, czyli \(13\) pełnych tygodni i jeszcze \(1\) dzień. Z tego też względu tata z Szymonem nie będą mieć urodzin tego samego dnia.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie uzasadnisz (obliczysz) dzień urodzin jednego syna (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Tasiemka o długości \(2,5m\) jest wystarczająca.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy zauważyć, że w rogach rysunku mamy trójkąty prostokątne, których przyprostokątne mają długość \(20cm\). Wspominamy sobie o tych trójkątach, bowiem na obwód serwety składają się m.in. przeciwprostokątne tychże trójkątów (oznaczymy je sobie na szkicu jako \(x\)). Dodatkowo na dole i górze mamy fragmenty serwetki, które oznaczymy sobie jako \(y\). Całość na rysunku z oznaczeniami będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie długości odcinków oznaczonych jako \(x\).
Na rysunku mamy cztery odcinki oznaczone jako \(x\), zatem obliczmy miarę każdego z takich boków. Możemy skorzystać tutaj wprost z Twierdzenia Pitagorasa i zapisać, że \(20^2+20^2=x^2\), ale możemy też postąpić nieco sprytniej. Tak naprawdę nasze trójkąty prostokątne są klasycznymi trójkątami o kątach \(45°, 45°, 90°\) (wiemy to, bo przyprostokątne mają jednakową długość). Z własności takich trójkątów wynika, że ich przeciwprostokątna jest \(\sqrt{2}\) razy dłuższa od długości przyprostokątnych, zatem możemy zapisać od razu, że \(x=20\sqrt{2}cm\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinków oznaczonych jako \(y\).
Odcinki oznaczone jako \(y\) są dość proste do policzenia, bowiem będzie to długość \(100cm\), która jest pomniejszona z lewej i prawej strony o \(20cm\). Możemy więc zapisać, że:
$$y=100cm-2\cdot20cm \\
y=100cm-40cm \\
y=60cm$$

Krok 4. Obliczenie obwodu całej serwety.
Na obwód naszej serwety składają się cztery odcinki oznaczone jako \(x\) oraz dwa odcinki oznaczone jako \(y\), zatem:
$$Obw=4\cdot20\cdot{2}+2\cdot60 \\
Obw=80\sqrt{2}+120[cm]$$

Przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,4\) otrzymamy:
$$Obw\approx80\cdot1,4+120 \\
Obw\approx112+120 \\
Obw\approx232[cm]\approx2,32m$$

To oznacza, że tasiemka o długości \(2,5m\) jak najbardziej wystarczy do obszycia naszej serwety.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długość skośnego boku serwety (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz długość prostego boku serwety (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długość skośnego boku serwety (patrz: Krok 2.) oraz długość prostego boku serwety (patrz: Krok 3.).
LUB
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Karnet Michała nie był opłacalny, ale taty karnet już był.

Krok 1. Obliczenie ceny pojedynczego wejścia na basen (bez karnetu).
Michał i tata korzystają z basenu przez \(60\) minut. To oznacza, że zgodnie z cennikiem muszą zapłacić za taki pobyt cenę za \(45\) minut plus opłaty za przekroczenie limitu o \(15\) minut. Spójrzmy jak to będzie wyglądać w praktyce:

Michał musi zapłacić \(6,50zł\) za \(45\) minut. Za przekroczenie czasu o \(15\) minut będzie musiał zapłacić dodatkowo \(3\cdot0,50zł=1,50zł\). Całe pojedyncze wyjście na basen kosztować więc będzie:
$$6,50zł+1,50zł=8zł$$

Tata musi zapłacić \(10zł\) za \(45\) minut. Za przekroczenie czasu o \(15\) minut będzie musiał zapłacić dodatkowo \(3\cdot1zł=3zł\). Całe pojedyncze wyjście na basen kosztować więc będzie:
$$10zł+3zł=13zł$$

Krok 2. Obliczenie ceny biletów na \(11\) wejść na basen (bez karnetu).
Skoro cena biletu Michała wynosi \(8zł\), to na \(11\) wejść wyda on \(8zł\cdot11=88zł\).
Skoro cena biletu taty wynosi \(13zł\), to na \(11\) wejść wyda on \(13zł\cdot11=143zł\).

Krok 3. Analiza opłacalności karnetów.
Michał za karnet zapłacił \(90zł\). Gdyby kupował bilety oddzielnie, to zapłaciłby \(88zł\). W przypadku Michała karnet nie był więc opłacalny.

Tata za karnet zapłacił \(125zł\). Gdyby kupował bilety oddzielnie, to zapłaciłby \(143zł\). W przypadku taty karnet był więc opłacalny.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz koszt pojedynczego wejścia na basen Michała oraz taty (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz koszt jedenastu wyjść na basen Michała (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz koszt jedenastu wyjść na basen taty (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz koszt jedenastu wyjść na basen Michała oraz taty (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik i poprawnie omówisz opłacalność karnetów.

Uzasadniono korzystając z własności trójkątów równoramiennych i równobocznych. Pole powierzchni jest równe \(P=3\sqrt{3}cm^2\).

Krok 1. Dostrzeżenie, że boki \(EC\) oraz \(FC\) mają jednakową długość.
Spójrzmy na odcinki \(EC\) oraz \(FC\). Jeden i drugi to wysokości trójkątów równobocznych (\(ACD\) oraz \(ABC\)) o boku \(a=4cm\). To z kolei prowadzi nas do bardzo ważnego wniosku, że odcinki \(EC\) oraz \(FC\) są jednakowej długości (w dalszych krokach obliczymy sobie jaka jest to dokładnie długość). Póki co możemy zapisać, że \(|EC|=|FC|\). Mając tę informację wiemy już na pewno, że trójkąt \(EFC\) jest przynajmniej równoramienny (nie jesteśmy jeszcze pewni, czy jest równoboczny).

Krok 2. Dostrzeżenie, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\).
Wysokość trójkąta równobocznego jest tak naprawdę dwusieczną kąta. Jeżeli więc spojrzymy np. na trójkąt \(ACD\), to stwierdzimy, że wysokość \(EC\) dzieli kąt przy wierzchołku \(C\) na dwa kąty o mierze \(30°\). Podobnie będzie w przypadku trójkąta \(ABC\). Na rysunku sytuacja będzie wyglądać następująco:


Możemy więc powiedzieć, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\).

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Wiemy już, że trójkąt jest przynajmniej równoramienny, bo ramiona \(EC\) oraz \(FC\) są jednakowej długości. Wiemy też, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\). Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. U nas oznaczałoby to, że kąty przy podstawie \(EF\) muszą mieć łączną miarę \(180°-60°=120°\), a to oznacza, że każdy z kątów przy podstawie musi mieć miarę:
$$120°:2=60°$$

Wyszło nam więc, że każdy kąt trójkąta \(EFC\) ma miarę \(60°\), zatem jest to trójkąt równoboczny.

Krok 4. Obliczenie długości boków trójkąta \(EFC\).
Do obliczenia pola powierzchni potrzebujemy poznać długość boku trójkąta. Widzimy wyraźnie, że bok np. \(EC\) jest wysokością trójkąta równobocznego \(ACD\). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$|EC|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|EC|=\frac{4\sqrt{3}}{2} \\
|EC|=2\sqrt{3}[cm]$$

To oznacza, że każdy bok naszego trójkąta \(EFC\) ma długość \(2\sqrt{3}cm\).

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(EFC\).
Wiemy już, że bok tego trójkąta ma długość \(2\sqrt{3}cm\), zatem podstawiając te dane do wzoru na pole trójkąta równobocznego otrzymamy:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{4\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=3\sqrt{3}[cm^2]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie udowodnisz, że zacieniony trójkąt jest równoboczny (patrz: Krok 3.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz długość boku trójkąta (patrz: Krok 4.), bez uzasadnienia że jest on równoboczny.
2 pkt
• Gdy poprawnie udowodnisz, że zacieniony trójkąt jest równoboczny (patrz: Krok 3.) oraz poprawnie obliczysz długość boku trójkąta (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.