Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny i sześcian. Bryły mają jednakowe podstawy

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny i sześcian. Bryły mają jednakowe podstawy i równe wysokości, a suma objętości tych brył jest równa \(36cm^3\).

egzamin ósmoklasisty



Oceń prawdziwość podanych zdań.

Objętość sześcianu jest trzy razy większa od objętości ostrosłupa.
Krawędź sześcianu ma długość \(3cm\).
Rozwiązanie

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zapiszmy sobie wzory na objętość ostrosłupa oraz sześcianu.
$$V_{ostrosłupa}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V_{sześcianu}=P_{p}\cdot H$$

Z treści zadania wiemy, że pola podstaw oraz wysokości są takie same w obydwu bryłach. Skoro tak, to faktycznie objętość sześcianu będzie trzykrotnie większa od objętości ostrosłupa, a wynika to wprost ze wzorów na objętość tych brył. To oznacza, że pierwsze zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Suma objętości tych dwóch brył jest równa \(36cm^3\). W poprzednim kroku udowodniliśmy sobie, że objętość sześcianu będzie \(3\) razy większa od objętości ostrosłupa. Jeżeli więc objętość ostrosłupa oznaczymy jako \(x\), to objętość sześcianu wyniesie \(3x\). Możemy zatem zapisać, że:
$$x+3x=36cm^3 \\
4x=36cm^3 \\
x=9cm^3$$

To oznacza, że nasz sześcian ma objętość:
$$3x=3\cdot9cm^3=27cm^3$$

Objętość sześcianu obliczamy ze wzoru \(V=a^3\), a skoro ta objętość wynosi \(27cm^3\), to otrzymamy równanie:
$$V=a^3 \\
27cm^3=a^3 \\
a=3cm$$

To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.

Odpowiedź

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Dodaj komentarz