Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt prostokątny

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt prostokątny. Długość jednej z przyprostokątnych jest równa \(8 cm\), a długość przeciwprostokątnej jest równa \(10 cm\). Najmniejsza ściana boczna tego graniastosłupa ma pole równe \(54 cm^2\).

egzamin ósmoklasisty



Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Z treści zadania wynika, że w podstawie graniastosłupa mamy trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość \(8cm\), a przeciwprostokątna ma długość \(10cm\). Brakującą długość drugiej przyprostokątnej możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, zatem:
$$8^2+b^2=10^2 \\
64+b^2=100 \\
b^2=36 \\
b=6 \quad\lor\quad b=-6$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, stąd też \(b=6\). Warto przy okazji zauważyć, że będzie to tym samym najkrótszy bok tego trójkąta.

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Wiemy, że najmniejsza ściana graniastosłupa ma pole równe \(54 cm^2\). Ściana graniastosłupa jest prostokątem, w którym jeden z boków to bok trójkąta znajdującego się w podstawie, a drugi bok to wysokość graniastosłupa. Najmniejsza ściana będzie wychodzić z najkrótszego boku trójkąta, czyli boku o długości \(6cm\), zatem:
$$6cm\cdot H=54cm^2 \\
H=9cm$$

Krok 3. Obliczenie sumy długości krawędzi graniastosłupa.
Celem zadania jest obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi. Nasz graniastosłup ma dwie pary krawędzi o długościach \(6cm\), \(8cm\) oraz \(10cm\) (to krawędzie z trójkątów z podstawy dolnej i górnej) oraz trzy krawędzie o długości \(9cm\). W związku z tym:
$$K=2\cdot(6cm+8cm+10cm)+3\cdot9cm \\
K=2\cdot24cm+27cm \\
K=48cm+27cm \\
K=75cm$$

Odpowiedź

\(75cm\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments