Równanie okręgu – zadania maturalne

A

Równanie okręgu o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) możemy opisać wzorem:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Równanie z treści zadania jest w dokładnie takiej postaci jaka jest przez nas pożądana, więc długość promienia okręgu to:
$$r^2=13 \\
r=\sqrt{13}$$

Tak na marginesie to z tego równania moglibyśmy jeszcze odczytać współrzędne środka okręgu, a byłoby to \(S=(-2;1)\).

D

Równanie okręgu przedstawiamy wzorem \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\). Wszystkie odpowiedzi zawierają zapis \(x^2+y^2\), a różni je jedynie liczba po prawej stronie znaku równości. Zgodnie z tym wzorem po prawej stronie znaleźć się powinna wartość \(r^2\), a skoro promień ma długość \(6\), to po prawej stronie równania musi być \(6^2=36\). Taką liczbę mamy tylko w ostatniej odpowiedzi i to ona będzie prawidłowa.

Tak na marginesie, to taki zapis równania okręgu sugeruje nam, że środek okręgu będzie w punkcie \(S=(0,0)\), gdyż \(a=0\) oraz \(b=0\).

B

Krok 1. Obliczenie długości promienia okręgu.
Z tablic matematycznych możemy odczytać, że wzór na równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) ma postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Nas z tego wzoru interesuje tylko długość promienia. Przyrównując wzór z tablic do wzoru z treści zadania (a w zasadzie tylko to co pojawia się po prawej stronie po znaku równości) widzimy, że:
$$r^2=16 \\
r=4 \quad\lor\quad r=-4$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo promień nie może być ujemny. To oznacza, że promień tego okręgu ma długość \(4\).

Krok 2. Obliczenie długości (czyli obwodu) tego okręgu.
Znając długość promienia możemy bez problemu obliczyć długość obwodu tego okręgu:
$$Obw=2π r \\
Obw=2π\cdot4 \\
Obw=8π$$

D

Skorzystamy tutaj z równania okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to długość jego promienia. Znając ten wzór i uważając na znaki możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne środka okręgu:
$$(x+4)^2+(y-6)^2=100 \\
(x-(-4))^2+(y-6)^2=100$$

Odczytując z tego wzoru odpowiednie współrzędne możemy powiedzieć, że \(S=(-4;6)\).

A

Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Aby poznać współrzędne środka okręgu musimy dostosować nasze równanie do postaci równania okręgu. To oznacza, że musimy doprowadzić do sytuacji w której w naszym równaniu będziemy mieli w nawiasach odejmowanie. Dopiero wtedy odczytamy współrzędne środka. Nasze równanie możemy przekształcić więc w następujący sposób:
$$x^2+(y+2)^2=1 \\
(x-0)^2+(y-(-2))^2=1^2$$

Teraz bez przeszkód możemy odczytać, że \(a=0\) oraz \(b=-2\), zatem okrąg ten ma środek o współrzędnych \(S=(0,- 2)\).

A

Równanie okręgu w postaci kanonicznej przybiera postać \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są współrzędnymi środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień okręgu. Nas interesuje odczytanie z tych dwóch równań z treści zadania współrzędnych środków dwóch okręgów, co później pozwoli nam na wyznaczenie długości odcinka między tymi środkami.

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środków okręgów.
Okrąg o równaniu \((x+1)^2+(y-2)^2=9\) ma zgodnie z tym co wyżej napisaliśmy współrzędne środka okręgu \(S_{1}=(-1;2)\).
Okrąg o równaniu \(x^2+y^2=10\) ma współrzędne środka okręgu \(S_{2}=(0;0)\).

Krok 2. Obliczenie odległości między środkami okręgów.
Znając współrzędne dwóch punktów możemy obliczyć długość odcinka między nimi, korzystając ze wzoru:
$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(0-(-1))^2+(0-2)^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{1^2+(-2)^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{1+4} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{5}$$

\((x-4)^2+(y+2)^2=20\)

Krok 1. Zapisanie wzoru na równanie okręgu.
Równanie okręgu o promieniu \(r\) i środku \(S=(a;b)\) możemy zapisać jako:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

W treści zadania mamy podane współrzędne środka tego okręgu, więc możemy od razu te dane wstawić do naszego wzoru, otrzymując postać:
$$(x-4)^2+(y-(-2))^2=r^2 \\
(x-4)^2+(y+2)^2=r^2$$

Krok 2. Wyznaczenie promienia okręgu.
Tak naprawdę powyższy wzór byłby kompletnym rozwiązaniem, gdybyśmy tylko znali długość promienia. Aby ją poznać musimy skorzystać ze współrzędnych punktu, przez który ten okrąg przechodzi. Z treści zadania wynika, że nasz okrąg przechodzi przez punkt \((0;0)\), zatem do wzoru z pierwszego kroku musimy podstawić \(x=0\) oraz \(y=0\):
$$(0-4)^2+(0+2)^2=r^2 \\
(-4)^2+(2)^2=r^2 \\
16+4=r^2 \\
r^2=20$$

To oznacza, że poszukiwanym równaniem jest:
$$(x-4)^2+(y+2)^2=20$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie okręgu z wykorzystaniem danych z treści zadania, bez poprawnego obliczenia długości promienia (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz dowolnym sposobem długość promienia, ale nie zapiszesz poprawnie równania okręgu (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

A

Równanie okręgu o środku \(O=(a;b)\) i promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(x-b)^2=r^2$$

Z rysunku musimy odczytać współrzędne środka okręgu oraz długość promienia (promień okręgu możemy obliczyć po kratkach). Zatem:
$$O=(2;1) \\
r=3$$

Podstawiając te dane do wzoru otrzymamy:
$$(x-2)^2+(x-1)^2=3^2 \\
(x-2)^2+(x-1)^2=9$$

B

Aby sprawdzić który punkt leży na okręgu opisanym danym wzorem wystarczy podstawić współrzędne punktu do tego wzoru i sprawdzić czy otrzymana równość jest prawidłowa.
W naszym przypadku równość będzie spełniona tylko dla punktu \(B=(2;-5)\), bo:
$$(x-2)^2+(y+7)^2=4 \\
(2-2)^2+(-5+7)^2=4 \\
0^2+2^2=4 \\
0+4=4 \\
4=4 \\
L=P$$

A

I sposób - wyznaczając równanie okręgu.
Krok 1. Wyznaczenie równania okręgu.
To zadanie najprościej jest rozwiązać wyznaczając sobie równanie okręgu, które tak naprawdę polega tylko na podstawieniu danych z treści zadania. Okrąg o środku \(S=(a;b)\) i promieniu \(r\) możemy opisać równaniem:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Podstawiając współrzędne \(S=(2,3)\) i promień \(r=5\) otrzymamy:
$$(x-2)^2+(y-3)^2=5^2 \\
(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Krok 2. Sprawdzenie który z punktów leży na okręgu.
Jeśli punkt leży na okręgu to będzie spełniał to równanie, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. Musimy więc podstawiać po kolei współrzędne i jak się za chwilę okaże już pierwsza odpowiedź będzie tą poszukiwaną. Podstawiając \(A=(-1;7)\) otrzymamy:
$$(-1-2)^2+(7-3)^2=25 \\
(-3)^2+4^2=25 \\
9+16=25 \\
25=25 \\
L=P$$

To oznacza, że punkt \(A\) leży na naszym okręgu i już dalej nie musimy sprawdzać kolejnych punktów.

II sposób - sprawdzając długości poszczególnych odcinków.
Gdybyśmy nie znali zagadnienia jakim jest równanie okręgu, to możemy jeszcze skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych. Wyznaczylibyśmy wtedy po kolei długości odcinków \(SA\), \(SB\), \(SC\) oraz \(SD\), a prawidłową odpowiedzią będzie ten punkt, który z punktem \(S\) stworzy odcinek o długości \(5\) (bo \(r=5\)).
$$|SA|=\sqrt{(x_{A}-x_{S})^2+(y_{A}-y_{S})^2} \\
|SA|=\sqrt{(-1-2)^2+(7-3)^2} \\
|SA|=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\
|SA|=\sqrt{9+16} \\
|SA|=\sqrt{25} \\
|SA|=5$$

C

Krok 1. Zapisanie ogólnego wzoru na równanie okręgu i podstawienie poprawnych danych z treści zadania.
Równanie okręgu o środku \(S=(a;b)\) oraz promieniu równym \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

I tu jest pierwsza pułapka, bo odruchowo wiele osób chce podstawić do tego równania współrzędne punktu \(P\), przez co otrzymamy równanie zawarte w pierwszej odpowiedzi. Wszystko byłoby w porządku, gdyby punkt \(P\) był środkiem okręgu, ale nie jest. Zawsze wczytujmy się uważnie w treść zadania!

To co nam na razie pasuje do tego równania to długość promienia, która jest równa \(r=3\). Zatem to równanie na pewno przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=3^2 \\
(x-a)^2+(y-b)^2=9$$
To oznacza, że rozpatrujemy już tylko dwie możliwości: \(A\) oraz \(C\).

Krok 2. Sprawdzenie, które równanie zawiera punkt \(P=(-1;0)\).
Pod równania z odpowiedzi \(A\) i \(C\) podstawiamy współrzędne punktu \(P\) i sprawdzamy, kiedy równość jest poprawna.
Odp. A.:
$$(x+1)^2+y^2=9 \\
(-1+1)^2+0^2=9 \\
0^2+0^2=9 \\
0=9 \\
L\neq P$$

Odp. C.:
$$(x+1)^2+(y+3)^2=9 \\
(-1+1)^2+(0+3)^2=9 \\
0^2+3^2=9 \\
0+9=9 \\
9=9 \\
L=P$$

To oznacza, że prawidłowe jest równanie z trzeciej odpowiedzi.

C

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu oraz długości promienia.
Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Musimy więc przekształcić nasze równanie z treści zadania do takiej właśnie postaci jak powyżej, dzięki czemu błyskawicznie odczytamy współrzędne środka okręgu oraz długość jego promienia. Zrobimy to w następujący sposób:
$$(x-1)^2+y^2=4 \\
(x-1)^2+(y-0)^2=2^2$$

Z tak zapisanego równania możemy odczytać, że \(S=(1;0)\) oraz \(r=2\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy teraz nasz okręg oraz prostą \(y=-1\) i sprawdźmy ile mają punktów wspólnych:



Z rysunku wynika dość jasno, że okrąg ma dwa wspólne punkty z prostą.

B

Równanie okręgu w postaci \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) opisuje okrąg o długości promienia \(r\), którego środek znajduje się w punkcie \(S=(a;b)\).

Krok 1. Zapisanie podanego równania w postaci \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Nasze równanie z treści zadania nie do końca jest identyczne jak pożądana postać, dlatego musimy przenieść liczbę \(4\) na prawą stronę i zapisać całość jako:
$$(x-1)^2+y^2-4=0 \\
(x-1)^2+(y-0)^2=4 \\
(x-1)^2+(y-0)^2=2^2$$

To oznacza, że okrąg ma promień \(r=2\) oraz współrzędne środka wynoszą \(S=(1;0)\).

Krok 2. Naszkicowanie okręgu w układzie współrzędnych.
Naszkicujmy nasz okrąg oraz styczne podane w odpowiedziach. Dzięki temu zobaczymy która z odpowiedzi jest poprawna.



Widzimy wyraźnie, że poszukiwaną prostą styczną do tego okręgu jest \(x=3\).
Tak na marginesie to bez problemu możemy odczytać równania innych prostych stycznych do okręgu np. \(x=-1\), \(y=-2\), \(y=2\), ale ich akurat nie mieliśmy w naszych proponowanych odpowiedziach.