Egzamin gimnazjalny - Matematyka - 2018

Poniżej znajduje się egzamin gimnazjalny z matematyki 2018. Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin gimnazjalny 2018 - matematyka

Egzamin zawiera 20 zadań zamkniętych oraz 3 zadania otwarte. Łącznie do zdobycia jest 29 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 90 minut.

W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.

Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.

Zadanie 1. (1pkt) W pierwszym dniu każdego miesiąca ubiegłego roku pan Tomek zapisywał masę swojego ciała. Początkowo masa jego ciała malała. W listopadzie i grudniu ważył tyle samo, ile w lipcu. W żadnym miesiącu nie ważył więcej niż $76kg$. Pan Tomek wyniki swoich pomiarów umieścił na diagramie. Który z diagramów przedstawia wyniki pomiarów pana Tomka w ubiegłym roku?

Zadanie 2. (1pkt) W ramach prac renowacyjnych odtworzono na ścianie budowli zegar słoneczny, który powstał w $1533$ roku. Pod nowym zegarem zapisano datę tej renowacji - $MCMXC$. Po ilu latach od powstania tego zegara słonecznego odtworzono go na ścianie budowli?

Po 457 latach

Po 407 latach

Po 157 latach

Po 107 latach

Zadanie 3. (1pkt) Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba $\sqrt[3]{8}-3$ jest liczbą naturalną.

Liczba $\sqrt[3]{64}-\sqrt{25}$ jest liczbą ujemną.

Zadanie 4. (1pkt) Samochód na pokonanie pierwszego odcinka trasy zużył $27$ litrów benzyny. Na drugim odcinku trasy, mającym długość $150km$, zużył on dwa razy mniej benzyny niż na pierwszym odcinku. Średnie zużycie benzyny na kilometr było na każdym odcinku trasy takie samo. Średnie zużycie benzyny przez ten samochód na każde $100km$ tej trasy było równe:

4,5 litra

9 litrów

13,5 litra

18 litrów

Zadanie 5. (1pkt) W czytelni ustawiono $20$ stolików dwuosobowych i $10$ stolików czteroosobowych. Po pewnym czasie $10\%$ stolików dwuosobowych zastąpiono tą samą liczbą stolików czteroosobowych. Liczba stolików czteroosobowych zwiększyła się o:

10%

20%

Zadanie 6. (1pkt) Dane są dwie liczby: $a=8^5$, $b=4^5$.
Oceń prawdziwość podanych zdań.

Iloczyn $a\cdot b$ jest równy $32^{10}$

Iloraz $\frac{a}{b}$ jest równy $2^5$

Zadanie 7. (1pkt) Iloraz $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}\cdot\sqrt{3}}$ jest równy:

$\frac{2\sqrt{3}}{15}$

$\frac{2}{5}$

$\frac{4\sqrt{3}}{15}$

$\frac{4}{5}$

Zadanie 8. (1pkt) Grupa turystów w ciągu pierwszej godziny marszu pokonała pewien odcinek trasy. W każdej następnej godzinie pokonywany dystans był o $0,5km$ krótszy od dystansu pokonanego w poprzedniej godzinie. W ciągu pierwszych pięciu godzin marszu turyści przeszli łącznie $17,5km$ trasy. Odcinek trasy, który turyści przeszli w pierwszej godzinie marszu, miał długość:

3,1km

3,5km

3,9km

4,0km

4,5km

Zadanie 9. (1pkt) W autobusie jechało $m$ mężczyzn i $k$ kobiet. Na przystanku wysiedli $2$ mężczyźni i $3$ kobiety, a wsiadło $5$ mężczyzn i $2$ kobiety. Gdy autobus odjechał z tego przystanku, podróżowało nim:

(m+3) mężczyzn i (k-1) kobiet

(m-3) mężczyzn i (k-1) kobiet

(m+3) mężczyzn i (k+1) kobiet

(m-3) mężczyzn i (k+1) kobiet

Zadanie 10. (1pkt) Suma liczb $x$ i $y$ jest liczbą dodatnią, a ich iloczyn jest liczbą ujemną.
Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczby $x$ i $y$ są różnych znaków.

Na osi liczbowej odległość każdej z tych liczb od zera jest taka sama.

Zadanie 11. (1pkt) Na rysunku przedstawiono dwie figury. Figura I powstała przez usunięcie dwóch kwadratów jednostkowych z kwadratu o boku długości $6$, a figura II powstała przez usunięcie dwóch kwadratów jednostkowych z prostokąta o bokach długości $4$ i $8$.

egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Obwód figury I jest równy obwodowi kwadratu o boku $6$.

Obwód figury II jest większy od obwodu figury I.

Zadanie 12. (1pkt) W pudełku są $2$ kule zielone, $2$ białe i $4$ czarne. Losujemy z pudełka $1$ kulę. Czy prawdziwe jest stwierdzenie, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest równe $\frac{1}{2}$?

Tak

Nie

ponieważ

w pudełku jest $2$ razy mniej kul białych niż czarnych

w pudełku jest o połowę mniej kul zielonych niż kul czarnych

kule czarne stanowią połowę wszystkich kul w pudełku

Zadanie 13. (1pkt) W układzie współrzędnych zaznaczono dwa wierzchołki kwadratu $MNPS$, które nie należą do tego samego boku.

egzamin ósmoklasisty

Dwa pozostałe wierzchołki tego kwadratu mają współrzędne:

(2, -2) i (-1, 1)

(-2, 2) i (1, -1)

(5, -2) i (2, -5)

(-4, 1) i (-1, 4)

Zadanie 14. (1pkt) W układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji i zaznaczono jego punkty przecięcia z osiami układu.

egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Funkcja przyjmuje wartość $0$ dla dwóch argumentów: $1$ i $6$.

Dla wszystkich argumentów większych od $1$ i jednocześnie mniejszych od $6$ funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Zadanie 15. (1pkt) Na kwadratowej siatce narysowano pewien wielokąt (patrz rysunek). Jego wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia linii siatki.
egzamin ósmoklasisty

Pole tego wielokąta jest równe:

$18cm^2$

$21cm^2$

$29cm^2$

$32cm^2$

Zadanie 16. (1pkt) Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o przyprostokątnych długości $15cm$ i $20cm$. Przeciwprostokątna trójkąta $DEF$ podobnego do trójkąta $ABC$ w skali $2:1$ ma długość:

25cm

30cm

40cm

50cm

Zadanie 17. (1pkt) Dwa boki pewnego trójkąta mają długości $12cm$ i $15cm$.
Oceń prawdziwość podanych zdań.

Obwód tego trójkąta może być równy $28cm$.

Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość $3cm$.

Zadanie 18. (1pkt) Na rysunku przedstawiono okrąg o środku $O$ oraz kąt środkowy o mierze $280°$. Punkty $A$ i $B$ znajdują się na okręgu. Prosta $k$ jest styczna do okręgu w punkcie $B$.

egzamin ósmoklasisty

Miara kąta $α$ jest równa:

30°

40°

50°

80°

Zadanie 19. (1pkt) Na przekątnej $BD$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $4$ zbudowano trójkąt równoboczny $BED$.
egzamin ósmoklasisty

Pole trójkąta $BED$ jest równe:

$2\sqrt{6}$

$4\sqrt{6}$

$8\sqrt{3}$

$16\sqrt{3}$

Zadanie 20. (1pkt) Pole podstawy walca jest równe $36π$, a pole jego powierzchni bocznej jest $3$ razy większe niż pole podstawy. Wysokość tego walca jest równa:

Zadanie 21. (2pkt) Do zestawu liczb: $3$, $5$ i $9$ dopisano czwartą liczbę. Mediana otrzymanego w ten sposób zestawu czterech liczb jest większa od mediany początkowego zestawu trzech liczb. Uzasadnij, że dopisana liczba jest większa od $5$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie rozpatrzysz wartość mediany tylko dla jednej z możliwych wartości niewiadomej $x$ (patrz: Krok 2. lub Krok 3.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie mediany z zestawu liczb $3, 5, 9$.
Mediana to tak zwana wartość środkowa. Aby obliczyć medianę należy najpierw uporządkować liczby od najmniejszej do największej. To mamy już akurat zrobione w treści zadania, więc możemy przejść do obliczeń. Mediana nieparzystej ilości liczb jest po prostu środkowym wyrazem, zatem mediana z liczb $3, 5, 9$ jest równa $m=5$.

Krok 2. Rozpatrzenie mediany po dopisaniu mniejszej lub równej $5$.
Po dopisaniu liczby mniejszej lub równej $5$ otrzymamy zestaw liczb:
$$x, 3, 5, 9 \\
\text{lub} \\
3, x, 5, 9$$

W takim przypadku mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów, czyli:
$$m=\frac{3+5}{2}=4 \\
\text{lub} \\
m=\frac{x+5}{2}\le5$$

Wniosek: dodając liczbę mniejszą lub równą $5$, mediana na pewno nie będzie większa od $5$.

Krok 3. Rozpatrzenie mediany po dopisaniu liczby większej niż $5$.
Po dopisaniu liczby większej niż $5$ otrzymamy zestaw czterech liczb:
$$3, 5, x, 9 \\
\text{lub} \\
3, 5, 9, x$$

W takim przypadku mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów, czyli:
$$m=\frac{5+x}{2}\ge5 \\
\text{lub} \\
m=\frac{5+9}{2}=7$$

W ten sposób udowodniliśmy, że mediana większa od $5$ jest tylko i wyłącznie w sytuacji, gdy dopisana liczba jest większa od $5$.

Zadanie 22. (4pkt) Właściciel sklepu sportowego kupił w hurtowni deskorolki i kaski. Cena hurtowa deskorolki była o $60zł$ wyższa niż cena hurtowa kasku. Właściciel sklepu ustalił cenę sprzedaży deskorolki o $20\%$ wyższą od ceny hurtowej, a cenę sprzedaży kasku – o $40\%$ wyższą od ceny hurtowej. Deskorolka i kask łącznie kosztowały w sklepie $397zł$. Oblicz łączny koszt zakupu po cenach hurtowych jednej deskorolki i jednego kasku. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia w taki sposób, że opiszesz cenę kasku i deskorolki z wykorzystaniem tylko jednej niewiadomej (patrz: I sposób - Krok 1.).
ALBO
• Gdy ceny kasku i deskorolki opiszesz dwoma różnymi niewiadomymi, ale zapiszesz poprawnie jedno z równań, które wchodzi w skład układu równań (patrz: II sposób - Krok 1. oraz Krok 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie ułożysz równanie z jedną niewiadomą (patrz: I sposób - Krok 2.).
ALBO
• Gdy poprawnie ułożysz układ równań (patrz: II sposób - Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz cenę hurtową deskorolki lub kasku (patrz: I sposób - Krok 2. oraz Krok 3. lub II sposób - Krok 2.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby - z wykorzystaniem jednej niewiadomej lub z wykorzystaniem dwóch niewiadomych.

Sposób I. Z wykorzystaniem jednej niewiadomej.
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
$x$ - cena hurtowa kasku
$x+60$ - cena hurtowa deskorolki

Wiemy też, że ceny sklepowe wyglądają następująco:
$1,2(x+60)$ - cena sklepowa deskorolki
$1,4x$ - cena sklepowa kasku

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Wiemy że cena sklepowa deskorolki i kasku wynosi $397zł$, zatem:
$$1,2(x+60)+1,4x=397 \\
1,2x+72+1,4x=397 \\
2,6x=325 \\
x=125[zł]$$

Krok 3. Obliczenie łącznego kosztu zakupu deskorolki i kasku.
Wiemy, że cena hurtowa kasku wynosi $x=125zł$. Cena deskorolki jest o $60zł$ wyższa, zatem deskorolka kosztuje $125zł+60zł=185zł$. To oznacza, że kask plus deskorolka kosztują:
$$125zł+185zł=310zł$$

Sposób II. Z wykorzystaniem dwóch niewiadomych i układu równań.
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
$x$ - cena hurtowa deskorolki
$y$ - cena hurtowa kasku

$1,2x$ - cena sklepowa deskorolki
$1,4y$ - cena sklepowa kasku

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Wiemy z treści zadania, że hurtowa cena deskorolki jest o $60zł$ większa niż kasku, czyli:
$$x=y+60$$

Wiemy też, że cena deskorolki i kasku w sklepie jest równa $397zł$, zatem:
$$1,2x+1,4y=397$$

Z tych dwóch równań możemy stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
x=y+60 \\
1,2x+1,4y=397
\end{cases}$$

Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, podstawiając iksa z pierwszego równania do drugiego. Otrzymamy wtedy:
$$1,2\cdot(y+60)+1,4y=397 \\
1,2y+72+1,4y=397 \\
2,6y+72=397 \\
2,6y=325 \\
y=125[zł]$$

Znamy już cenę hurtową kasku ($y=125zł$), więc korzystając z jednego z równań obliczymy teraz cenę deskorolki:
$$x=y+60 \\
x=125+60 \\
x=185[zł]$$

Krok 3. Obliczenie łącznego kosztu zakupu deskorolki i kasku.
Skoro deskorolka kosztuje $185zł$, a kask kosztuje $125zł$, to razem ten zestaw kosztuje w hurtowni:
$$185zł+125zł=310zł$$

Zadanie 23. (3pkt) Maja zrobiła dwa pudełka w kształcie graniastosłupów prawidłowych czworokątnych o różnych objętościach. Powierzchnię boczną każdego z tych graniastosłupów wykonała z takich samych prostokątów o wymiarach $28cm$ i $12cm$ (patrz rysunek). Oblicz różnicę objętości tych graniastosłupów. Zapisz obliczenia.

egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy obydwu pudełek (patrz: Krok 1. oraz Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz objętość obydwu pudełek (patrz: Krok 2. oraz Krok 4.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy i pola podstawy pierwszego graniastosłupa.
Na początku obliczmy z rysunku długość krawędzi podstawy pierwszego graniastosłupa. Będzie ono równe:
$$a=28cm:4=7cm$$

Znając długość krawędzi podstawy możemy obliczyć pole powierzchni graniastosłupa. Wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat (wynika to z faktu, że graniastosłup jest prawidłowy czworokątny). To oznacza, że pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=7^2 \\
P_{p}=49[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie objętości pierwszego graniastosłupa.
Objętość graniastosłupa wyliczymy ze wzoru:
$$V=P_{p}\cdot H$$

Pole podstawy jest już nam znane ($P_{p}=49cm^2$), wysokość bryły możemy odczytać z rysunku ($H=12cm$), zatem objętość graniastosłupa będzie równa:
$$V_{1}=49\cdot12 \\
V_{1}=588[cm^3]$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi bocznej i pola podstawy drugiego graniastosłupa.
Długość krawędzi podstawy drugiego graniastosłupa jest równa:
$$a=12cm:4=3cm$$

To oznacza, że pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=3^2 \\
P_{p}=9[cm^2]$$

Krok 4. Obliczenie objętości drugiego graniastosłupa.
Skoro $P_{p}=9cm$ oraz $H=28cm$, to objętość drugiego ostrosłupa będzie równa:
$$V_{2}=P_{p}\cdot H \\
V_{2}=9\cdot28 \\
V_{2}=252[cm^3]$$

Krok 5. Obliczenie różnicy objętości między pierwszym i drugim graniastosłupem.
Znając objętość jednego i drugiego graniastosłupa możemy obliczyć różnicę tych objętości:
$$V_{1}-V_{2}=588cm^3-252cm^3=336cm^3$$

Zdobyłeś/aś: 0/29pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2018 – Odpowiedzi

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2018 – PDF

Podaj swój nick lub imię*

E-mail

4 komentarzy

Inline Feedbacks

View all comments

GoG

ekstra

Odpowiedz

24 marca 2021

Czy zadanie typu 14, 18, 20 oraz 21 będzie na egzaminie a tym roku?
Zależy mi na odpowiedzi

SzaloneLiczby

Autor

Reply to 24 marca 2021

Niestety nie znam odpowiedzi na to pytanie :(

Maitti

Wydaje mi się że nie.