Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2017 – Odpowiedzi

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest nieprawdą, bowiem pierwszy turysta między godziną 13:00 a 14:00 był na wysokościach około \(1920-2080 m\;n.p.m.\) natomiast drugi turysta w tym czasie był na wysokości około \(1400-1750 m\;n.p.m.\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. Najprościej jest to odczytać nanosząc kropki z jednego wykresu na drugi. Odczytamy sobie wtedy, że turyści spotkali się między 12:30 i 13:00 w okolicach \(1800 m\;n.p.m.\).

C

Możemy bez problemów obliczyć prędkość jazdy Pawła w dość nietypowej jednostce \(\frac{min.}{s}\), ale niestety w odpowiedziach mamy podane same jednostki w \(\frac{km}{h}\). Możemy więc albo zamienić podane miary na kilometry (\(700m=0,7km\)) oraz na godziny (\(2min=\frac{1}{30}h\)), albo możemy skorzystać z prostej proporcji:

Skoro w \(2\) minuty pokonujemy \(0,7km\)
To w \(60\) minut (czyli w godzinę) pokonamy \(30\cdot0,7km=21km\)

To oznacza, że prędkość jazdy Pawła wyniosła \(21\frac{km}{h}\).

B

Obliczając wartość każdego z wyrażeń bez problemu określimy która z liczb jest największa.
$$\frac{3}{4}\cdot(-3)=-2,25 \\
\frac{3}{4}:(-3)=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-0,25 \\
\frac{3}{4}+(-3)=\frac{3}{4}-3=-2,25 \\
-\frac{3}{4}-3=-3,75$$

Widzimy wyraźnie, że największa jest druga liczba.

D

$$9,2(6)=9,26666...$$
Na czwartym miejscu po przecinku rozpisanego ułamka okresowego znajduje się szóstka, więc będziemy zaokrąglać do góry. Skoro tak to:
$$9,2666\approx9,267$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy sprawdzić ile par cyfr daje sumę równą \(12\), biorąc pod uwagę fakt, że druga liczba musi być większa. Z cyframi \(1\) i \(2\) nie utworzymy żadnej pary (bo musielibyśmy dodać \(11\) lub \(10\), a to nie są cyfry). Będą to więc następujące pary:
$$3 i 9 \\
4 i 8 \\
5 i 7$$

Powstaną nam więc tylko trzy takie liczby: \(39\), \(48\) oraz \(57\), zatem pierwsze zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro suma cyfr daje nam wynik równy \(12\), to liczby te jak najbardziej są podzielne przez \(3\), czyli drugie zdanie jest prawdą.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Możemy to udowodnić w bardzo prosty sposób wykorzystując działania na potęgach:
$$7^{16}=7^{1+15}=7\cdot7^{15}$$

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą, bo wynik tego działania będzie równy \(1\), a nie \(0\).
Liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, natomiast podniesiona do potęgi nieparzystej daje wynik ujemny. W związku z tym z naszego działania otrzymamy:
$$1+(-1)+1+(-1)+1=3-2=1$$

B

Obliczmy wartość każdego z wyrażeń:
$$(2\sqrt{3})^2=2^2\cdot(\sqrt{3})^2=4\cdot3=12 \\
2\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}=8\cdot2=16 \\
\frac{4\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{18}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{36}}{2}=\frac{4\cdot6}{2}=12$$

Mniejsze od \(15\) są więc wyrażenia pierwsze oraz trzecie.

C

Do zadania można podejść na wiele sposobów, można nawet układać odpowiednie równania i tworzyć klasyczny układ równań. Jednak można też postąpić nieco sprytniej i szybciej.

Skoro chłopców jest \(65\%\), to dziewczyn jest \(35\%\). Wiemy też, że ta różnica \(65\%-35\%=30\%\) to dokładnie \(60\) uczniów. Teraz możemy ułożyć prostą proporcję. Wiedząc, że dziewczyny stanowią \(35\%\) szkoły i wiedząc że \(30\%\) szkoły to \(60\) uczniów możemy zapisać, że:
Skoro \(30\%\) to \(60\) uczniów
To \(5%\) to \(10\) uczniów
Zatem \(35\%\) to \(70\) uczniów

To oznacza, że do egzaminu przystąpiło \(70\) dziewczyn.

A

Krok 1. Ustalenie kiedy wartość różnicy \(x-y\) będzie najmniejsza.
Aby różnica była jak najmniejsza, to te nasze dwie liczby muszą być jak najbliżej siebie na osi liczbowej. Stanie się tak wtedy, kiedy \(x\) będzie jak najmniejszy, czyli kiedy \(x=8\) oraz kiedy \(y\) będzie jak największy, czyli kiedy \(y=-2\).

Krok 2. Obliczenie minimalnej różnicy.
Najmniejsza różnica będzie zatem równa: \(8-(-2)=10\).

C

Krok 1. Interpretacja rysunku.
Musimy dobrze zinterpretować rysunek. Na pewno nie można wnioskować, że skoro \(2\) elementy zajmują \(12cm\), to \(1\) element zajmuje \(6cm\), zatem \(3\) elementy zajmą \(18cm\). Ten wniosek byłby błędny, bo elementy zachodzą na siebie. Trzeba więc zauważyć, że jak do jednego elementu startowego dołożyliśmy jeden puzzel to długość figury wynosi \(12cm\). Jak do elementu startowego dołożyliśmy trzy puzzle, to długość wzrosła do \(21cm\).

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Matematycznie zapisując nasze wnioski z pierwszego kroku otrzymamy:
\(x\) - puzzel startowy
\(y\) - puzzle dołożone
$$\begin{cases}
x+y=12 \\
x+3y=21
\end{cases}$$

Przekształcając pierwsze równanie do postaci \(x=12-y\) możemy zastosować metodę podstawiania:
$$12-y+3y=21 \\
12+2y=21 \\
2y=9 \\
y=4,5$$

Podstawiając obliczonego igreka np. do pierwszego równania otrzymamy:
$$x+4,5=12 \\
x=7,5$$

To oznacza, że puzzel startowy zajmuje \(7,5cm\), a każdy kolejny dołożony powiększa długość figury o \(4,5cm\).

Krok 3. Obliczenie długości poszukiwanej figury.
Nas interesuje długość figury składającej się z jednego elementu podstawowego oraz dwóch elementów dodanych, zatem:
$$x+2y=7,5+2\cdot4,5=7,5+9=16,5[cm]$$

Nie B,

W pierwszym koszu znajduje się \(8+12=20\) piłek.
Skoro \(12\) z nich jest czarnych to szanse na wylosowanie czarnej piłki wynoszą \(\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\).

W drugim koszu znajduje się \(10+15=25\) piłek.
Skoro \(15\) z nich jest czarnych to szanse na wylosowanie czarnej piłki wynoszą \(\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\).

Szanse na wylosowanie czarnej piłki są więc takie same w obu koszach. Prawidłową odpowiedzią jest zatem: Nie, ponieważ stosunek liczby piłek czarnych do liczby wszystkich piłek jest taki sam w obu koszach.

B

Prawidłowego przekształcenia dokonał Bartek, ponieważ:
$$F=G\cdot\frac{mM}{r^2} \\
Fr^2=GmM \\
r^2=\frac{GmM}{F} \\
r=\sqrt{\frac{GmM}{F}}$$

C

Aby obliczyć ile wynosi różnica między kwotą uzyskaną za sprzedać, a kosztami zakupu (czyli tak naprawdę ile wynosi zysk), musimy od zarobionej kwoty (czyli \(180zł\)) odjąć sumę poniesionych wydatków, czyli \(m\cdot1,5+b\cdot0,9\). Takie działanie jest zaprezentowane jedynie w trzeciej odpowiedzi i to ona jest tą prawidłową.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli trzy z czterech kątów mają miarę \(225°\), to czwarty kąt musi mieć miarę:
$$360°-225°=135°$$

Całość więc wygląda w następujący sposób.


Krok 2. Wyznaczenie miary kątów ostrych.
Spójrzmy na kąt \(α\). Jest on kątem przyległym do kąta \(135°\), zatem jego miara musi wynosić:
$$180°-135°=45°$$

Dokładnie ta sama sytuacja jest z kątem \(γ\), jego miara to także \(45°\).

Krok 3. Ocena prawdziwości obydwu zdań.
Zdanie pierwsze jest prawdą, bo faktycznie suma dwóch kątów ostrych daje \(90°\), bo \(45°+45°=90°\).
Drugie zdanie jest także prawdą, bowiem \(135°:45°=3\).

D

Krok 1. Obliczenie pola kwadratu.
Na samym początku musimy obliczyć pole kwadratu z którego wycięto fragment koła. Pole to będzie równe:
$$P_{kw}=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie pola ćwiartki koła.
Wzór na pole koła jest następujący:
$$P_{k}=πr^2$$

My potrzebujemy znać pole ćwiartki koła, więc postawimy na początku wzoru mnożenie przez \(\frac{1}{4}\). Promień koła jest równy \(6\), zatem:
$$P_{ćw}=\frac{1}{4}πr^2 \\
P_{ćw}=\frac{1}{4}π\cdot6^2 \\
P_{ćw}=\frac{1}{4}π\cdot36 \\
P_{ćw}=9π$$

Krok 3. Obliczenie pola zacieniowanej części kartki.
Nasza zacieniowana część będzie mieć powierzchnię równą różnicy między polem kwadratu, a polem ćwiartki:
$$P_{z}=P_{k}-P_{ćw} \\
P_{z}=36-9π$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, faktycznie kąt \(ACB\) jest kątem prostym (jest to po prostu narożnik kwadratu), a boki tego trójkąta mają ramiona tej samej długości.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest także prawdą, co widać w momencie gdy podzielimy sobie wewnętrzny kwadrat z rysunku pierwszego. Widzimy wyraźnie, że kwadrat składa się z ośmiu małych przystających trójkątów, natomiast trójkąt \(ABC\) ma tych małych trójkątów dwa razy mniej, przez co jego pole jest również dwa razy mniejsze od pola kwadratu.

D

Krok 1. Ustalenie miar kątów ostrych w trójkącie \(ABS\).
Nasz trójkąt wpisany w okrąg jest na pewno trójkątem równoramiennym (ramiona mają jednakową długość równą długości promienia okręgu), a to z kolei oznacza, że kąty przy podstawie tego trójkąta mają jednakową miarę. Skoro suma kątów w trójkącie wynosi 180°, to każdy z kątów ostrych musi mieć:
$$(180°-138°):2=42°:2=21°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Musimy wiedzieć, że styczna do okręgu jest zawsze prostopadła względem promienia okręgu. To znaczy, że kąt \(α\) wraz z kątem ostrym \(ABS\) tworzy kąt \(90°\). Jeżeli kąt \(ABS\) ma miarę \(21°\), to poszukiwany kąt ma miarę:
$$α=90°-21°=69°$$

D

Krok 1. Obliczenie pola prostokąta.
Prostokąt o bokach \(3\sqrt{3}cm\) i \(5\sqrt{3}cm\) ma pole powierzchni równe:
$$3\sqrt{3}\cdot5\sqrt{3}=15\cdot3=45[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie pola pojedynczego kwadratu.
Skoro nasz prostokąt jest podzielony na \(15\) kwadratów, to każdy z nich ma pole powierzchni równe:
$$45cm^2:15=3cm^2$$

A

Krok 1. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Objętość prostopadłościanu obliczymy ze wzoru:
$$V=abc$$

W kontekście zadania interesuje nas podanie objętości w litrach, a skoro \(1l=1dm^3\) to dobrze byłoby zamienić sobie centymetry na decymetry. I tak oto objętość całego prostopadłościanu wyniesie:
$$V=9dm\cdot4dm\cdot5dm \\
V=180dm^3=180l$$

Krok 2. Obliczenie ilości wody potrzebnej do dolania.
Chcemy zapełnić połowę prostopadłościanu, czyli chcemy by znalazło się w nim:
$$180l:2=90l$$

Skoro mamy już \(40l\), to dolać musimy:
$$90l-40l=50l$$

B

Dokładnie siedem sześcianów będzie mieć pomalowane cztery ściany, oto one:

Uzasadniono obliczając średnią arytmetyczną pięciu liczb.

Krok 1. Obliczenie łącznej wartości trzech pierwszych liczb.
O trzech pierwszych liczbach wiemy, że ich średnia arytmetyczna jest równa \(4\). Skoro tak, to łączna wartość tych trzech liczb jest równa:
$$4\cdot3=12$$

Krok 2. Obliczenie łącznej wartości dwóch pozostałych liczb.
O parze kolejnych liczb wiemy, że ich średnia arytmetyczna jest równa \(2\). Czyli łączna wartość tych trzech liczb będzie równa:
$$2\cdot2=4$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Suma tych pięciu cyfr jest zatem równa \(12+4=16\). Średnia arytmetyczna pięciu cyfr których suma jest równa \(16\) wynosi \(\frac{16}{5}=3,2\), co kończy nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy przeprowadzisz dowodzenie na podstawionych przez siebie liczbach.
1 pkt
• Gdy obliczysz łączną wartość trzech pierwszych liczb (Krok 1.) oraz łączną wartość dwóch pozostałych liczb (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Trzeba wykonać \(5\) kursów ciężarówką.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(m\) - mała ciężarówka
\(d\) - duża ciężarówka

Z treści zadania wiemy, że:
$$5m+2d=27 \\
3m+3d=27$$

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Powstały nam dwa równania z których możemy stworzyć prosty układ równań. Rozwiązując ten układ dowiemy jaka jest pojemność dużej ciężarówki (możemy też obliczyć jaka jest pojemność małej, ale to nam się nie przyda) i dzięki temu będziemy wiedzieć ile kursów trzeba będzie wykonać. Układ możemy rozwiązać w wygodny dla siebie sposób, np. metodą podstawiania:
\begin{cases}
5m+2d=27 \quad\bigg/\cdot3 \\
3m+3d=27 \quad\bigg/\cdot5 \\
\end{cases}

\begin{cases}
15m+6d=81 \\
15m+15d=135 \\
\end{cases}

\begin{cases}
15m=81-6d \\
15m+15d=135
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$81-6d+15d=135 \\
9d=54 \\
d=6$$

Krok 3. Obliczenie liczby potrzebnych kursów.
Duża ciężarówka może przewieźć \(6\) ton, my potrzebujemy przewieźć \(27\) ton. To oznacza, że liczba kursów które musimy wykonać wynosi:
$$27:6=4,5$$

Teraz dobrze musimy zinterpretować nasz wynik. Nie da się zrobić \(4,5\) kursu. Taki wynik oznacza, że musimy zrobić \(5\) kursów ciężarówką i to jest dopiero poprawna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie dwa równania wchodzące w skład układ równań (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że ładowność dużej ciężarówki jest dwukrotnie większa od ładowności małej ciężarówki.
2 pkt
• Gdy obliczysz ładowność małej lub dużej ciężarówki (Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę potrzebnych kursów, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy lub gdy zapiszesz, że potrzeba wykonać \(4,5\) kursu.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Objętość graniastosłupa wynosi \(270cm^3\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść znane nam miary długości na nasz rysunek. Nanieśmy też sobie od razu informację gdzie w tej siatce znajduje się wysokość graniastosłupa, bo ona będzie nam potrzebna do obliczenia objętości.


Skrzydełka na górze i na dole siatki są trójkątami prostokątnymi, który znajduje się w podstawie. Skąd jednak wiemy, że boki o długości \(12cm\) oraz \(13cm\) są podpisane dobrze, a nie np. w odwrotnej kolejności? Faktycznie nie jest to zapisane wprost który bok ma jaką długość, ale my wiemy, że długości \(12cm\) oraz \(13cm\) to najdłuższe boki trójkąta prostokątnego. W trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest zawsze przeciwprostokątna, stąd wiemy, że to ona ma konkretnie \(13cm\).

Krok 2. Obliczenie długości trzeciego boku trójkąta znajdującego się w podstawie.
Z treści zadania wiemy, że dwa boki trójkąta znajdującego się w podstawie mają długość \(12cm\) oraz \(13cm\). Możemy więc z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć trzecią długość:
$$x^2+12^2=13^2 \\
x^2+144=169 \\
x^2=25 \\
x=5[cm]$$

To oznacza, że krótsza przyprostokątna (czyli najkrótsza krawędź podstawy graniastosłupa) ma długość \(5cm\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia wysokości graniastosłupa. Jak ją wyznaczymy? Skorzystamy tutaj z tego iż zacieniowaną figurą jest trapez o polu powierzchni równym \(168cm^2\). Dolna podstawa trapezu zgodnie z rysunkiem ma długość \(5+h+5=10+h\), natomiast górna podstawa ma długość \(h\). Wysokość trapezu jest równa \(12cm\). To oznacza, że \(h\) jest już jedyną niewiadomą, zatem wyznaczymy ją w prosty sposób:
$$168=\frac{1}{2}(10+h+h)\cdot12 \\
168=(2h+10)\cdot6 \\
168=12h+60 \\
108=12h \\
h=9[cm]$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy trójkąt prostokątny o podstawie \(12cm\) i wysokości \(5cm\). Pole podstawy będzie więc równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\
P_{p}=6\cdot5 \\
P_{p}=30[cm^2]$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znamy już wszystkie dane. Pole podstawy jest równe \(30cm^2\), wysokość bryły wynosi \(9cm\), zatem objętość wynosi:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=30cm^2\cdot9cm \\
V=270cm^3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość brakującego boku trójkąta, będącego krawędzią podstawy graniastosłupa (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz objętość graniastosłupa, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.