Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2010

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz ilość odpadków (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz masę diamentu (Krok 2.), ale użyjesz błędnej jednostki (np. gramy zamiast karatów).
ALBO
• Gdy obliczysz masę diamentu (Krok 2.), ale zastosujesz przybliżenie liczby bez podania wartości po przecinku.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie ilości odpadków.
Ogólnie choć treść zadania jest dość długa to interesuje nas jedna informacja - z diamentów robimy brylanty, tracąc jednak przy tym trochę masy kamienia. W przypadku diamentu Cullinan wiemy że miał on masę \(3106ct\) i podczas obróbki na brylanty stracił on \(65\%\) swojej masy, czyli stracił:
$$0,65\cdot3106ct=2018,9ct$$

Krok 2. Obliczenie karatów brylantów.
Skoro diament miał \(3106ct\) i stracił podczas obróbki \(2018,9ct\), to otrzymane z niego brylanty mają łącznie:
$$3106ct-2018,9ct=1087,1ct$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość drogi przebytej w ciągu \(10\) minut (Krok 1.) i nie ustalisz lub ustalisz niepoprawnie miejsce w którym znalazł się pracownik.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie drogi przebytej w ciągu \(10\) minut.
\(10\) minut to jest \(10\cdot60s=600s\). Jeżeli ochroniarz porusza się z prędkością \(1\frac{m}{s}\), to w ciągu \(10\) minut pokona on dystans:
$$600s\cdot1\frac{m}{s}=600m$$

Krok 2. Obliczenie długości obwodu trapezu.
Znamy wszystkie miary długości boków trapezu, więc bez problemu możemy obliczyć jego obwód:
$$Obw=125m+65m+100m+60m=350m$$

Krok 3. Ustalenie na którym odcinku znajduje się pracownik ochrony.
Nasz pracownik zaczyna trasę w punkcie \(A\). Jeżeli pokona on \(350m\) to zrobi jedno okrążenie i wróci do punktu \(A\). Po przejściu jednego okrążenia zostaje mu do zrobienia:
$$600m-350m=250m$$

Musimy teraz ustalić gdzie się zatrzyma, czyli tak naprawdę gdzie wypada dwieściepięćdziesiąty metr tej trasy. Z punktu \(A\) do \(B\) jest \(125m\), więc to musi być za punktem \(B\). Kolejny odcinek (\(BC\)) ma długość \(65m\), co łącznie dałoby nam trasę \(125m+65m=190m\). Ochroniarz musi iść więc jeszcze dalej. Kolejny odcinek to \(CD\) ma on długość \(100m\), co sprawia że to właśnie tutaj wypadnie ten dwieściepięćdziesiąty metr wyprawy (tak mniej więcej w połowie odcinka \(CD\)).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie długość odcinka \(PB\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie długość odcinka \(PF\) (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie długość jednego z odcinków, a w drugim odcinku wyjdzie Ci niepoprawny wynik przez błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik, czyli obliczysz długości obydwu odcinków.

Krok 1. Obliczenie odległości \(P\) od punktu \(B\).
Zaczniemy od prostszej części tego zadania, czyli od drugiego pytania. Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie jaka jest odległość punktu \(P\) od \(B\), czyli tak naprawdę jaka jest długość odcinka \(PB\). Z treści zadania wiemy, że długość tego odcinka jest równa \(\frac{1}{5}\) długości odcinka \(BC\), zatem:
$$\frac{1}{5}\cdot65m=13m$$

To oznacza, że \(PB=13m\).

Krok 2. Obliczenie odległości punktu \(P\) od prostej \(AB\).
Odległość punktu od prostej mierzymy zawsze po najkrótszej linii (czyli będzie to zawsze się odbywać pod kątem prostym). Poszukiwana odległość jest już zaznaczona na rysunku, więc można powiedzieć że tym razem musimy obliczyć długość odcinka \(FP\). Jak to zrobić? Zróbmy sobie prosty rysunek szkicowy:


Na powyższym rysunku dorysowaliśmy sobie odcinek \(CG\), który ma dokładnie tą samą długość co odcinek \(AD\) i który pada pod kątem prostym na prostą \(AB\). Użyjemy tego odcinka do obliczenia długości odcinka \(FP\). W tym celu skorzystamy z własności trójkątów podobnych \(CGB\) oraz \(PFB\). Skąd wiadomo, że te dwa trójkąty są podobne? Mają one wspólny kąt \(GBC\), mają też jeden kąt prosty, więc skoro miary dwóch kątów są jednakowe w tych trójkątach to i ten trzeci kąt ma jednakową miarę. W ten sposób udowodniliśmy podobieństwo trójkątów zgodnie z cechą kąt-kąt-kąt.

Skoro udowodniliśmy podobieństwo trójkątów to możemy zapisać że:
$$\frac{CB}{CG}=\frac{PB}{PF} \\
65\cdot PF=60\cdot13
65\cdot PF=780
PF=12[m]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie tylko jedno z dwóch równań wchodzących w skład układu równań.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany układ równań.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Aby zbudować układ równań musimy sobie wprowadzić proste oznaczenia:
\(x\) - liczba kursów małych ciężarówek
\(y\) - liczba kursów dużych ciężarówek
\(8\cdot x\) - liczba ton które przewiozą łącznie wszystkie duże ciężarówki
\(12\cdot y\) - liczba ton które przewiozą łącznie wszystkie duże ciężarówki

Krok 2. Zbudowanie układu równań.
Łącznie kursów ma być \(60\), więc pierwsze równanie będzie następujące:
$$x+y=60$$

Drugie równanie zbudujemy wykorzystując informację o ilości przewiezionych ton węgla. Łącznie przewieziono \(520\) ton, zatem zgodnie z naszymi oznaczeniami:
$$8x+12y=520$$

Nasz układ równań ma więc następującą postać:
$$\begin{cases}
x+y=60 \\
8x+12y=520
\end{cases}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wskażesz tylko jedno z dwóch możliwych rozwiązań.
2 pkt
• Gdy obliczysz (metodą prób i błędów), że Ola mogła zdobyć \(12\) lub \(14\) głosów, ale nie uzasadnisz dlaczego są to jedyne dwa rozwiązania.
3 pkt
• Gdy obliczysz, że Ola mogła zdobyć \(12\) lub \(14\) głosów, ale nie przedstawisz pełnego uzasadnienia, że są to jedyne rozwiązania.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik i w trakcie rozwiązywania zapiszesz poprawne uzasadnienie.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - liczba głosów oddanych na Olę
\(y\) - liczba głosów oddanych na Pawła lub Romka

Wiemy też, że Ola zdobyła mniej niż połowę głosów, czyli możemy jeszcze zapisać, że:
$$x\lt16$$

Krok 2. Analiza możliwości rozkładu głosów.
W zadaniu podano niewiele informacji i w zasadzie musimy się oprzeć w naszej analizie na dwóch faktach:
1. Ola wygrała, ale ma mniej niż \(16\) głosów. Tym samym chłopcy mają łącznie więcej niż \(16\) głosów.
2. Paweł zdobył tyle samo głosów co Romek.

Ustalmy zatem ile to głosów mogli uzyskać chłopcy. Czy np. Paweł mógł uzyskać \(5\) punktów i tym samym Romek też mógł uzyskać \(5\) punktów? Taki wariant odpada, bo chłopcy muszą mieć łącznie więcej niż \(16\) głosów, czyli każdy z nich musiałby zdobyć przynajmniej \(9\) głosów. No to sprawdźmy poszczególne warianty:
Wariant A - chłopcy dostają po \(9\) głosów, wtedy:
Paweł: \(9\)
Romek: \(9\)
Ola: \(32-18=14\)

Taka opcja jest jak najbardziej możliwa, Ola wygrywa wybory i ma mniej niż połowę głosów.

Wariant B - chłopcy dostają po 10 głosów, wtedy:
Paweł: \(10\)
Romek: \(10\)
Ola: \(32-20=12\)

Taka opcja jest także możliwa, ponownie Ola wygrywa wybory i ma mniej niż połowa głosów.

Wariant C - chłopcy dostają po \(11\) głosów, wtedy:
Paweł: \(11\)
Romek: \(11\)
Ola: \(32-22=10\)

Ten wariant (i każdy kolejny w którym każdy chłopiec ma więcej niż \(10\) głosów) musimy odrzucić, bo nagle się okazuje że Ola w takich przypadkach nie wygrałaby w ogóle wyborów.

To oznacza, że są tylko dwie możliwości: Ola mogła zdobyć \(14\) lub \(12\) głosów.