Egzamin gimnazjalny - Matematyka - 2019

Poniżej znajduje się egzamin gimnazjalny z matematyki 2019. Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin gimnazjalny 2019 - matematyka

Egzamin zawiera 20 zadań zamkniętych oraz 3 zadania otwarte. Do zdobycia jest 29 punktów.

W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.

Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.

Zadanie 1. (1pkt) W dwóch litrowych butelkach była woda. Na wykresie przedstawiono, jak zmieniała się objętość wody w pierwszej butelce w trakcie przelewania do niej całej zawartości drugiej butelki.
egzamin gimnazjalny

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Na początku w pierwszej butelce było $200ml$ wody, a w drugiej butelce było $800ml$ wody.

W czasie ostatnich trzech sekund przelano $200ml$ wody.

Zadanie 2. (1pkt) Zosia zebrała $2kg$ malin i wsypała je do trzech takich samych pojemników. Masa pustego pojemnika była równa $0,05kg$. Pierwszy pojemnik z malinami miał masę $\frac{3}{4}kg$, a masa drugiego pojemnika z malinami była równa $0,70kg$. Ile malin wsypała Zosia do trzeciego pojemnika?

$0,45 kg$

$0,55 kg$

$0,60 kg$

$0,65 kg$

Zadanie 3. (1pkt) Na osi liczbowej zaznaczono dwa punkty $S$ i $T$. Odcinek $ST$ podzielono na $12$ równych części.
egzamin gimnazjalny

Długość odcinka $ST$ jest równa:

$1750$

$1500$

$1250$

$1000$

Zadanie 4. (1pkt) Dane są liczby:
I. $0,1(47)$
II. $0,1552$
III. $0,1(5)$

Dla których liczb zaokrąglenie do części setnych jest równe $0,15$?

I, II i III

Tylko I i II

Tylko I i III

Tylko I

Tylko III

Zadanie 5. (1pkt) Kacper zabrał na wycieczkę dwa razy mniej pieniędzy niż Wojtek. Kacper wydał połowę swoich pieniędzy, a Wojtek wydał $\frac{1}{4}$ swoich.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Kacper wydał tyle samo pieniędzy, ile wydał Wojtek.

Po wycieczce Kacprowi zostało trzy razy mniej pieniędzy niż Wojtkowi.

Zadanie 6. (1pkt) Para liczb $(3, –2)$ spełnia układ równań:

$\begin{cases}2x-y=8 \\
-3x+2y=-5\end{cases}$

$\begin{cases}2x+y=4 \\
-3x+2y=-13\end{cases}$

$\begin{cases}2x+y=-1 \\
-3x+2y=12\end{cases}$

$\begin{cases}2x-y=1 \\
-3x+2y=0\end{cases}$

Zadanie 7. (1pkt) Dane są liczby:
$a=4\sqrt{3}, b=3\sqrt{8}, c=6\sqrt{2}, d=2\sqrt{6}$.
Która zależność jest prawdziwa?

$a\gt b$

$b\lt c$

$a\gt d$

$c=d$

Zadanie 8. (1pkt) Do zbiornika wypełnionego w $65\%$ wodą dolano $12$ litrów wody. Teraz woda wypełnia $80\%$ pojemności zbiornika. Ile litrów wody jest teraz w zbiorniku?

$52$ litry

$64$ litry

$77$ litrów

$80$ litrów

Zadanie 9. (1pkt) Dane są trzy liczby:
$a=10^{23}+1$
$b=10^{23}-1$
$c=10^{23}+2$

Które z tych liczb są podzielne przez $3$?

Tylko liczby $a$ i $b$

Tylko liczba $b$

Tylko liczby $b$ i $c$

Tylko liczba $c$

Zadanie 10. (1pkt) Dany jest zestaw liczb: $4, 9, 11, 15, 21$. Do podanych liczb dopisano jeszcze jedną liczbę i wtedy średnia arytmetyczna nowego zestawu liczb zwiększyła się o $1$. Która liczba została dopisana?

$10$

$12$

$13$

$18$

Zadanie 11. (1pkt) W ośrodku szkoleniowym są jednakowe stoliki, których blaty mają kształt trapezów równoramiennych, jak przedstawiono na rysunku 1.
egzamin gimnazjalny

Stoliki można ze sobą łączyć na różne sposoby. Na rysunkach przedstawiono trzy przykładowe zestawienia stolików w stoły konferencyjne oraz sposoby ustawienia przy nich krzeseł.

W ośrodku jest $36$ stolików. Postanowiono je ustawić w jeden z trzech sposobów pokazanych na powyższych rysunkach. Które z poniższych zdań jest fałszywe?

Po ustawieniu wszystkich stolików w sposób I uzyska się tyle samo miejsc siedzących, ile powstaje po ustawieniu wszystkich stolików w sposób II

Najmniejszą liczbę miejsc siedzących uzyska się po ustawieniu wszystkich stolików w sposób III

Po ustawieniu wszystkich stolików w sposób I uzyska się $108$ miejsc siedzących

Po ustawieniu wszystkich stolików w sposób II uzyska się $96$ miejsc siedzących

Zadanie 12. (1pkt) W ośrodku szkoleniowym są jednakowe stoliki, których blaty mają kształt trapezów równoramiennych, jak przedstawiono na rysunku 1.
egzamin gimnazjalny

Stoliki można ze sobą łączyć na różne sposoby. Na rysunkach przedstawiono trzy przykładowe zestawienia stolików w stoły konferencyjne oraz sposoby ustawienia przy nich krzeseł.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Kąty trapezu przedstawionego na rysunku 1 mają miary: $60°, 60°, 120°, 120°$.

Krótsza podstawa tego trapezu jest $2$ razy mniejsza od jego dłuższej podstawy.

Zadanie 13. (1pkt) W układzie współrzędnych zaznaczono trzy punkty $A, B, C$ o współrzędnych całkowitych, jak na rysunku.
egzamin gimnazjalny

Które z tych punktów należą do wykresu funkcji określonej wzorem $y=2x^2-3$?

$A$, $B$ i $C$

Tylko $A$ i $C$

Tylko $B$ i $C$

Tylko $A$ i $B$

Zadanie 14. (1pkt) Czy $18\%$ liczby $15$ jest większe niż $15\%$ liczby $18$?
Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A, B albo C.

Tak

Nie

ponieważ

$\frac{18}{100}$ to więcej niż $\frac{15}{100}$

$1\%$ liczby $15$ to mniej niż $1\%$ liczby $18$

$0,18\cdot15$ to tyle samo co $0,15\cdot18$

Zadanie 15. (1pkt) Punkty $A$ i $B$ są środkami boków kwadratu o polu $36a^2$. Suma pól zacieniowanych części kwadratu jest równa:
egzamin gimnazjalny

$2,25a^2$

$4,5a^2$

$9a^2$

$18a^2$

Zadanie 16. (1pkt) Na dwóch bokach trójkąta prostokątnego $ABC$ zbudowano kwadraty. Pole kwadratu zbudowanego na boku $BC$ jest równe $169$, a pole kwadratu zbudowanego na boku $AC$ jest równe $25$.
egzamin gimnazjalny

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Bok $BC$ ma długość $13$.

Pole kwadratu zbudowanego na boku $AB$ jest równe $144$.

Zadanie 17. (1pkt) Pole ćwiartki koła przedstawionej na rysunku jest równe $4π cm^2$. Pole trójkąta $ABC$ jest równe:
egzamin gimnazjalny

$4cm^2$

$8cm^2$

$16cm^2$

$32cm^2$

Zadanie 18. (1pkt) Prostokątna ramka ma szerokość $2 cm$ oraz $|KL| =15 cm$, $|NK| = 9 cm$ (patrz rysunek).
egzamin gimnazjalny

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Prostokąty $ABCD$ i $KLMN$ są podobne.

Obwód prostokąta $ABCD$ jest o $8 cm$ mniejszy od obwodu prostokąta $KLMN$.

Zadanie 19. (1pkt) Ostrosłup i graniastosłup mają takie same podstawy. Obie bryły mają łącznie $25$ wierzchołków. Ile wierzchołków ma ostrosłup?

$6$

$8$

$9$

$10$

Zadanie 20. (1pkt) Z sześcianu o objętości $27cm^3$ usunięto jedną kostkę sześcienną o krawędzi $1cm$. Ściana usuniętej kostki należała do ściany sześcianu, ale żaden z wierzchołków tej kostki nie należał do krawędzi sześcianu. Pole powierzchni powstałej bryły jest równe:

$48cm^2$

$54cm^2$

$58cm^2$

$59cm^2$

Zadanie 21. (2pkt) W trójkąt równoramienny $ABC$ ($|AC|= |BC|$) wpisano okrąg o środku $S$. Punkty wspólne okręgu i trójkąta oznaczono literami $M$, $N$ i $P$. Uzasadnij, że trójkąty $ASM$ i $PBS$ są przystające.
egzamin gimnazjalny
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że na rysunku pojawiają się kąty prostokątne i zapiszesz przynajmniej jedną własność wynikającą z równoramienności trójkąta lub wynikającą z dwusiecznych kąta (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy uzasadnisz przystawanie dwóch innych trójkątów.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na nasz rysunek pomocniczy możemy nanieść trzy kluczowe informacje:
1. Wiedząc, że styczne tworzą z promieniami okręgów kąty proste (wynika to z własności stycznych do okręgu) to możemy nasz rysunek uzupełnić o zaznaczone kąty proste, czyli:
$$|\sphericalangle AMS|=90° \\
|\sphericalangle SPB|=90°$$

2. Wiemy, że trójkąt $ABC$ jest równoramienny, a skoro tak, to kąty przy jego podstawie mają równą miarę, czyli:
$$|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle ABC|$$

3. Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ jest punkt przecięcia się dwusiecznych kątów tego trójkąta. To oznacza, że:
$$|\sphericalangle MAS|=|\sphericalangle SAP|=|\sphericalangle PBS|=|\sphericalangle SBN|$$

Zaznaczając te informacje na naszym rysunku otrzymamy następującą sytuację:
egzamin gimnazjalny

Krok 2. Udowodnienie, że trójkąty $ASM$ i $PBS$ są przystające.
Z naszej analizy oraz z samego rysunku wynika, że trójkąty $AMS$ oraz $PBS$ mają dwie jednakowe miary kątów - kąt $α$ oraz kąt $90°$. To z kolei oznacza, że wszystkie kąty w tym trójkącie są jednakowe, moglibyśmy nawet dopisać, że:
$$|\sphericalangle ASM|=|\sphericalangle PSB|=β$$

Wiemy już, że te trójkąty są na pewno podobne, ale to jeszcze nie oznacza że są przystające. Te trójkąty będą przystające wtedy, kiedy udowodnimy teraz, że przynajmniej jedna para boków ma równą długość. Pomogą nam w tym odcinki $MS$ oraz $SP$, które na pewno są jednakowej długości, bo są to promienie okręgu. To oznacza, że trójkąty $ASM$ i $PBS$ są przystające zgodnie z zasadą kąt-bok-kąt.

Zadanie 22. (3pkt) Na statku wycieczkowym są $33$ miejsca dla pasażerów. Uczniowie klas IIIa i IIIb planują wycieczkę tym statkiem. W każdej z tych klas jest mniej niż $33$ uczniów. Aby wszystkie miejsca dla pasażerów były na statku zajęte, należy do wszystkich uczniów klasy IIIa dołączyć $\frac{1}{3}$ uczniów klasy IIIb albo do wszystkich uczniów klasy IIIb dołączyć $\frac{1}{4}$ uczniów klasy IIIa. Ilu uczniów jest w każdej z tych klas?
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z informacji z treści zadania ułożysz układ równań z dwiema niewiadomymi lub równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy poprawnie wyznaczysz liczbę uczniów w jednej z klas.
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i zbudowanie układu równań.
Wprowadźmy sobie następujące oznaczenia:
$x$ - liczba uczniów w klasie IIIa
$y$ - liczba uczniów w klasie IIIb

Z treści zadania wynika, że suma uczniów klasy IIIa oraz $\frac{1}{3}$ uczniów klasy IIIb daje łącznie $33$ osoby. Korzystając z naszych oznaczeń możemy zapisać, że w takim razie:
$$x+\frac{1}{3}y=33$$

Wiemy też, że suma wszystkich uczniów klasy IIIb wraz z $\frac{1}{4}$ uczniów klasy IIIa daje łącznie także $33$ osoby. Możemy więc zapisać, że:
$$y+\frac{1}{4}x=33$$

Z tych dwóch równań możemy zbudować układ równań:
\begin{cases}
x+\frac{1}{3}y=33 \\
y+\frac{1}{4}x=33
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Powstały układ równań można rozwiązać na wiele sposobów. Najprościej będzie chyba pomnożyć pierwsze równanie przez $3$ (tak aby pozbyć się ułamka przy igreku). Wtedy też wyznaczając igreka z drugiego równania będziemy mogli skorzystać z tak zwanej metody podstawiania. W związku z tym:
\begin{cases}
x+\frac{1}{3}y=33 \quad\bigg/\cdot3 \\
y+\frac{1}{4}x=33
\end{cases}

\begin{cases}
3x+y=99 \quad\bigg/\cdot3 \\
y=33-\frac{1}{4}x
\end{cases}

Podstawiając igreka z drugiego równania do pierwszego otrzymujemy:
$$3x+33-\frac{1}{4}x=99 \\
2\frac{3}{4}x=66 \\
\frac{11}{4}x=66 \quad\bigg/\cdot4 \\
11x=264 \\
x=24$$

Znając wartość iksa możemy podstawić tę liczbę do dowolnego z początkowych równań, wyznaczając tym samym wartość igreka, zatem:
$$x+\frac{1}{3}y=33 \\
24+\frac{1}{3}y=33 \\
\frac{1}{3}y=9 \\
y=27$$

Zgodnie z naszymi oznaczeniami wyszło nam, że w klasie IIIa jest $24$ uczniów, natomiast w klasie IIIb jest $27$ uczniów.

Odpowiedź: W klasie IIIa jest $24$ uczniów, a w klasie IIIb jest $27$ uczniów.

Zadanie 23. (4pkt) Na rysunku przedstawiono fragment siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.
egzamin gimnazjalny

Pole narysowanego trójkąta jest równe $16\sqrt{3}cm^2$, a pole prostokąta jest równe $24\sqrt{3}cm^2$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa.
Z treści zadania wiemy, że jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, czyli w podstawie tej bryły znajduje się trójkąt równoboczny. To bardzo ważna informacja, bowiem dzięki niej wiemy, że trójkąt z naszej siatki jest na pewno równoboczny, a to oznacza że możemy obliczyć długość jego boku. W tym celu skorzystamy ze wzoru $P=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}$. Mamy podane, że pole tego trójkąta jest równe $P=16\sqrt{3}cm^2$, zatem podstawiając tę informację do naszego wzoru otrzymamy równanie:
$$\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}cm^2 \quad\bigg/\cdot4 \\
a^2\cdot\sqrt{3}=64\sqrt{3}cm^2 \quad\bigg/:\sqrt{3} \\
a^2=64cm^2 \\
a=8cm$$

To oznacza, że trójkąt z naszej siatki ma wszystkie boki równe $8cm$.

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
W ścianie bocznej mamy prostokąt. Jedna z długości tego prostokąta pokrywa się z długością krawędzi trójkąta, czyli wiemy że ma ona długość $a=8cm$. Musimy obliczyć teraz długość drugiego boku tego prostokąta, który będzie tak naprawdę wysokością całego graniastosłupa. Tę długość obliczymy korzystając z informacji o polu powierzchni. W ścianie bocznej jest prostokąt o polu $24\sqrt{3}cm^2$, zatem:
$$a\cdot b=24\sqrt{3}cm^2 \\
8cm\cdot b=24\sqrt{3}cm^2 \\
b=3\sqrt{3}cm$$

Krok 3. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Do obliczenia objętości graniastosłupa potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły. Pole podstawy już znamy, bo jest to po prostu pole naszego trójkąta, czyli $16\sqrt{3}cm^2$, a wysokość to obliczone przed chwilą $3\sqrt{3}cm$. Zatem:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=16\sqrt{3}cm^2 \cdot 3\sqrt{3}cm \\
V=48\cdot3cm^3 \\
V=144cm^3$$

Zdobyłeś/aś: 0/29pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2019 – Odpowiedzi

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2019 – PDF

Podaj swój nick lub imię*

E-mail

6 komentarzy

Inline Feedbacks

View all comments

Anitka ax

Ja wystartowałam na maksa i jest źleeeeeee bo jestem w podstawówce w klasie 4

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Anitka ax

Spokojnie, w jeszcze parę lat nauki przed Tobą ;)

Malwina

zrobiłam ten test gdzie jestem teraz w 6 klasie i zdobyłam 10/29 punktów

kojhvv

Reply to Malwina

poćwicz jeszcze trochę i będzie dobrze

Hubcio

nawet dobry wynik jak na 6 klasę

osoba123

Dobrze że kół nie będzie bo ja słaby z nich jestem lol