Egzamin gimnazjalny - Matematyka - 2013

Poniżej znajduje się egzamin gimnazjalny z matematyki 2013. Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin gimnazjalny 2013 - matematyka

Egzamin zawiera 20 zadań zamkniętych oraz 3 zadania otwarte. Łącznie do zdobycia jest 29 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 90 minut.

W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.

Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.

Zadanie 1. (1pkt) W tabeli przedstawiono informacje dotyczące wieku wszystkich uczestników obozu narciarskiego.
egzamin ósmoklasisty

Mediana wieku uczestników obozu jest równa:

$14$ lat

$14,5$ roku

$15$ lat

$15,5$ roku

Zadanie 2. (1pkt) W tabeli przedstawiono informacje dotyczące wieku wszystkich uczestników obozu narciarskiego.
egzamin ósmoklasisty

Na którym diagramie poprawnie przedstawiono procentowy podział uczestników obozu ze względu na wiek?

Zadanie 3. (1pkt) W pewnej hurtowni za $120$ jednakowych paczek herbaty trzeba zapłacić $1500zł$. Ile takich paczek herbaty można kupić w tej hurtowni za $600zł$, przy tej samej cenie za jedną paczkę?

$48$

$50$

$52$

$56$

Zadanie 4. (1pkt) Cena brutto = cena netto + podatek VAT.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Jeżeli cena netto $1kg$ jabłek jest równa $2,50zł$, a cena brutto jest równa $2,70zł$, to podatek VAT wynosi $8\%$ od ceny netto.

Jeżeli cena netto podręcznika do matematyki jest równa $22zł$, to cena tej książki z $5\%$ podatkiem VAT wynosi $24,10zł$.

Zadanie 5. (1pkt) Ile spośród liczb: $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{10}{25}, \frac{1}{4}$ spełnia warunek $\frac{2}{5}\lt x\lt\frac{3}{5}$?

Jedna liczba

Dwie liczby

Trzy liczby

Cztery liczby

Zadanie 6. (1pkt) Dane są liczby:
$a=(-2)^{12} \\
b=(-2)^{11} \\
c=(-2)^{10}$

Liczby te uporządkowane od najmniejszej do największej to:

$c, b, a$

$a, b, c$

$c, a, b$

$b, c, a$

Zadanie 7. (1pkt) Dane są liczby $x$ i $y$ spełniające warunki: $x\lt0$ i $y\lt x$.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba $y$ jest ujemna.

Liczba $x$ jest większa od liczby $y$.

Zadanie 8. (1pkt) Wykres przedstawia zależność ilości farby pozostałej w pojemniku (w litrach) od powierzchni ściany (w $m^2$) pomalowanej farbą z tego pojemnika.
egzamin ósmoklasisty

Ile farby pozostało w pojemniku po pomalowaniu $30m^2$ ściany?

$8$ litrów

$12$ litrów

$16$ litrów

$20$ litrów

Zadanie 9. (1pkt) Wykres przedstawia zależność ilości farby pozostałej w pojemniku (w litrach) od powierzchni ściany (w $m^2$) pomalowanej farbą z tego pojemnika.
egzamin ósmoklasisty

Ile farby zużyto na pomalowanie $10m^2$ ściany?

$4$ litry

$8$ litrów

$10$ litrów

$16$ litrów

Zadanie 10. (1pkt) W pudełku było $20$ kul białych i $10$ czarnych. Dołożono jeszcze $10$ kul białych i $15$ czarnych.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przed dołożeniem kul prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej było trzy razy większe niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.

Po dołożeniu kul prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest większe niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

Zadanie 11. (1pkt) Średnia prędkość samochodu na trasie przebytej w czasie $4$ godzin wyniosła $60\frac{km}{h}$.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Aby czas przejazdu był o $1$ godzinę krótszy, średnia prędkość samochodu na tej trasie musiałaby wynosić $80\frac{km}{h}$.

Gdyby średnia prędkość samochodu na tej trasie była równa $40\frac{km}{h}$, to czas przejazdu byłby równy $6$ godzin.

Zadanie 12. (1pkt) Ania ma w skarbonce $99zł$ w monetach o nominałach $2zł$ i $5zł$. Monet dwuzłotowych jest $2$ razy więcej niż pięciozłotowych. Jeżeli przez $x$ oznaczymy liczbę monet pięciozłotowych, a przez $y$ - liczbę monet dwuzłotowych, to podane zależności opisuje układ równań:

$\begin{cases}y=2x \\
2x+5y=99
\end{cases}$

$\begin{cases}y=2x \\
5x+2y=99
\end{cases}$

$\begin{cases}x=2y \\
5x+2y=99
\end{cases}$

$\begin{cases}x=2y \\
2x+5y=99
\end{cases}$

Zadanie 13. (1pkt) W prostopadłościennym akwarium, o wymiarach podanych na rysunku, woda sięga $\frac{2}{3}$ jego wysokości.
egzamin ósmoklasisty

Ile litrów wody jest w akwarium?

$16000$ litrów

$1600$ litrów

$160$ litrów

$16$ litrów

Zadanie 14. (1pkt) W równoległoboku $ABCD$ bok $AB$ jest dwa razy dłuższy od boku $AD$. Punkt $K$ jest środkiem boku $AB$, a punkt $L$ jest środkiem boku $CD$.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Trójkąt $ABL$ ma takie samo pole, jak trójkąt $ABD$.

Pole równoległoboku $ABCD$ jest cztery razy większe od pola trójkąta $AKD$.

Zadanie 15. (1pkt) Punkt $B$ jest środkiem okręgu. Prosta $AC$ jest styczna do okręgu w punkcie $C$, $|AB|=20cm$i $|AC|=16cm$.
egzamin ósmoklasisty

Promień $BC$ okręgu ma długość:

$12cm$

$10cm$

$4cm$

$2cm$

Zadanie 16. (1pkt) Jeden z kątów wewnętrznych trójkąta ma miarę $α$, drugi ma miarę o $30°$ większą niż kąt $α$, a trzeci ma miarę trzy razy większą niż kąt $α$. Trójkąt ten jest:

równoboczny

równoramienny

rozwartokątny

prostokątny

Zadanie 17. (1pkt) Na rysunkach I-IV przedstawiono cztery pary trójkątów.
egzamin ósmoklasisty

Na którym rysunku trójkąty nie są przystające?

III

Zadanie 18. (1pkt) Kąt ostry rombu ma miarę $45°$, a wysokość rombu jest równa $h$. Pole tego rombu można wyrazić wzorem:

$P=h^2$

$P=h^2\sqrt{2}$

$P=\frac{h^2\sqrt{2}}{2}$

$P=\frac{h^2\sqrt{3}}{4}$

Zadanie 19. (1pkt) Siatka ostrosłupa składa się z kwadratu i trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach tego kwadratu.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Wszystkie krawędzie tego ostrosłupa mają taką samą długość.

Wysokość tego ostrosłupa jest mniejsza niż wysokość jego ściany bocznej.

Zadanie 20. (1pkt) Suma objętości $8$ kul, z których każda ma promień $1$, jest taka sama jak objętość jednej kuli o promieniu:

$8\sqrt{3}$

$8$

$2\sqrt{2}$

$2$

Zadanie 21. (3pkt) W pewnej klasie liczba chłopców stanowi $80\%$ liczby dziewcząt. Gdyby do tej klasy doszło jeszcze trzech chłopców, to liczba chłopców byłaby równa liczbie dziewcząt. Ile dziewcząt jest w tej klasie?
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne oznaczenia w takiej formie, że skorzystasz z jednej niewiadomej $x$ (Krok 1.).
ALBO
• Gdy ułożysz niepełny układ równań np. zapisując że $x=y+3$, gdzie $x$ to liczba dziewczyn, natomiast $y$ to liczba chłopców.
2 pkt
• Gdy ułożysz równanie typu $x=0,8x+3$ lub $0,2x=3$ (Krok 2.).
ALBO
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań składający się z równań typu $y=0,8x$ oraz $x=y+3$, gdzie $x$ to liczba dziewczyn, natomiast $y$ to liczba chłopców.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
$x$ - liczba dziewcząt
$0,8x$ - liczba chłopców

Krok 2. Obliczenie liczby dziewczyn.
Po dojściu trzech chłopców mamy równowagę między chłopcami i dziewczynami, więc zajdzie nam równość:
$$x=0,8x+3 \\
0,2x=3 \\
x=15$$

To zgodnie z naszymi zapisami oznacza, że w klasie jest $15$ dziewczyn.

Zadanie 22. (2pkt) Na rysunku przedstawiono trapez $ABCD$ i trójkąt $AFD$. Punkt $E$ leży w połowie odcinka $BC$. Uzasadnij, że pole trapezu $ABCD$ i pole trójkąta $AFD$ są równe.
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy uzasadnisz, że trójkąty $ECD$ oraz $BFE$ są trójkątami przystającymi (Krok 2.), ale nie wyciągniesz z tego wniosków prowadzących do zakończenia zadania.
ALBO
• Gdy podczas rozwiązywania oprzesz się na tym, że trójkąty $ECD$ oraz $BFE$ są trójkątami przystającymi, ale nie udowodnisz tego że są one faktycznie przystające.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Rozpisanie pól powierzchni.
Spójrzmy najpierw na pole trapezu $ABCD$. Jest on sumą pól czworokąta $ABED$ oraz trójkąta $ECD$. Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABCD}=P_{ABED}+P_{ECD}$$

Teraz spójrzmy na trójkąt $AFD$. Tutaj także jedną z części składowych jest czworokąt $ABED$ oraz trójkąt $BFE$:
$$P_{AFD}=P_{ABED}+P_{BFE}$$

Skoro tak, to wystarczyłoby udowodnić że trójkąty $ECD$ oraz $BFE$ są trójkątami przystającymi, czyli że mają jednakowe wymiary i pole powierzchni.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego i przeprowadzenie dowodzenia.
Spróbujmy wprowadzić oznaczenia kątów na naszym rysunku:
egzamin ósmoklasisty

Kąty $CED$ oraz $FEB$ są kątami wierzchołkowymi, więc na pewno mają tą samą miarę.
Kąty $EBF$ oraz $ECD$ to kąty naprzemianległe, więc także mają jednakową miarę.
Dodatkowo z treści zadania wiemy, że $|CE|=|EB|$.

Na podstawie tych informacji możemy stwierdzić, że trójkąty $ECD$ oraz $BFE$ są trójkątami przystającymi na podstawie cechy przystawania trójkątów kąt-bok-kąt. Skoro są to trójkąty przystające to miara ich pól powierzchni jest jednakowa, co ostatecznie powoduje że $P_{ABCD}=P_{AFD}$.

Zadanie 23. (4pkt) Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $80cm^2$, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi $144cm^2$. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi ostrosłupa (Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole powierzchni pojedynczej ściany bocznej ostrosłupa (Krok 4.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa (Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie elementy zadania, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie ten ostrosłup i zaznaczmy w nim najistotniejsze długości które potem przydadzą nam się do obliczenia pożądanych wartości.
egzamin ósmoklasisty

Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
Skoro pole powierzchni całkowitej wynosi $144cm^2$ z czego pole powierzchni bocznej jest równe $80cm^2$, to znaczy że pole podstawy jest równe:
$$144cm^2-80cm^2=64cm^2$$

Krok 3. Obliczenie krawędzi podstawy.
Z treści zadania wiemy, że jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, a skoro tak, to w jego podstawie znajduje się kwadrat. My o tym kwadracie wiemy już to, że jego pole powierzchni jest równe $64cm^2$, zatem krawędź tego kwadratu ma długość:
$$P=a^2 \\
64cm^2=a^2 \\
a=8cm$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Spróbujmy teraz obliczyć wysokość trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej ostrosłupa. Wiemy, że pole powierzchni bocznej jest równe $80cm^2$, a skoro powierzchnię boczną tworzą cztery jednakowe trójkąty, to każdy z nich ma pole powierzchni równe:
$$80cm^2:4=20cm^2$$

Wiemy więc, że trójkąt będący ścianą boczną ma długość podstawy $a=8cm$, wiemy też że jego pole powierzchni jest równe $20cm^2$, więc bez przeszkód obliczymy wysokość tego trójkąta.
$$P=\frac{1}{2}ah \\
20cm^2=\frac{1}{2}\cdot8cm\cdot h \\
20cm^2=4cm\cdot h \\
h=5cm$$

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa.
egzamin ósmoklasisty

W ścianach bocznych naszego ostrosłupa znajdują się trójkąty równoramienne, więc wysokość podzieliła nam podstawę na dwie równe części. To pozwala nam na obliczenie długości krawędzi bocznej (czyli długości $b$) za pomocą Twierdzenia Pitagorasa:
$$4^2+5^2=b^2 \\
16+25=b^2 \\
b^2=41 \\
b=\sqrt{41}[cm]$$

Zdobyłeś/aś: 0/29pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2013 – Odpowiedzi

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2013 – PDF