Egzamin gimnazjalny 2012 - matematyka
Egzamin zawiera 20 zadań zamkniętych oraz 3 zadania otwarte. Łącznie do zdobycia jest 30 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 90 minut.
W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.
Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.
Zadanie 1. (1pkt) Na diagramie przedstawiono wyniki pracy klasowej z matematyki w pewnej klasie.
Z informacji podanych na diagramie wynika, że:
Zadanie 2. (1pkt) Odległość na osi liczbowej między największą i najmniejszą spośród liczb: \(0, \frac{3}{4}, -\frac{5}{2}, -2\) jest równa:
Zadanie 3. (1pkt) Połowa uczestników wycieczki urodziła się w Polsce, co trzeci urodził się w Niemczech, a pięciu pozostałych we Francji. W wycieczce brało udział:
Zadanie 4. (1pkt) Liczba \(\frac{3^2+3^2+3^2}{3^3}\) jest równa:
Zadanie 5. (1pkt) Oceń prawdziwość podanych zdań.
Liczba \(1725\) jest liczbą podzielną przez \(15\).
Liczba \(1725\) jest wielokrotnością \(125\).
Zadanie 6. (1pkt) Glazurnik układał płytki. Wykres przedstawia liczbę ułożonych płytek w zależności od czasu w trakcie ośmiogodzinnego dnia pracy.
Na podstawie wykresu wybierz zdanie fałszywe:
Zadanie 7. (1pkt) Cena płyty kompaktowej po \(30\%\) obniżce wynosi \(49zł\). Cena tej płyty przed obniżką była równa:
Zadanie 8. (1pkt) W turnieju szachowym wzięło udział \(48\) uczniów pewnego gimnazjum. Liczby uczestników turnieju z klas pierwszych, drugich i trzecich są do siebie w proporcji \(3:8:5\). Jaki procent uczestników turnieju stanowili drugoklasiści?
Zadanie 9. (1pkt) W turnieju szachowym wzięło udział \(48\) uczniów pewnego gimnazjum. Liczby uczestników turnieju z klas pierwszych, drugich i trzecich są do siebie w proporcji \(3:8:5\). Liczba uczniów klas pierwszych, którzy wzięli udział w turnieju, jest równa:
Zadanie 10. (1pkt) Organizatorzy konkursu matematycznego przygotowali zestaw, w którym było \(10\) pytań z algebry i \(8\) pytań z geometrii. Uczestnicy konkursu losowali kolejno po jednym pytaniu, które po wylosowaniu było usuwane z zestawu. Pierwszy uczestnik wylosował pytanie z algebry.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez drugą osobę pytania z algebry jest równe \(\frac{9}{17}\).
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez drugą osobę pytania z geometrii się nie zmieniło.
Zadanie 11. (1pkt) Małgosia narysowała równoległobok położony w układzie współrzędnych tak jak na pierwszym rysunku. Kolejne przystające do niego równoległoboki rysowała w taki sposób, że dolny lewy wierzchołek rysowanego równoległoboku był środkiem górnego boku poprzedniego równoległoboku (rysunek 2.).
Małgosia narysowała w opisany sposób czwarty równoległobok. Współrzędna \(y\) prawego górnego wierzchołka tego równoległoboku jest równa:
Zadanie 12. (1pkt) Małgosia narysowała równoległobok położony w układzie współrzędnych tak jak na pierwszym rysunku. Kolejne przystające do niego równoległoboki rysowała w taki sposób, że dolny lewy wierzchołek rysowanego równoległoboku był środkiem górnego boku poprzedniego równoległoboku (rysunek 2.).
Agnieszka narysowała w taki sam sposób \(n\) równoległoboków. Współrzędna \(y\) prawego górnego wierzchołka ostatniego równoległoboku jest równa:
Zadanie 13. (1pkt) Małgosia narysowała równoległobok położony w układzie współrzędnych tak jak na pierwszym rysunku. Kolejne przystające do niego równoległoboki rysowała w taki sposób, że dolny lewy wierzchołek rysowanego równoległoboku był środkiem górnego boku poprzedniego równoległoboku (rysunek 2.).
Współrzędne prawego górnego wierzchołka ostatniego narysowanego równoległoboku są równe \((a,b)\). Współrzędne takiego wierzchołka w następnym równoległoboku będą równe:
Zadanie 14. (1pkt) Piechur porusza się z prędkością \(4\frac{km}{h}\). Każdy jego krok ma długość \(0,8m\). Ile kroków wykona piechur w czasie \(12\) minut?
Zadanie 15. (1pkt) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczone są dwa przystające trójkąty oraz prosta \(p\) tak, jak na rysunku.
Jeden trójkąt jest symetryczny do drugiego względem:
Zadanie 16. (1pkt) Trzy kutry rybackie \(A\), \(B\) i \(C\) są jednakowo oddalone od platformy wiertniczej. Wzajemne położenie kutrów przedstawiono na rysunku. Platforma wiertnicza znajduje się w punkcie \(O\) (niezaznaczonym na rysunku).
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Punkt \(O\) jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta \(ABC\).
Punkt \(O\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\).
Zadanie 17. (1pkt) Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty prostokątne. Czy te trójkąty są trójkątami podobnymi?
Zadanie 18. (1pkt) Kształt i wymiary deski do krojenia przedstawiono na rysunku.
Powierzchnia tej deski (w \(cm^2\)) jest równa:
Zadanie 19. (1pkt) Basen ma kształt prostopadłościanu, którego podstawa (dno basenu) ma wymiary \(15m\times10m\). Do basenu wlano \(240m^3\) wody, która wypełniła go do \(\frac{4}{5}\) głębokości. Jaka jest głębokość tego basenu?
Zadanie 20. (1pkt) Na rysunku przedstawiono walec, stożek i kulę oraz niektóre ich wymiary.
Na podstawie informacji przedstawionych na rysunku wybierz zdanie prawdziwe.
Zadanie 21. (4pkt) Asia, Kasia i Wojtek przesadzają kwiatki do doniczek. Każde z nich ma \(6\)-litrowy worek ziemi ogrodniczej i doniczki dwóch wielkości. Asia wykorzystała całą ziemię, którą dysponowała, i napełniła \(2\) duże doniczki i \(9\) małych. Kasia całą swoją ziemię zużyła do wypełnienia \(4\) dużych i \(6\) małych doniczek. Wojtek chciałby wypełnić ziemią \(5\) dużych i \(4\) małe doniczki. Czy wystarczy mu ziemi, którą ma w worku? Uzasadnij odpowiedź.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny układ równań (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz objętość małej i dużej doniczki (Krok 2.).
ALBO
• Gdy ustalisz, że objętość małej doniczki stanowi \(\frac{2}{3}\) pojemności dużej doniczki lub też że pojemność dużej doniczki jest \(1,5\) razy większa od małej.
3 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie elementy zadania, ale otrzymany wynik będzie błędny jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie obliczenia poprawnie, ale wyciągniesz błędny wniosek związany z tym czy Wojtkowi wystarczy ziemi.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Jest bardzo wiele sposobów by dojść do odpowiedzi na postawione pytanie, ale najprostszą metodą będzie po prostu ułożenie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Wprowadźmy sobie następujące oznaczenia:
\(x\) - pojemność dużej doniczki
\(y\) - pojemność małej doniczki
Wiemy, że Asia użyła \(2\) doniczek dużych i \(9\) małych, wypełniając je sześcioma litrami ziemi, zatem:
$$2x+9y=6$$
W przypadku Wojtka wiemy, że użył on \(4\) duże doniczki i \(6\) małych, zatem:
$$4x+6y=6$$
Mamy dwa równania, więc powstał nam następujący układ równań:
$$\begin{cases}
2x+9y=6 \\
4x+6y=6
\end{cases}$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Musimy rozwiązać powstały układ równań. Najprościej będzie chyba wymnożyć pierwsze równanie przez \(2\) i zastosować metodę podstawiania:
\begin{cases}
2x+9y=6 \quad\bigg/\cdot2\\
4x+6y=6
\end{cases}
\begin{cases}
4x+18y=12 \\
4x+6y=6
\end{cases}
\begin{cases}
4x=12-18y \\
4x+6y=6
\end{cases}
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$12-18y+6y=6 \\
-12y=-6 \\
y=0,5[litra]$$
Znając wartość igreka możemy go podstawić do dowolnego równania i wyznaczyć w ten sposób wartość iksa. Podstawiając \(y=0,5\) do pierwszego równania otrzymamy:
$$2x+9\cdot0,5=6 \\
2x+4,5=6 \\
2x=1,5 \\
x=0,75[litra]$$
To oznacza, że rozwiązaniem naszego układu równań jest para liczb:
$$\begin{cases}
x=0,75 \\
y=0,5
\end{cases}$$
Krok 3. Analiza otrzymanych wyników.
Przedmiotem naszego zadania nie jest jednak tylko wyznaczenie pojemności doniczek, ale odpowiedź na pytanie czy Wojtek jest w stanie zapełnić ziemią swoje doniczki. Skoro Wojtek ma \(5\) duży doniczek i \(4\) małe, to pojemność jego doniczek jest równa:
$$5\cdot0,75+4\cdot0,5=3,75+2=5,75[litra]$$
Wniosek z tego jest taki, że skoro Wojtek ma \(6\) litrów ziemi, a jego doniczki mają objętość równą \(5,75\) litra, to znaczy że chłopcu jak najbardziej wystarczy ziemi i jeszcze zostanie mu w worku \(6-5,75=0,25\) litra ziemi.
Zadanie 22. (2pkt) Trzy proste przecinające się w sposób przedstawiony na rysunku tworzą trójkąt \(ABC\). Uzasadnij, że trójkąt \(ABC\) jest równoboczny.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miarę kąta \(\sphericalangle ABC|=60°\) (Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(|\sphericalangle ABC|=α\) (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CAB\).
Kąt \(CAB\) jest kątem przyległym do kąta o mierze \(120°\), a z własności kątów podobnych wiemy, że suma ich miar wynosi \(180°\). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle CAB|=180°-120°=60°$$
Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\) oraz \(ACB\).
Zacznijmy od kąta \(ABC\). Jest on kątem wierzchołkowym do kąta \(α\) znajdującego się przy wierzchołku \(B\), zatem możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle ABC|=α$$
Mamy więc następującą sytuację:
O naszym trójkącie wiemy, że ma w sobie kąt \(60°\) oraz jakieś dwa kąty o jednakowej mierze \(α\). Spróbujmy zatem wyznaczyć wartość tej \(α\). Wiemy, że suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), zatem prawdziwą będzie równość:
$$2α+60°=180° \\
2α=120° \\
α=60°$$
Czyli:
$$|\sphericalangle ABC|=60° \\
|\sphericalangle ACB|=60°$$
Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Z naszej analizy wynika, że wszystkie kąty trójkąta \(ABC\) mają miarę \(60°\). Jest to charakterystyczna cecha trójkąta równobocznego, zatem udowadniając miary tych poszczególnych kątów możemy stwierdzić, że trójkąt \(ABC\) jest jak najbardziej trójkątem równobocznym.
Zadanie 23. (4pkt) Obwód trapezu równoramiennego jest równy \(72cm\), ramię ma długość \(20cm\), a różnica długości podstaw wynosi \(24cm\). Oblicz pole tego trapezu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krótszej lub dłuższej podstawy (Krok 2.) lub zapiszesz, że suma długości podstaw wynosi \(32cm\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AE\) (Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu (Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie elementy zadania, ale otrzymany wynik będzie zły ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby rozpocząć rozwiązywanie zadania spróbujmy sobie naszkicować nasz trapez, tak aby dostrzec wszelkie zależności z których potem będziemy mogli skorzystać:
Krok 2. Obliczenie długości podstawy dolnej i górnej.
Skoro obwód naszego trapezu jest równy \(72cm\), a ramiona mają długość po \(20cm\) każde, to na obydwie podstawy zostaje nam:
$$72cm-20cm-20cm=32cm$$
Zapiszmy teraz to co wiemy o naszych podstawach w formie wyrażeń algebraicznych:
\(x\) - długość dłuższej podstawy (dolnej)
\(x-24\) - długość krótszej podstawy (górnej)
Skoro suma tych dwóch podstaw ma mieć długość \(32cm\), to prawdziwym będzie równanie:
$$x+(x-24)=32 \\
2x-24=32 \\
2x=56 \\
x=28[cm]$$
To oznacza, że dłuższa podstawa ma \(28cm\), a krótsza ma \(28cm-24cm=4cm\).
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Z własności trapezów równoramiennych wiemy, że \(|AE|=|FB|\). Możemy też wywnioskować, że suma tych dwóch odcinków jest równa dokładnie \(24cm\), czyli tyle ile wynosi różnica między podstawami trapezu. Skoro tak, to odcinek \(AE\) ma długość równą połowie tej różnicy, czyli \(24cm:2=12cm\).
Krok 4. Obliczenie wysokości trapezu.
Skorzystamy tutaj z trójkąta \(AED\) i Twierdzenia Pitagorasa. Szukamy wysokości \(DE\), a znamy już miary \(AE\) oraz \(AD\), zatem:
$$12^2+h^2=20^2 \\
144+h^2=400 \\
h^2=256 \\
h=16[cm]$$
Krok 5. Obliczenie pola trapezu.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, zatem możemy przystąpić do obliczenia pola trapezu:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(28+4)\cdot16 \\
P=\frac{1}{2}\cdot32\cdot16 \\
P=16\cdot16 \\
P=256[cm^2]$$
Poprzednie
Zakończ
Następne
czy w zadaniu 4 prawidłową odpowiedzią nie powinna być odpowiedź B.?
Na pewno nie ;)
Nie,
(3^2 + 3^2 + 3^2) : 3^3 to to samo co (3*3 + 3*3 + 3*3) : 3*3*3
Czyli wychodzi (9 + 9 + 9) : 27
Wychodzi 27 : 27 = 1
Wynik 1 to nie 3^1 bo wyszłoby 3 a nie 1
1 to 3^0, 8^0 = 1, 9^0 = 1 czyli też 3^0 = 1
Czyli poprawna odpowiedź to A
Jak zrobić zadanie 3?
Rozwiązania zadań (wraz z wyjaśnieniami) znajdziesz tutaj:
https://szaloneliczby.pl/egzamin-gimnazjalny-matematyka-2012-odpowiedzi/
1/2x + 1/3x + 5 = x
3/6x + 2/6x + 5 = x
5/6x + 5 = x
Po przerzuceniu mamy 5 = x – 5/6x
5 = 1/6x
5 * 6 = x
30 = x