Egzamin gimnazjalny - Matematyka - 2014

Poniżej znajduje się egzamin gimnazjalny z matematyki 2014. Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin gimnazjalny 2014 - matematyka

Egzamin zawiera 20 zadań zamkniętych oraz 3 zadania otwarte. Łącznie do zdobycia jest 28 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 90 minut.

W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.

Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.

Zadanie 1. (1pkt) Promocja w zakładzie optycznym jest związana z wiekiem klienta i polega na tym, że klient otrzymuje tyle procent zniżki, ile ma lat. Cena okularów bez promocji wynosi $240zł$. Ile zapłaci za te okulary klient, który ma $35$ lat?

$84zł$

$132zł$

$156zł$

$205zł$

Zadanie 2. (1pkt) Promocja w zakładzie optycznym jest związana z wiekiem klienta i polega na tym, że klient otrzymuje tyle procent zniżki, ile ma lat. Okulary bez promocji kosztują $450zł$, a klient zgodnie z obowiązującą promocją może je kupić za $288zł$. Ile lat ma ten klient?

$64$

$56$

$44$

$36$

Zadanie 3. (1pkt) Sześć maszyn produkuje pewną partię jednakowych butelek z tworzywa sztucznego przez $4$ godziny. Każda z maszyn pracuje z taką samą stałą wydajnością.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przez $8$ godzin taką samą partię butelek wykonają $3$ takie maszyny.

Połowę partii takich butelek $6$ maszyn wykona przez $2$ godziny.

Zadanie 4. (1pkt) Liczbą większą od $\frac{1}{3}$ jest:

$\frac{300}{900}$

$\frac{300}{900-1}$

$\frac{300}{900+1}$

$\frac{300-1}{900}$

Zadanie 5. (1pkt) Dane są liczby: $3, 3^4, 3^{12}$. Iloczyn tych liczb jest równy:

$3^{16}$

$3^{17}$

$3^{48}$

$3^{49}$

Zadanie 6. (1pkt) W zawodach sportowych każdy zawodnik miał pokonać trasę składającą się z trzech części. Pierwszą część trasy zawodnik przejechał na rowerze, drugą część − prowadzącą przez jezioro − przepłynął, a trzecią - przebiegł. Na rysunku przedstawiono schemat tej trasy.
egzamin ósmoklasisty

Na podstawie informacji wybierz zdanie prawdziwe.

Cała trasa miała długość $50km$.

Zawodnik przebiegł $8km$.

Odległość, którą zawodnik przebiegł, była o $4km$ większa od odległości, którą przepłynął.

Odległość, którą zawodnik przejechał na rowerze, była $5$ razy większa od odległości, którą przebiegł.

Zadanie 7. (1pkt) Liczba $\sqrt{120}$ znajduje się na osi liczbowej między:

$10$ i $11$

$11$ i $12$

$12$ i $20$

$30$ i $40$

Zadanie 8. (1pkt) Rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{51}{370}$ jest równe $0,1(378)$. Na pięćdziesiątym miejscu po przecinku tego rozwinięcia znajduje się cyfra:

$1$

$3$

$7$

$8$

Zadanie 9. (1pkt) Na rysunkach przedstawiono kształt i sposób układania płytek oraz niektóre wymiary w centymetrach.
egzamin ósmoklasisty

Ułożono wzór z $5$ płytek, jak na rysunku.

Odcinek $x$ ma długość:

$20cm$

$22cm$

$26cm$

$30cm$

Zadanie 10. (1pkt) Na rysunkach przedstawiono kształt i sposób układania płytek oraz niektóre wymiary w centymetrach.
egzamin ósmoklasisty

Które wyrażenie algebraiczne opisuje długość analogicznego do $x$ odcinka dla wzoru złożonego z $n$ płytek?

$6n$

$6n-4$

$4n-2$

$4n+2$

Zadanie 11. (1pkt) Prędkość średnia piechura na trasie $10km$ wyniosła $5\frac{km}{h}$, a prędkość średnia rowerzysty na tej samej trasie była równa $20\frac{km}{h}$.
O ile minut więcej zajęło pokonanie tej trasy piechurowi niż rowerzyście? Wybierz odpowiedź spośród podanych.

$30$ minut

$60$ minut

$90$ minut

$120$ minut

Zadanie 12. (1pkt) Piechur szedł z punktu $A$ do punktu $C$ ze stałą prędkością. Część trasy przeszedł wzdłuż prostej, a część - po łuku okręgu o środku w punkcie $B$ (patrz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Na którym z poniższych wykresów zilustrowano, jak zmieniała się odległość piechura od punktu $B$? Wybierz odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 13. (1pkt) W prostokątnym układzie współrzędnych przedstawiono wykres funkcji.
egzamin ósmoklasisty

Które z poniższych zdań jest fałszywe?

Dla argumentu $2$ wartość funkcji jest równa $3$.

Funkcja przyjmuje wartość $0$ dla argumentu $1$.

Wartość funkcji jest równa $-2$ dla argumentu $-3$.

Dla argumentów większych od $-1$ wartości funkcji są dodatnie.

Zadanie 14. (1pkt) Rzucamy jeden raz sześcienną kostką do gry. Oznaczmy przez $p_{2}$ prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez $2$, a przez $p_{3}$ - prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez $3$.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba $p_{2}$ jest mniejsza od liczby $p_{3}$.

Liczby $p_{2}$ i $p_{3}$ są mniejsze od $\frac{1}{6}$.

Zadanie 15. (1pkt) Ola codziennie, przez tydzień, odczytywała o 7 rano temperaturę powietrza. Oto podane (w $°C$) wyniki jej pomiarów: $−2, 3, 4, 0, −3, 2, 3$. Wybierz odpowiedź, w której podano poprawne wartości średniej arytmetycznej, mediany i amplitudy (różnica między wartością najwyższą i wartością najniższą) zanotowanych temperatur.

Średnia arytmetyczna $7°C$, Mediana $0°C$, Amplituda $1°C$

Średnia arytmetyczna $1°C$, Mediana $0°C$, Amplituda $7°C$

Średnia arytmetyczna $7°C$, Mediana $2°C$, Amplituda $1°C$

Średnia arytmetyczna $1°C$, Mediana $2°C$, Amplituda $7°C$

Zadanie 16. (1pkt) Na rysunku przedstawiono prostokąt, którego wymiary są opisane za pomocą wyrażeń.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Jeden z boków prostokąta ma długość $8$.

Obwód prostokąta jest równy $20$.

Zadanie 17. (1pkt) Szymon wykonał szkielet prostopadłościanu. Układał i sklejał ze sobą kolejno drewniane klocki sześcienne o krawędzi $4cm$ wzdłuż każdej krawędzi prostopadłościennego pudełka o wymiarach: $36cm$, $28cm$, $20cm$. Na rysunku przedstawiono część wykonanego szkieletu.
egzamin ósmoklasisty

Ile klocków łącznie zużył Szymon na wykonanie całego szkieletu?

$84$

$76$

$68$

$60$

Zadanie 18. (1pkt) Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty i jego wymiary.
egzamin ósmoklasisty

Objętość tego graniastosłupa jest równa:

$9\sqrt{6}$

$18\sqrt{2}$

$18\sqrt{6}$

$36\sqrt{2}$

Zadanie 19. (1pkt) Maciek rysuje siatkę ostrosłupa prawidłowego, którego podstawą jest kwadrat o środku w punkcie $O$ i boku długości $8$.
egzamin ósmoklasisty

Czy trójkąt $ABW$ o bokach długości odpowiednio: $8, 5, 5$ może być ścianą boczną takiego ostrosłupa?

Tak

Nie

ponieważ

trójkąt $ABW$ jest równoramienny

odległość $OE$ jest mniejsza niż wysokość $EW$ trójkąta $ABW$

odległość $OE$ jest większa niż wysokość $EW$ trójkąta $ABW$

Zadanie 20. (1pkt) Dane są kula o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ oraz walec o promieniu podstawy $r$ i wysokości $r$.
egzamin ósmoklasisty

Na podstawie informacji wybierz zdanie prawdziwe.

Objętość kuli jest równa objętości walca.

Objętość kuli jest $2$ razy większa od objętości walca.

Objętość walca stanowi $\frac{3}{4}$ objętości kuli.

Objętość walca jest $3$ razy mniejsza od objętości kuli.

Zadanie 21. (3pkt) Cena godziny korzystania z basenu wynosi $12zł$. Można jednak kupić miesięczną kartę rabatową za $50$ złotych, upoważniającą do obniżki cen, i wtedy za pierwsze $10$ godzin pływania płaci się $8$ złotych za godzinę, a za każdą następną godzinę - $9$ złotych. Wojtek kupił kartę rabatową i korzystał z basenu przez $16$ godzin. Czy zakup karty był dla Wojtka opłacalny?
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie koszt korzystania z basenu bez karty rabatowej (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie koszt korzystania z basenu z kartą rabatową (Krok 2.) (może być nawet bez uwzględnienia zakupu samej karty).
2 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie koszt korzystania z basenu w obydwu wariantach, ale nie zapiszesz wniosku końcowego, że karta jest opłacalna.
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość oszczędności bez uwzględnienia tego, że sama karta kosztuje $50zł$, czyli zapiszesz że Wojtek zaoszczędził $58zł$, a nie $8zł$.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie kosztu korzystania z basenu bez karty rabatowej.
Bez posiadania karty rabatowej za korzystanie z basenu przez $16$ godzin zapłacilibyśmy:
$$16\cdot12zł=192zł$$

Krok 2. Obliczenie kosztu korzystania z basenu z kartą rabatową.
Jeżeli zapłacimy $50zł$ za kartę, to możemy korzystać przez $10$ godzin z basenu za $8zł$ za godzinę, a za pozostałe $6$ godzin zapłacimy $9$ złotych za godzinę. Łączy koszt będzie więc równy:
$$50+10\cdot8zł+6\cdot9zł=50+80+54=184zł$$

Wyszło nam z tych obliczeń, że z kartą Wojtek zapłacił $8zł$ mniej niż zapłaciłby bez karty, a to oznacza, że zakup karty rabatowej jest dla Wojtka opłacalny.

Zadanie 22. (2pkt) Uzasadnij, że trójkąty prostokątne $ABC$ i $KLM$ przedstawione na rysunku są podobne.
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy uzasadnisz, że w trójkącie $ABC$ jeden z kątów ostrych ma miarę $60°$ lub $30°$.
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie zależności między długościami boków trójkąta $KLM$, czyli $x, x\sqrt{3}, 2x$.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
egzamin ósmoklasisty

Spójrzmy na trójkąt $ABC$. Wiedząc, że przyprostokątna $AB$ jest połową przeciwprostokątnej $BC$ możemy wywnioskować, że nasz trójkąt $ABC$ jest połową trójkąta równobocznego. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miarę $60°$, zatem $|\sphericalangle ABC|=60°$.

Krok 2. Wyznaczenie miar kątów $ACB$ oraz $KLM$ i zakończenie dowodzenia.
Skoro suma miar kątów w trójkącie jest równa $180°$, to:
$$|\sphericalangle ACB|=180°-90°-60°=30° \\
|\sphericalangle KLM|=180°-90°-60°=30°$$

W ten sposób udało nam się udowodnić, że obydwa trójkąty mają jednakowe miary kątów (30°, 60°, 90°), zatem są one trójkątami podobnymi na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Zadanie 23. (3pkt) Z sześcianu zbudowanego z $64$ małych sześcianów o krawędzi $1cm$ usunięto z każdego narożnika po jednym małym sześcianie (patrz rysunek). Oblicz pole powierzchni powstałej bryły i porównaj je z polem powierzchni dużego sześcianu.
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni sześcianu (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni bocznej jednej ze ścian bocznych w kształcie krzyża (Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni pojedynczej wypustki (Krok 5.).
2 pkt
• Gdy obliczysz dwa z trzech kluczowych elementów - pole powierzchni sześcianu (Krok 1.), pole powierzchni bocznej jednej ze ścian bocznych w kształcie krzyża (Krok 4.) lub pole powierzchni pojedynczej wypustki (Krok 5.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie objętości dużego sześcianu.
Wiemy, że nasz duży sześcian składa się z $64$ małych sześcianików z czego każdy taki mały sześcianik ma krawędź $1cm$. Objętość każdego takiego małego sześcianu o krawędzi $1cm$ wynosi:
$$V=1cm\cdot1cm\cdot1cm=1cm^3$$

Jeżeli mamy $64$ takie sześcianiki, to objętość naszej bryły jest równa:
$$64\cdot1cm^3=64cm^3$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Nam do obliczeń potrzebna będzie długość krawędzi sześcianu, którą wyznaczymy właśnie znając obliczoną przed chwilą objętość bryły:
$$V=a^3 \\
64cm^3=a^3 \\
a=4$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni sześcianu.
Znając krawędź sześcianu bez problemu obliczymy jego pole powierzchni. Nasz sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian z czego każda ma bok długości $4cm$, zatem pole powierzchni sześcianu jest równe:
$$P_{p}=6\cdot4cm\cdot4cm \\
P_{p}=6\cdot16cm^2 \\
P_{p}=96cm^2$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły.
Teraz przystąpimy do obliczenia pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły. W tym celu pomoże nam poniższy rysunek:
egzamin ósmoklasisty

Taka figura znajduje się w każdej ze ścian bocznych, dlatego musimy obliczyć jej pole powierzchni. Możemy to zrobić na różne sposoby np. dzieląc sobie tę figurę na prostokąty i kwadraty, ale najprościej będzie chyba dostrzec, że pole takiej ściany bocznej jest równe polu kwadratu o wymiarach $4cm\times4cm$ pomniejszonego o cztery małe kwadraty o wymiarach $1cm\times1cm$:
$$P=(4cm)^2-4\cdot(1cm)^2 \\
P=16cm^2-4cm^2 \\
P=12cm^2$$

Z racji tego iż mamy sześć takich ścian bocznych, to:
$$P_{b}=6\cdot12cm^2 \\
P_{b}=72cm^2$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni wypustek.
egzamin ósmoklasisty

Każda pojedyncza wypustka tworzy nam trzy małe kwadraty o wymiarach $1cm\times1cm$. Czyli każda taka wypustka powiększa nam pole powierzchni bryły o:
$$3\cdot1cm\cdot1cm=3cm^2$$

Takich wypustek mamy łącznie $8$, więc ich łączne pole powierzchni będzie równe:
$$8\cdot3cm^2=24cm^2$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej nowopowstałej bryły.
Pole powierzchni nowej bryły jest więc równe:
$$P_{c}=72cm^2+24cm^2 \\
P_{c}=96cm^2$$

Zdobyłeś/aś: 0/28pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2014 – Odpowiedzi

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2014 – PDF

Podaj swój nick lub imię*

E-mail

4 komentarzy

Inline Feedbacks

View all comments

karix

Mam jeden problem co do zadania 21. Zapis zadania wygląda tak, jakby każda kolejna godzina kosztowała -9zł a nie 9.
Pozdrawiam.

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to karix

Fakt, zapis jest dość niefortunny, ale taki był po prostu w oficjalnym egzaminie CKE ;)

Bella821

czy w zadaniu 8 prawidłową odpowiedzią nie powinna być odpowiedź c?

Reply to Bella821

Na pewno nie ;) Rozwiązania do tego egzaminu (wraz z objaśnieniami) znajdziesz tutaj:
https://szaloneliczby.pl/egzamin-gimnazjalny-matematyka-2014-odpowiedzi/