Egzamin gimnazjalny - Matematyka - 2015

Poniżej znajduje się egzamin gimnazjalny z matematyki 2015. Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin gimnazjalny 2015 - matematyka

Egzamin zawiera 20 zadań zamkniętych oraz 3 zadania otwarte. Łącznie do zdobycia jest 29 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 90 minut.

W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.

Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.

Zadanie 1. (1pkt) Każda z dwóch kolejek górskich przebywa drogę $150$ metrów w ciągu minuty. Na schemacie zaznaczono niektóre długości trasy pokonywanej przez kolejki.
egzamin ósmoklasisty

Jak długo trwa przejazd kolejki od górnej stacji do punktu $K$?

$5$ minut

$5$ minut i $8$ sekund

$5$ minut i $48$ sekund

$6$ minut

Zadanie 2. (1pkt) Każda z dwóch kolejek górskich przebywa drogę $150$ metrów w ciągu minuty. Na schemacie zaznaczono niektóre długości trasy pokonywanej przez kolejki.
egzamin ósmoklasisty

Z górnej stacji kolejka wyjeżdża o $1$ minutę wcześniej niż z dolnej. Kolejki równocześnie wjeżdżają na pętlę mijania. Długość trasy kolejki od dolnej stacji do punktu $K$ jest równa:

$240m$

$450m$

$600m$

$900m$

Zadanie 3. (1pkt) Na osi liczbowej liczba równa wartości wyrażenia arytmetycznego $\left(1-\frac{5}{6}\right)-0,5$ znajduje się między:

$-1$ i $−0,5$

$−0,5$ i $0$

$0$ i $0,5$

$0,5$ i $1$

Zadanie 4. (1pkt) Dane jest przybliżenie $\sqrt{5}\approx2,236$.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

$\sqrt{20}\approx2\cdot2,236$

$\sqrt{500}\approx22,36$

Zadanie 5. (1pkt) Poniżej podano kilka kolejnych potęg liczby $7$.
$$7^1=7 \\
7^2=49 \\
7^3=343 \\
7^4=2401 \\
7^5=16\;807 \\
7^6=117\;649 \\
7^7=823\;543 \\
7^8=5\;764\;801 \\
7^9=40\;353\;607 \\
...$$

Cyfrą jedności liczby $7^{190}$ jest:

$1$

$3$

$7$

$9$

Zadanie 6. (1pkt) W dodatniej liczbie trzycyfrowej cyfra dziesiątek jest równa $5$, a cyfra setek jest o $6$ mniejsza od cyfry jedności. Ile jest liczb spełniających te warunki?

Jedna

Dwie

Trzy

Cztery

Zadanie 7. (1pkt) Zmieszano dwa gatunki herbaty, droższą i tańszą, w stosunku $2:3$. Cena jednego kilograma tej herbacianej mieszanki wynosi $110zł$. Gdyby te herbaty zmieszano w stosunku $1:4$, to cena za $1kg$ tej mieszanki wynosiłaby $80zł$. Na podstawie podanych informacji zapisano poniższy układ równań:
$$\begin{cases}
\frac{2}{5}x+\frac{3}{5}y=110 \\
\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y=80
\end{cases}$$

Co oznacza $x$ w tym układzie równań?

Cenę $1kg$ herbaty droższej

Cenę $1kg$ herbaty tańszej

Cenę $5kg$ herbaty droższej

Cenę $5kg$ herbaty tańszej

Zadanie 8. (1pkt) Na wykresie przedstawiono, jak zmienia się masa porcji lodów z wafelkiem w zależności od liczby gałek lodów.
egzamin ósmoklasisty

Jaką masę ma jedna gałka tych lodów bez wafelka?

$10g$

$20g$

$30g$

$40g$

Zadanie 9. (1pkt) W konkursie przyznano nagrody pieniężne. Zdobywca pierwszego miejsca otrzymał $5000zł$. Nagroda za zdobycie drugiego miejsca była o $30\%$ mniejsza niż nagroda za zajęcie pierwszego miejsca. Nagroda za zdobycie trzeciego miejsca była o $40\%$ mniejsza niż nagroda za zajęcie drugiego miejsca.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Uczestnik konkursu, który zdobył trzecie miejsce, otrzymał $1400zł$.

Nagroda za zdobycie trzeciego miejsca była o $70\%$ mniejsza od nagrody za zajęcie pierwszego miejsca.

Zadanie 10. (1pkt) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Jeśli wypadnie orzeł, zapisujemy $1$, a jeśli reszka - zapisujemy $2$. Wynikiem doświadczenia jest zapisana liczba dwucyfrowa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zapisana liczba jest podzielna przez $3$?

$0$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

Zadanie 11. (1pkt) Pięć różnych liczb naturalnych zapisano w kolejności od najmniejszej do największej: $1, a, b, c, 10$. Mediana liczb: $1, a, b$ jest równa $3$, a mediana liczb: $a, b, c, 10$ jest równa $5$. Liczba $c$ jest równa:

$4$

$5$

$6$

$7$

Zadanie 12. (1pkt) Liczba $x$ jest dodatnia, a liczba $y$ jest ujemna. Ile spośród liczb: $x\cdot y$, $x-y$, $\frac{x}{y}$, $(y-x)^2$ jest dodatnich?

Jedna

Dwie

Trzy

Cztery

Zadanie 13. (1pkt) Wzór $y=600-100x$ opisuje zależność objętości $y$ (w litrach) wody w zbiorniku od czasu $x$ (w minutach) upływającego podczas opróżniania tego zbiornika. Który wykres przedstawia tę zależność?

Zadanie 14. (1pkt) Jeżeli $a$, $b$ i $c$ są długościami boków trójkąta oraz $c$ jest najdłuższym bokiem, to ten trójkąt jest:
prostokątny, gdy $a^2+b^2=c^2$
rozwartokątny, gdy $a^2+b^2\lt c^2$
ostrokątny, gdy $a^2+b^2\gt c^2$

Z odcinków o długościach: $2\sqrt{3}, 3\sqrt{2}, \sqrt{3}$:

nie można zbudować trójkąta.

można zbudować trójkąt prostokątny.

można zbudować trójkąt rozwartokątny.

można zbudować trójkąt ostrokątny.

Zadanie 15. (1pkt) Proste $m$ i $n$ są styczne do okręgu i przecinają się pod kątem $30°$.
egzamin ósmoklasisty

Miara kąta $α$ jest równa:

$210°$

$230°$

$240°$

$270°$

Zadanie 16. (1pkt) Na rysunku przedstawiono sześciokąt foremny o boku równym $2cm$. Przekątna $AD$ dzieli go na dwa przystające trapezy równoramienne.
egzamin ósmoklasisty

Wysokość trapezu $ABCD$ jest równa:

$\sqrt{2}cm$

$\frac{\sqrt{3}}{2}cm$

$\sqrt{3}$

$2cm$

Zadanie 17. (1pkt) Ania wycięła z kartki papieru dwa jednakowe trójkąty prostokątne o bokach długości $12cm$, $16cm$ i $20cm$. Pierwszy z nich zagięła wzdłuż symetralnej krótszej przyprostokątnej, a drugi - wzdłuż symetralnej dłuższej przyprostokątnej. W ten sposób otrzymała czworokąty pokazane na rysunkach.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole czworokąta I jest równe polu czworokąta II.

Obwód czworokąta I jest mniejszy od obwodu czworokąta II.

Zadanie 18. (1pkt) Rysunki przedstawiają bryłę, której wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi.
egzamin ósmoklasisty

Które wielokąty - I, II, III - przedstawiają siatki bryły takiej, jaką pokazano na powyższych rysunkach?

I, II i III

tylko I i III

tylko II i III

tylko I i II

Zadanie 19. (1pkt) Szklane naczynie w kształcie prostopadłościanu o wymiarach $6cm$, $15cm$ i $18cm$ napełniono częściowo wodą i szczelnie zamknięto. Następnie naczynie postawiono na jego ścianie o największej powierzchni i wtedy woda sięgała do wysokości $4cm$. Kiedy naczynie postawiono na ścianie o najmniejszej powierzchni, to woda sięgała do wysokości:

$8cm$

$10cm$

$12cm$

$16cm$

Zadanie 20. (1pkt) Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny i sześcian. Bryły mają jednakowe podstawy i równe wysokości, a suma objętości tych brył jest równa $36cm^3$.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Objętość sześcianu jest trzy razy większa od objętości ostrosłupa.

Krawędź sześcianu ma długość $3cm$.

Zadanie 21. (3pkt) Maja, Ola i Jagna kupowały zeszyty. Maja za $3$ grube zeszyty i $8$ cienkich zapłaciła $10zł$. Ola kupiła $4$ grube oraz $4$ cienkie zeszyty i również zapłaciła $10zł$. Czy Jagnie wystarczy $10$ złotych na zakup $5$ grubych zeszytów i $1$ cienkiego?
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie obydwa równania tworzące układ równań (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że gruby zeszyt jest czterokrotnie droższy od zeszytu cienkiego.
2 pkt
• Gdy obliczysz ceny obydwu zeszytów (Krok 2.), ale nie ustalisz czy Jagnie wystarczy pieniędzy na zakupy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
$g$ - grube zeszyty
$c$ - cienkie zeszyty

Zgodnie z treścią zadania wiemy, że zakupy Mai możemy opisać równaniem:
$$3g+8c=10$$

Natomiast zakupy Oli możemy zapisać jako:
$$4g+4c=10$$

Krok 2. Zbudowanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch równań zapisanych w kroku pierwszym możemy ułożyć układ równań, którego rozwiązanie pozwoli nam ustalić cenę każdego z tych zeszytów:
$$\begin{cases}
3g+8c=10 \\
4g+4c=10
\end{cases}$$

Najprościej będzie zastosować chyba metodę przeciwnych współczynników, mnożąc drugie równanie przez $-2$. Otrzymamy wtedy:
$$\begin{cases}
3g+8c=10 \\
-8g-8c=-20
\end{cases}$$

Dodając obydwa równania stronami otrzymamy:
$$-5g=-10 \\
g=2$$

Znamy już cenę grubego zeszytu (wynosi ona $2zł$), więc podstawiając ją do dowolnego z równań bez przeszkód obliczymy cenę cienkiego zeszytu. Przykładowo podstawiając to do pierwszego równania otrzymamy:
$$3\cdot2+8c=10 \\
6+8c=10 \\
8c=4 \\
c=0,5$$

W ten sposób wyznaczyliśmy cenę obydwu zeszytów: gruby zeszyt kosztuje $2zł$, a cienki $0,5zł$.

Krok 3. Ustalenie, czy Jagnie wystarczy pieniędzy na zakupy.
Na sam koniec musimy ustalić, czy Jagna będzie w stanie kupić $5$ grubych zeszytów oraz $1$ cienki, mając jedynie $10zł$. Koszt zeszytów Jagny jest równy:
$$5\cdot2zł+1\cdot0,5zł=10zł+0,5zł=10,5$$

To oznacza, że Jagnie nie wystarczy pieniędzy na planowane zakupy.

Zadanie 22. (2pkt) Przekątna prostokąta $ABCD$ nachylona jest do jednego z jego boków pod kątem $30°$. Uzasadnij, że pole prostokąta $ABCD$ jest równe polu trójkąta równobocznego o boku równym przekątnej tego prostokąta.
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy przeprowadzisz dowodzenie na podstawionych przez siebie liczbach.
1 pkt
• Gdy dorysujesz trójkąt $ABE$, wskażesz że trójkąt $ACE$ jest równoboczny i na tym zakończysz dowodzenie (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz miary kątów trójkąta $ACD$ (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie zwizualizować jak będzie wyglądać nasz trójkąt równoboczny i jak rozkładają się poszczególne miary kątów:
egzamin ósmoklasisty

Naszym zadaniem jest udowodnienie, że pole prostokąta $ABCD$ jest równe polu trójkąta $ACE$.

Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów przystających i zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy najpierw na prostokąt $ABCD$. Pole naszego prostokąta $ABCD$ składa się z pól dwóch trójkątów: $ABC$ oraz $ACD$. Wiemy też, że te dwa trójkąty są trójkątami przystającymi (czyli takimi które mają jednakowe miary i tym samym jednakowe pole powierzchni), bo przekątna dzieli zawsze prostokąt na dwie równe części.

Teraz spójrzmy na trójkąt $ACE$, który jest naszym trójkątem równobocznym. Tutaj także mamy dwa trójkąty przystające, tym razem $ABC$ oraz $ABE$ i suma tych dwóch trójkątów daje pole dużego trójkąta równobocznego.

Skoro więc trójkąt $ABC$ jest trójkątem przystającym do $ACD$ oraz $ABE$, to znaczy że te dwa trójkąty ($ACD$ oraz $ABE$) są także przystające względem siebie i mają jednakowe pole powierzchni. To sprawia, że możemy zakończyć dowodzenie, bo udowodniliśmy że pole zarówno prostokąta jak i trójkąta równobocznego składa się z dwóch trójkątów o identycznych polach powierzchni.

Zadanie 23. (4pkt) Po rozklejeniu ściany bocznej pudełka mającego kształt walca otrzymano równoległobok. Jeden z boków tej figury ma długość $44cm$, a jej pole jest równe $220cm^2$. Oblicz objętość tego pudełka. Przyjmij przybliżenie $π$ równe $\frac{22}{7}$.
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość równoległoboku (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość promienia podstawy walca (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość równoległoboku (Krok 1.) oraz długość promienia podstawy walca (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz objętość pudełka, ale otrzymany wynik jest błędny ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy obliczysz objętość pudełka bez wykorzystania zaokrąglenia liczby $π$.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie wysokości równoległoboku.
Skoro podstawa równoległoboku ma długość $44cm$, a jego pole jest równe $220cm^2$, to możemy w prosty sposób obliczyć wysokość tej figury:
$$P=a\cdot h \\
220=44\cdot h \\
h=5[cm]$$

Obliczona przed chwilą wysokość równoległoboku jest tak naprawdę wysokością bryły, co przyda nam się do obliczenia objętości w ostatnim kroku.

Krok 2. Obliczenie długości promienia podstawy walca.
Nasza długość $44cm$ jest tak naprawdę obwodem koła będącego w podstawie walca. Możemy ten fakt wykorzystać do obliczenia długości promienia podstawy, wykorzystując przy okazji przybliżenie $π=\frac{22}{7}$.
$$Obw=2πr \\
44=2\cdot\frac{22}{7}r \\
44=\frac{44}{7}r \quad\bigg/\cdot7 \\
308=44r \\
r=7[cm]$$

Krok 3. Obliczenie objętości pudełka.
Znamy wysokość bryły ($h=5cm$), znamy też długość promienia podstawy ($r=7cm$), więc możemy bez przeszkód obliczyć objętość:
$$V=πr^2\cdot h \\
V=\frac{22}{7}\cdot7^2\cdot5 \\
V=\frac{22}{7}\cdot49\cdot5 \\
V=770[cm^3]$$

Zdobyłeś/aś: 0/29pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2015 – Odpowiedzi

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2015 – PDF

Podaj swój nick lub imię*

E-mail

5 komentarzy

Inline Feedbacks

View all comments

Bella821

Czy w zadaniu pierwszym można obliczyć czas przejazdu kolejki wzorem t= s/v ?

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Bella821

Tak ;)

I czy w zadaniu 18 prawidłową odpowiedzią nie powinna być odpowiedź b? bo wydaje mi się ,że z siatki numer II nie da się złożyć ostrosłupa.

Z siatki II da się złożyć naszą bryłę, a dodatkowo z siatki III tej bryły nie złożysz – zostaje więc odpowiedź B ;)

Hubert

dziękuje powtórzę jeszcze w niedziele przed egzaminem