Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2002

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy akwarium (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz objętość wody wpływającej przez kran w ciągu \(10\) minut (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy akwarium oraz objętość wody wpływającej przez kran w ciągu \(10\) minut (Krok 1. i 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie pola podstawy prostopadłościanu.
Akwarium jest tak naprawdę prostopadłościanem w którego podstawie znajduje się prostokąt o wymiarach \(8dm\times5dm\). Pole podstawy tego prostopadłościanu jest więc równe:
$$P_{p}=8dm\cdot5dm=40dm^2$$

Krok 2. Obliczenie objętości wody.
Woda przepływa z prędkością \(8dm^3\) na minutę. Po \(10\) minutach będziemy więc mieć tej wody:
$$V=8dm^3\cdot10=80dm^3$$

Krok 3. Obliczenie wysokości sięgania wody.
\(80dm^3\) wody wlewa się do prostopadłościanu o podstawie \(40dm^2\). Musimy więc wyliczyć jak wysoko sięgnie ten słup wody, a skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość:
$$V=P_{p}\cdot H \\
80dm^3=40dm^2\cdot H \\
H=2dm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że droga pokonana pieszo stanowi \(\frac{1}{4}x\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy ułożysz odpowiednie równanie (np. \(\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x\)) pozwalające obliczyć niewiadomą \(x\) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - poszukiwana odległość między domem Marcina i jeziorem
\(\frac{3}{4}x\) - odległość pokonana autobusem
\(\frac{1}{4}x\) - odległość pokonana pieszo

Trasa pokonana pieszo jest o \(8km\) krótsza od trasy pokonanej autobusem, zatem:
$$\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Musimy teraz rozwiązać zapisane powyżej równanie, a otrzymana wartość \(x\) będzie poszukiwaną odległością. Najprościej będzie od razu pozbyć się ułamków, mnożąc obydwie strony równania przez \(4\):
$$\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x \quad\bigg/\cdot4 \\
3x-32=x \\
2x=32 \\
x=16[km]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie wymiary deltoidu w skali \(1:1\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole deltoidu z podanych wymiarów w skali \(1:10\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie długości odcinków w skali \(1:1\).
Podane wymiary \(|AC|=4cm\) oraz \(|BD|=2cm\) dotyczą rysunku w skali \(1:10\). Naszym zadaniem będzie obliczenie pola powierzchni latawca takiego jakim jest w rzeczywistości, czyli w skali \(1:1\), więc od razu obliczmy rzeczywiste długości podanych wymiarów.

Skala \(1:10\) oznacza, że dany obiekt na rysunku został pomniejszony dziesięciokrotnie. A skoro tak, to w skali \(1:1\) będziemy mieć:
$$|AC|=4cm\cdot10=40cm \\
|BD|=2cm\cdot10=20cm$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni latawca.
Latawiec jest figurą zwaną deltoidem, której pole wyliczymy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|$$

Długości odcinków \(AC\) oraz \(BD\) są już znane, zatem musimy je tylko podstawić do wzoru na pole powierzchni deltoidu:
$$P=\frac{1}{2}\cdot40cm\cdot20cm \\
P=400cm^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni bocznej tylko pierwszej czapki (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole powierzchni bocznej tylko drugiej czapki (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pola powierzchni bocznych obydwu czapek (Krok 1. i 2.).
3 pkt
• Gdy porównasz pola powierzchni bocznych obydwu czapek i otrzymasz oczekiwany wynik.

Musimy obliczyć ile papieru zużyto na każdą z czapeczek, czyli tak naprawdę musimy obliczyć pole powierzchni bocznej obydwu brył.
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni bocznej pierwszej czapki.
Pierwsza czapka jest w kształcie ostrosłupa sześciokątnego foremnego. W ścianach bocznych mamy trójkąty o podstawie \(10cm\) i wysokości \(30cm\). Zatem każdy taki trójkąt ma pole powierzchni równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot30cm \\
P=150cm^2$$

Z racji tego iż powierzchnią boczną stanowi sześć takich trójkątów to pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b1}=6\cdot150cm^2 \\
P_{b1}=900cm^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej drugiej czapki.
Druga czapka jest w kształcie stożka. Jego pole powierzchni bocznej wyliczymy ze wzoru:
$$P_{b}=πrl$$

Potrzebujemy więc znać długość promienia \(r\) oraz długość tworzącej stożka \(l\). Długość tworzącej jest znana: \(l=30cm\). Pułapką jest natomiast długość promienia, bo na rysunku mamy podaną długość średnicy. Skoro średnica jest równa \(20cm\), to promień będzie równy: \(r=10cm\).

Mając komplet danych możemy je podstawić do wzoru:
$$P_{b2}=π\cdot10cm\cdot30cm \\
P_{b2}=300π\;cm^2$$

Krok 3. Porównanie pól powierzchni bocznych obydwu czapek.
Musimy porównać teraz otrzymane pola powierzchni, gdyż musimy odpowiedzieć na pytanie która czapka zużyła więcej papieru. Aby dokonać tego porównania musimy obliczyć przybliżenie pola powierzchni bocznej drugiej czapki, stosując przybliżenie \(π=3,14\). Zatem:
$$P_{b2}=300π cm^2=300cm^2\cdot3,14=942cm^2$$

Teraz wyraźnie widzimy, że większą powierzchnię boczną ma druga czapka, bo:
$$942cm^2\gt900cm^2\\
P_{b2}\gt P_{b1}$$