Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2018 – Odpowiedzi

B

Szukamy wykresu, który spełnia trzy warunki:
- początkowo waga maleje
- w listopadzie i grudniu (miesiące 11. i 12.) Pan Tomek musi ważyć tyle ile w lipcu (7. miesiąc)
- w żadnym miesiącu nie zanotowano wagi \(76kg\)

Wszystkie te trzy cechy posiada jedynie wykres B.

A

Krok 1. Odczytanie daty zapisanej w systemie rzymskim.
$$M - 1000 \\
C - 100 \\
X - 10 \\
MCMXC - 1990$$

Krok 2. Obliczenie różnicy lat.
Skoro budowla powstał w \(1533\) roku, a renowacja zegara odbyła się w \(1990\) roku, to różnica w latach między tymi wydarzeniami jest równa:
$$1990-1533=457$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
$$\sqrt[3]{8}-3=2-3=-1$$

Liczby ujemne nie są liczbami naturalnymi, więc pierwsze zdanie jest nieprawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
$$\sqrt[3]{64}-\sqrt{25}=4-5=-1$$

To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.

B

Krok 1. Obliczenie zużycia benzyny na dystansie \(150km\).
Z treści zadania wynika, że na pokonanie odcinka \(150km\) samochód zużył dwa razy mniej paliwa niż zużył na początku trasy. Skoro na początku zużył \(27\) litrów, to na dystansie \(150km\) zużył:
$$27l:2=13,5l$$

Krok 2. Obliczenie zużycia benzyny na każde \(100km\).
Możemy ułożyć bardzo prostą proporcję:
Skoro na \(150km\) zużyto \(13,5l\)
To na \(50km\) zużyto \(4,5l\)
Więc na \(100km\) zużyto \(9l\)

D

Krok 1. Obliczenie ile dodano stolików czteroosobowych.
Wiemy, że zabrano \(10\%\) stolików dwuosobowych, czyli zabrano:
$$0,1\cdot20=2$$

To oznacza, że zabrano \(2\) stoliki dwuosobowe i tym samym (zgodnie z treścią zadania) dołożono \(2\) stoliki czteroosobowe.

Krok 2. Obliczenie o ile procent zwiększono liczbę stolików czteroosobowych.
Skoro było \(10\) stolików i doszły nam \(2\) kolejne, do liczba stolików czteroosobowych zwiększyła się o:
$$\frac{2}{10}\cdot100\%=20\%$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$a\cdot b=8^5\cdot4^5=(8\cdot4)^5=32^5$$

To oznacza, że pierwsze zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
$$\frac{a}{b}=\frac{8^5}{4^5}=\frac{(2^3)^5}{(2^2)^5}=\frac{2^{15}}{2^{10}}=2^5$$

To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.

A

$$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4\cdot3}}{\sqrt{225}}=\frac{2\sqrt{3}}{15}$$

E

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - trasa pokonana w pierwszej godzinie
\(x-0,5\) - trasa pokonana w drugiej godzinie
\(x-1\) - trasa pokonana w trzeciej godzinie
\(x-1,5\) - trasa pokonana w czwartej godzinie
\(x-2\) - trasa pokonana w piątej godzinie

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Suma wszystkich tras pokonanych w poszczególnych godzinach ma być równa \(17,5km\), zatem:
$$x+(x-0,5)+(x-1)+(x-1,5)+(x-2)=17,5 \\
5x-5=17,5 \\
5x=22,5 \\
x=4,5$$

A

\(m\) - liczba mężczyzn na początku
\(k\) - liczba kobiet na początku

\(m-2+5=m+3\) - liczba mężczyzn, gdy autobus odjechał
\(k-3+2=k-1\) - liczba kobiet, gdy autobus odjechał

Prawidłowa jest zatem odpowiedź pierwsza.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Aby wynikiem mnożenia (czyli iloczynem) dwóch liczb była liczba ujemna, to jedna z nich musi być dodatnia, a druga ujemna np. \(2\cdot(-3)=-6\). To prowadzi nas do wniosku, że \(x\) oraz \(y\) muszą mieć różne znaki, stąd też zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Jeżeli dwie liczby mają taką samą odległość od zera na osi liczbowej, to albo są to dwie liczby przeciwne np. \(x=-2\) oraz \(y=2\), albo też są to dwie jednakowe wartości np. \(x=2\) oraz \(y=2\) lub też \(x=-2\) oraz \(y=-2\). Sytuację w której są to liczby przeciwne od razu wykluczamy, bo suma tych liczb ma być dodatnia, a przecież suma liczb przeciwnych jest równa \(0\). Wariant w którym są to dwie te same liczby (niezależnie od tego, czy są one dodatnie, równe zero, czy ujemne) także odrzucamy, bo iloczyn takich liczb nie będzie liczbą ujemną. Nie jest więc możliwe, by dwie liczby \(x\) oraz \(y\) znajdujące się w jednakowej odległości od zera spełniały warunki naszego zadania, stąd też jest to nieprawda.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obwód pierwszej figury jest faktycznie równy obwodowi kwadratu \(6\times6\). Najprościej jest to wykazać obliczając tej figury:
$$Obw_{1}=6+6+4+1+2+5=24 \\
Obw_{kw}=4\cdot6=24$$

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą, co można wykazać obliczając obwód tej drugiej figury:
$$Obw_{2}=8+4+5+1+2+1+4=25$$

Obwód tej drugiej figury jest więc o jedną jednostkę większy od obwodu pierwszej figury.

Tak ponieważ opcja C

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich kul.
W pudełku znajduje się:
$$2+2+4=8\text{ kul}$$

Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania czarnej kuli.
Skoro czarnych kul są \(4\) sztuki, a w pudełku znajduje się tych kul \(8\), to szanse wylosowania czarnej kuli są równe \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\).

Prawidłową odpowiedzią jest zatem: Tak, ponieważ kule czarne stanowią połowę wszystkich kul w pudełku.

A

Skoro zaznaczone wierzchołki nie należą do tego samego boku, to znaczy że odcinek \(MP\) jest przekątną naszego kwadratu. Pierwszy brakujący wierzchołek znajdzie się więc w punkcie \(N=(2, -2)\), drugi w punkcie \(S=(-1, 1)\).

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Pierwsza funkcja faktycznie przyjmuje wartość \(0\) (czyli tak naprawdę przecina oś iksów) dla argumentów \(1\) i \(6\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest fałszem. Dla argumentów większych od \(1\) i jednocześnie mniejszych od \(6\) funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a nie ujemne.

C

Krok 1. Podzielenie figury na mniejsze części.
Aby rozwiązać to zadanie musimy podzielić ten wielokąt na dwie różne figury, których pola będziemy w stanie obliczyć. Jedną z figur będzie trójkąt o podstawie długości \(8cm\) i wysokości \(2cm\). Drugą figurą będzie trapez o podstawach \(6cm\) i \(8cm\) oraz wysokości \(3cm\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
$$P_{1}=\frac{1}{2}ah \\
P_{1}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot2 \\
P_{1}=8[cm^2]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trapezu.
$$P_{2}=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot(6+8)\cdot3 \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot14\cdot3 \\
P_{2}=7\cdot3 \\
P_{2}=21$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni figury.
Cała figura jest sumą pól powierzchni trójkąta i trapezu, zatem jej pole będzie równe:
$$P=P_{1}+P_{2} \\
P=8cm^2+21cm^2 \\
P=29cm^2$$

D

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta \(ABC\).
Znamy długości przyprostokątnych, zatem możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
15^2+20^2=c^2 \\
225+400=c^2 \\
c^2=625 \\
c=25[cm]$$

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta \(DEF\).
O przeciwprostokątnej trójkąta \(DEF\) wiemy to, że jej długość jest dwa razy większa od długości przeciwprostokątnej trójkąta \(ABC\) (wynika to z faktu, że obydwa te trójkąty są podobne w skali \(2:1\)). Zatem przeciwprostokątna trójkąta \(DEF\) ma miarę:
$$2\cdot25cm=50cm$$

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Żeby trójkąt mógł mieć obwód \(28cm\), to jego trzeci bok musiałby mieć długość:
$$28cm-12cm-15cm=1cm$$

Trójkąt o bokach długości \(1cm\), \(12cm\) i \(15cm\) nie istnieje, bo suma długości dwóch krótszych boków nie jest większa od długości najdłuższego boku. To oznacza, że ten trójkąt nie może mieć obwodu o długości \(28cm\), czyli zdanie jest fałszywe.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Gdyby trzeci bok miał długość \(3cm\), to długości boków tego trójkąta prezentowałyby się następująco: \(3cm\), \(12cm\) i \(15cm\). Tutaj ponownie, suma długości dwóch krótszych boków nie jest większa od długości największego boku (jest równa, ale nie jest większa), co wyklucza istnienie takiego trójkąta, czyli zdanie jest fałszywe.

B

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(AOB\).
Kąt \(AOB\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle AOB|=360°-280°=80°$$

Krok 2. Wyznaczenie miar kąta \(ABO\).
Trójkąt \(AOB\) jest na pewno równoramienny. Skąd to wiemy? Jego boki \(AO\) oraz \(BO\) mają długość promienia okręgu. To z kolei oznacza, że kąty przy podstawie \(AB\) muszą mieć jednakową miarę. Skoro suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), a \(|\sphericalangle AOB|=80°\), to znaczy, że:
$$|\sphericalangle ABO|=(180°-80°):2=100°:2=50°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Styczna do okręgu jest jednocześnie prostopadła do promienia (to jedna z ważniejszych własności stycznych w okręgach). Skoro tak, to nasz kąt \(α\) będzie mieć miarę:
$$α=90°-50°=40°$$

C

Krok 1. Obliczenie długości boku trójkąta.
Bok trójkąta jest jednocześnie długością przekątnej \(DB\). Przekątna kwadratu o boku \(a=4\) ma długość \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$DB=4\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta równobocznego.
Znając długość boku możemy bez problemu obliczyć pole trójkąta równobocznego, korzystając z następującego wzoru:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{(4\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{16\cdot2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{32\sqrt{3}}{4} \\
P=8\sqrt{3}$$

C

Krok 1. Obliczenie długości promienia podstawy walca.
Znając pole podstawy walca możemy obliczyć długość promienia tej podstawy.
$$P_{p}=πr^2 \\
36π=πr^2 \\
r^2=36 \\
r=6$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej walca.
Skoro pole powierzchni bocznej jest trzykrotnie większe niż pole podstawy, to:
$$P_{b}=36π\cdot3 \\
P_{b}=108π$$

Krok 3. Obliczenie wysokości walca.
Wysokość walca obliczymy z informacji o jego polu powierzchni bocznej. Pole powierzchni bocznej walca określa się wzorem:
$$P_{b}=2πr\cdot H$$

Skoro znamy długość promienia \(r=6\), znamy wartość tego pola powierzchni \(P_{b}=108π\), to bez przeszkód wyznaczymy wysokość bryły:
$$108π=2π\cdot6\cdot H \\
108π=12π\cdot H \\
H=9$$

Uzasadniono obliczając medianę po dodaniu liczby mniejszej lub równej \(5\) i większej od \(5\).

Krok 1. Obliczenie mediany z zestawu liczb \(3, 5, 9\).
Mediana to tak zwana wartość środkowa. Aby obliczyć medianę należy najpierw uporządkować liczby od najmniejszej do największej. To mamy już akurat zrobione w treści zadania, więc możemy przejść do obliczeń. Mediana nieparzystej ilości liczb jest po prostu środkowym wyrazem, zatem mediana z liczb \(3, 5, 9\) jest równa \(m=5\).

Krok 2. Rozpatrzenie mediany po dopisaniu mniejszej lub równej \(5\).
Po dopisaniu liczby mniejszej lub równej \(5\) otrzymamy zestaw liczb:
$$x, 3, 5, 9 \\
\text{lub} \\
3, x, 5, 9$$

W takim przypadku mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów, czyli:
$$m=\frac{3+5}{2}=4 \\
\text{lub} \\
m=\frac{x+5}{2}\le5$$

Wniosek: dodając liczbę mniejszą lub równą \(5\), mediana na pewno nie będzie większa od \(5\).

Krok 3. Rozpatrzenie mediany po dopisaniu liczby większej niż \(5\).
Po dopisaniu liczby większej niż \(5\) otrzymamy zestaw czterech liczb:
$$3, 5, x, 9 \\
\text{lub} \\
3, 5, 9, x$$

W takim przypadku mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów, czyli:
$$m=\frac{5+x}{2}\ge5 \\
\text{lub} \\
m=\frac{5+9}{2}=7$$

W ten sposób udowodniliśmy, że mediana większa od \(5\) jest tylko i wyłącznie w sytuacji, gdy dopisana liczba jest większa od \(5\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie rozpatrzysz wartość mediany tylko dla jednej z możliwych wartości niewiadomej \(x\) (patrz: Krok 2. lub Krok 3.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(310zł\)

Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby - z wykorzystaniem jednej niewiadomej lub z wykorzystaniem dwóch niewiadomych.

Sposób I. Z wykorzystaniem jednej niewiadomej.
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - cena hurtowa kasku
\(x+60\) - cena hurtowa deskorolki

Wiemy też, że ceny sklepowe wyglądają następująco:
\(1,2(x+60)\) - cena sklepowa deskorolki
\(1,4x\) - cena sklepowa kasku

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Wiemy że cena sklepowa deskorolki i kasku wynosi \(397zł\), zatem:
$$1,2(x+60)+1,4x=397 \\
1,2x+72+1,4x=397 \\
2,6x=325 \\
x=125[zł]$$

Krok 3. Obliczenie łącznego kosztu zakupu deskorolki i kasku.
Wiemy, że cena hurtowa kasku wynosi \(x=125zł\). Cena deskorolki jest o \(60zł\) wyższa, zatem deskorolka kosztuje \(125zł+60zł=185zł\). To oznacza, że kask plus deskorolka kosztują:
$$125zł+185zł=310zł$$

Sposób II. Z wykorzystaniem dwóch niewiadomych i układu równań.
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - cena hurtowa deskorolki
\(y\) - cena hurtowa kasku

\(1,2x\) - cena sklepowa deskorolki
\(1,4y\) - cena sklepowa kasku

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Wiemy z treści zadania, że hurtowa cena deskorolki jest o \(60zł\) większa niż kasku, czyli:
$$x=y+60$$

Wiemy też, że cena deskorolki i kasku w sklepie jest równa \(397zł\), zatem:
$$1,2x+1,4y=397$$

Z tych dwóch równań możemy stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
x=y+60 \\
1,2x+1,4y=397
\end{cases}$$

Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, podstawiając iksa z pierwszego równania do drugiego. Otrzymamy wtedy:
$$1,2\cdot(y+60)+1,4y=397 \\
1,2y+72+1,4y=397 \\
2,6y+72=397 \\
2,6y=325 \\
y=125[zł]$$

Znamy już cenę hurtową kasku (\(y=125zł\)), więc korzystając z jednego z równań obliczymy teraz cenę deskorolki:
$$x=y+60 \\
x=125+60 \\
x=185[zł]$$

Krok 3. Obliczenie łącznego kosztu zakupu deskorolki i kasku.
Skoro deskorolka kosztuje \(185zł\), a kask kosztuje \(125zł\), to razem ten zestaw kosztuje w hurtowni:
$$185zł+125zł=310zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia w taki sposób, że opiszesz cenę kasku i deskorolki z wykorzystaniem tylko jednej niewiadomej (patrz: I sposób - Krok 1.).
ALBO
• Gdy ceny kasku i deskorolki opiszesz dwoma różnymi niewiadomymi, ale zapiszesz poprawnie jedno z równań, które wchodzi w skład układu równań (patrz: II sposób - Krok 1. oraz Krok 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie ułożysz równanie z jedną niewiadomą (patrz: I sposób - Krok 2.).
ALBO
• Gdy poprawnie ułożysz układ równań (patrz: II sposób - Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz cenę hurtową deskorolki lub kasku (patrz: I sposób - Krok 2. oraz Krok 3. lub II sposób - Krok 2.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(336cm^3\)

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy i pola podstawy pierwszego graniastosłupa.
Na początku obliczmy z rysunku długość krawędzi podstawy pierwszego graniastosłupa. Będzie ono równe:
$$a=28cm:4=7cm$$

Znając długość krawędzi podstawy możemy obliczyć pole powierzchni graniastosłupa. Wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat (wynika to z faktu, że graniastosłup jest prawidłowy czworokątny). To oznacza, że pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=7^2 \\
P_{p}=49[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie objętości pierwszego graniastosłupa.
Objętość graniastosłupa wyliczymy ze wzoru:
$$V=P_{p}\cdot H$$

Pole podstawy jest już nam znane (\(P_{p}=49cm^2\)), wysokość bryły możemy odczytać z rysunku (\(H=12cm\)), zatem objętość graniastosłupa będzie równa:
$$V_{1}=49\cdot12 \\
V_{1}=588[cm^3]$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi bocznej i pola podstawy drugiego graniastosłupa.
Długość krawędzi podstawy drugiego graniastosłupa jest równa:
$$a=12cm:4=3cm$$

To oznacza, że pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=3^2 \\
P_{p}=9[cm^2]$$

Krok 4. Obliczenie objętości drugiego graniastosłupa.
Skoro \(P_{p}=9cm\) oraz \(H=28cm\), to objętość drugiego ostrosłupa będzie równa:
$$V_{2}=P_{p}\cdot H \\
V_{2}=9\cdot28 \\
V_{2}=252[cm^3]$$

Krok 5. Obliczenie różnicy objętości między pierwszym i drugim graniastosłupem.
Znając objętość jednego i drugiego graniastosłupa możemy obliczyć różnicę tych objętości:
$$V_{1}-V_{2}=588cm^3-252cm^3=336cm^3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy obydwu pudełek (patrz: Krok 1. oraz Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz objętość obydwu pudełek (patrz: Krok 2. oraz Krok 4.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.