Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2016 – Odpowiedzi

B

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. Harcerze dotarli do obozowiska po \(2,5\) godziny.
Komentarz: To zdanie jest prawdą, bo harcerze wędrowali od godziny 13:00 do 15:30, czyli właśnie \(2,5\) godziny.

Odp. B. W ciągu pierwszej godziny harcerze przeszli \(2km\).
Komentarz: To nieprawda, bo w ciągu pierwszej godziny harcerze przeszli \(4km\) (bo odległość do obozowiska zmalała z \(6km\) do \(2km\)).

Odp. C. Podczas wędrówki harcerze zatrzymali się na \(30\)-minutowy postój.
Komentarz: To zdanie jest prawdą, między godziną 14:00 i 14:30 harcerze rzeczywiście mieli \(30\)-minutowy postój.

Odp. D. O godzinie 14:15 harcerze byli w odległości \(2km\) od obozowiska.
Komentarz: To zdanie jest prawdą, z wykresu wyraźnie widać że między 14:00 i 14:30 harcerze przebywali cały czas w odległości \(2km\) od obozowiska.

D

Odległość na osi liczbowej między tymi liczbami będzie równa:
$$\frac{1}{3}-(-2,3)=\frac{1}{3}+2,3$$

C

Krok 1. Zapisanie wszystkich liczb trzycyfrowych.
Z cyfr \(2\), \(3\) i \(5\) możemy utworzyć następujące liczby:
$$235, 253, 325, 352, 523, 532$$

Krok 2. Weryfikacja każdej z odpowiedzi.
Prześledźmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są nieparzyste
Komentarz: To nieprawda, bo tylko dwie liczby są parzyste.

Odp. B. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są mniejsze od \(530\)
Komentarz: To nieprawda, bo liczba \(532\) jest większa od \(530\).

Odp. C. Dwie liczby utworzone przez Anię są podzielne przez \(5\).
Komentarz: To prawda, dwie liczby a mianowicie \(235\) oraz \(325\) są podzielne przez \(5\).

Odp. D. Wśród liczb utworzonych przez Anię są liczby podzielne przez \(3\)
Komentarz: To nieprawda, bo suma cyfr każdej z liczb jest równa \(10\), czyli liczby te nie są podzielne przez \(3\).

D

Aby ustalić która z liczb jest największa musimy sprowadzić liczby albo do wspólnego wykładnika potęgi, albo wspólnej podstawy potęgi. Generalnie wszystkie liczby poza trzecią możemy sprowadzić do podstawy równej \(5\). Trzecią liczbę możemy natomiast porównać z czwartą, sprowadzając je do wspólnego wykładniki potęgi.

Krok 1. Porównanie trzeciej i czwartej liczby.
Trzecia liczba jest równa:
$$2^{862}=4^{431}$$

To oznacza, że czwarta liczba, czyli \(5^{431}\), jest na pewno większa od liczby trzeciej. Wiemy to, bo udało nam się sprowadzić obydwie te liczby do wspólnego wykładnika potęgi równego \(431\), więc większa będzie ta liczba, która ma większą podstawę potęgi.

Krok 2. Porównanie pierwsze, drugiej i czwartej liczby.
Wiemy już, że druga liczba na pewno nie jest największa. Pozostałe trzy liczby możemy sprowadzić do wspólnej podstawy potęgi:
$$25^{41}=5^{82} \\
125^{41}=5^{123} \\
5^{431}$$

Widzimy więc wyraźnie, że zdecydowanie największa będzie liczba \(5^{431}\), bo przy wspólnej podstawie ma ona największy wykładnik potęgi.

D

Aby rozwiązać ten pierwiastek musimy dobrze rozbić liczby, które pod tym pierwiastkiem się znalazły. Naszym celem jest więc doprowadzenie do tego, by jak najwięcej liczb pod tym pierwiastkiem dało się spierwiastkować pierwiastkiem trzeciego stopnia:
$$\sqrt[3]{81\cdot64}=\sqrt[3]{27\cdot3\cdot8\cdot8}= \\
=3\cdot2\cdot2\cdot\sqrt[3]{3}=12\sqrt[3]{3}$$

A

Cena biletu w sezonie zimowym jest o \(20\%\) niższa, zatem wynosi:
$$0,8\cdot40zł=32zł$$

Cena biletu w sezonie letnim jest podwyższona o \(200\%\). Jeżeli byłaby podwyższona o \(100\%\) to bilet byłby dwukrotnie droższy. Skoro cena jest podwyższona o \(200\%\) to bilet będzie trzykrotnie droższy:
$$3\cdot40zł=120zł$$

To oznacza, że bilet na prom w sezonie letnim jest droższy o:
$$120zł-32zł=88zł$$

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z informacji wynika, że pierwsza liczba jest na pewno dodatnia. Druga liczba może być dodatnia lub ujemna (tego nie wiemy). W związku z tym pierwsze zdanie jest fałszem, bo nie mamy pewności że iloraz \(\frac{b}{a}\) jest dodatni. Jeśli \(b\) jest ujemne, a może takie być, to ułamek ten będzie ujemny.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest także fałszem, bo różnica \(b-a\) będzie zawsze ujemna. Przykładowo jak \(b=0\) oraz \(a=2,5\), to \(b-a=-2,5\).

C

Oceńmy prawdziwość każdego ze zdań:
Odp. A. Jest więcej chłopców niż dziewcząt.
Komentarz: To nieprawda, bo skoro dziewczyny stanowią \(\frac{2}{3}\) klasy to znaczy że stanowią one większość.

Odp. B. Liczba dziewcząt stanowi \(\frac{2}{3}\) liczby chłopców.
Komentarz: To jest nieprawda, bowiem dziewczyny stanowią \(\frac{2}{3}\) całej klasy, a nie liczby chłopców, których jest \(\frac{1}{3}\), czyli dwukrotnie mniej.

Odp. C. Jest dwa razy więcej dziewcząt niż chłopców.
Komentarz: To prawda, bo skoro dziewczyn jest \(\frac{2}{3}\), to chłopców jest \(\frac{1}{3}\).

Odp. D. Stosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt jest równy \(1:3\).
Komentarz: To nieprawda, chłopców jest dwukrotnie mniej, zatem stosunek liczby chłopców do liczby dziewczyn wynosi \(1:2\).

B

Wiemy, że obniżka ośmioprocentowa daje nam rabat \(120zł\). Nas interesuje pełna kwota roweru (czyli \(100\%\)), zatem możemy skorzystać z prostej proporcji:
Skoro \(8\%\) to \(120zł\)
To \(1\%\) to \(15zł\)
Więc \(100\%\) to \(1500zł\)

B

Z treści zadania wynika prosta proporcja:
\(12\) dni - \(x\) pracowników
\(9\) dni - \(x+2\) pracowników

W związku z tym, że są to wielkości odwrotnie proporcjonalne (wraz ze wzrostem liczby pracowników spada liczba dni wykonania zamówienia) to nie możemy mnożyć na skos, tylko mnożymy w linii. Otrzymamy zatem równanie:
$$12x=9(x+2)$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest fałszem, bo dla argumentu \(x=4\) funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, a nie największą (dokładnie rzecz ujmując będzie to \(y=-4\)).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą, funkcja rzeczywiście przyjmuje wartość równą \(0\) dla czterech argumentów, co widać chociażby po tym, że funkcja czterokrotnie przecina ona oś iksów.

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W sześciokącie foremnym wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę \(120°\). Wykorzystując własności kątów możemy sobie narysować następujący szkic:


Wiemy, że kąt \(BAK\) ma miarę \(60°\), bo jest to kąt przyległy do kąta \(120°\), a suma miar kątów przyległych jest równa \(180°\). To z kolei oznacza, że powstał nam klasyczny trójkąt o mierze kątów \(30°, 60°, 90°\) z którego własności musimy teraz skorzystać.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(BK\).
Zgodnie z własnościami trójkątów \(30°, 60°, 90°\) możemy zapisać, że długość odcinka \(AB\) jest dwa razy krótsza od długości przeciwprostokątnej, czyli:
$$|AB|=2:2=1$$

Dłuższa przyprostokątna jest o \(\sqrt{3}\) razy większa od krótszej przyprostokątnej, zatem:
$$|BK|=a\sqrt{3}=1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Krok 3. Zapisanie współrzędnych punktu \(K\).
Współrzędną iksową stanowi suma długości boku sześcianu oraz długości dolnej podstawy trójkąta, zatem:
$$x=2+1=3$$

Współrzędna iksowa jest równa długości odcinka \(BK\), zatem:
$$y=\sqrt{3}$$

To oznacza, że współrzędne punktu \(K\) są następujące:
$$K=(3;\sqrt{3})$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W sześciokącie foremnym wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę \(120°\). Wykorzystując własności kątów możemy sobie narysować następujący szkic:


Wiemy, że kąt \(BAK\) ma miarę \(60°\), bo jest to kąt przyległy do kąta \(120°\), a suma miar kątów przyległych jest równa \(180°\). To z kolei oznacza, że powstał nam klasyczny trójkąt o mierze kątów \(30°, 60°, 90°\) z którego własności musimy teraz skorzystać, aby obliczyć długość odcinka \(AB\). To pozwoli nam powiedzieć jak szeroki jest cały sześciokąt.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(AB\).
Zgodnie z własnościami trójkątów \(30°, 60°, 90°\) możemy zapisać, że długość odcinka \(AB\) jest dwa razy krótsza od długości przeciwprostokątnej, czyli:
$$|AB|=2:2=1$$

Krok 3. Wyznaczenie szerokości sześciokąta.


Patrząc na rysunek możemy powiedzieć, że szerokość naszego sześciokąta to długość podstawy plus długości odcinków \(CD\) oraz \(AB\). Odcinek \(CD\) jest równy odcinkowi \(AB\), więc możemy zapisać że szerokość sześciokąta (czyli odcinek \(CB\)) wynosi:
$$1+2+1=4$$

Krok 4. Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka \(L\) i ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wróćmy do naszego rysunku szkicowego i spróbujmy ustalić jaka jest pierwsza współrzędna wierzchołka \(L\). To będzie tak naprawdę odcinek o długości dwóch szerokości sześciokątów, pomniejszony o odcinki \(CD\) oraz \(LE\). W związku z tym możemy zapisać, że pierwsza współrzędna wierzchołka \(L\) jest równa:
$$4\cdot2-2=6$$

Tym samym wiemy już, że pierwsze zdanie jest prawdą.

Krok 5. Wyznaczenie wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka \(M\) i ocena prawdziwości drugiego zdania.
W poprzednim kroku wyznaczyliśmy pierwszą współrzędną prawej części dolnej podstawy drugiego sześciokąta. Teraz musimy ustalić jaka będzie ta współrzędna nie dla drugiego sześciokąta, a dla \(n\)-tego. Co to zmieni w naszych obliczeniach? Tak jak przed chwilą mnożyliśmy szerokość sześciokąta przez \(2\) (bo mieliśmy drugi sześciokąt), tak teraz musimy pomnożyć go przez \(n\) (bo mamy \(n\)-ty sześciokąt). To oznacza, że wartość tej współrzędnej będzie wyrażać się wzorem:
$$4\cdot n-2$$

To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.

C

Krok 1. Obliczenie łącznej liczby lat wszystkich dzieci.
Wiemy, że średnia arytmetyczna wieku Ani i Pawła jest równa \(12\), to znaczy że łącznie mają oni:
$$2\cdot12=24$$

Oprócz tej dwójki mamy jeszcze \(6\)-letnią Kasię, zatem łączna suma lat dzieci będzie równa:
$$24+6=30$$

Krok 2. Obliczenie średniej arytmetyczne wieku dzieci.
Skoro dzieci mają łącznie \(30\) lat i jest ich trójka, to średnia arytmetyczna ich wieku wyniesie:
$$30:3=10$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, a wynika to z tego, że ścianek z liczbami nieparzystymi mamy dwa razy więcej niż tych z liczbami parzystymi (są cztery nieparzyste cyfry oraz dwie parzyste). To właśnie sprawia, że prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby nieparzystej jest dwukrotnie większe.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. Pięć z sześciu ścianek daje nam wynik mniejszy od \(3\), zatem prawdopodobieństwo wyrzucenia wyniku mniejszego od \(3\) jest równe \(\frac{5}{6}\).

C

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest pamiętanie o tym, że styczna do okręgu jest zawsze prostopadła względem promienia/średnicy okręgu. To z kolei oznacza, że nasz kąt \(MBK\) ma miarę \(90°\).


Skoro znamy już miarę dwóch kątów trójkąta \(MKB\), to i trzeci kąt obliczymy bez problemu, pamiętając o tym że suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\):
$$|\sphericalangle AKB|=180°-42°-90°=48°$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie pola kwadratu \(ABCD\).
Jeżeli założymy, że kwadrat ma bok o długości \(a\), to pole kwadratu będzie równe:
$$P_{ABCD}=a^2$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(FEC\).
Skoro bok kwadratu ma długość \(a\), to odcinki \(FC\) oraz \(CE\) mają długość \(\frac{1}{2}a\), bo są to połowy poszczególnych boków kwadratu. Podstawiając te dane do klasycznego wzoru na pole trójkąta otrzymamy:
$$P_{FEC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}a \\
P_{FEC}=\frac{1}{8}a^2$$

Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Porównując te dwa wyniki otrzymane w pierwszym i drugim kroku widzimy, że nasz trójkąt \(FEC\) faktycznie stanowi \(\frac{1}{8}\) pola kwadratu \(ABCD\), czyli pierwsze zdanie jest prawdą.

Krok 4. Obliczenie pola czworokąta \(DBEF\) i ocena prawdziwości drugiego zdania.
Pole tego czworokąta policzymy nieco sprytniej. Nasz czworokąt \(DBEF\) jest tak naprawdę wynikiem odjęcia od pola dużego trójkąta \(DBC\) pola małego trójkąta \(FEC\). Możemy więc matematycznie zapisać, że:
$$P_{DBEF}=P_{DBC}-P_{FEC}$$

Pole trójkąta \(DBC\) jest równe połowie pola kwadratu, a pole trójkąta \(FEC\) obliczyliśmy w poprzednim kroku, zatem:
$$P_{DBEF}=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{8}a^2 \\
P_{DBEF}=\frac{4}{8}a^2-\frac{1}{8}a^2 \\
P_{DBEF}=\frac{3}{8}a^2$$

W związku z tym drugie zdanie jest także prawdą, bo faktycznie pole czworokąta \(DBEF\) stanowi \(\frac{3}{8}\) pola kwadratu \(ABCD\).

A

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(OA\).
Odcinek \(OA\) jest przekątną kwadratu o boku \(1\). Wiedząc, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\) możemy zapisać, że odcinek \(OA\) ma miarę:
$$|OA|=1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OB\).
Długość odcinka \(OB\) jest przekątną prostokąta o bokach \(2\) i \(1\). Możemy więc do wyznaczenia długości przekątnej skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$1^2+2^2=c^2 \\
1+4=c^2 \\
c^2=5 \\
c=\sqrt{5}$$

Zatem \(|OB|=\sqrt{5}\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Tutaj ponownie skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa. Krótsza przyprostokątna \(OA=\sqrt{2}\), dłuższa przyprostokątna \(|OB|=\sqrt{5}\), więc przeciwprostokątna \(AB\) będzie równa:
$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2=c^2 \\
2+5=c^2 \\
c^2=7 \\
c=\sqrt{7}$$

To oznacza, że długość odcinka \(AB\) jest równa \(\sqrt{7}\).

C

Wprowadźmy sobie kilka oznaczeń i zaznaczmy odpowiednie kąty:


Trójkąt \(AEF\) (oraz pozostałe trójkąty w rogach) są na pewno trójkątami równoramiennymi prostokątnymi, stąd też wiemy że kąty ostre w tych trójkątach mają miarę \(45°\).
Idąc dalej, możemy zauważyć że powstały nam pary kątów przyległych. Skoro suma kątów przyległych ma być równa \(180°\), to kąty przyległe do kątów o mierze \(45°\) muszą mieć \(180°-45°=135°\), co zostało oznaczone na rysunku.

To oznacza, że prawidłowa będzie trzecia odpowiedź, czyli że każdy kąt wewnętrzny ośmiokąta ma miarę \(135°\).

Przy okazji warto wyjaśnić sobie skąd wiemy, że pozostałe odpowiedzi są błędne. Jeżeli oznaczymy sobie odcinki \(AE\) oraz \(AF\) jako \(a\), to z własności trójkątów \(90°, 45°, 45°\) wynika, że odcinek \(EF\) ma długość \(a\sqrt{2}\). Wyraźnie więc widzimy, że w ośmiokącie są różne długości boków. To wyklucza więc odpowiedzi A (bo ośmiokąt foremny musi mieć jednakowe długości boków), wyklucza to też odpowiedź B i wyklucza to odpowiedź D, bowiem \(a\sqrt{2}\lt a+a\).

B

Tutaj musimy użyć wyobraźni przestrzennej. Składając siatkę punkt \(P\) pokryje się jedynie z punktem \(Z\). Jeśli nie potrafisz sobie tego wyobrazić, to warto zauważyć, że punkt \(P\) znajduje się po prawej stronie siatki i nie ma możliwości by zbiegł się on w jakikolwiek sposób z punktami będącymi po lewej stronie siatki, czy też z górnym punktem \(W\).

Janek musi wyjąć przynajmniej \(7\) piłeczek.

Krok 1. Ustalenie liczby parzystych i nieparzystych piłeczek.
Liczb parzystych będzie łącznie pięć: \(2,4,6,8,10\)
Liczb nieparzystych będzie łącznie sześć: \(1,3,5,7,9,11\)

Krok 2. Wyznaczenie liczby piłeczek potrzebnych do wyciągnięcia.
Naszym zadaniem jest wylosowanie piłki z liczbą parzystą. W najgorszym możliwym wariancie Janek będzie losował od samego początku liczby nieparzyste. Aby mieć więc pewność, że wylosowana liczba jest parzysta, musimy wylosować przynajmniej \(7\) piłeczek, bo nawet jak sześć pierwszych liczb to będą numery nieparzyste, to siódmy będzie musiał już być parzysty, bo tylko takie zostaną wtedy w puli.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podasz poprawną odpowiedź, ale jej w żaden sposób nie uzasadnisz.
ALBO
• Gdy zauważysz, że można najpierw wyjmować wszystkie piłki z nieparzystymi numerami.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik i go uzasadnisz.

Na wycieczkę pojechało \(72\) uczniów.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - liczba ośmioosobowych przedziałów
\(8x\) - liczba uczniów w pociągu z ośmioosobowymi (bo w każdym przedziale jest ośmiu uczniów)

\(x+3\) - liczba sześcioosobowych przedziałów
\(6(x+3)\) - liczba uczniów w pociągu z sześcioosobowymi przedziałami

Krok 2. Obliczenie liczby przedziałów ośmioosobowych.
Liczba uczniów jest niezmienna, więc między wartościami \(8x\) oraz \(6(x+3)\) możemy postawić znak równości. To pozwoli nam obliczyć niewiadomą \(x\), czyli liczbę przedziałów ośmioosobowych.
$$8x=6(x+3) \\
8x=6x+18 \\
2x=18 \\
x=9$$

To oznacza, że jest dziewięć przedziałów ośmioosobowych.

Krok 3. Obliczenie liczby uczniów.
Skoro wiemy, że było dziewięć przedziałów ośmioosobowych, to znaczy, że uczniów było:
$$9\cdot8=72$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia w taki sposób, że masz tylko jedną niewiadomą \(x\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz jedno z dwóch równań z których da się stworzyć układ równań np. \(\frac{x}{8}=y\) lub \(\frac{x}{6}=y+3\), gdzie \(x\) to liczba uczniów, natomiast \(y\) to liczba zajętych przedziałów.
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie np. \(8x=6(x+3)\).
ALBO
• Gdy zbudujesz poprawny układ równań np. \(\frac{x}{8}=y\) lub \(\frac{x}{6}=y+3\), gdzie \(x\) to liczba uczniów, natomiast \(y\) to liczba zajętych przedziałów.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Objętość półkuli jest czterokrotnie mniejsza od objętości walca.

Krok 1. Obliczenie objętości walca.
Promień podstawy walca jest równy \(r=4cm\), wysokość wynosi \(h=4,5cm\), zatem objętość walca jest równa:
$$V_{w}=πr^2\cdot h \\
V_{w}=π4^2\cdot4,5 \\
V_{w}=16π\cdot4,5 \\
V_{w}=72π[cm^3]$$

Krok 2. Obliczenie objętości półkuli.
Oczywiście wzoru jako takiego na objętość półkuli nie mamy, ale znając wzór na objętość kuli \(V_{k}=\frac{4}{3}πr^3\) możemy pomnożyć całość przez \(\frac{1}{2}\) i otrzymamy wtedy objętość półkuli. Z racji tego iż półkula ma promień o długości \(r=3cm\), to jej objętość będzie równa:
$$V_{p}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}πr^3 \\
V_{p}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}π\cdot3^3 \\
V_{p}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}π\cdot27 \\
V_{p}=\frac{1}{2}\cdot36π \\
V_{p}=18π[cm^3]$$

Krok 3. Obliczenie stosunku objętości walca do objętości półkuli.
Znając obydwie objętości bez problemu możemy odpowiedzieć ile razy objętość półkuli jest mniejsza od objętości walca:
$$\frac{V_{w}}{V_{p}}=\frac{72π\;cm^3}{18π\;cm^3}=4$$

To oznacza, że objętość półkuli jest czterokrotnie mniejsza od objętości walca.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie objętości walca (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz poprawnie objętości półkuli lub kuli (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie objętości walca i półkuli lub walca i kuli (Krok 1. i 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.