Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2013 – Odpowiedzi

\(15\) lat

Chcąc obliczyć medianę moglibyśmy wypisać po kolei wiek wszystkich użytkowników w porządku niemalejącym, czyli \(10,10,10,(...),16,16,16\). Mediana będzie wartością środkową w takim ciągu. Nie musimy jednak wypisywać sobie wieku tych wszystkich uczestników, bo mamy dane podane w bardzo wygodnej tabelce. Musimy tylko ustalić który wyraz tego ciągu jest poszukiwaną przez nas medianą.

W obozie brało udział \(5+3+4+8=20\) uczestników. W związku z tym, że jest to parzysta liczba osób, to mediana będzie średnią arytmetyczną między \(10\)-tym i \(11\)-tym wyrazem.
\(10\)-tym i \(11\)-stym wyrazem w tym ciągu będzie na pewno \(15\) (bo ośmioro dzieci ma wiek \(10\) lub 14 lat, dopiero dziewiąte, dziesiąte, jedenaste i dwunaste dziecko ma \(15\) lat). To oznacza, że mediana jest równa \(15\).

Krok 1. Obliczenie udziałów procentowych każdej grupy wiekowej.
W obozie uczestniczyło \(5+3+4+8=20\) osób. W związku z tym udział procentowy każdej z grup wiekowych prezentuje się następująco:
\(10\)-latkowie: \(\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%\)
\(14\)-latkowie: \(\frac{3}{20}=15\%\)
\(15\)-latkowie: \(\frac{4}{20}=\frac{1}{5}=20\%\)
\(16\)-latkowie: \(\frac{8}{20}=\frac{2}{5}=40\%\)

Krok 2. Analiza poszczególnych wykresów.
Poprawne wartości procentowe znalazły się jedynie na diagramie kołowym z ostatniej odpowiedzi i to jest poszukiwany przez nas wykres.

\(48\)

W tym zadaniu wykorzystamy prostą proporcję:
Skoro za \(1500zł\) można kupić \(120\) paczek
To za \(300zł\) można kupić \(24\) paczki
Więc za \(600zł\) można kupić \(48\) paczek

1. Prawda
2. Fałsz

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo w tym przypadku podatek VAT jest równy \(2,70zł-2,50zł=0,2zł\), a więc jest to \(\frac{0,2zł}{2,5zł}=0,08=8\%\) ceny netto.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą, bo cena z podatkiem VAT będzie wynosić \(22zł\cdot1,05=23,10zł\).

Jedna liczba

Aby wskazać które liczby spełniają ten warunek musimy albo wszystkie ułamki sprowadzić do wspólnego mianownika, albo zamienić te wszystkie ułamki na ułamki dziesiętne. Wygodniej będzie chyba wykonać zamianę na ułamki dziesiętne:
$$\frac{2}{3}\approx0,67 \\
\frac{1}{2}=0,5 \\
\frac{10}{25}=0,4 \\
\frac{1}{4}=0,25$$

Oraz ułamki z naszego warunku:
$$\frac{2}{5}=0,4 \\
\frac{3}{5}=0,6$$

Szukamy więc ułamków które są większe niż \(0,4\) i mniejsze niż \(0,6\). To oznacza, że tylko jeden ułamek spełnia warunki zadania i jest to ułamek \(\frac{1}{2}\).

\(b, c, a\)

Zadanie jest dość podchwytliwe. Wbrew pozorom wcale nie musi być tak, że liczba podniesiona do najmniejszej z potęg będzie najmniejsza.

Krok 1. Ustalenie czy dana liczba jest dodatnia, czy ujemna.
Do potęg podniesione zostały liczby ujemne, dokładnie jest to \(-2\). Jeżeli liczba ujemna jest podniesiona do potęgi parzystej, to wynik potęgowania jest dodatni. Jeżeli liczba ujemna jest podniesiona do potęgi nieparzystej, to wynik potęgowania jest ujemny. Z tej reguły wynika, że:
$$a=(-2)^{12} \rightarrow \text{jest dodatnie} \\
b=(-2)^{11} \rightarrow \text{jest ujemne} \\
c=(-2)^{10} \rightarrow \text{jest dodatnie}$$

I już na podstawie tej prostej analizy widzimy, że najmniejszą liczbą jest \(b=(-2)^{11}\), a to oznacza, że na pewno prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź ostatnia, bo tylko tam liczba \(b\) została wypisana na pierwszym miejscu.

Krok 2. Ustalenie która liczba jest większa.
Załóżmy jednak w ramach ćwiczeń, że musimy jeszcze samodzielnie ustalić czy to liczba \(a\) czy \(c\) jest największa, a tym samym musimy samodzielnie ustalić uporządkowanie tych liczb od najmniejszej do największej. Tutaj już żadnej pułapki nie ma, bowiem \(a=(-2)^{12}\) jest większe od \(c=(-2)^{10}\), gdyż im większa potęga parzysta, tym większa liczba wyjdzie z potęgowania.

Na podstawie analizy z kroku pierwszego i drugiego wiemy już, że najmniejszą liczbą jest \(b=(-2)^{11}\), największą jest \(a=(-2)^{12}\), a pomiędzy nimi będzie \(c=(-2)^{10}\).

1. Prawda
2. Prawda

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Z warunków zadania wynika, że liczba \(x\) jest liczbą ujemną, a liczba \(y\) jest od niej jeszcze mniejsza, więc na pewno także jest to liczba ujemna.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą i wynika to wprost z drugiego warunku \(y\lt x\).

\(8\) litrów

Z wykresu możemy odczytać, że po pomalowaniu \(30m^2\) ściany zostało w pojemniku \(8\) litrów farby.

\(4\) litry

Początkowo w pojemniku było \(20\) litrów farby. Z wykresu wynika, że po pomalowaniu \(10m^2\) zostało w pojemniku już tylko \(16\) litrów. To oznacza, że na pomalowanie \(10m^2\) ściany zużyto:
$$20l-16l=4l$$

1. Fałsz
2. Fałsz

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest nieprawdą. Przed dołożeniem mieliśmy \(20+10=30\) kul. To sprawiało, że na początku prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosiło \(\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\), a czarnej \(\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\). Z tego wynika, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej było na początku dwa razy większe, a nie trzy razy większe.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą. Wynika to chociażby z tego, że po dołożeniu mamy \(30\) kul białych i tylko \(25\) kul czarnych, więc nawet bez liczenia prawdopodobieństwa widać, że skoro czarnych kul jest mniej, to wylosowanie jednej z nich jest po prostu mniejsze niż w przypadku kuli białej.

1. Prawda
2. Prawda

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Skoro samochód jechał z prędkością \(60\frac{km}{h}\) przez \(4\) godziny, to przejechał on trasę:
$$4h\cdot60\frac{km}{h}=240km$$

Gdyby trasę \(240km\) chcieć pokonać w trzy godziny, to prędkość musiałaby wynieść:
$$240km:3h=80\frac{km}{h}$$

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. Wiemy już, że trasa ma długość \(240km\), więc przy średniej prędkości \(40\frac{km}{h}\) czas przejazdu będzie równy:
$$240km:40\frac{km}{h}=6h$$

\(\begin{cases}y=2x \\
5x+2y=99
\end{cases}\)

Krok 1. Wyznaczenie pierwszego równania.
Pierwsze równanie w każdym z przypadków jest związane z liczbą monet. Jeżeli monet dwuzłotowych (\(y\)) jest \(2\) razy więcej niż pięciozłotówek (\(x\)), to aby postawić znak równości między liczbą tych poszczególnych monet musielibyśmy zapisać, że \(y=2x\).

Uwaga: Jeżeli nie rozumiesz dlaczego odbywa się to w ten sposób, to można to pokazać na zwykłych liczbach. Załóżmy, że mamy \(10\) monet pięciozłotowych oraz \(5\) monet dwuzłotowych. Aby postawić znak równości między liczbą tych monet musimy te monety których mamy mniej pomnożyć przez \(2\), czyli zapisać że \(10=2\cdot5\).

Krok 2. Wyznaczenie drugiego równania.
Tym razem interesują nas wartości tych monet. \(X\) monet pięciozłotówek jest wartych \(5x\) złotych. \(Y\) monet dwuzłotowych jest wartych \(2y\) złotych. Razem mają te monety być warte \(99\) złotych, zatem zajdzie równanie:
$$5x+2y=99$$

To oznacza, że prawidłowy układ równań znalazł się w drugiej odpowiedzi.

\(160\) litrów

Krok 1. Obliczenie wysokości słupa wody.
Skoro akwarium ma \(60cm\) wysokości, a woda sięga do \(\frac{2}{3}\) wysokości, to znaczy że słup wody osiąga:
$$\frac{2}{3}\cdot60cm=40cm$$

Krok 2. Obliczenie objętości wody.
Znając wysokość słupa wody możemy teraz obliczyć ile litrów wody znajduje się w akwarium. Z racji tego iż wynik trzeba podać w litrach, a \(1l=1dm^3\), to warto od razu zamienić sobie centymetry na decymetry:
$$V=abc \\
V=80cm\cdot50cm\cdot40cm \\
V=8dm\cdot5dm\cdot4dm \\
V=160dm^3=160l$$

1. Prawda
2. Prawda

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Do obliczenia pola trójkąta potrzebna jest długość podstawy oraz wysokość (\(P=\frac{1}{2}ah\)). Nie znamy dokładnych miar tych dwóch trójkątów, ale wystarczy zauważyć że obydwa trójkąty mają tą samą podstawę oraz ich wysokość ma tą samą długość. To oznacza, że niezależnie od wartości liczbowych pola jednego i drugiego trójkąta będą dokładnie takie same.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. Zarówno równoległobok jak i trójkąt będą mieć dokładnie tą samą wysokość (opuszczoną z wierzchołka \(D\)). To co je różni to długość podstawy. Jeżeli \(|AK|=\frac{1}{2}|AB|\), to pole trójkąta będzie równe:
$$P_{t}=\frac{1}{2}ah \\
P_{t}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|AB|\cdot H \\
P_{t}=\frac{1}{4}|AB|\cdot H$$

Pole równoległoboku będzie natomiast równe:
$$P_{r}=|AB|\cdot H$$

Widzimy wyraźnie, że to co różni te dwa wyrażenia to wartość ułamkowa stojąca przy polu trójkąta. To właśnie ona sprawia, że pole równoległoboku niezależnie od dokładnych wymiarów będzie cztery razy większe od pola trójkąta.

\(12cm\)

Trójkąt \(ABC\) jest trójkątem prostokątnym, bowiem odcinek \(BC\) jest promieniem okręgu, a promień okręgu jest zawsze prostopadły względem stycznej. Ta obserwacja pozwoli nam wyznaczyć długość odcinka \(BC\) z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|BC|^2+16^2=20^2 \\
|BC|^2+256=400 \\
|BC|^2=144 \\
|BC|=12$$

prostokątny

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Zgodnie z treścią zadania wiemy, że:
\(α\) - pierwszy kąt
\(α+30°\) - drugi kąt
\(3α\) - trzeci kąt

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Wiedząc, że suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\) możemy zapisać, że:
$$α+(α+30°)+(3α)=180° \\
5α+30°=180° \\
5α=150° \\
α=30°$$

Krok 3. Wyznaczenie miar wszystkich kątów.
Patrząc na nasze oznaczenia możemy stwierdzić, że poszczególne kąty mają następujące miary:
Pierwszy kąt - \(30°\)
Drugi kąt - \(30°+30°=60°\)
Trzeci kąt - \(3\cdot30°=90°\)

To oznacza, że trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym, bo jeden z jego kątów ma miarę \(90°\).

III

Przeanalizujmy każdą parę trójkątów:
Para I:
Miara trzeciego kąta górnego trójkąta jest równa: \(180°-37°-65°=78°\)
Miara trzeciego kąta dolnego trójkąta jest równa: \(180°-78°-65°=37°\)
To oznacza, że te trójkąty mają jednakowe miary wszystkich kątów, zatem są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Para II:
Mamy trójkąty równoramienne, więc kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Skoro tak, to w trójkącie po lewej stronie kąty przy podstawie mają łączną miarę \(180°-44°=136°\), a skoro są to kąty o jednakowej mierze to każdy z nich ma \(136°:2=68°\).
Trójkąt po prawej stronie jest także równoramienny, więc kąty przy podstawie mają jednakowe miary, czyli będzie to \(68°\) oraz \(68°\), a to z kolei oznacza, że trzeci kąt ma miarę: \(180°-68°-68°=44°\).
Wyszło nam więc, że te trójkąty są podobne zgodnie z cechą kąt-kąt-kąt.

Para III:
Trzeci kąt trójkąta po lewej stronie ma miarę: \(180°-90°-52°=48°\).
Trzeci kąt trójkąta po prawej stronie ma miarę: \(180°-90°-41°=59°\).
Te trójkąty nie mają jednakowych miar kątów, więc nie są trójkątami podobnymi

Para IV:
Trójkąt po lewej stronie ma znane wymiary \(3\) oraz \(5\). Brakuje nam długości jednego z boków, ale widząc że jest to trójkąt prostokątny możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+b^2=5^2 \\
9+b^2=25 \\
b^2=16 \\
b=4$$

Analogiczna sytuacja jest w trójkącie po prawej stronie:
$$a^2+4^2=5^2 \\
a^2+16=25 \\
a^2=9 \\
a=3$$

To oznacza, że te trójkąty są podobne, bo mają jednakowe długości wszystkich boków (cecha bok-bok-bok).

Ostatecznie z naszej analizy wynika, że trójkąty przystające nie znalazły się jedynie na trzecim rysunku.

\(P=h^2\sqrt{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Spójrzmy na trójkąt \(AED\) który chcąc nie chcąc nam się tutaj stworzył. Jest to bardzo charakterystyczny trójkąt prostokątny \(45°,45°,90°\). Z własności tego trójkąta wynika, że jeżeli przyprostokątna ma długość \(h\), to przeciwprostokątna ma długość \(h\sqrt{2}\). Stąd też możemy zapisać, że:
$$|AD|=h\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie pola figury.
Skoro jest to romb, to wszystkie boki są równej długości. Stąd też także bok \(AB\) na który opuszczona jest wysokość będzie mieć długość \(a=h\sqrt{2}\). Znając długość podstawy możemy bez przeszkód obliczyć pole tego rombu:
$$P=a\cdot h \\
P=h\sqrt{2}\cdot h \\
P=h^2\sqrt{2}$$

1. Prawda
2. Prawda

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Skoro wszystkie trójkąty są równoboczne, to wszystkie krawędzie ostrosłupa będą mieć taką samą długość.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. Wszystko wyjaśni poniższy rysunek:


Z rysunku wynika, że możemy wyodrębnić trójkąt prostokątny w którym przyprostokątną jest wysokość graniastosłupa, a przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej. Z racji tego iż w trójkątach prostokątnych przyprostokątne są zawsze krótsze od przeciwprostokątnej, to faktycznie wysokość ostrosłupa będzie mniejsza niż wysokość jego ściany bocznej.

\(2\)

Krok 1. Obliczenie objętości ośmiu małych kul.
Zacznijmy od policzenia objętości pojedynczej małej kuli. Skorzystamy tu ze wzoru na objętość kuli:
$$V=\frac{4}{3}πr^3 \\
V=\frac{4}{3}π\cdot1^3 \\
V=\frac{4}{3}π$$

Skoro mamy \(8\) takich kul, to ich łączna objętość będzie równa:
$$V=\frac{4}{3}π\cdot8$$

I w takiej formie to zostawmy, bo łatwiej nam będzie wykonać obliczenia w kolejnym kroku.

Krok 2. Ustalenie objętości pojedynczej dużej kuli.
Musimy powiedzieć dla jakiego promienia otrzymamy kulę o objętości \(V=\frac{4}{3}π\cdot8\). Czyli musimy powiedzieć kiedy:
$$\frac{4}{3}πr^3=\frac{4}{3}π\cdot8$$

Skracając wszystkie miary zostanie nam:
$$r^3=8 \\
r=2$$

To oznacza, że duża kula musi mieć promień równy \(2\).

W klasie jest \(15\) dziewcząt.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
\(x\) - liczba dziewcząt
\(0,8x\) - liczba chłopców

Krok 2. Obliczenie liczby dziewczyn.
Po dojściu trzech chłopców mamy równowagę między chłopcami i dziewczynami, więc zajdzie nam równość:
$$x=0,8x+3 \\
0,2x=3 \\
x=15$$

To zgodnie z naszymi zapisami oznacza, że w klasie jest \(15\) dziewczyn.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne oznaczenia w takiej formie, że skorzystasz z jednej niewiadomej \(x\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy ułożysz niepełny układ równań np. zapisując że \(x=y+3\), gdzie \(x\) to liczba dziewczyn, natomiast \(y\) to liczba chłopców.
2 pkt
• Gdy ułożysz równanie typu \(x=0,8x+3\) lub \(0,2x=3\) (Krok 2.).
ALBO
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań składający się z równań typu \(y=0,8x\) oraz \(x=y+3\), gdzie \(x\) to liczba dziewczyn, natomiast \(y\) to liczba chłopców.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów przystających.

Krok 1. Rozpisanie pól powierzchni.
Spójrzmy najpierw na pole trapezu \(ABCD\). Jest on sumą pól trapezu \(ABED\) oraz trójkąta \(ECD\). Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABCD}=P_{ABED}+P_{ECD}$$

Teraz spójrzmy na trójkąt \(AFD\). Tutaj także jedną z części składowych jest trapez \(ABED\) oraz trójkąt \(BFE\):
$$P_{AFD}=P_{ABED}+P_{BFE}$$

Skoro tak, to wystarczyłoby udowodnić że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi, czyli że mają jednakowe wymiary i pole powierzchni.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego i przeprowadzenie dowodzenia.
Spróbujmy wprowadzić oznaczenia kątów na naszym rysunku:


Kąty \(CED\) oraz \(FEB\) są kątami wierzchołkowymi, więc na pewno mają tą samą miarę.
Kąty \(EBF\) oraz \(ECD\) to kąty naprzemianległe, więc także mają jednakową miarę.
Dodatkowo z treści zadania wiemy, że \(|CE|=|EB|\).

Na podstawie tych informacji możemy stwierdzić, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi na podstawie cechy przystawania trójkątów kąt-bok-kąt. Skoro są to trójkąty przystające to miara ich pól powierzchni jest jednakowa, co ostatecznie powoduje że \(P_{ABCD}=P_{AFD}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy uzasadnisz, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi (Krok 2.), ale nie wyciągniesz z tego wniosków prowadzących do zakończenia zadania.
ALBO
• Gdy podczas rozwiązywania oprzesz się na tym, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi, ale nie udowodnisz tego że są one faktycznie przystające.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Długość krawędzi podstawy jest równa \(8cm\), natomiast długość krawędzi bocznej ma miarę \(\sqrt{41}\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie ten ostrosłup i zaznaczmy w nim najistotniejsze długości które potem przydadzą nam się do obliczenia pożądanych wartości.


Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
Skoro pole powierzchni całkowitej wynosi \(144cm^2\) z czego pole powierzchni bocznej jest równe \(80cm^2\), to znaczy że pole podstawy jest równe:
$$144cm^2-80cm^2=64cm^2$$

Krok 3. Obliczenie krawędzi podstawy.
Z treści zadania wiemy, że jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, a skoro tak, to w jego podstawie znajduje się kwadrat. My o tym kwadracie wiemy już to, że jego pole powierzchni jest równe \(64cm^2\), zatem krawędź tego kwadratu ma długość:
$$P=a^2
64cm^2=a^2 \\
a=8cm$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Spróbujmy teraz obliczyć wysokość trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej ostrosłupa. Wiemy, że pole powierzchni bocznej jest równe \(80cm^2\), a skoro powierzchnię boczną tworzą cztery jednakowe trójkąty, to każdy z nich ma pole powierzchni równe:
$$80cm^2:4=20cm^2$$

Wiemy więc, że trójkąt będący ścianą boczną ma długość podstawy \(a=8cm\), wiemy też że jego pole powierzchni jest równe \(20cm^2\), więc bez przeszkód obliczymy wysokość tego trójkąta.
$$P=\frac{1}{2}ah \\
20cm^2=\frac{1}{2}\cdot8cm\cdot h \\
20cm^2=4cm\cdot h \\
h=5cm$$

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa.


W ścianach bocznych naszego ostrosłupa znajdują się trójkąty równoramienne, więc wysokość podzieliła nam podstawę na dwie równe części. To pozwala nam na obliczenie długości krawędzi bocznej (czyli długości \(b\)) za pomocą Twierdzenia Pitagorasa:
$$4^2+5^2=b^2 \\
16+25=b^2 \\
b^2=41 \\
b=\sqrt{41}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi ostrosłupa (Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole powierzchni pojedynczej ściany bocznej ostrosłupa (Krok 4.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa (Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie elementy zadania, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.