Egzamin gimnazjalny 2013 - matematyka
Zadanie 1. (1pkt) W tabeli przedstawiono informacje dotyczące wieku wszystkich uczestników obozu narciarskiego.
Mediana wieku uczestników obozu jest równa:
A) \(14\) lat
B) \(14,5\) roku
C) \(15\) lat
D) \(15,5\) roku
Wyjaśnienie:
Chcąc obliczyć medianę moglibyśmy wypisać po kolei wiek wszystkich użytkowników w porządku niemalejącym, czyli \(10,10,10,(...),16,16,16\). Mediana będzie wartością środkową w takim ciągu. Nie musimy jednak wypisywać sobie wieku tych wszystkich uczestników, bo mamy dane podane w bardzo wygodnej tabelce. Musimy tylko ustalić który wyraz tego ciągu jest poszukiwaną przez nas medianą.
W obozie brało udział \(5+3+4+8=20\) uczestników. W związku z tym, że jest to parzysta liczba osób, to mediana będzie średnią arytmetyczną między \(10\)-tym i \(11\)-tym wyrazem.
\(10\)-tym i \(11\)-stym wyrazem w tym ciągu będzie na pewno \(15\) (bo ośmioro dzieci ma wiek \(10\) lub 14 lat, dopiero dziewiąte, dziesiąte, jedenaste i dwunaste dziecko ma \(15\) lat). To oznacza, że mediana jest równa \(15\).
Zadanie 2. (1pkt) W tabeli przedstawiono informacje dotyczące wieku wszystkich uczestników obozu narciarskiego.
Na którym diagramie poprawnie przedstawiono procentowy podział uczestników obozu ze względu na wiek?
Odpowiedź
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie udziałów procentowych każdej grupy wiekowej.
W obozie uczestniczyło \(5+3+4+8=20\) osób. W związku z tym udział procentowy każdej z grup wiekowych prezentuje się następująco:
\(10\)-latkowie: \(\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%\)
\(14\)-latkowie: \(\frac{3}{20}=15\%\)
\(15\)-latkowie: \(\frac{4}{20}=\frac{1}{5}=20\%\)
\(16\)-latkowie: \(\frac{8}{20}=\frac{2}{5}=40\%\)
Krok 2. Analiza poszczególnych wykresów.
Poprawne wartości procentowe znalazły się jedynie na diagramie kołowym z ostatniej odpowiedzi i to jest poszukiwany przez nas wykres.
Zadanie 4. (1pkt) Cena brutto = cena netto + podatek VAT.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Zdanie 1. Jeżeli cena netto \(1kg\) jabłek jest równa \(2,50zł\), a cena brutto jest równa \(2,70zł\), to podatek VAT wynosi \(8\%\) od ceny netto.
Zdanie 2. Jeżeli cena netto podręcznika do matematyki jest równa \(22zł\), to cena tej książki z \(5\%\) podatkiem VAT wynosi \(24,10zł\).
A) 1. Prawda
2. Prawda
B) 1. Prawda
2. Fałsz
C) 1. Fałsz
2. Prawda
D) 1. Fałsz
2. Fałsz
Odpowiedź
1. Prawda
2. Fałsz
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo w tym przypadku podatek VAT jest równy \(2,70zł-2,50zł=0,2zł\), a więc jest to \(\frac{0,2zł}{2,5zł}=0,08=8\%\) ceny netto.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą, bo cena z podatkiem VAT będzie wynosić \(22zł\cdot1,05=23,10zł\).
Zadanie 5. (1pkt) Ile spośród liczb: \(\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{10}{25}, \frac{1}{4}\) spełnia warunek \(\frac{2}{5}\lt x\lt\frac{3}{5}\)?
A) Jedna liczba
B) Dwie liczby
C) Trzy liczby
D) Cztery liczby
Wyjaśnienie:
Aby wskazać które liczby spełniają ten warunek musimy albo wszystkie ułamki sprowadzić do wspólnego mianownika, albo zamienić te wszystkie ułamki na ułamki dziesiętne. Wygodniej będzie chyba wykonać zamianę na ułamki dziesiętne:
$$\frac{2}{3}\approx0,67 \\
\frac{1}{2}=0,5 \\
\frac{10}{25}=0,4 \\
\frac{1}{4}=0,25$$
Oraz ułamki z naszego warunku:
$$\frac{2}{5}=0,4 \\
\frac{3}{5}=0,6$$
Szukamy więc ułamków które są większe niż \(0,4\) i mniejsze niż \(0,6\). To oznacza, że tylko jeden ułamek spełnia warunki zadania i jest to ułamek \(\frac{1}{2}\).
Zadanie 6. (1pkt) Dane są liczby:
\(a=(-2)^{12} \\
b=(-2)^{11} \\
c=(-2)^{10}\)
Liczby te uporządkowane od najmniejszej do największej to:
A) \(c, b, a\)
B) \(a, b, c\)
C) \(c, a, b\)
D) \(b, c, a\)
Wyjaśnienie:
Zadanie jest dość podchwytliwe. Wbrew pozorom wcale nie musi być tak, że liczba podniesiona do najmniejszej z potęg będzie najmniejsza.
Krok 1. Ustalenie czy dana liczba jest dodatnia, czy ujemna.
Do potęg podniesione zostały liczby ujemne, dokładnie jest to \(-2\). Jeżeli liczba ujemna jest podniesiona do potęgi parzystej, to wynik potęgowania jest dodatni. Jeżeli liczba ujemna jest podniesiona do potęgi nieparzystej, to wynik potęgowania jest ujemny. Z tej reguły wynika, że:
$$a=(-2)^{12} \rightarrow \text{jest dodatnie} \\
b=(-2)^{11} \rightarrow \text{jest ujemne} \\
c=(-2)^{10} \rightarrow \text{jest dodatnie}$$
I już na podstawie tej prostej analizy widzimy, że najmniejszą liczbą jest \(b=(-2)^{11}\), a to oznacza, że na pewno prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź ostatnia, bo tylko tam liczba \(b\) została wypisana na pierwszym miejscu.
Krok 2. Ustalenie która liczba jest większa.
Załóżmy jednak w ramach ćwiczeń, że musimy jeszcze samodzielnie ustalić czy to liczba \(a\) czy \(c\) jest największa, a tym samym musimy samodzielnie ustalić uporządkowanie tych liczb od najmniejszej do największej. Tutaj już żadnej pułapki nie ma, bowiem \(a=(-2)^{12}\) jest większe od \(c=(-2)^{10}\), gdyż im większa potęga parzysta, tym większa liczba wyjdzie z potęgowania.
Na podstawie analizy z kroku pierwszego i drugiego wiemy już, że najmniejszą liczbą jest \(b=(-2)^{11}\), największą jest \(a=(-2)^{12}\), a pomiędzy nimi będzie \(c=(-2)^{10}\).
Zadanie 17. (1pkt) Na rysunkach I-IV przedstawiono cztery pary trójkątów.
Na którym rysunku trójkąty nie są przystające?
A) I
B) II
C) III
D) IV
Wyjaśnienie:
Przeanalizujmy każdą parę trójkątów:
Para I:
Miara trzeciego kąta górnego trójkąta jest równa: \(180°-37°-65°=78°\)
Miara trzeciego kąta dolnego trójkąta jest równa: \(180°-78°-65°=37°\)
To oznacza, że te trójkąty mają jednakowe miary wszystkich kątów, zatem są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.
Para II:
Mamy trójkąty równoramienne, więc kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Skoro tak, to w trójkącie po lewej stronie kąty przy podstawie mają łączną miarę \(180°-44°=136°\), a skoro są to kąty o jednakowej mierze to każdy z nich ma \(136°:2=68°\).
Trójkąt po prawej stronie jest także równoramienny, więc kąty przy podstawie mają jednakowe miary, czyli będzie to \(68°\) oraz \(68°\), a to z kolei oznacza, że trzeci kąt ma miarę: \(180°-68°-68°=44°\).
Wyszło nam więc, że te trójkąty są podobne zgodnie z cechą kąt-kąt-kąt.
Para III:
Trzeci kąt trójkąta po lewej stronie ma miarę: \(180°-90°-52°=48°\).
Trzeci kąt trójkąta po prawej stronie ma miarę: \(180°-90°-41°=59°\).
Te trójkąty nie mają jednakowych miar kątów, więc nie są trójkątami podobnymi
Para IV:
Trójkąt po lewej stronie ma znane wymiary \(3\) oraz \(5\). Brakuje nam długości jednego z boków, ale widząc że jest to trójkąt prostokątny możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+b^2=5^2 \\
9+b^2=25 \\
b^2=16 \\
b=4$$
Analogiczna sytuacja jest w trójkącie po prawej stronie:
$$a^2+4^2=5^2 \\
a^2+16=25 \\
a^2=9 \\
a=3$$
To oznacza, że te trójkąty są podobne, bo mają jednakowe długości wszystkich boków (cecha bok-bok-bok).
Ostatecznie z naszej analizy wynika, że trójkąty przystające nie znalazły się jedynie na trzecim rysunku.
Zadanie 21. (3pkt) W pewnej klasie liczba chłopców stanowi \(80\%\) liczby dziewcząt. Gdyby do tej klasy doszło jeszcze trzech chłopców, to liczba chłopców byłaby równa liczbie dziewcząt. Ile dziewcząt jest w tej klasie?
Odpowiedź
W klasie jest \(15\) dziewcząt.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
\(x\) - liczba dziewcząt
\(0,8x\) - liczba chłopców
Krok 2. Obliczenie liczby dziewczyn.
Po dojściu trzech chłopców mamy równowagę między chłopcami i dziewczynami, więc zajdzie nam równość:
$$x=0,8x+3 \\
0,2x=3 \\
x=15$$
To zgodnie z naszymi zapisami oznacza, że w klasie jest \(15\) dziewczyn.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne oznaczenia w takiej formie, że skorzystasz z jednej niewiadomej \(x\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy ułożysz niepełny układ równań np. zapisując że \(x=y+3\), gdzie \(x\) to liczba dziewczyn, natomiast \(y\) to liczba chłopców.
2 pkt
• Gdy ułożysz równanie typu \(x=0,8x+3\) lub \(0,2x=3\) (Krok 2.).
ALBO
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań składający się z równań typu \(y=0,8x\) oraz \(x=y+3\), gdzie \(x\) to liczba dziewczyn, natomiast \(y\) to liczba chłopców.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 22. (2pkt) Na rysunku przedstawiono trapez \(ABCD\) i trójkąt \(AFD\). Punkt \(E\) leży w połowie odcinka \(BC\). Uzasadnij, że pole trapezu \(ABCD\) i pole trójkąta \(AFD\) są równe.
Odpowiedź
Udowodniono wykorzystując własności trójkątów przystających.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozpisanie pól powierzchni.
Spójrzmy najpierw na pole trapezu \(ABCD\). Jest on sumą pól trapezu \(ABED\) oraz trójkąta \(ECD\). Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABCD}=P_{ABED}+P_{ECD}$$
Teraz spójrzmy na trójkąt \(AFD\). Tutaj także jedną z części składowych jest trapez \(ABED\) oraz trójkąt \(BFE\):
$$P_{AFD}=P_{ABED}+P_{BFE}$$
Skoro tak, to wystarczyłoby udowodnić że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi, czyli że mają jednakowe wymiary i pole powierzchni.
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego i przeprowadzenie dowodzenia.
Spróbujmy wprowadzić oznaczenia kątów na naszym rysunku:
Kąty \(CED\) oraz \(FEB\) są kątami wierzchołkowymi, więc na pewno mają tą samą miarę.
Kąty \(EBF\) oraz \(ECD\) to kąty naprzemianległe, więc także mają jednakową miarę.
Dodatkowo z treści zadania wiemy, że \(|CE|=|EB|\).
Na podstawie tych informacji możemy stwierdzić, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi na podstawie cechy przystawania trójkątów kąt-bok-kąt. Skoro są to trójkąty przystające to miara ich pól powierzchni jest jednakowa, co ostatecznie powoduje że \(P_{ABCD}=P_{AFD}\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy uzasadnisz, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi (Krok 2.), ale nie wyciągniesz z tego wniosków prowadzących do zakończenia zadania.
ALBO
• Gdy podczas rozwiązywania oprzesz się na tym, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi, ale nie udowodnisz tego że są one faktycznie przystające.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 23. (4pkt) Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(80cm^2\), a pole jego powierzchni całkowitej wynosi \(144cm^2\). Oblicz długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź
Długość krawędzi podstawy jest równa \(8cm\), natomiast długość krawędzi bocznej ma miarę \(\sqrt{41}\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie ten ostrosłup i zaznaczmy w nim najistotniejsze długości które potem przydadzą nam się do obliczenia pożądanych wartości.
Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
Skoro pole powierzchni całkowitej wynosi \(144cm^2\) z czego pole powierzchni bocznej jest równe \(80cm^2\), to znaczy że pole podstawy jest równe:
$$144cm^2-80cm^2=64cm^2$$
Krok 3. Obliczenie krawędzi podstawy.
Z treści zadania wiemy, że jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, a skoro tak, to w jego podstawie znajduje się kwadrat. My o tym kwadracie wiemy już to, że jego pole powierzchni jest równe \(64cm^2\), zatem krawędź tego kwadratu ma długość:
$$P=a^2
64cm^2=a^2 \\
a=8cm$$
Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Spróbujmy teraz obliczyć wysokość trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej ostrosłupa. Wiemy, że pole powierzchni bocznej jest równe \(80cm^2\), a skoro powierzchnię boczną tworzą cztery jednakowe trójkąty, to każdy z nich ma pole powierzchni równe:
$$80cm^2:4=20cm^2$$
Wiemy więc, że trójkąt będący ścianą boczną ma długość podstawy \(a=8cm\), wiemy też że jego pole powierzchni jest równe \(20cm^2\), więc bez przeszkód obliczymy wysokość tego trójkąta.
$$P=\frac{1}{2}ah \\
20cm^2=\frac{1}{2}\cdot8cm\cdot h \\
20cm^2=4cm\cdot h \\
h=5cm$$
Krok 5. Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa.
W ścianach bocznych naszego ostrosłupa znajdują się trójkąty równoramienne, więc wysokość podzieliła nam podstawę na dwie równe części. To pozwala nam na obliczenie długości krawędzi bocznej (czyli długości \(b\)) za pomocą Twierdzenia Pitagorasa:
$$4^2+5^2=b^2 \\
16+25=b^2 \\
b^2=41 \\
b=\sqrt{41}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi ostrosłupa (Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole powierzchni pojedynczej ściany bocznej ostrosłupa (Krok 4.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa (Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie elementy zadania, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Dodaj komentarz
Bądź pierwszy!