Trygonometria w planimetrii – zadania maturalne

\(h=5\sqrt{2}\)

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Znając miarę kąta między bokami rombu oraz jego pole powierzchni, możemy wyznaczyć długość boku rombu z następującego wzoru dostępnego w tablicach matematycznych:
$$P=a^2\cdot sinα \\
50\sqrt{2}=a^2\cdot sin45° \\
50\sqrt{2}=a^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
100\sqrt{2}=a^2\cdot\sqrt{2} \quad\bigg/:\sqrt{2} \\
a^2=100 \\
a=10$$

Krok 2. Obliczenie wysokości rombu.
Znamy pole powierzchni, znamy długość boku rombu, więc do wyznaczenia poszukiwanej wysokości możemy posłużyć się następującym wzorem na pole rombu:
$$P=a\cdot h \\
50\sqrt{2}=10\cdot h \\
h=5\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu \(a=10\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych np. (\a\cdot h=50\sqrt{2}\) oraz \(\frac{h}{a}=sin45°\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|AD|=3\)

Musimy zauważyć, że trójkąt \(ADC\) jest trójkątem prostokątnym (bo wysokość zawsze jest opuszczana pod kątem prostym). To dość ważna informacja, bo dzięki niej wiemy, że możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych. Skoro znamy miarę kąta jednego z kątów ostrych i znamy długość przeciwprostokątnej \(AC\), to możemy skorzystać z funkcji sinusa:
$$sin30°=\frac{|AD|}{|AC|} \\
\frac{1}{2}=\frac{|AD|}{6} \\
|AD|=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jakąkolwiek zależność z której można obliczyć długość odcinka \(AD\) np. \(sin30°=\frac{|AD|}{6}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Z rysunku widać wyraźnie, że wartość \(h\) (czyli wysokość naszego trapezu) wyliczymy korzystając z sinusa kąta \(60°\). Możemy też zastosować tutaj własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
$$sin60°=\frac{h}{2\sqrt{3}} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{2\sqrt{3}} \\
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2\sqrt{3} \\
h=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$