Trygonometria w planimetrii – zadania maturalne

\(h=5\sqrt{2}\)

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Znając miarę kąta między bokami rombu oraz jego pole powierzchni, możemy wyznaczyć długość boku rombu z następującego wzoru dostępnego w tablicach matematycznych:
$$P=a^2\cdot sinα \\
50\sqrt{2}=a^2\cdot sin45° \\
50\sqrt{2}=a^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
100\sqrt{2}=a^2\cdot\sqrt{2} \quad\bigg/:\sqrt{2} \\
a^2=100 \\
a=10$$

Krok 2. Obliczenie wysokości rombu.
Znamy pole powierzchni, znamy długość boku rombu, więc do wyznaczenia poszukiwanej wysokości możemy posłużyć się następującym wzorem na pole rombu:
$$P=a\cdot h \\
50\sqrt{2}=10\cdot h \\
h=5\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu \(a=10\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych np. (\a\cdot h=50\sqrt{2}\) oraz \(\frac{h}{a}=sin45°\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|AD|=3\)

Musimy zauważyć, że trójkąt \(ADC\) jest trójkątem prostokątnym (bo wysokość zawsze jest opuszczana pod kątem prostym). To dość ważna informacja, bo dzięki niej wiemy, że możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych. Skoro znamy miarę kąta jednego z kątów ostrych i znamy długość przeciwprostokątnej \(AC\), to możemy skorzystać z funkcji sinusa:
$$sin30°=\frac{|AD|}{|AC|} \\
\frac{1}{2}=\frac{|AD|}{6} \\
|AD|=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jakąkolwiek zależność z której można obliczyć długość odcinka \(AD\) np. \(sin30°=\frac{|AD|}{6}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Z rysunku widać wyraźnie, że wartość \(h\) (czyli wysokość naszego trapezu) wyliczymy korzystając z sinusa kąta \(60°\). Możemy też zastosować tutaj własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
$$sin60°=\frac{h}{2\sqrt{3}} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{2\sqrt{3}} \\
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2\sqrt{3} \\
h=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie następująco:


Krok 2. Obliczenie długości boku \(BC\).
W tym zadaniu skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Szukany bok leży naprzeciwko kąta \(BAC\), więc możemy go oznaczyć jako \(c\), a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$c^2=a^b+b^2-2ab\cdot cos|\sphericalangle BAC| \\
c^2=5^2+2^2-2\cdot5\cdot2\cdot\frac{3}{5} \\
c^2=25+4-12 \\
c^2=29-12 \\
c^2=17 \\
c=\sqrt{17} \quad\lor\quad c=-\sqrt{17}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{17}\).

\(cos\gamma=\frac{1}{4}\)

Kąt o największej mierze będą tworzyć dwa najkrótsze boki, które możemy oznaczyć jako \(a=6\) oraz \(b=7\). Najdłuższy bok będzie leżał naprzeciwko tego kąta, czyli \(c=8\). Mając te dane, możemy teraz skorzystać z twierdzenia cosinusów, zatem:
$$8^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cdot cos\gamma \\
64=36+49-84cos\gamma \\
64=85-84cos\gamma \\
-21=-84cos\gamma \\
cos\gamma=\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie wynikające z twierdzenia cosinusów.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z twierdzenia cosinusów możemy zapisać, że:
$$10^2=6^2+5^2-2\cdot6\cdot5\cdot cos\alpha \\
100=36+25-60cos\alpha \\
100=61-60cos\alpha \\
39=-60cos\alpha \\
cos\alpha=-0,65$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wiemy, że gdy \(a^2+b^2=c^2\), to trójkąt jest prostokątny. Rozwinięciem tego twierdzenia jest informacja, że jeżeli \(a^2+b^2\gt c^2\), to trójkąt jest ostrokątny, natomiast gdy \(a^2+b^2\lt c^2\), to trójkąt jest rozwartokątny. W naszym przypadku \(a=6\), \(b=5\) oraz \(c=10\), zatem:
$$a^2+b^2=6^2+5^2=36+25=61 \\
c^2=10^2=100$$

Widzimy więc, że \(a^2+b^2\) jest mniejsze od \(c^2\), zatem jest to trójkąt rozwartokątny. Zdanie jest więc prawdą.

\(|AD|=4\sqrt{7}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Środkowa trójkąta to prosta łącząca wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku tego trójkąta. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie długości środkowej tego trójkąta.
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Znamy długości dwóch boków tego trójkąta i miarę kąta między tymi bokami. Chcąc więc poznać długość boku \(AD\) (czyli boku naprzeciwko kąta o znanej mierze), możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:
$$|AD|^2=|AB|^2+|BD|^2-2\cdot|AB|\cdot|BD|\cdot cos60° \\
|AD|^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cdot\frac{1}{2} \\
|AD|^2=112 \\
|AD|=\sqrt{112} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{112}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy (bo długość boku nie może być ujemna), zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{112}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|AD|=\sqrt{16\cdot7}=4\sqrt{7}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z twierdzenia cosinusów (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.