Egzamin gimnazjalny 2014 - matematyka
Zadanie 3. (1pkt) Sześć maszyn produkuje pewną partię jednakowych butelek z tworzywa sztucznego przez \(4\) godziny. Każda z maszyn pracuje z taką samą stałą wydajnością.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Przez \(8\) godzin taką samą partię butelek wykonają \(3\) takie maszyny.
Połowę partii takich butelek \(6\) maszyn wykona przez \(2\) godziny.
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Załóżmy, że w jedna maszyna w ciągu godziny produkuje \(x\) butelek.
W ciągu \(4\) godzin ta maszyna wyprodukuje \(4x\) butelek, a skoro działa \(6\) takich maszyn, to wyprodukują one łącznie \(6\cdot4x=24x\) butelek.
W proponowanym \(8\)-godzinnym wariancie każda maszyna wyprodukuje przez \(8\) godzin \(8x\) butelek, a skoro pracują \(3\) takie maszyny to łącznie wyprodukują one \(3\cdot8x=24x\) butelek.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. \(6\) maszyn wyprodukuje \(6x\) butelek w ciągu godziny, czyli \(12x\) butelek w ciągu dwóch godzin. To dokładnie połowa partii z treści zadania, bo \(24x:2=12x\).
Zadanie 6. (1pkt) W zawodach sportowych każdy zawodnik miał pokonać trasę składającą się z trzech części. Pierwszą część trasy zawodnik przejechał na rowerze, drugą część − prowadzącą przez jezioro − przepłynął, a trzecią - przebiegł. Na rysunku przedstawiono schemat tej trasy.
Na podstawie informacji wybierz zdanie prawdziwe.
A. Cała trasa miała długość \(50km\).
B. Zawodnik przebiegł \(8km\).
C. Odległość, którą zawodnik przebiegł, była o \(4km\) większa od odległości, którą przepłynął.
D. Odległość, którą zawodnik przejechał na rowerze, była \(5\) razy większa od odległości, którą przebiegł.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie jaką część trasy stanowiło pływanie.
Aby móc sprawdzić poprawność poszczególnych odpowiedzi musimy przede wszystkim obliczyć jakiej długości jest ta trasa. W tym celu musimy ustalić jaką częścią trasy jest pływanie, które odbywa się na dystansie \(1km\). Skoro jazda na rowerze zajmuje \(\frac{4}{5}\) całej trasy, a bieganie zajmuje \(\frac{4}{25}\) trasy, to na pływanie zostaje:
$$1-\frac{4}{5}-\frac{4}{25}= \\
=1-\frac{20}{25}-\frac{4}{25}=\frac{1}{25}$$
Krok 2. Obliczenie długości całej trasy.
Musimy ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(\frac{1}{25}\) trasy to dystans \(1km\)
To cała trasa to dystans \(25km\)
Krok 3. Weryfikacja poszczególnych odpowiedzi.
Odp. A. Cała trasa miała długość \(50km\).
Komentarz: To nieprawda, trasa ma \(25km\).
Odp. B. Zawodnik przebiegł \(8km\).
Komentarz: To nieprawda, bo zawodnik przebiegł \(\frac{4}{25}\cdot25km=4km\).
Odp. C. Odległość, którą zawodnik przebiegł, była o \(4km\) większa od odległości, którą przepłynął.
Komentarz: To nieprawda, bo zawodnik przebiegł \(4km\), a przepłynął \(1km\) (czyli przebiegł o \(3km\) więcej).
Odp. D. Odległość, którą zawodnik przejechał na rowerze, była \(5\) razy większa od odległości, którą przebiegł.
Komentarz: To prawda, bo na rowerze przejechał \(\frac{4}{5}\cdot25=20km\), natomiast przebiegł \(\frac{4}{25}\cdot25km=4km\) (czyli przejechał \(5\) razy większą odległość niż przebiegł).
Zadanie 12. (1pkt) Piechur szedł z punktu \(A\) do punktu \(C\) ze stałą prędkością. Część trasy przeszedł wzdłuż prostej, a część - po łuku okręgu o środku w punkcie \(B\) (patrz rysunek).
Na którym z poniższych wykresów zilustrowano, jak zmieniała się odległość piechura od punktu \(B\)? Wybierz odpowiedź spośród podanych.
Wyjaśnienie:
Na początku trasy (punkt \(A\)) piechur znajdował się bardzo daleko od punktu \(B\). Zanim doszedł do łuku to z każdym kolejnym krokiem przybliżał się do punktu \(B\). Już na podstawie tej prostej analizy można stwierdzić, że pierwsza część wykresu musi być prostą malejącą, bo odległość się zmniejszała. Z tego też względu należy odrzucić odpowiedzi \(B\) oraz \(C\).
Kiedy piechur doszedł do łuku i kiedy zaczął go pokonywać, to za każdym razem utrzymywał on równą odległość od punktu \(B\) (tak naprawdę był zawsze oddalony od punktu \(B\) o długość promienia okręgu). W związku z tym druga część wykresu musi być linią prostą, bo dystans od punktu \(B\) był cały czas taki sam. To oznacza, że zostaje nam już tylko jedna odpowiedź, czyli że prawidłowy jest wykres pierwszy.
Zadanie 14. (1pkt) Rzucamy jeden raz sześcienną kostką do gry. Oznaczmy przez \(p_{2}\) prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez \(2\), a przez \(p_{3}\) - prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez \(3\).
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Liczba \(p_{2}\) jest mniejsza od liczby \(p_{3}\).
Liczby \(p_{2}\) i \(p_{3}\) są mniejsze od \(\frac{1}{6}\).
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) FAŁSZ
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie prawdopodobieństwa wyrzucenia liczby podzielnej przez \(2\) oraz przez \(3\).
Na kostce możemy wylosować jedną z sześciu liczb: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\).
Podzielne przez \(2\) są: \(2, 4, 6\)
Podzielne przez \(3\) są: \(3, 6\)
Prawd. wyrzucenia liczby podzielnej przez \(2\): \(p_{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
Prawd. wyrzucenia liczby podzielnej przez \(3\): \(p_{3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest więc fałszem, bo \(\frac{1}{2}\gt\frac{1}{3}\).
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest fałszywe, bo zarówno \(p_{2}=\frac{1}{2}\) jak i \(p_{3}=\frac{1}{3}\) są większe od \(\frac{1}{6}\).
Zadanie 15. (1pkt) Ola codziennie, przez tydzień, odczytywała o 7 rano temperaturę powietrza. Oto podane (w \(°C\)) wyniki jej pomiarów: \(−2, 3, 4, 0, −3, 2, 3\). Wybierz odpowiedź, w której podano poprawne wartości średniej arytmetycznej, mediany i amplitudy (różnica między wartością najwyższą i wartością najniższą) zanotowanych temperatur.
A. Średnia arytmetyczna \(7°C\), Mediana \(0°C\), Amplituda \(1°C\)
B. Średnia arytmetyczna \(1°C\), Mediana \(0°C\), Amplituda \(7°C\)
C. Średnia arytmetyczna \(7°C\), Mediana \(2°C\), Amplituda \(1°C\)
D. Średnia arytmetyczna \(1°C\), Mediana \(2°C\), Amplituda \(7°C\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Dokonano \(7\) pomiarów, zatem ich średnia arytmetyczna będzie równa:
$$\frac{-2+3+4+0+(-3)+2+3}{7}=\frac{7}{7}=1$$
Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Aby wyznaczyć medianę musimy uporządkować temperatury w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej):
$$−3; −2; 0; 2; 3; 3; 4$$
Mediana to środkowy wyraz tego ciągu liczb, a skoro mamy \(7\) odczytów to medianą będzie czwarta liczba. W tym przypadku jest ona równa \(2\).
Krok 3. Obliczenie amplitudy.
Amplituda to różnica między najwyższą i najniższą temperaturą. Najwyższa temperatura jest równa \(4\), najniższa wynosi \(-3\), zatem amplituda wynosi:
$$4-(-3)=4+3=7$$
Zadanie 16. (1pkt) Na rysunku przedstawiono prostokąt, którego wymiary są opisane za pomocą wyrażeń.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Jeden z boków prostokąta ma długość \(8\).
Obwód prostokąta jest równy \(20\).
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miary dłuższego boku prostokąta.
Prostokąt ma dwie pary równych boków. W naszym przypadku każdy bok został zapisany w nieco innej postaci wyrażenia algebraicznego, co możemy wykorzystać do obliczenia długości poszczególnych boków. W przypadku pary dłuższych boków zachodzi równanie:
$$x=16-x \\
2x=16 \\
x=8$$
Krok 2. Obliczenie miary krótszego boku prostokąta.
Analogicznie jak to było w przypadku dłuższego boku prostokąta, tak i przy krótszym boku możemy ułożyć odpowiednie równanie:
$$y=2y-2 \\
y=2$$
Krok 3. Obliczenie obwodu prostokąta.
Skoro jeden bok prostokąta ma długość \(8\), a drugi ma długość \(2\), to obwód prostokąta wynosi:
$$Obw=2\cdot8+2\cdot2 \\
Obw=16+4 \\
Obw=20$$
Krok 4. Ocena prawdziwości obydwu zdań.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo dłuższy bok prostokąta ma długość \(8\).
Drugie zdanie jest prawdą, bo obwód prostokąta wynosi \(20\).
Zadanie 19. (1pkt) Maciek rysuje siatkę ostrosłupa prawidłowego, którego podstawą jest kwadrat o środku w punkcie \(O\) i boku długości \(8\).
Czy trójkąt \(ABW\) o bokach długości odpowiednio: \(8, 5, 5\) może być ścianą boczną takiego ostrosłupa?
trójkąt \(ABW\) jest równoramienny
odległość \(OE\) jest mniejsza niż wysokość \(EW\) trójkąta \(ABW\)
odległość \(OE\) jest większa niż wysokość \(EW\) trójkąta \(ABW\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości \(EW\).
Aby obliczyć długość odcinka \(EW\) musimy posłużyć się Twierdzeniem Pitagorasa:
$$4^2+|EW|^2=5^2 \\
16+|EW|^2=25 \\
|EW|^2=9 \\
|EW|=3$$
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OE\).
Odcinek \(OE\) ma długość równą połowie boku kwadratu, czyli \(OE=4\).
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Gdyby kawałek naszej siatki pokazać na rysunku ostrosłupa, to otrzymalibyśmy mniej więcej coś takiego:
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OEW\). W trójkątach prostokątnych najdłuższym bokiem jest zawsze przeciwprostokątna. W tym przypadku, po złożeniu siatki tak się nie stało, bo przeciwprostokątną jest odcinek \(EW=3\), a dolna przyprostokątna ma długość \(OE=4\), co stoi w sprzeczności z zasadami budowy trójkątów prostokątnych. To właśnie ta informacja oznacza, że taki ostrosłup jest po prostu niemożliwy do stworzenia.
Zadanie 21. (3pkt) Cena godziny korzystania z basenu wynosi \(12zł\). Można jednak kupić miesięczną kartę rabatową za \(50\) złotych, upoważniającą do obniżki cen, i wtedy za pierwsze \(10\) godzin pływania płaci się \(8\) złotych za godzinę, a za każdą następną godzinę - \(9\) złotych. Wojtek kupił kartę rabatową i korzystał z basenu przez \(16\) godzin. Czy zakup karty był dla Wojtka opłacalny?
Odpowiedź
Zakup karty rabatowej przez Wojtka jest opłacalny.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie kosztu korzystania z basenu bez karty rabatowej.
Bez posiadania karty rabatowej za korzystanie z basenu przez \(16\) godzin zapłacilibyśmy:
$$16\cdot12zł=192zł$$
Krok 2. Obliczenie kosztu korzystania z basenu z kartą rabatową.
Jeżeli zapłacimy \(50zł\) za kartę, to możemy korzystać przez \(10\) godzin z basenu za \(8zł\) za godzinę, a za pozostałe \(6\) godzin zapłacimy \(9\) złotych za godzinę. Łączy koszt będzie więc równy:
$$50+10\cdot8zł+6\cdot9zł=50+80+54=184zł$$
Wyszło nam z tych obliczeń, że z kartą Wojtek zapłacił \(8zł\) mniej niż zapłaciłby bez karty, a to oznacza, że zakup karty rabatowej jest dla Wojtka opłacalny.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie koszt korzystania z basenu bez karty rabatowej (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie koszt korzystania z basenu z kartą rabatową (Krok 2.) (może być nawet bez uwzględnienia zakupu samej karty).
2 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie koszt korzystania z basenu w obydwu wariantach, ale nie zapiszesz wniosku końcowego, że karta jest opłacalna.
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość oszczędności bez uwzględnienia tego, że sama karta kosztuje \(50zł\), czyli zapiszesz że Wojtek zaoszczędził \(58zł\), a nie \(8zł\).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 22. (2pkt) Uzasadnij, że trójkąty prostokątne \(ABC\) i \(KLM\) przedstawione na rysunku są podobne.
Odpowiedź
Udowodniono wykorzystując własności trójkątów.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Wiedząc, że przyprostokątna \(AB\) jest połową przeciwprostokątnej \(BC\) możemy wywnioskować, że nasz trójkąt \(ABC\) jest połową trójkąta równobocznego. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miarę \(60°\), zatem \(|\sphericalangle ABC|=60°\).
Krok 2. Wyznaczenie miar kątów \(ACB\) oraz \(KLM\) i zakończenie dowodzenia.
Skoro suma miar kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to:
$$|\sphericalangle ACB|=180°-90°-60°=30° \\
|\sphericalangle KLM|=180°-90°-60°=30°$$
W ten sposób udało nam się udowodnić, że obydwa trójkąty mają jednakowe miary kątów (30°, 60°, 90°), zatem są one trójkątami podobnymi na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy uzasadnisz, że w trójkącie \(ABC\) jeden z kątów ostrych ma miarę \(60°\) lub \(30°\).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie zależności między długościami boków trójkąta \(KLM\), czyli \(x, x\sqrt{3}, 2x\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 23. (3pkt) Z sześcianu zbudowanego z \(64\) małych sześcianów o krawędzi \(1cm\) usunięto z każdego narożnika po jednym małym sześcianie (patrz rysunek). Oblicz pole powierzchni powstałej bryły i porównaj je z polem powierzchni dużego sześcianu.
Odpowiedź
Pole powierzchni nowej bryły wynosi \(96cm^2\) i jest takie samo jak początkowego sześcianu.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie objętości dużego sześcianu.
Wiemy, że nasz duży sześcian składa się z \(64\) małych sześcianików z czego każdy taki mały sześcianik ma krawędź \(1cm\). Objętość każdego takiego małego sześcianu o krawędzi \(1cm\) wynosi:
$$V=1cm\cdot1cm\cdot1cm=1cm^3$$
Jeżeli mamy \(64\) takie sześcianiki, to objętość naszej bryły jest równa:
$$64\cdot1cm^3=64cm^3$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Nam do obliczeń potrzebna będzie długość krawędzi sześcianu, którą wyznaczymy właśnie znając obliczoną przed chwilą objętość bryły:
$$V=a^3 \\
64cm^3=a^3 \\
a=4$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni sześcianu.
Znając krawędź sześcianu bez problemu obliczymy jego pole powierzchni. Nasz sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian z czego każda ma bok długości \(4cm\), zatem pole powierzchni sześcianu jest równe:
$$P_{p}=6\cdot4cm\cdot4cm \\
P_{p}=6\cdot16cm^2 \\
P_{p}=96cm^2$$
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły.
Teraz przystąpimy do obliczenia pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły. W tym celu pomoże nam poniższy rysunek:
Taka figura znajduje się w każdej ze ścian bocznych, dlatego musimy obliczyć jej pole powierzchni. Możemy to zrobić na różne sposoby np. dzieląc sobie tę figurę na prostokąty i kwadraty, ale najprościej będzie chyba dostrzec, że pole takiej ściany bocznej jest równe polu kwadratu o wymiarach \(4cm\times4cm\) pomniejszonego o cztery małe kwadraty o wymiarach \(1cm\times1cm\):
$$P=(4cm)^2-4\cdot(1cm)^2 \\
P=16cm^2-4cm^2 \\
P=12cm^2$$
Z racji tego iż mamy sześć takich ścian bocznych, to:
$$P_{b}=6\cdot12cm^2 \\
P_{b}=72cm^2$$
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni wypustek.
Każda pojedyncza wypustka tworzy nam trzy małe kwadraty o wymiarach \(1cm\times1cm\). Czyli każda taka wypustka powiększa nam pole powierzchni bryły o:
$$3\cdot1cm\cdot1cm=3cm^2$$
Takich wypustek mamy łącznie \(8\), więc ich łączne pole powierzchni będzie równe:
$$8\cdot3cm^2=24cm^2$$
Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej nowopowstałej bryły.
Pole powierzchni nowej bryły jest więc równe:
$$P_{c}=72cm^2+24cm^2 \\
P_{c}=96cm^2$$
Wyjaśnienie punktacji:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni sześcianu (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni bocznej jednej ze ścian bocznych w kształcie krzyża (Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni pojedynczej wypustki (Krok 5.).
2 pkt
• Gdy obliczysz dwa z trzech kluczowych elementów - pole powierzchni sześcianu (Krok 1.), pole powierzchni bocznej jednej ze ścian bocznych w kształcie krzyża (Krok 4.) lub pole powierzchni pojedynczej wypustki (Krok 5.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.