Matura – Matematyka – Maj 2023 (stara matura) – Odpowiedzi

D

Podane w zadaniu logarytmy mają jednakową podstawę, zatem korzystając z działań na logarytmach, możemy całość zapisać jako:
$$log_{9}27+log_{9}3=log_{9}(27\cdot3)=log_{9}81=2$$

Jeśli nie umiemy podać z pamięci wartości \(log_{9}81\), to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{9}81=x \Longleftrightarrow 9^x=81$$

Teraz musimy sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymamy:
$$9^x=81 \\
9^x=9^2 \\
x=2$$

A

Podane w treści zadania pierwiastki są jednakowego stopnia. To pozwala nam na skorzystanie z działań na pierwiastkach i rozpisanie całości w następujący sposób:
$$\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2=\sqrt[3]{\left(-\frac{27}{16}\right)\cdot2}= \\
=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$$

A

Bazując na treści zadania, możemy wprowadzić następujące oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena aparatu
\(0,85x\) - cena aparatu po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,85x=0,68x\) - cena aparatu po drugiej obniżce

Z treści zadania wynika, że po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje \(340zł\), zatem:
$$0,68x=340 \\
x=500$$

A

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)= \\
=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$

D

Oczywiście moglibyśmy po prostu wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Nie mniej jednak w tego typu zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie podać prawidłową odpowiedzieć jedynie analizując całą sytuację na rysunku.

Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedziach B oraz D, więc tylko do tych odpowiedzi możemy się ograniczyć.

Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Taka sytuacja jest właśnie w odpowiedzi D, zatem bez żadnego liczenia możemy być pewni, że prawidłowym układem równań będzie ten z ostatniej odpowiedzi.

C

Rozwiązywanie nierówności możemy rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \(3\), otrzymując:
$$-2(x+3)\le\frac{2-x}{3} \quad\bigg/\cdot3 \\
-6(x+3)\le2-x \\
-6x-18\le2-x \\
-5x\le20 \quad\bigg/:(-5) \\
x\ge-4$$

Zwróć uwagę na zmianę znaku po podzieleniu obydwu stron przez \(-5\). Zawsze, kiedy w nierówności dzielimy lub mnożymy obydwie strony przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też właśnie rozwiązaniem tej nierówności jest \(x\ge-4\), co możemy zapisać w formie przedziału jako \(\langle-4;\infty)\).

D

Mamy równanie w postaci iloczynowej, czyli wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Liczba \(\sqrt{3}\) stojąca przed nawiasami niczego nam nie zmienia, moglibyśmy nawet obustronnie całość podzielić przez \(\sqrt{3}\) otrzymując równanie \((x^2-2)(x+3)=0\). Przyrównując zatem wartości w nawiasach do zera, otrzymamy:
$$x^2-2=0 \quad\lor\quad x+3=0 \\
x^2=2 \quad\lor\quad x+3=0 \\
x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-3$$

Widzimy więc, że pasującą odpowiedzią będzie liczba \(\sqrt{2}\).

A

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:
$$(x-1)(x+1)^2\neq0$$

Teraz zachowujemy się dokładnie tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli moglibyśmy zapisać, że \(x-1\neq0\) oraz że \(x+1\neq0\), co prowadzi nas do wniosku, że \(x\neq1\) oraz \(x\neq-1\).

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0 \quad\bigg/\cdot (x-1)(x+1)^2 \\
(x+1)(x-1)^2=0$$

Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-1=0 \\
x=-1 \quad\lor\quad x=1$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. I tu się okazuje, że obydwa rozwiązania musimy odrzucić, ponieważ dla obydwu rozwiązań otrzymalibyśmy w mianowniku liczbę równą \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań.

B

Miejsce zerowe to taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Skoro więc miejscem zerowym jest \(x=-4\), to moglibyśmy zapisać, że:
$$0=(2p-1)\cdot(-4)+p \\
0=-8p+4+p \\
0=-7p+4 \\
7p=4 \\
p=\frac{4}{7}$$

C

Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. To oznacza, że \(a\lt0\).

Dodatkowo widzimy, że wykres funkcji przecina oś \(OY\) w dodatnim miejscu, a to prowadzi nas do wniosku, że współczynnik \(b\) jest dodatni, czyli \(b\gt0\).

To oznacza, że liczby \(a\) oraz \(b\) spełniają warunki \(a\lt0\) i \(b\gt0\).

A

Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(OX\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(x=-6\) (włącznie z tym argumentem, bo kropka jest zamalowana), aż do \(x=5\) (także z tym argumentem, bo kropka zamalowana). To prowadzi nas do wniosku, że dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(\langle-6;5\rangle\).

D

Widzimy, że funkcja maleje od argumentu \(x=2\) aż do argumentu \(x=5\), więc moglibyśmy zapisać, że funkcja maleje dla argumentów \(x\) należących do zbioru \(\langle2;5\rangle\).

C

Spoglądając na wykres możemy stwierdzić, że w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) największą przyjmowaną wartością jest \(y=2\).

A

Jedną z własności wierzchołka paraboli jest fakt, że znajduje się od w jednakowej odległości od miejsc zerowych. Moglibyśmy się tutaj nawet posłużyć wzorem:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$

Podstawiając dane z treści zadania, czyli \(p=3\) oraz \(x_{1}=-5\), otrzymamy:
$$3=\frac{-5+x_{2}}{2} \\
6=-5+x_{2} \\
x_{2}=11$$

D

Chcąc obliczyć wartość czwartego wyrazu, wystarczy podstawić do wzoru ciągu \(n=4\), zatem:
$$a_{4}=2^4\cdot(4+1) \\
a_{4}=16\cdot5 \\
a_{4}=80$$

C

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$9^2=27\cdot(a-1) \\
81=27a-27 \\
27a=108 \\
a=4$$

D

Opisana w zadaniu sytuacja jest bardzo charakterystyczna i związana jest tak naprawdę z definicjami funkcji trygonometrycznych. Możemy się tutaj posłużyć wzorami z tablic matematycznych, z których wynika, że:
$$tg\alpha=\frac{y}{x}$$

\(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu, przez który przechodzi drugie ramię kąta, zatem możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$$

A

Kluczem do sukcesu będzie rozbicie \(sin^4\alpha\) na iloczyn \(sin^2\alpha\cdot sin^2\alpha\). Rozpisując podane wyrażenie, otrzymamy następującą sytuację:
$$sin^4\alpha+sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha= \\
=sin^2\alpha\cdot sin^2\alpha+sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha= \\
=sin^2\alpha\cdot(sin^2\alpha+cos^2\alpha)$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) jest równe \(1\), zatem całe działanie upraszcza się do postaci:
$$sin^2\alpha\cdot1=sin^2\alpha$$

B

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\) oraz \(AOC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACO\). Jest to trójkąt równoramienny (ramiona mają długość promienia). Z własności takich trójkątów wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę, co prowadzi nas do wniosku, że:
$$|\sphericalangle OAC|=70°$$

Suma miar kątów w trójkącie musi być równa \(180°\), zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=180°-70°-70°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Kąt wpisany \(ABC\) jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(AOC\). Z własności kątów wpisanych i środkowych wiemy, że miara kąta wpisanego będzie w takiej sytuacji dwukrotnie mniejsza, zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=40°:2=20°$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin150°\).
Za chwilę korzystając ze wzoru na pole rombu będziemy potrzebować wartości \(sin150°\), zatem obliczmy ją już teraz. Jest to kluczowa trudność w tym zadaniu, bo w tablicach trygonometrycznych znajdziemy wartości funkcji dla katów od \(0°\) do \(90°\). Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych możemy obliczyć korzystając z jednego ze wzorów redukcyjnych. W naszym przypadku świetnie sprawdzi się wzór \(sin(90°+\alpha)=cos\alpha\). Korzystając z niego, możemy zapisać, że:
$$sin150°=sin(90°+60°)=cos60°$$

Z tablic odczytujemy teraz, że \(cos60°=\frac{1}{2}\), zatem tym samym \(sin150°=\frac{1}{2}\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni rombu.
W tym zadaniu możemy skorzystać ze "wzoru na pole rombu z sinusem", czyli:
$$P=a^2\cdot sin\alpha$$

Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
$$P=(6\sqrt{2})^2\cdot sin150° \\
P=36\cdot2\cdot\frac{1}{2} \\
P=36$$

Krok 3. Obliczenie iloczynu długości przekątnych rombu.
Standardowo pole rombu wyliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f$$

Interesuje nas poznanie wartości iloczynu \(e\cdot f\), zatem podstawiając wyliczone przed chwilą \(P=36\), możemy zapisać, że:
$$36=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \\
e\cdot f=72$$

C

Styczne tworzą z promieniami zawsze kąty proste, a to oznacza, że kąty przy wierzchołkach \(A\) oraz \(B\) mają po prostu miarę \(90°\).

Spójrzmy teraz na czworokąt ACBO. Znamy już miary trzech kątów w tej figurze. Suma wszystkich kątów czworokąta jest zawsze równa \(360°\), zatem:
$$|\sphericalangle ACB|=360°-140°-90°-90°=40°$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Gdy poprowadzimy wysokość trójkąta z wierzchołka \(B\) to powstanie nam taka oto sytuacja:


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta.
Powstał nam trójkąt prostokątny \(DBC\) i jest to trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z własności takich trójkątów wynika, że nasza krótsza przyprostokątna (która jest jednocześnie wysokością trójkąta) będzie dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, zatem:
$$h=6:2 \\
h=3$$

Do tego samego wyniku dojdziemy oczywiście korzystając z funkcji trygonometrycznych. W tym przypadku pomoże nam sinus, zatem:
$$sin30°=\frac{h}{6} \\
\frac{1}{2}=\frac{h}{6} \\
h=3$$

D

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że nasza poszukiwana prosta musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Wiemy już, że nasza prosta równoległa musi wyrażać się równaniem typu \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Chcąc poznać brakujący współczynnik \(b\) musimy podstawić współrzędne punktu, przez który ta prosta przechodzi, czyli w tym przypadku współrzędne punktu \(P=(3;5)\). Otrzymamy zatem:
$$5=-\frac{1}{3}\cdot3+b \\
5=-1+b \\
b=6$$

B

Środek odcinka \(KL\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{K}+x_{L}}{2};\frac{y_{K}+y_{L}}{2}\right)$$

Znając współrzędne obydwu punktów wystarczy podstawić te dane do wzoru. Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną \(x_{L}\) oraz \(y_{L}\):
$$x_{S}=\frac{x_{K}+x_{L}}{2} \\
5=\frac{-3+x_{L}}{2} \\
10=-3+x_{L} \\
x_{L}=13 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{K}+y_{L}}{2} \\
3=\frac{-7+y_{L}}{2} \\
6=-7+y_{L} \\
y_{L}=13$$

To oznacza, że punkt \(L\) ma współrzędne \(S=(13,13)\).

A

I sposób - przekształcając od razu względem początku układu współrzędnych
Przekształcenia względem początku układu współrzędnych są zdecydowanie najtrudniejsze. Przekształcenie prostej o równaniu \(y=2x-3\) względem początku układu współrzędnych, moglibyśmy zapisać jako:
$$y=-(2(-x)-3) \\
y=-(-2x-3) \\
y=2x+3$$

II sposób - przekształcając najpierw względem osi \(OX\), a potem względem osi \(OY\).
Jeśli tego typu zapisy sprawiają nam problemy, to zawsze możemy przekształcić tą prostą względem osi \(OX\), a potem względem osi \(OY\). Przekształcając względem osi \(OX\) przed całym równaniem musimy poznać znak minus, zatem:
$$y=-(2x-3) \\
y=-2x+3$$

Teraz otrzymaną prostą musielibyśmy przekształcić względem osi \(OY\). W tym celu musimy zmienić znak przy iksie, zatem otrzymalibyśmy:
$$y=-2\cdot(-x)+3 \\
y=2x+3$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:
--rysunki zrobię na samym końcu--

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(a=15\). Z własności kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem w naszym przypadku \(d=15\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Cosinus opisuje nam stosunek między długości przyprostokątnej leżącej przy kącie, względem przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{d}{s}$$

Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
$$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{s}$$

To równanie możemy rozwiązać na wiele sposobów - najprościej będzie chyba wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$\sqrt{2}\cdot s=3\cdot15\sqrt{2} \\
\sqrt{2}\cdot s=45\sqrt{2} \\
s=45$$

C

Krok 1. Obliczenie sumy liczb \(x,y,z\).
Skoro średnia arytmetyczna trzech liczb \(x,y,z\) jest równa \(4\), to ich suma będzie równa:
$$\frac{x+y+z}{3}=4 \\
x+y+z=12$$

Krok 2. Obliczenie sumy arytmetycznej nowego zestawu liczb.
Średnia arytmetyczna czterech podanych liczb będzie równa:
$$śr=\frac{1+x+2+y+3+z+14}{4} \\
śr=\frac{x+y+z+20}{4} \\
śr=\frac{12+20}{4} \\
śr=\frac{32}{4} \\
śr=8$$

C

Rozpiszmy dokładnie jakie cyfry mogą znaleźć się na poszczególnych miejscach liczby pięciocyfrowej.
· w rzędzie dziesiątek tysięcy możemy mieć jedynie cyfry \(5\) oraz \(7\) (czyli bez \(0\), bo zero nie może stać na początku liczby). To oznacza, że mamy tutaj \(2\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie tysięcy możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie setek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie jedności możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=2\cdot3^4$$

B

Jeżeli w podstawie ostrosłupa mamy \(n\)-kąt, to liczbę wierzchołków ostrosłupa możemy opisać jako \(n+1\), natomiast liczba krawędzi będzie równa \(2n\).

Z treści zadania wynika więc, że:
$$\frac{n+1}{2n}=\frac{3}{5}$$

Wykonując teraz mnożenie na krzyż, otrzymamy:
$$(n+1)\cdot5=2n\cdot3 \\
5n+5=6n \\
n=5$$

To oznacza, że w podstawie naszego ostrosłupa znajduje się pięciokąt i będzie to oczywiście pięciokąt foremny (bo ostrosłup jest prawidłowy).

\(x\in(-3;1)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy wykonać odpowiednie działania i przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, zatem:
$$x(x-2)\gt2x^2-3 \\
x^2-2x\gt2x^2-3 \\
-x^2-2x+3\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-2,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot3=4-(-12)=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-4}{2\cdot(-1)}=\frac{2-4}{-2}=\frac{-2}{-2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+4}{2\cdot(-1)}=\frac{2+4}{-2}=\frac{6}{-2}=-3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=1\) oraz \(x=-3\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości większych od zera, czyli tych które znajdują się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$x\in(-3;1)$$

\(a_{1}=750\)

Opisaną w zadaniu sytuację możemy przedstawić jako ciąg arytmetyczny, w którym \(S_{n}=8910\), \(n=18\) oraz \(r=-30\). Poszukiwaną wartością jest \(a_{1}\).

W zadaniu możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Podstawiając teraz znane dane, otrzymamy:
$$8910=\frac{2a_{1}+(18-1)\cdot(-30)}{2}\cdot18 \\
8910=\frac{2a_{1}+17\cdot(-30)}{2}\cdot18 \\
8910=\frac{2a_{1}-510}{2}\cdot18 \\
495=\frac{2a_{1}-510}{2} \\
990=2a_{1}-510 \\
2a_{1}=1500 \\
a_{1}=750$$

Udowodniono doprowadzając do sumy liczby dodatniej oraz nieujemnej.

Krok 1. Przekształcenie podanej nierówności.
Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą oraz dokonując pewnych przekształceń, otrzymamy taką oto postać:
$$x^2+y^2+5\gt2x+4y \\
x^2+y^2+5-2x-4y\gt0 \\
x^2+y^2+1+4-2x-4y\gt0 \\
x^2-2x+1+y^2-4y+4\gt0$$

Teraz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy "zwinąć" wyrażenie \(x^2-2x+1\) do postaci \((x-1)^2\) oraz wyrażenie \(y^2-4y+4\) do postaci \((y-2)^2\). Otrzymamy zatem taką oto nierówność:
$$(x-1)^2+(y-2)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(x\neq1\), a to oznacza, że wartość \(x-1\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje dodatni wynik, stąd też na pewno \((x-1)^2\) jest większe od zera.

Spójrzmy teraz na składnik \((y-2)^2\). Analogicznie moglibyśmy powiedzieć, że to wyrażenie jest na pewno dodatnie lub ewentualnie równe \(0\) (wtedy, gdy \(y=2\)). Możemy więc powiedzieć, że \((y-2)^2\) jest liczbą nieujemną.

Mamy więc sytuację, w której do dodatniej liczby \((x-1)^2\) dodajemy nieujemną liczbę \((y-2)^2\). Suma takich liczb jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.

\(P=120\)

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta \(T_{1}\).
Z treści zadania wynika, że trójkąt \(T_{1}\) ma przyprostokątne o długości \(5\) i \(12\), zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej:
$$5^2+12^2=c^2 \\
25+144=c^2 \\
c^2=169 \\
c=13 \quad\lor\quad c=-13$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość boku jest dodatnia, zatem zostaje nam \(c=13\).

Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Z treści zadania wynika, że drugi trójkąt \(T_{2}\) ma przeciwprostokątną o długości \(26\), czyli ma przeciwprostokątną dwa razy dłuższą od trójkąta \(T_{1}\).


To oznacza, że skala podobieństwa tych trójkątów wynosi \(k=2\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(T_{2}\).
Obliczmy najpierw pole trójkąta \(T_{1}\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\
P=30$$

Zgodnie z własnościami trójkątów podobnych, jeśli skala podobieństwa figur jest równa \(k\) to pole powierzchni figury podobnej będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku oznaczałoby to, że pole trójkąta \(T_{2}\) będzie \(4\) razy większe od pola trójkąta \(T_{1}\), zatem:
$$P=4\cdot30 \\
P=120$$

\(y=-\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Co prawda nie jest to konieczne, ale dobrze jest sobie zobrazować całą sytuację za pomocą prostego rysunku. Pamiętając o tym, że przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, otrzymamy mniej więcej taką oto sytuację:


Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\), więc bez problemu możemy wyznaczyć równanie prostej \(AC\). W tym celu możemy skorzystać z rozbudowanego wzoru z tablic lub po prostu z metody układu równań (w tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne najpierw punktu \(A\), potem \(C\)). Można też postąpić jeszcze nieco sprytniej. Skoro prosta przechodzi przez punkt \(C=(0;4)\) to znaczy, że przecina ona oś \(OY\) dla \(y=4\), co z kolei oznacza, że współczynnik \(b=4\). Wiemy już zatem, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=ax+4\).

Chcąc poznać brakując współczynnik \(a\) wystarczy teraz podstawić do wyznaczonej postaci \(y=ax+4\) współrzędne punktu \(A\), zatem:
$$-2=-8\cdot a+4 \\
-6=-8a \\
a=\frac{3}{4}$$

Krok 3. Wyznaczenie środka odcinka \(AC\).
Musimy wyznaczyć środek odcinka \(AC\), ponieważ jest to punkt, przez który będzie przechodzić także poszukiwana prosta \(BD\). Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-8+0}{2};\frac{-2+4}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-8}{2};\frac{2}{2}\right) \\
S=(-4;1)$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Prosta \(BD\) będzie prostą prostopadłą do prostej \(AC\), ponieważ przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym. Z własności prostych prostopadłych wiemy, że iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc prosta \(AC\) miała współczynnik \(a=\frac{3}{4}\), to nasza prosta \(BD\) będzie miała ten współczynnik \(a=-\frac{4}{3}\), bo \(\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\frac{3}{4}=-1\). Skoro tak, to wiemy już, że ta prosta będzie wyrażać się równaniem \(y=-\frac{4}{3}x+b\).

Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), musimy podstawić do wyznaczonego równania \(y=-\frac{4}{3}x+b\) współrzędne jakiegoś punktu, przez który ta prosta przechodzi - w tym przypadku możemy podstawić wyznaczone wcześniej współrzędne punktu \(S=(-4;1)\). Skoro tak, to:
$$1=-\frac{4}{3}\cdot(-4)+b \\
1=\frac{16}{3}+b \\
b=-\frac{13}{3}$$

To oznacza, że poszukiwanym równaniem jest \(y=-\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\).

\(P(A)=\frac{3}{32}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Mamy \(8\), a losowanie odbywa się ze zwracaniem, czyli za pierwszym razem możemy wylosować jedną z ośmiu liczb i za drugim razem też możemy wylosować jedną z ośmiu liczb. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa \(|Ω|=8\cdot8=64\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowane liczby pomnożone przez siebie dadzą wynik podzielny przez \(15\), czyli dadzą wynik równy \(15, 30, 45, 60, 75\) (większej liczby nie będziemy w stanie osiągnąć). Skoro tak, to pasującymi zdarzeniami będą:
$$(3,5); (5,3), (5,6); (6,5), (5,9); (9,5)$$

To oznacza, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$$

\(V=60\sqrt{3}\) oraz \(P_{c}=24+90\sqrt{3}\)

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o podstawie \(a=8\) oraz wysokości \(h=3\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot3 \\
P_{p}=4\cdot3 \\
P_{p}=12$$

Krok 2. Obliczenie długości ramion trójkąta.
Z treści zadania wynika, że nasz trójkąt jest równoramienny. Z własności takich trójkątów wynika, że wysokość przecina podstawę trójkąta na dwie równe części. To by oznaczało, że w naszym przypadku bok \(AB\) zostanie podzielony na dwa fragmenty o długości \(4\), czyli tym samym, powstaną nam dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(3\) oraz \(4\).


Ta obserwacja pozwoli nam wyznaczyć długość ramienia trójkąta, czyli boku \(BC\) (ewentualnie \(AC\)). Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$3^2+4^2=c^2 \\
9+16=c^2 \\
c^2=25 \\
c=5 \quad\lor\quad c=-5$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem możemy zapisać, że ramiona naszego trójkąta mają długość równą \(5\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(CBE\). Przed chwilą obliczyliśmy, że dolna przyprostokątna tego trójkąta ma długość \(5\) i wiemy, że kąt leżący przy tym boku ma miarę \(60°\). Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) możemy stwierdzić, że boczna przyprostokątna będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa, czyli tym samym wysokość graniastosłupa będzie miała długość \(5\sqrt{3}\).

Do tego samego wyniku dojdziemy korzystając z tangensa. Moglibyśmy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{5} \\
\sqrt{3}=\frac{H}{5} \\
H=5\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wiemy już, że \(P_{p}=12\) oraz \(H=5\sqrt{3}\), zatem korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa, zapiszemy:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=12\cdot5\sqrt{3} \\
V=60\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na pole powierzchni całkowitej składać się będą pola dwóch trójkątów równoramiennych (podstawa dolna i górna) oraz trzech ścian bocznych będących prostokątami. Pola trójkątów już znamy, wiemy że \(P_{p}=12\). Obliczmy zatem pole powierzchni bocznej. Mamy dwie ściany boczne o wymiarach \(5\times5\sqrt{3}\) oraz jedną o wymiarach \(8\times5\sqrt{3}\). Pole powierzchni bocznej będzie zatem równe:
$$P_{b}=2\cdot5\cdot5\sqrt{3}+8\cdot5\sqrt{3} \\
P_{b}=50\sqrt{3}+40\sqrt{3} \\
P_{b}=90\sqrt{3}$$

To oznacza, że całe pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=2P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=2\cdot12+90\sqrt{3} \\
P_{c}=24+90\sqrt{3}$$