Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Operon 2020

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz równanie, z którego można obliczyć wiek Bartka.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - wiek Bartka
\(3x\) - wiek mamy

Różnica wieku między mamą i Bartkiem wynosi \(28\), więc:
$$3x-x=28 \\
2x=28 \\
x=14$$

Skoro \(x\) to wiek Bartka, to wiemy już, że Bartek ma \(14\) lat.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni pojedynczej ściany (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi czworościanu.
Czworościan foremny to taki ostrosłup, którego wszystkie ściany wraz z podstawą są jednakowymi trójkątami równobocznymi. Mówiąc wprost, jest to bryła mająca wszystkie krawędzie jednakowej długości. Taki czworościan ma \(6\) krawędzi, a z treści zadania wiemy, że suma ich długości wynosi \(4\sqrt{6}\). To oznacza, że każda z krawędzi ma długość:
$$a=\frac{4\sqrt{6}}{6} \\
a=\frac{2}{3}\sqrt{6}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni pojedynczej ściany.
Ustaliliśmy już, że każda ściana jest trójkątem równobocznym o boku \(a=\frac{2}{3}\sqrt{6}\), zatem korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że każda ze ścian ma pole równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{\left(\frac{2}{3}\sqrt{6}\right)^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{\frac{4}{9}\cdot6\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{\frac{24}{9}\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4}$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Czworościan foremny ma cztery jednakowe ściany, każda z nich jak już obliczyliśmy ma pole powierzchni równe \(P=\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4}\), zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=4\cdot\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4} \\
P_{c}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć długość przekątnej prostokąta (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na układ współrzędnych punkty \(A\) oraz \(C\). Korzystając dodatkowo z informacji, że będziemy mieli tutaj prostokąt, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych, otrzymamy taką oto sytuację:


Z rysunku musimy też odczytać od razu wymiary naszego prostokąta (licząc po kratkach). Widzimy, że dolny bok ma długość \(8\) jednostek, natomiast drugi ma długość \(6\) jednostek.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej prostokąta.
Dwa boki prostokąta tworzą wraz z poszukiwaną przekątną trójkąt prostokątny. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zatem zapisać, że:
$$8^2+6^2=d^2 \\
64+36=d^2 \\
d^2=100 \\
d=10 \quad\lor\quad d=-10$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(d=10\).

Krok 3. Podanie współrzędnych pozostałych dwóch wierzchołków prostokąta.
Z rysunku wynika wprost, że punkt \(B\) musi mieć współrzędną \(x\) taką jak \(x_{A}\) i współrzędną \(y\) taką samą jak \(y_{C}\). Analogicznie punkt \(D\) musi mieć \(x\) taką jak \(x_{C}\) i współrzędną \(y\) taką samą jak \(y_{A}\). To oznacza, że brakującymi współrzędnymi wierzchołków prostokąta będą: \(B=(-5;-4)\) oraz \(D=(3;2)\).

Oczywiście równie dobrą odpowiedzią byłoby \(B=(3;2)\) oraz \(D=(-5;-4)\) (w zależności od tego jak podpisaliśmy wierzchołki prostokąta).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz czas w godzinach, czyli \(t=1,9h\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz prędkość w \(\frac{cm}{min}\), czyli \(v=150\;000\frac{cm}{min}\).
2 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości trasy.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na prędkość, czyli:
$$v=\frac{s}{t} \\
s=vt$$

Godzina ma \(60\) minut, więc \(54\) minuty stanowią \(\frac{54}{60}\), czyli \(0,9\) godziny. Pan Jan planuje pokonać tę trasę w \(1\) godzinę i \(54\) minuty, czyli czas podróży wyniesie \(t=1,9h\). Skoro tak, to:
$$s=90\frac{km}{h}\cdot1,9h \\
s=171km$$

Krok 2. Obliczenie skali mapy.
Trasa \(171km\) ma na mapie długość \(9,5cm\). Możemy więc ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(9,5cm\) na mapie to \(171km\) w rzeczywistości
To \(1cm\) na mapie to \(171km:9,5=18km\) w rzeczywistości

Wiemy już, że \(1cm\) odpowiada odległości \(18km\). Musimy jeszcze zapisać skalę tej mapy, a aby tego dokonać trzeba zamienić \(18km\) na centymetry. Wiemy, że \(1km\) to \(1000m\), a każdy \(1m\) to \(100cm\) długości. Skoro tak, to \(1km=100\;000cm\), czyli:
$$18km=1\;800\;000cm$$

To oznacza, że skala naszej mapy to \(1:1\;800\;000\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz zużycie wody w marcu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz średnie zużycie wody w marcu (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie zużycia wody w marcu.
Marcowe zużycie wody będzie różnicą między odczytem marcowym i lutowym. Z tabelki wynika więc, że Państwo Malinowscy zużyli w marcu:
$$134,348m^3-128,408m^3=5,94m^3$$

Krok 2. Obliczenie wysokości opłat za wodę.
Cena za \(m^3\) wody w marcu wynosi \(11,50zł\). To oznacza, że za zużycie \(5,94m^3\) wody trzeba zapłacić:
$$5,94\cdot11,50zł=68,31zł$$

Krok 3. Obliczenie dziennego zużycia wody.
Dzienne zużycie wody musimy podać w litrach. Wiedząc, że \(1m^3=1000l\) możemy zapisać, że:
$$5,94m^3=5940l$$

Marzec ma \(31\) dni, więc każdego dnia zużyto (w zaokrągleniu do całości):
$$5940l:31\approx191,61l\approx192l$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz objętość przyczepki (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz masę suchego żwiru (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy Gdy obliczysz objętość przyczepki (patrz: Krok 1.) oraz masę suchego żwiru (patrz: Krok 2.), ale nie wykonasz uzasadnienia do zadania.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie objętości przyczepki.
Z treści zadania wynika, że w dalszych obliczeniach będziemy posługiwać się \(dm^3\), więc już teraz na starcie dobrze byłoby zamienić wymiary przyczepki na decymetry, zatem:
$$8,5dm\times5,2dm\times4dm$$

To oznacza, że objętość przyczepki będzie równa:
$$V=abc \\
V=8,5dm\cdot5,2dm\cdot4dm \\
V=176,8dm^3$$

Krok 2. Obliczenie wagi suchego żwiru.
Z treści zadania wynika, że \(0,6dm^3\) żwiru waży \(1kg\). Skoro tak, to \(150dm^3\) żwiru będzie ważyć:
$$\frac{150}{0,6}=250[kg]$$

Krok 3. Uzasadnienie, czy przewóz żwiru jest możliwy.
Musimy pamiętać, że przewiezienie żwiru będzie możliwe tylko wtedy, gdy zmieścimy się w objętości przyczepki, a waga nie przekroczy maksymalnego pułapu \(350kg\).

Pan Marek może przewieźć żwir w tej przyczepce, ponieważ objętość żwiru (\(150dm^3\)) nie przekracza objętości przyczepki (\(176,8dm^3\)), a jednocześnie masa towaru (\(250kg\)) nie przekroczy maksymalnego limitu (\(350kg\)).