Wyrażenia algebraiczne - zadania (egzamin ósmoklasisty)
Zadanie 2. (2pkt) Obserwując zużycie benzyny w swoim samochodzie, pan Nowak stwierdził, że jeżeli wystartuje z pełnym bakiem i będzie jechał po autostradzie ze stałą prędkością, to zależność liczby litrów benzyny w baku \((y)\) od liczby przejechanych kilometrów \((x)\) wyraża się wzorem: \(y=-0,05x+45\).
Przekształcając wzór pana Nowaka, wyznacz \(x\) w zależności od \(y\).
Wyjaśnienie:
Musimy przekształcić podany wzór do takiej formy, by po lewej stronie równania znalazł się sam iks, a po prawej pozostałe wartości (igrek oraz liczby). Przenosimy zatem iksa na lewą stronę, a igreka na prawą:
$$y=-0,05x+45 \\
0,05x=45-y \quad\bigg/\cdot20 \\
x=900-20y$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie jedynie do postaci \(0,05x=45-y\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 3. (3pkt) Wilgotnością drewna nazywamy stosunek masy wody zawartej w drewnie do masy drewna całkowicie suchego. Przyjęto podawać wilgotność drewna w procentach. Ich liczbę \((w)\) obliczamy za pomocą wzoru: \(w=\frac{M-m}{m}\cdot100\), gdzie:
- \(M\) oznacza masę drewna wilgotnego
- \(m\) oznacza masę drewna całkowicie suchego
Wyznacz \(M\) w zależności od \(m\) i \(w\). Zapisz kolejne przekształcenia wzoru.
Odpowiedź
\(M=\frac{wm}{100}+m\)
Wyjaśnienie:
Najprościej będzie rozpocząć przekształcenie od pozbycia się postaci ułamkowej. Stąd też na początku najłatwiej jest cały wzór wymnożyć przez \(m\):
$$w=\frac{M-m}{m}\cdot100 \quad\bigg/\cdot m \\
wm=(M-m)\cdot100 \quad\bigg/:100 \\
\frac{wm}{100}=M-m \\
M=\frac{wm}{100}+m$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(wm=(M-m)\cdot100\) i dalej popełnisz błąd.
2 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(\frac{wm}{100}=M-m\) i dalej popełnisz błąd.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 4. (2pkt) W wiadrze jest \(x\) litrów wody, a w garnku \(y\) litrów wody. Ile litrów wody będzie w wiadrze, a ile w garnku, jeśli:
a) z wiadra przelejemy do garnka \(1,5\) litra wody.
b) przelejemy połowę wody z garnka do wiadra.
Odpowiedź
a) \(y+1,5\)
b) \(y-0,5y=0,5y\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozpatrzenie punktu pierwszego.
Jeżeli z wiadra przelewamy \(1,5\) litra wody, to w wiadrze będziemy mieć \(x-1,5\), natomiast w garnku przybędzie \(1,5\) litra, zatem znajdzie się tam teraz \(y+1,5\) litrów.
Krok 2. Rozpatrzenie punktu drugiego.
Musimy przelać połowę wody z garnka, czyli \(0,5y\) litrów. To oznacza, że w wiadrze znajdzie się \(x+0,5y\) litrów wody, natomiast w garnku zostanie \(y-0,5y=0,5y\) litrów wody.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz ilość litrów wody w wiadrze i garnku w jednym z dwóch przypadków (Krok 1. lub 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz ilość litrów wody w wiadrze i garnku w obydwu przypadkach (Krok 1. i 2.).
Zadanie 5. (1pkt) W pewnym państwie liczba osób niepełnoletnich jest równa \(p\), pełnoletnich w wieku poniżej \(60\) lat jest o połowę mniej, a pozostałych dorosłych jest \(k\) razy mniej niż osób niepełnoletnich. Liczbie ludności tego państwa odpowiada wyrażenie:
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(p\) - liczba osób niepełnoletnich
\(0,5p\) - liczba osób pełnoletnich poniżej \(60\)-tego roku życia
\(\frac{p}{k}\) - liczba osób pozostałych pełnoletnich
Krok 2. Zapisanie równania.
Musimy ułożyć równanie które powie jaka jest liczba ludności tego państwa. To oznacza, że te trzy wyrażenia zapisane w pierwszym kroku musimy po prostu do siebie dodać:
$$p+0,5p+\frac{p}{k}=1,5p+\frac{p}{k}$$
Zadanie 6. (2pkt) Postanowiono postawić przydomową elektrownię wiatrową. Zgodnie z zaleceniami maksymalna odległość końca obracającej się łopaty elektrowni od ściany domu powinna być równa podwojonej wysokości domu.

Wysokość słupa elektrowni wiatrowej jest równa \(16,5m\), a długość łopaty jest równa \(3,5m\). W jakiej odległości od ściany domu o wysokości \(H=12,3m\) powinien stać słup tej elektrowni wiatrowej? Która z danych podana została niepotrzebnie?
Odpowiedź
Słup powinien stać \(21,1m\) od elektrowni. Niepotrzebną daną była wysokość słupa elektrowni wiatrowej.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie odległości słupa elektrowni od ściany domu.
Zgodnie z danymi zapisanymi w treści zadania poszukiwaną odległość obliczymy w następujący sposób:
$$2\cdot12,3m-3,5m=24,6m-3,5m=21,1m$$
Krok 2. Wybranie niepotrzebnej danej.
Niepotrzebną daną w tym zadaniu była wysokość słupa elektrowni wiatrowej, która wynosi \(16,5m\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz odległość słupa elektrowni od ściany domu (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz która dana jest niepotrzebna (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz odległość słupa elektrowni od ściany domu oraz zapiszesz która dana jest niepotrzebna (Krok 1. i 2.).
Zadanie 7. (2pkt) Dla patrzącego z góry płytka chodnika ma kształt ośmiokąta, w którym kolejne boki są prostopadłe. Na rysunkach przedstawiono jego kształt, sposób układania płytek oraz niektóre wymiary w centymetrach.

Ułożono sześć płytek.

Oblicz długość odcinka \(a\) oraz napisz wyrażenie algebraiczne, odpowiadające długości analogicznego odcinka dla pasa złożonego z \(n\) płytek.
Odpowiedź
\(a=77cm\) oraz \(17+12(n-1)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(a\).
Musimy zauważyć, że dołożenie każdej kolejnej płytki nie zwiększa nam długości chodnika o \(17cm\), bo płytki na siebie zachodzą. Dołożenie każdej kolejnej płytki zwiększa nam długość chodnika o \(29cm-17cm=12cm\).
Musimy obliczyć długość \(6\) płytek. Możemy więc to policzyć w taki sposób, że do pierwszej płytki o długości \(17cm\) dodano pięciu kolejnych płytek, z których każda zwiększa długość o \(12cm\). Otrzymamy zatem długość chodnika równą:
$$a=17cm+5\cdot12cm=17cm+60cm=77cm$$
Krok 2. Zapisanie wyrażenia algebraicznego.
Drugą częścią naszego zadania jest tak naprawdę ustalenie wzoru na długość chodnika. Skorzystamy już z tego co przeanalizowaliśmy sobie w pierwszym kroku, czyli z informacji że długość chodnika jest równa \(17cm\) pierwszej płytki plus \(12cm\) pomnożone przez tyle ile jest dodatkowo dołożonych płytek. Jeśli mamy mieć chodnik składający się z \(n\) płytek, to znaczy że do płytki początkowej trzeba dolożyć jeszcze \(n-1\) dodatkowych płytek, zatem nasz wzór miałby następującą postać:
$$17+12(n-1)$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(a\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie poszukiwane wyrażenie algebraiczne (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(a\) oraz zapiszesz poprawnie poszukiwane wyrażenie algebraiczne (Krok 1. i 2.).
Zadanie 12. (1pkt) Sprzedawca kupił do swojego sklepu \(m\) kilogramów marchwi i \(b\) kilogramów buraków: zapłacił po \(1,50zł\) za kilogram marchwi i po \(0,90zł\) za kilogram buraków. Warzywa te sprzedał za łączną kwotę \(180\) złotych.
Które wyrażenie przedstawia różnicę kwoty uzyskanej za sprzedane warzywa i kosztu ich zakupu?
Wyjaśnienie:
Aby obliczyć ile wynosi różnica między kwotą uzyskaną za sprzedać, a kosztami zakupu (czyli tak naprawdę ile wynosi zysk), musimy od zarobionej kwoty (czyli \(180zł\)) odjąć sumę poniesionych wydatków, czyli \(m\cdot1,5+b\cdot0,9\). Takie działanie jest zaprezentowane jedynie w trzeciej odpowiedzi i to ona jest tą prawidłową.
Dodaj komentarz