Wyrażenia algebraiczne – zadania (egzamin ósmoklasisty)

A

Naszym zadaniem jest przekształcenie tego wzoru w taki sposób, by po lewej stronie równania znalazła się wartość \(v_{c}\).
$$V=Sv_{c}t \quad\bigg/:St \\
v_{c}=\frac{V}{St}$$

\(x=900-20y\)

Musimy przekształcić podany wzór do takiej formy, by po lewej stronie równania znalazł się sam iks, a po prawej pozostałe wartości (igrek oraz liczby). Przenosimy zatem iksa na lewą stronę, a igreka na prawą:
$$y=-0,05x+45 \\
0,05x=45-y \quad\bigg/\cdot20 \\
x=900-20y$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie jedynie do postaci \(0,05x=45-y\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(M=\frac{wm}{100}+m\)

Najprościej będzie rozpocząć przekształcenie od pozbycia się postaci ułamkowej. Stąd też na początku najłatwiej jest cały wzór wymnożyć przez \(m\):
$$w=\frac{M-m}{m}\cdot100 \quad\bigg/\cdot m \\
wm=(M-m)\cdot100 \quad\bigg/:100 \\
\frac{wm}{100}=M-m \\
M=\frac{wm}{100}+m$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(wm=(M-m)\cdot100\) i dalej popełnisz błąd.
2 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(\frac{wm}{100}=M-m\) i dalej popełnisz błąd.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

a) \(y+1,5\)
b) \(y-0,5y=0,5y\)

Krok 1. Rozpatrzenie punktu pierwszego.
Jeżeli z wiadra przelewamy \(1,5\) litra wody, to w wiadrze będziemy mieć \(x-1,5\), natomiast w garnku przybędzie \(1,5\) litra, zatem znajdzie się tam teraz \(y+1,5\) litrów.

Krok 2. Rozpatrzenie punktu drugiego.
Musimy przelać połowę wody z garnka, czyli \(0,5y\) litrów. To oznacza, że w wiadrze znajdzie się \(x+0,5y\) litrów wody, natomiast w garnku zostanie \(y-0,5y=0,5y\) litrów wody.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz ilość litrów wody w wiadrze i garnku w jednym z dwóch przypadków (Krok 1. lub 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz ilość litrów wody w wiadrze i garnku w obydwu przypadkach (Krok 1. i 2.).

D

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(p\) - liczba osób niepełnoletnich
\(0,5p\) - liczba osób pełnoletnich poniżej \(60\)-tego roku życia
\(\frac{p}{k}\) - liczba osób pozostałych pełnoletnich

Krok 2. Zapisanie równania.
Musimy ułożyć równanie które powie jaka jest liczba ludności tego państwa. To oznacza, że te trzy wyrażenia zapisane w pierwszym kroku musimy po prostu do siebie dodać:
$$p+0,5p+\frac{p}{k}=1,5p+\frac{p}{k}$$

Słup powinien stać \(21,1m\) od elektrowni. Niepotrzebną daną była wysokość słupa elektrowni wiatrowej.

Krok 1. Obliczenie odległości słupa elektrowni od ściany domu.
Zgodnie z danymi zapisanymi w treści zadania poszukiwaną odległość obliczymy w następujący sposób:
$$2\cdot12,3m-3,5m=24,6m-3,5m=21,1m$$

Krok 2. Wybranie niepotrzebnej danej.
Niepotrzebną daną w tym zadaniu była wysokość słupa elektrowni wiatrowej, która wynosi \(16,5m\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz odległość słupa elektrowni od ściany domu (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz która dana jest niepotrzebna (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz odległość słupa elektrowni od ściany domu oraz zapiszesz która dana jest niepotrzebna (Krok 1. i 2.).

\(a=77cm\) oraz \(17+12(n-1)\)

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(a\).
Musimy zauważyć, że dołożenie każdej kolejnej płytki nie zwiększa nam długości chodnika o \(17cm\), bo płytki na siebie zachodzą. Dołożenie każdej kolejnej płytki zwiększa nam długość chodnika o \(29cm-17cm=12cm\).

Musimy obliczyć długość \(6\) płytek. Możemy więc to policzyć w taki sposób, że do pierwszej płytki o długości \(17cm\) dodano pięciu kolejnych płytek, z których każda zwiększa długość o \(12cm\). Otrzymamy zatem długość chodnika równą:
$$a=17cm+5\cdot12cm=17cm+60cm=77cm$$

Krok 2. Zapisanie wyrażenia algebraicznego.
Drugą częścią naszego zadania jest tak naprawdę ustalenie wzoru na długość chodnika. Skorzystamy już z tego co przeanalizowaliśmy sobie w pierwszym kroku, czyli z informacji że długość chodnika jest równa \(17cm\) pierwszej płytki plus \(12cm\) pomnożone przez tyle ile jest dodatkowo dołożonych płytek. Jeśli mamy mieć chodnik składający się z \(n\) płytek, to znaczy że do płytki początkowej trzeba dolożyć jeszcze \(n-1\) dodatkowych płytek, zatem nasz wzór miałby następującą postać:
$$17+12(n-1)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(a\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie poszukiwane wyrażenie algebraiczne (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(a\) oraz zapiszesz poprawnie poszukiwane wyrażenie algebraiczne (Krok 1. i 2.).

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Najprościej będzie rozpocząć to zadanie od wyodrębnienia sobie poszczególnych figur, tak aby wyraźnie było widać poszczególne długości boków.


Warto tutaj zwrócić uwagę na I i III figurę. W obydwu przypadkach te małe boki równoległoboku mają oczywiście nieznaną przez nas miarę, ale możemy je przenieść na trójkąty, który na po swoich prawych stronach mają puste miejsce, dzięki czemu na pewno mamy wszystkie potrzebne wymiary do obliczenia poszczególnych obwodów.

Krok 2. Obliczenie obwodów figur.
Musimy teraz obliczyć obwody każdej z figur:
I figura: \(a+a+a+b+b=3a+2b\)
II figura: \(a+a+a+b+b=3a+2b\)
III figura: \(a+a+a+b+b=3a+2b\)

To oznacza, że wszystkie nasze figury mają jednakowe obwody.

A

W głosowaniu wzięło udział \(n\) osób. Na Alę i Basię oddano łącznie \(25+15=40\) głosów. Możemy więc zapisać, że na pozostałe osoby oddało swój głos \(n-40\) głosujących. Na Michała oddano \(\frac{2}{5}\) z tych pozostałych głosów, czyli:
$$\frac{2}{5}\cdot(n-40)=\frac{2}{5}n-16$$

D

Z pierwszego rysunku wynika, że każda dołączona płytka powiększa długość konstrukcji o \(10cm-6cm=4cm\). Czyli długości w centymetrach dla przykładowych konstrukcji będą następujące:
Jedna płytka: \(6\)
Dwie płytki: \(6+4\)
Trzy płytki: \(6+2\cdot4\)
Cztery płytki: \(6+3\cdot4\)
Pięć płytek: \(6+4\cdot4\)
Sto płytek: \(6+99\cdot4\)
N płytek: \(6+(n-1)\cdot4\)

Upraszczając to wyrażenie otrzymamy:
$$6+4n-4=4n+2$$

B

Prawidłowego przekształcenia dokonał Bartek, ponieważ:
$$F=G\cdot\frac{mM}{r^2} \\
Fr^2=GmM \\
r^2=\frac{GmM}{F} \\
r=\sqrt{\frac{GmM}{F}}$$

C

Aby obliczyć ile wynosi różnica między kwotą uzyskaną za sprzedać, a kosztami zakupu (czyli tak naprawdę ile wynosi zysk), musimy od zarobionej kwoty (czyli \(180zł\)) odjąć sumę poniesionych wydatków, czyli \(m\cdot1,5+b\cdot0,9\). Takie działanie jest zaprezentowane jedynie w trzeciej odpowiedzi i to ona jest tą prawidłową.

A

\(m\) - liczba mężczyzn na początku
\(k\) - liczba kobiet na początku

\(m-2+5=m+3\) - liczba mężczyzn, gdy autobus odjechał
\(k-3+2=k-1\) - liczba kobiet, gdy autobus odjechał

Prawidłowa jest zatem odpowiedź pierwsza.