Wyrażenia algebraiczne – zadania (egzamin ósmoklasisty)

A

\(m\) - liczba mężczyzn na początku
\(k\) - liczba kobiet na początku

\(m-2+5=m+3\) - liczba mężczyzn, gdy autobus odjechał
\(k-3+2=k-1\) - liczba kobiet, gdy autobus odjechał

Prawidłowa jest zatem odpowiedź pierwsza.

C

Aby obliczyć ile wynosi różnica między kwotą uzyskaną za sprzedać, a kosztami zakupu (czyli tak naprawdę ile wynosi zysk), musimy od zarobionej kwoty (czyli \(180zł\)) odjąć sumę poniesionych wydatków, czyli \(m\cdot1,5+b\cdot0,9\). Takie działanie jest zaprezentowane jedynie w trzeciej odpowiedzi i to ona jest tą prawidłową.

D

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(p\) - liczba osób niepełnoletnich
\(0,5p\) - liczba osób pełnoletnich poniżej \(60\)-tego roku życia
\(\frac{p}{k}\) - liczba osób pozostałych pełnoletnich

Krok 2. Zapisanie równania.
Musimy ułożyć równanie które powie jaka jest liczba ludności tego państwa. To oznacza, że te trzy wyrażenia zapisane w pierwszym kroku musimy po prostu do siebie dodać:
$$p+0,5p+\frac{p}{k}=1,5p+\frac{p}{k}$$

Udowodniono, korzystając z rozpisania wszystkich nagród z użyciem niewiadomej \(x\).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Przyjrzyjmy się ile pieniędzy otrzymał każdy z chłopców. Najprościej będzie przyjąć sobie, że Kamil dostał kwotę \(x\), co pozwoli nam to wszystko rozpisać w następujący sposób:
\(x\) - kwota, którą dostał Kamil
\(2\cdot x=2x\) - kwota, którą dostał Jędrek (bo dostał dwa razy więcej od Kamila)
\(2\cdot2x=4x\) - kwota, którą dostał Marcin (bo dostał dwa razy więcej od Jędrka)

Krok 2. Obliczenie łącznej puli nagród.
Korzystając z naszej rozpiski widzimy, ze cała pula nagród wyniosła:
$$x+2x+4x=7x$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że Kamil dostał \(x\) z puli \(7x\), a więc dostał on \(\frac{x}{7x}=\frac{1}{7}\) tej kwoty i właśnie to należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależności między zdobytymi nagrodami (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

A

W głosowaniu wzięło udział \(n\) osób. Na Alę i Basię oddano łącznie \(25+15=40\) głosów. Możemy więc zapisać, że na pozostałe osoby oddało swój głos \(n-40\) głosujących. Na Michała oddano \(\frac{2}{5}\) z tych pozostałych głosów, czyli:
$$\frac{2}{5}\cdot(n-40)=\frac{2}{5}n-16$$

a) \(y+1,5\)
b) \(y-0,5y=0,5y\)

Krok 1. Rozpatrzenie punktu pierwszego.
Jeżeli z wiadra przelewamy \(1,5\) litra wody, to w wiadrze będziemy mieć \(x-1,5\), natomiast w garnku przybędzie \(1,5\) litra, zatem znajdzie się tam teraz \(y+1,5\) litrów.

Krok 2. Rozpatrzenie punktu drugiego.
Musimy przelać połowę wody z garnka, czyli \(0,5y\) litrów. To oznacza, że w wiadrze znajdzie się \(x+0,5y\) litrów wody, natomiast w garnku zostanie \(y-0,5y=0,5y\) litrów wody.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz ilość litrów wody w wiadrze i garnku w jednym z dwóch przypadków (Krok 1. lub 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz ilość litrów wody w wiadrze i garnku w obydwu przypadkach (Krok 1. i 2.).

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Najprościej będzie rozpocząć to zadanie od wyodrębnienia sobie poszczególnych figur, tak aby wyraźnie było widać poszczególne długości boków.


Warto tutaj zwrócić uwagę na I i III figurę. W obydwu przypadkach te małe boki równoległoboku mają oczywiście nieznaną przez nas miarę, ale możemy je przenieść na trójkąty, który na po swoich prawych stronach mają puste miejsce, dzięki czemu na pewno mamy wszystkie potrzebne wymiary do obliczenia poszczególnych obwodów.

Krok 2. Obliczenie obwodów figur.
Musimy teraz obliczyć obwody każdej z figur:
I figura: \(a+a+a+b+b=3a+2b\)
II figura: \(a+a+a+b+b=3a+2b\)
III figura: \(a+a+a+b+b=3a+2b\)

To oznacza, że wszystkie nasze figury mają jednakowe obwody.

A

W tym zadaniu musimy zwrócić uwagę na to, że wysokość \(KN\) pada na bok \(LM\), zatem to bok \(LM\) jest naszą podstawą trójkąta. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot|LM|\cdot|KN|$$

Z treści zadania wiemy, że \(|LM|=2x\) oraz że \(|KN|=k+1\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot(k+1) \\
P=x\cdot(k+1)$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Krok 2. Obliczenie obwodu pierwszej i drugiej figury.
Obwód pierwszej figury nie stanowi żadnego problemu, jest to po prostu:
$$Obw_{I}=4a$$

Zgodnie z naszym rysunkiem obwód drugiej figury jest równy:
$$Obw_{II}=\frac{1}{2}a+a+a+a+\frac{1}{2}a+a=5a$$

Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Różnica między obwodem drugiej figury i pierwszej wynosi: \(5a-4a=a\). W związku z tym zdanie jest fałszem.

Krok 4. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Zgodnie z obliczeniami wykonanymi w drugim kroku, obwód ułożonej figury jest faktycznie równy \(5a\), zatem to zdanie jest prawdą.

D

Przekształcając wzór krok po kroku otrzymamy następującą sytuacje:
$$P=\frac{(x+y)\cdot h}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
2P=(x+y)\cdot h \quad\bigg/:h \\
x+y=\frac{2P}{h} \quad\bigg/-y \\
x=\frac{2P}{h}-y$$

B

Prawidłowego przekształcenia dokonał Bartek, ponieważ:
$$F=G\cdot\frac{mM}{r^2} \\
Fr^2=GmM \\
r^2=\frac{GmM}{F} \\
r=\sqrt{\frac{GmM}{F}}$$

\(x=900-20y\)

Musimy przekształcić podany wzór do takiej formy, by po lewej stronie równania znalazł się sam iks, a po prawej pozostałe wartości (igrek oraz liczby). Przenosimy zatem iksa na lewą stronę, a igreka na prawą:
$$y=-0,05x+45 \\
0,05x=45-y \quad\bigg/\cdot20 \\
x=900-20y$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie jedynie do postaci \(0,05x=45-y\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Wymnażając nawiasy i uważając na znaki, otrzymamy:
$$(x-2)(4x-3)-x(1-x)= \\
=4x^2-8x-3x+6-(x-x^2)= \\
=4x^2-11x+6-x+x^2= \\
=5x^2-12x+6$$

C

Możemy standardowo wymnożyć przez siebie poszczególne wyrazy, ale... możemy też postąpić nieco sprytniej. Wystarczy zamienić miejscami jednomiany w pierwszym nawiasie i otrzymamy następującą postać:
$$(2a+3b)\cdot(3b−2a)=(3b+2a)(3b-2a)$$

Taka zamiana pozwoli nam skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, a konkretnie ze wzoru:
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

W tym naszym wyrażeniu pierwszym wyrazem jest \(3b\), drugim wyrazem jest \(2a\), zatem:
$$(3b+2a)(3b-2a)=(3b)^2-(2a)^2=9b^2-4a^2$$

D

Krok 1. Uproszczenie każdego z wyrażeń.
Uprośćmy każde z wyrażeń:
$$F=x–(2x+5)=x-2x-5=-x-5 \\
G=6–(–3x+2)=6+3x-2=3x+4 \\
H=5–(2x+4)=5-2x-4=-2x+1$$

Krok 2. Sprawdzenie poprawności każdej z równości.
Sprawdźmy teraz po kolei każdą z równości:
Odp. A. \(F+G=H\)
Suma \(F+G\) jest równa:
\(-x-5+3x+4=2x-1\)
Otrzymany wynik nie jest równy wyrażeniu \(H\), dlatego ta odpowiedź jest nieprawdą.

Odp. B. \(F+H=G\)
Suma \(F+H\) jest równa:
\(-x-5-2x+1=-3x-4\)
Otrzymany wynik nie jest równy wyrażeniu \(G\), dlatego ta odpowiedź jest nieprawdą.

Odp. C. \(G+H=F\)
Suma \(G+H\) jest równa:
\(3x+4-2x+1=x+5\)
Otrzymany wynik nie jest równy wyrażeniu \(F\), dlatego ta odpowiedź jest nieprawdą.

Odp. D. \(F+G+H=0\)
Suma \(F+G+H\) jest równa:
\(-x-5+3x+4-2x+1=0\)
Otrzymany wynik jest równy \(0\), dlatego to właśnie ta odpowiedź jest prawdziwa.

\(a=77cm\) oraz \(12n+5\)

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(a\).
Musimy zauważyć, że dołożenie każdej kolejnej płytki nie zwiększa nam długości chodnika o \(17cm\), bo płytki na siebie zachodzą. Dołożenie każdej kolejnej płytki zwiększa nam długość chodnika o \(29cm-17cm=12cm\).

Musimy obliczyć długość \(6\) płytek. Możemy więc to policzyć w taki sposób, że do pierwszej płytki o długości \(17cm\) dodano pięciu kolejnych płytek, z których każda zwiększa długość o \(12cm\). Otrzymamy zatem długość chodnika równą:
$$a=17cm+5\cdot12cm=17cm+60cm=77cm$$

Krok 2. Zapisanie wyrażenia algebraicznego.
Drugą częścią naszego zadania jest tak naprawdę ustalenie wzoru na długość chodnika. Skorzystamy już z tego co przeanalizowaliśmy sobie w pierwszym kroku, czyli z informacji że długość chodnika jest równa \(17cm\) pierwszej płytki plus \(12cm\) pomnożone przez tyle ile jest dodatkowo dołożonych płytek. Jeśli mamy mieć chodnik składający się z \(n\) płytek, to znaczy że do płytki początkowej trzeba dolożyć jeszcze \(n-1\) dodatkowych płytek, zatem nasz wzór miałby następującą postać:
$$17+12(n-1) \\
17+12n-12 \\
12n+5$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(a\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie poszukiwane wyrażenie algebraiczne (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(a\) oraz zapiszesz poprawnie poszukiwane wyrażenie algebraiczne (Krok 1. i 2.).

D

Z pierwszego rysunku wynika, że każda dołączona płytka powiększa długość konstrukcji o \(10cm-6cm=4cm\). Czyli długości w centymetrach dla przykładowych konstrukcji będą następujące:
Jedna płytka: \(6\)
Dwie płytki: \(6+4\)
Trzy płytki: \(6+2\cdot4\)
Cztery płytki: \(6+3\cdot4\)
Pięć płytek: \(6+4\cdot4\)
Sto płytek: \(6+99\cdot4\)
\(n\) płytek: \(6+(n-1)\cdot4\)

Wzór na \(n\) płytek mamy już ustalony. Teraz musimy uprościć nasze wyrażenie, tak aby dopasować się do proponowanych odpowiedzi, czyli zapisalibyśmy, że:
$$6+(n-1)\cdot4=6+4n-4=4n+2$$