Statystyka – zadania maturalne

D

Układamy równanie ze średnią arytmetyczną pięciu liczb, którego rozwiązaniem będzie właśnie niewiadoma \(x\), zatem:
$$\frac{5+x+1+3+1}{5}=3 \quad\bigg/\cdot5 \\
10+x=15 \\
x=5$$

D

Krok 1. Zapisanie odpowiedniego wzoru na średnią arytmetyczną.
Mamy \(10\) liczb, więc ich średnią arytmetyczną możemy zapisać wzorem:
$$\frac{x+3+1+4+1+5+1+4+1+5}{10}=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
$$\frac{x+3+1+4+1+5+1+4+1+5}{10}=3 \quad\bigg/\cdot10 \\
x+25=30 \\
x=5$$

D

Krok 1. Uporządkowanie wyników rzutu kostką.
Aby obliczyć medianę musimy najpierw ustawić wyniki z rzutów w porządku niemalejącym, zatem:
$$1,3,4,6$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
W przypadku ciągu, który ma nieparzystą liczbę elementów, medianą jest środkowy wyraz. Nasz ciąg ma jednak parzystą liczbę elementów (dokładnie cztery), a więc aby uzyskać medianę musimy obliczyć średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W naszym przypadku środkowymi wyrazami są \(3\) oraz \(4\), tak więc mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$

D

Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie wszystkich danych do standardowego wzoru na średnią arytmetyczną, pamiętając o tym, że trzeba odpowiednio wymnożyć liczbę dzieci przez liczbę posiadanego rodzeństwa. W ten sposób powstanie nam równanie, które po prostu musimy rozwiązać, tak więc:
$$\frac{3\cdot6+4\cdot12+x\cdot2}{6+12+2}=4 \\
\frac{18+48+2x}{20}=4 \quad\bigg/\cdot20 \\
66+2x=80 \\
2x=14 \\
x=7$$

C

Układając równanie na podstawie średniej arytmetycznej sześciu liczb otrzymamy:
$$\frac{3+1+1+0+x+2}{6}=2 \\
\frac{7+x}{6}=2 \\
7+x=12 \\
x=5$$

D

\(\overline{x}\) - średnia cena akcji
\(x_{1}, x_{2}...\) - ceny poszczególnych akcji
$$\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}$$

Z treści zadania wynika, że za pięć akcji zapłacono \(2300\), czyli:
$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=2300$$

Wiemy też, że średnia cena akcji jest równa \(500\). Podstawiając te informacje do wzoru na średnią otrzymamy:
$$500=\frac{2300+x_{6}}{6} \\
3000=2300+x_{6} \\
x_{6}=700$$

B

Krok 1. Uporządkowanie w kolejności niemalejącej zarobków pracowników.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany zawsze musimy najpierw uporządkować liczby w porządku niemalejącym, zatem:
$$2000, 2800, 3400, 3600, 4200, 8000$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Nasz ciąg liczb składa się z sześciu wyrazów (czyli jest to parzysta ilość), zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów:
$$m=\frac{3400+3600}{2} \\
m=\frac{7000}{2} \\
m=3500$$

D

Nasz ciąg składa się z sześciu liczb (czyli mamy parzystą liczbę wyrazów), stąd też mediana będzie średnią arytmetyczną trzeciej i czwartej liczby. To pozwala nam utworzyć równanie:
$$\frac{3+x}{2}=4 \\
3+x=8 \\
x=5$$

C

Łącznie wszystkich uczniów jest:
$$1+5+7+8+3+2=26$$

W związku z tym ich średnia ocen będzie równa:
$$\overline{x}=\frac{1\cdot1+5\cdot2+7\cdot3+8\cdot4+3\cdot5+2\cdot6}{26} \\
\overline{x}=\frac{1+10+21+32+15+12}{26} \\
\overline{x}=\frac{91}{26} \\
\overline{x}=3,5$$

D

Krok 1. Uporządkowanie zestawu danych.
Aby móc przystąpić do obliczeń z medianą musimy na wstępie uporządkować wszystkie wyrazy ciągu w porządku niemalejącym. Uporządkujmy sobie na wstępie wszystkie wartości które znamy (czyli bez \(a\)):
$$2,3,5,10,12$$

W tej sytuacji mediana jest równa \(5\). My wiemy, że po dodaniu do tego zestawu liczby \(a\) mediana musi być równa \(7\). Musimy więc przeanalizować gdzie to nasze \(a\) może się znaleźć. Gdyby \(a\) było mniejsze od \(5\), to mediana byłaby mniejsza od \(5\). Gdyby \(a\) było większe od \(10\), to mediana byłaby równa \(\frac{5+10}{2}=7\frac{1}{2}\). Jedyną więc możliwością jest sytuacja, w której \(a\) znajdzie się między piątką i dziesiątką. Stąd też:
$$2,3,5,a,10,12$$

Krok 2. Obliczenie parametru \(a\) na podstawie mediany.
Mamy parzystą liczbę wyrazów naszego zestawu, więc medianę obliczymy jako średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W ten oto sposób uda nam się wyznaczyć wartość \(a\):
$$mediana=\frac{5+a}{2} \\
7=\frac{5+a}{2} \\
14=5+a \\
a=9$$

Podpowiedź: Oczywiście nic nie stoi też na przeszkodzie, by podstawić pod \(a\) każdą z czterech odpowiedzi i tym samym sprawdzić kiedy mediana będzie równa \(7\).

C

Krok 1. Obliczenie sumy punktów uzyskanych przez I grupę.
Skoro było \(40\) studentów, a każdy uzyskał średnio \(30\) punktów, to łącznie uzyskali:
$$S_{1}=40\cdot30=1200$$

Krok 2. Obliczenie średniego wyniku z egzaminu.
Musimy dodać do siebie sumę punktów pierwszej i drugiej grupy i podzielić ją przez łączną liczbę studentów, zatem:
$$\overline{x}=\frac{1200+1800}{40+20} \\
\overline{x}=\frac{3000}{60} \\
\overline{x}=50$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Zanim obliczymy medianę musimy poznać wartość niewiadomej \(x\). Zrobimy to układając proste równanie związane ze średnią arytmetyczną:
$$\frac{x+13+7+5+5+3+2+11}{8}=7 \\
\frac{x+46}{8}=7 \quad\bigg/\cdot8 \\
x+46=56 \\
x=10$$

Krok 2. Uporządkowanie liczb i wyznaczenie mediany.
Zanim zaczniemy obliczać medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym:
$$2,3,5,5,7,10,11,13$$

Mamy parzystą liczbę wyrazów, więc medianę wyznaczymy w następujący sposób:
$$m=\frac{5+7}{2} \\
m=\frac{12}{2} \\
m=6$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Do obliczenia niewiadomej \(x\) skorzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną. Wszystkich liczb (łącznie z niewiadomą \(x\)) mamy osiem, zatem:
$$\frac{3+8+3+11+3+10+3+x}{8}=6 \\
\frac{41+x}{8}=6 \\
41+x=48 \\
x=7$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby móc obliczyć medianę musimy najpierw uporządkować wyrazy w kolejności niemalejącej:
$$3, 3, 3, 3, 7, 8, 10, 11$$

Mamy parzystą liczbę wyrazów, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb:
$$m=\frac{3+7}{2} \\
m=\frac{10}{2} \\
m=5$$

D

Skoro średnie arytmetyczne są sobie równe, to możemy ułożyć proste równanie:
$$\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{2+4+7+8+9+x}{6} \\
\frac{30}{5}=\frac{30+x}{6} \\
6=\frac{30+x}{6} \\
36=30+x \\
x=6$$

A

Krok 1. Utworzenie poprawnego układu równań.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać dwa równania, które razem stworzą układ równań:
\begin{cases}
\frac{2+4+7+8+x}{5}=n \\
\frac{2+4+7+8+x+2x}{6}=2n
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Najprościej będzie chyba zastosować metodę podstawiania (podstawimy pierwsze równanie do drugiego), zatem otrzymamy:
$$\frac{2+4+7+8+x+2x}{6}=2\cdot\frac{2+4+7+8+x}{5} \\
\frac{21+3x}{6}=2\cdot\frac{21+x}{5} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2} \\
\frac{21+3x}{12}=\frac{21+x}{5}$$

Mnożąc teraz na krzyż otrzymamy:
$$5\cdot(21+3x)=12\cdot(21+x) \\
105+15x=252+12x \\
3x=147 \\
x=49$$

C

Krok 1. Ułożenie poprawnego równania i wyznaczenie wartości \(x\).
Zgodnie z treścią zadania prawdziwa jest następująca równość:
$$\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2} \\
\frac{128+x}{6}=\frac{x}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\
128+x=3x \\
2x=128 \\
x=64$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby obliczyć naszą medianę musimy przede wszystkim ustawić nasze liczby w ciągu niemalejącym, bo tylko w ten sposób jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie:
$$16,25,27,29,31,64$$

Z racji tego, że mamy parzystą liczbę wyrazów, to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów:
$$m=\frac{27+29}{2}=\frac{56}{2}=28$$

D

Z treści zadania układamy następujące równanie:
$$\frac{(x-1)+(3x)+(5x+1)+(7x)}{4}=72 \\
16x=288 \\
x=18$$

A

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest stworzenie poprawnego równania. Bardzo wiele osób tutaj popełnia spory błąd, dlatego omówmy to sobie dość dokładnie. Skoro wartość drugiej średniej będzie większa o \(2\), to aby postawić znak równości między tymi średnimi to musimy dodać dwójkę do pierwszej z nich. Przykładowo gdyby chcieć to pokazać na liczbach, to jeżeli \(\overline{x_{1}}=10\) oraz \(\overline{x_{2}}=12\), to prawidłowe będzie równanie \(\overline{x_{1}}+2=\overline{x_{2}}\).

Mając na uwadze powyższą sugestię możemy to zapisać w taki sposób:
$$\overline{x_{1}}+2=\overline{x_{2}} \\
\frac{4+7+8+x}{4}+2=\frac{4+7+8+x+2}{5} \\
\frac{19+x}{4}+2=\frac{21+x}{5} \quad\bigg/\cdot20 \\
5\cdot(19+x)+40=4\cdot(21+x) \\
95+5x+40=84+4x \\
x=84-95-40 \\
x=-51$$

D

Ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{3+5+7+9+x+15+17+19}{8}=11 \\
\frac{75+x}{8}=11 \quad\bigg/\cdot8 \\
75+x=88 \\
x=13$$

Średnia arytmetyczna jest równa \(3\), natomiast kwadrat odchylenia standardowego jest równy \(1,6\).

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Aby obliczyć wartość średniej arytmetycznej musimy dodać do siebie wartość wszystkich zdobytych ocen i podzielić ją przez liczbę wszystkich uczniów:
$$\bar{a}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot9+1\cdot2}{1+2+6+5+9+2}=\frac{75}{25}=3$$

Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób:
$$σ^2=\frac{(6-3)^2\cdot1+(5-3)^2\cdot2+(4-3)^2\cdot6+(3-3)^2\cdot5+(2-3)^2\cdot9+(1-3)^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}= \\
=\frac{3^2\cdot1+2^2\cdot2+1^2\cdot6+0^2\cdot5+(-1)^2\cdot9+(-2)^2\cdot2}{25}= \\
=\frac{9\cdot1+4\cdot2+1\cdot6+0\cdot5+1\cdot9+4\cdot2}{25}= \\
=\frac{9+8+6+0+9+8}{25}=\frac{40}{25}=1,6$$

II sposób:
$$σ^2=\frac{6^2\cdot1+5^2\cdot2+4^2\cdot6+3^2\cdot5+2^2\cdot9+1^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}-(\bar{a})^2= \\
=\frac{36\cdot1+25\cdot2+16\cdot6+9\cdot5+4\cdot9+1\cdot2}{25}-3^2= \\
=\frac{36+50+96+45+36+2}{25}-9=\frac{265}{25}-9=10,6-9=1,6$$

Uwaga! Nie musimy pierwiastkować otrzymanego wyniku! Wariancję po prostu oznacza się jako \(σ^2\), a nie jako \(σ\), stąd też wynik \(1,6\) jest naszym wynikiem końcowym.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz średnią arytmetyczną (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz średnią arytmetyczną z błędem, ale adekwatnie do tego błędu policzysz kwadrat odchylenia standardowego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=3\)

Musimy ułożyć odpowiednie równanie, dokładnie tak jak chcielibyśmy obliczyć średnią arytmetyczną. Otrzymamy wtedy:
$$\frac{0\cdot1+4\cdot2+9\cdot3+13\cdot4+x\cdot5+1\cdot6}{0+4+9+13+x+1}=3,6 \\
\frac{93+5x}{27+x}=3,6 \quad\bigg/\cdot(27+x) \\
93+5x=3,6\cdot(27+x) \\
93+5x=97,2+3,6x \\
1,4x=4,2 \\
x=3$$

To oznacza, że trzy osoby otrzymały ocenę bardzo dobrą.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z użyciem średniej arytmetycznej i na tym zakończysz albo np. popełnisz błąd rachunkowy w trakcie obliczeń.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.