Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2009 – Odpowiedzi

A

Z tabeli możemy odczytać, że \(120\) minut treningu wiąże się z użyciem \(700\) kcal energii. Naszym zadaniem jest obliczenie zużycia w ciągu \(1,5\) godziny (czyli \(90\) minut). \(90\) minut ze \(120\) minut to \(\frac{90}{120}=\frac{3}{4}\). Skoro zużycie energii jest wprost proporcjonalne do czasu to w musimy obliczyć ile to jest \(\frac{3}{4}\) z \(700\)kcal:
$$\frac{3}{4}\cdot700kcal=525kcal$$

D

Aby dowiedzieć się którą dyscyplinę uprawiał ten zawodnik musimy obliczyć godzinny wydatek energetyczny każdego ze sportów.

Siatkówka - skoro w \(120\) minut zużywamy \(700\) kcal, to w \(60\) minut zużyjemy \(700kcal:2=350kcal\).
Pływanie - tu mamy od razu podane, że w \(60\) minut zużyjemy \(600kcal\).
Aerobik - skoro w \(30\) minut zużywamy \(250\) kcal, to w \(60\) minut zużyjemy \(250kcal\cdot2=500kcal\).
Piłka nożna - skoro w \(90\) minut zużywamy \(1050\) kcal, to w \(60\) minut zużyjemy \(1050kcal\cdot\frac{60}{90}=700kcal\).
Kolarstwo - skoro w \(45\) minut zużywamy \(450\) kcal, to w \(60\) minut zużyjemy \(450kcal\cdot\frac{60}{45}=600kcal\).

Widzimy wyraźnie, że poszukiwanym sportem był aerobik.

B

Wystarczy ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(1050\) kcal to \(90\) min
To \(350\) kcal to \(30\) min
Więc \(1400\) kcal to \(120\) min

\(120\) minut to \(2\) godziny i to jest prawidłowa odpowiedź na to zadanie.

C

Sprawdźmy poprawność każdej z proponowanych odpowiedzi:
Odp. A. \(130\) kcal to \(54,47\) kJ
Obliczenie: \(130kcal=130\cdot4,19=544,7kJ\)

Odp. B. \(5447\) kcal to \(130\) kJ
Obliczenie: \(5447kcal\cdot4,19=22822,93kJ\)

Odp. C. \(130\) kcal to \(544,7\) kJ
Obliczenie: \(130kcal=130\cdot4,19=544,7kJ\)

Odp. D. \(544,7\) kcal to \(130\) kJ
Obliczenie: \(544,7kcal\cdot4,19=2282,293kJ\)

Prawidłowe przeliczenie znalazło się więc w trzeciej odpowiedzi.

B

Skoro mamy \(20dag\) czekolady i chcemy ją podzielić na \(x\) osób to każda z nich otrzyma \(20:x\) dekagramów czekolady. I tak naprawdę my w odpowiedziach mamy taki zapis, tylko w formie ułamka, zatem już po tej krótkiej analizie możemy powiedzieć, że prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź druga.

Gdybyśmy jednak nie byli pewni swoich analiz, to tak naprawdę wystarczyłoby podstawiać pod iksa liczbę osób (najlepiej inną niż \(1\), czyli np. \(2\)) i sprawdzić czy otrzymany igrek jest taki sam jak ten zaznaczony na wykresie. Przykładowo:
Jeżeli \(x=2\), to z wykresu wynika, że \(y=10\) (co jest zresztą logiczne, bo jak dzielimy \(20dag\) czekolady na \(2\) osoby, to każda dostaje \(10dag\)). Sprawdźmy zatem który wzór da nam wynik równy \(10\).
Odp. A. \(y=20x\)
Obliczenie: \(y=20\cdot2=40\)

Odp. B. \(y=\frac{20}{x}\)
Obliczenie: \(y=\frac{20}{2}=10\)

Odp. C. \(y=0,2x\)
Obliczenie: \(y=0,2\cdot2=0,4\)

Odp. D. \(y=\frac{x}{20}\)
Obliczenie: \(y=\frac{2}{20}=0,1\)

Jak widzimy, wartość równą \(10\) otrzymaliśmy tylko w przypadku drugiego wzoru.

Uwaga: Jeżeli wybieramy metodę podstawiania to w takich zadaniach zawsze warto sprawdzić sobie wszystkie odpowiedzi, bo może się okazać że dla jakiegoś argumentu \(x\) więcej niż jeden wzór da dobry wynik. Gdyby tak się stało, to trzeba wtedy podstawić inny argument, tak aby finalnie została nam tylko jedna możliwa odpowiedź.

C

Jeżeli mamy \(20\) dag czekolady i chcemy podzielić czekoladę równo pomiędzy \(8\) osób, to każda z tych osób dostanie:
$$20dag:8=2,5dag$$

A

Hania kupiła \(3\) tabliczki, każda kosztuje \(x\), zatem za czekolady zapłaciła \(3x\). Z treści zadania wynika, że \(3x\) plus reszta \(0,6zł\) ma nam dać kwotę \(15zł\), zatem prawidłowym równaniem będzie:
$$3x+0,6=15$$

A

Krok 1. Przekształcenie skali.
Skala \(1:300\;000\;000\) oznacza, że \(1cm\) na mapie odpowiada \(300\;000\;000cm\) w rzeczywistości. Musimy teraz zamienić tą dużą liczbę centymetrów na kilometry:
$$300\;000\;000cm=3\;000\;000m=3000km$$

Krok 2. Wyznaczenie odległości.
Wiemy już, że \(1cm\) ma mapie odpowiada odległości \(3000km\). Na naszej mapie odleglość między Kairem i Delhi wynosi \(1,5cm\), zatem w rzeczywistości będzie to dystans:
$$1,5\cdot3000km=4500km$$

Masa szynki stanowi \(12,5\%\) masy śniadania Michała.

Krok 1. Obliczenie masy wszystkich składników.
Wszystkie składniki użyte do zrobienia śniadania Michała ważą:
$$200g+30g+50g+40g=320g$$

Krok 2. Obliczenie udziału masy szynki w śniadaniu.
Szynka stanowi \(40g\) z \(320g\) posiłku, zatem jej udział procentowy wynosi:
$$\frac{40g}{320g}=\frac{1}{8}=12,5\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz masę wszystkich składników (Krok 1.) oraz zapiszesz, np. w formie ułamka, że udział szynki wynosi \(\frac{40g}{320g}\) i źle zamienisz tę wartość na procenty.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Masa białka wynosi \(33,59g\).

Krok 1. Obliczenie ilości białka w każdym z produktów.
Tabela zawartości białka zawiera informację o tym ile jest białka w \(100g\) produktu. Musimy więc obliczyć ile gramów białka znajduje się w poszczególnych produktach, uwzględniając ich wagę. Najprościej będzie to zrobić za pomocą proporcji:
Bułka:
Skoro \(100g\) bułki to \(6,9g\) białka
Więc \(200g\) bułki to \(13,8g\) białka

Masło:
Skoro \(100g\) masła to \(0,6g\) białka
To \(10g\) masła to \(0,06g\) białka
Więc \(30g\) masła to \(0,18g\) białka

Ser:
Skoro \(100g\) sera to \(26,1g\) białka
To \(50g\) sera to \(13,05g\) białka

Szynka:
Skoro \(100g\) szynki to \(16,4g\) białka
To \(10g\) szynki to \(1,64g\) białka
Więc \(40g\) szynki to \(6,56g\) białka

Krok 2. Obliczenie łącznej zawartości białka.
Znając już zawartość białka w każdym z produktów możemy bez problemu dodać do siebie te wyniki i w ten sposób zakończyć całe zadanie:
$$13,8g+0,18g+13,05g+6,56g=33,59g$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz ilość białka w każdym z produktów (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Kosz ma w przybliżeniu pojemność \(25l\).

Krok 1. Obliczenie objętości walca.
Objętość walca obliczymy ze wzoru:
$$V=P_{p}\cdot H$$

Skoro w podstawie walca jest koło, to wzór na objętość możemy zapisać jako:
$$V=πr^2\cdot H$$

Do obliczenia objętości potrzebujemy więc wysokości \(H\) (ta jest akurat znana) oraz promienia podstawy. My promienia podstawy nie znamy, bo w treści zadania podana jest średnica dna. Z racji tego iż promień jest dwa razy krótszy od średnicy, to:
$$r=28cm:2=14cm$$

Teraz bez przeszkód możemy obliczyć pożądaną objętość:
$$V=π\cdot14^2\cdot40 \\
V=π\cdot196\cdot40 \\
V=7840π \\
V\approx7840\cdot3,14 \\
V=24617,6[cm^3]$$

Krok 2. Zamiana jednostek na litry.
To jeszcze nie jest koniec zadania, bo choć objętość mamy obliczoną poprawnie to musimy jeszcze zamienić jednostki na litry, bo takiego zaokrąglenia na koniec będziemy potrzebować.
\(1\) litr to \(1dm^3\)
\(1dm^3\) to \(1000cm^3\)

W związku z tym:
$$24617,6cm^3=24,6176dm^3=24,6176l$$

Krok 3. Zaokrąglenie wyniku do pełnych litrów.
Musimy jeszcze zaokrąglić wynik do pełnych litrów. Z racji tego iż pierwszą liczba po przecinku jest \(6\), to zaokrąglenie do pełnych jednostek będzie zaokrągleniem do góry.
$$24,6176l\approx25l$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz objętość walca (kosza) (Krok 1.), ale do obliczeń przyjmiesz średnicę \(28cm\) zamiast promień \(14 cm\).
2 pkt
• Gdy obliczysz objętość walca (kosza) (Krok 1.) i nie zamienisz poprawnie tej wartości na litry lub dokonasz błędnego zaokrąglenia.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Większe pole powierzchni ma pierwszy dach.

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pierwszego dachu.
Zacznijmy od obliczenia pola powierzchni pierwszego dachu. Dach składa się z czterech trójkątów równobocznych o boku długości \(8cm\). Musimy więc wyznaczyć pole każdego takiego trójkąta i pomnożyć to przez \(4\). Wyznaczyć pole tego trójkąta można tak naprawdę na dwa sposoby:

I sposób - korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.
Wzór na pole trójkąta równobocznego jest następujący:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{8^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{64\sqrt{3}}{4} \\
P=16\sqrt{3}$$

Skoro mamy cztery takie trójkąty, to pole powierzchni dachu będzie równe:
$$P_{1}=4\cdot16\sqrt{3}=64\sqrt{3}$$

II sposób - wyznaczając wysokość trójkąta równobocznego.
Tym razem możemy skorzystać ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
h=4\sqrt{3}$$

Jeśli tego wzoru nie pamiętamy, to ostatecznie możemy wyznaczyć wysokość z Twierdzenia Pitagorasa, wiedząc że wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na dwie równe części:


$$4^2+h^2=8^2 \\
16+h^2=64 \\
h^2=48 \\
h=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$$

Znając wysokość trójkąta równobocznego możemy obliczyć już bez przeszkód jego pole standardowym wzorem na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot4\sqrt{3} \\
P=4\cdot4\sqrt{3} \\
P=16\sqrt{3}$$

Skoro mamy cztery takie trójkąty, to pole powierzchni dachu będzie równe:
$$P_{1}=4\cdot16\sqrt{3}=64\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni drugiego dachu.


Do obliczenia pola powierzchni drugiego dachu (składającego się z dwóch prostokątów) potrzebujemy znać długość krótszego boku prostokąta. Obliczymy go z Twierdzenia Pitagorasa i trójkąta zaznaczonego na powyższym rysunku:
$$4^2+4^2=x^2 \\
16+16=x^2 \\
x^2=32 \\
x=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$

W związku z tym pojedynczy kawałek dachu jest prostokątem o wymiarach \(8\times4\sqrt{2}\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P=8\cdot4\sqrt{2} \\
P=32\sqrt{2}$$

Nasz drugi dach składa się z dwóch takich prostokątów, zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{2}=2\cdot32\sqrt{2} \\
P_{2}=64\sqrt{2}$$

Krok 3. Określenie który dach ma większą powierzchnię.
Pierwszy dach ma powierzchnię \(64\sqrt{3}\), drugi dach ma powierzchnię \(64\sqrt{2}\), zatem to pierwszy dach ma tę powierzchnię większą:
$$64\sqrt{3}\gt64\sqrt{2} \\
P_{1}\gt P_{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta będącego częścią pierwszego dachu \(h=4\sqrt{3}\) (Krok 1. II sposób).
ALBO
• Gdy obliczysz długość krótszego boku prostokąta będącego częścią drugiego dachu \(x=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni pierwszego dachu (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole powierzchni drugiego dachu (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni jednego z dwóch dachów oraz obliczysz kluczowy wymiar następnego dachu, czyli \(h=4\sqrt{3}\) dla pierwszego dachu lub \(x=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) dla drugiego dachu (Krok 1. i 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni obydwu dachów (Krok 1. i 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub też źle określisz który dach ma większą powierzchnię.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.