Pierwiastki

Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Ale czym tak naprawdę są te pierwiastki, jak wygląda ich zapis i jak wyliczać pierwiastki, tak aby nie popełnić błędu? Zanim przejdziemy do poszczególnych przykładów zobaczmy w jaki sposób zapisujemy pierwiastki i co oznaczają konkretne symbole.

Pierwiastki – podstawowe informacje
Podstawowym wzorem, który określa czym są pierwiastki jest:
$$\sqrt[n]{a}=b$$
gdzie:
\(n\) – stopień pierwiastka
\(a\) – liczba z której wyciągamy pierwiastek
\(b\) – wynik pierwiastkowania

Warto jeszcze powiedzieć o tym, że jeśli mamy pierwiastek drugiego stopnia (czyli kiedy \(n=2\)), to nie musimy już pisać tej „dwójki” przy pierwiastku. Przykładowymi pierwiastkami będą zatem:
\(\sqrt{16}\) – pierwiastek drugiego stopnia z szesnastu lub po prostu pierwiastek z szesnastu
\(\sqrt{25}\) – pierwiastek drugiego stopnia z dwudziestu pięciu lub po prostu pierwiastek z dwudziestu pięciu
\(\sqrt[3]{8}\) – pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu
\(\sqrt[5]{1}\) – pierwiastek piątego stopnia z jedynki

Obliczanie wartości pierwiastków
Żeby odpowiedzieć sobie na pytanie ile wynosi pierwiastek danej liczby (czyli ile jest równe \(b\) w tym naszym zapisie) musimy znaleźć taką nieujemną liczbę, która spełnia poniższy warunek:
$$b^n=a$$

Możemy więc obrazowo powiedzieć, że wynikiem pierwiastkowania jest liczba, która podniesiona do odpowiedniej potęgi da nam liczbę, która znajduje się pod pierwiastkiem. Spójrzmy na konkretne przykłady:

Przykład 1. Ile wynosi \(\sqrt{16}\)?

Zgodnie z informacją zawartą powyżej wiemy, że \(\sqrt{16}\) to tak naprawdę \(\sqrt[2]{16}\). Musimy więc znaleźć taką liczbę, która podniesiona do potęgi drugiej da nam wynik równy \(16\). Taką liczbą jest \(4\), bo \(4^2=16\), więc:
$$\sqrt{16}=4$$

I tu na wstępie od razu musimy rozwiać sobie kluczową wątpliwość. Ktoś mógłby powiedzieć, że przecież także \((-4)^2=16\). Czy zatem rozwiązaniem powyższego pierwiastka może być także \(-4\)? Zgodnie z przyjętymi zasadami obowiązującymi przy pierwiastkach parzystego stopnia zarówno liczba pod pierwiastkiem jak i wynik pierwiastkowania muszą być liczbą nieujemną. To sprawia, że \(\sqrt{16}\) jest równe tylko i wyłącznie \(4\). Ujemny wynik z pierwiastkowania możemy otrzymać tylko w sytuacji w której mamy pierwiastek nieparzystego stopnia i liczba pod pierwiastkiem będzie także ujemna np. \(\sqrt[3]{-8}=-2\), bo \((-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8\).
Przykład 2. Ile wynosi \(\sqrt{25}\)?

Zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego, tylko tym razem musimy się zastanowić jaką liczbę trzeba podnieść do potęgi drugiej, aby otrzymać \(25\). Taką liczbą jest \(5\), bo \(5^2=25\), więc:
$$\sqrt{25}=5$$

Przykład 3. Ile wynosi \(\sqrt[3]{8}\)?

Zgodnie z tym co zapisaliśmy powyżej, rozwiązaniem tego pierwiastka będzie taka liczba, która podniesiona do potęgi trzeciej da nam wynik równy \(8\). Taką liczbą jest \(2\), bo \(2^3=8\), więc:
$$\sqrt[3]{8}=2$$

Przykład 4. Ile wynosi \(\sqrt[5]{1}\)?

Musimy się zastanowić jaką liczbę należy podnieść do potęgi piątej, aby otrzymać \(1\). Taką liczbą jest \(1\), bo \(1^5=1\), więc:
$$\sqrt[5]{1}=1$$

Powyżej podaliśmy sobie kilka rozwiązań liczbowych danych pierwiastków, ale niestety obliczenie wartości pierwiastka nie zawsze jest takie proste. Pierwiastki z niektórych liczb dają nam wyniki niecałkowite, stąd też bardzo często zamiast zapisywać chociażby przybliżony wynik w formie ułamka pozostawia się liczbę w danym pierwiastku. Przykładami takich pierwiastków są: \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\) i wiele innych…

Na zakończenie powiedzmy sobie o dwóch zwrotach z którymi będziemy się bardzo często spotykać, czyli powiedzmy sobie co to jest „pierwiastek kwadratowy” oraz „pierwiastek sześcienny”. Pierwiastkiem kwadratowym nazywamy wszystkie te pierwiastki, które mają drugi stopień pierwiastka, natomiast pierwiastkami sześciennymi są te pierwiastki, które mają trzeci stopień pierwiastka. Przykładowo:
\(\sqrt{16}, \sqrt{25}, \sqrt{9}, \sqrt{3}\) – to są pierwiastki kwadratowe
\(\sqrt[3]{8}, \sqrt[3]{27}, \sqrt[3]{64}, \sqrt[3]{3}\) – to są pierwiastki sześcienne

Dodaj komentarz