Pierwiastki

Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Ale czym tak naprawdę są te pierwiastki, jak wygląda ich zapis i jak wyliczać pierwiastki, tak aby nie popełnić błędu? Zanim przejdziemy do poszczególnych przykładów zobaczmy w jaki sposób zapisujemy pierwiastki i co oznaczają konkretne symbole.

Pierwiastki – podstawowe informacje
Podstawowym wzorem, który określa czym są pierwiastki jest:
$$\sqrt[n]{a}=b$$
gdzie:
\(n\) – stopień pierwiastka
\(a\) – liczba z której wyciągamy pierwiastek
\(b\) – wynik pierwiastkowania

Warto jeszcze powiedzieć o tym, że jeśli mamy pierwiastek drugiego stopnia (czyli kiedy \(n=2\)), to nie musimy już pisać tej „dwójki” przy pierwiastku. Przykładowymi pierwiastkami będą zatem:
\(\sqrt{16}\) – pierwiastek drugiego stopnia z szesnastu lub po prostu pierwiastek z szesnastu
\(\sqrt{25}\) – pierwiastek drugiego stopnia z dwudziestu pięciu lub po prostu pierwiastek z dwudziestu pięciu
\(\sqrt[3]{8}\) – pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu
\(\sqrt[5]{1}\) – pierwiastek piątego stopnia z jedynki

Obliczanie wartości pierwiastków
Żeby odpowiedzieć sobie na pytanie ile wynosi pierwiastek danej liczby (czyli ile jest równe \(b\) w tym naszym zapisie) musimy znaleźć taką nieujemną liczbę, która spełnia poniższy warunek:
$$b^n=a$$

Możemy więc obrazowo powiedzieć, że wynikiem pierwiastkowania jest liczba, która podniesiona do odpowiedniej potęgi da nam liczbę, która znajduje się pod pierwiastkiem. Spójrzmy na konkretne przykłady:

Przykład 1. Ile wynosi \(\sqrt{16}\)?

Zgodnie z informacją zawartą powyżej wiemy, że \(\sqrt{16}\) to tak naprawdę \(\sqrt[2]{16}\). Musimy więc znaleźć taką liczbę, która podniesiona do potęgi drugiej da nam wynik równy \(16\). Taką liczbą jest \(4\), bo \(4^2=16\), więc:
$$\sqrt{16}=4$$

I tu na wstępie od razu musimy rozwiać sobie kluczową wątpliwość. Ktoś mógłby powiedzieć, że przecież także \((-4)^2=16\). Czy zatem rozwiązaniem powyższego pierwiastka może być także \(-4\)? Zgodnie z przyjętymi zasadami obowiązującymi przy pierwiastkach parzystego stopnia zarówno liczba pod pierwiastkiem jak i wynik pierwiastkowania muszą być liczbą nieujemną. To sprawia, że \(\sqrt{16}\) jest równe tylko i wyłącznie \(4\). Ujemny wynik z pierwiastkowania możemy otrzymać tylko w sytuacji w której mamy pierwiastek nieparzystego stopnia i liczba pod pierwiastkiem będzie także ujemna np. \(\sqrt[3]{-8}=-2\), bo \((-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8\).
Przykład 2. Ile wynosi \(\sqrt{25}\)?

Zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego, tylko tym razem musimy się zastanowić jaką liczbę trzeba podnieść do potęgi drugiej, aby otrzymać \(25\). Taką liczbą jest \(5\), bo \(5^2=25\), więc:
$$\sqrt{25}=5$$

Przykład 3. Ile wynosi \(\sqrt[3]{8}\)?

Zgodnie z tym co zapisaliśmy powyżej, rozwiązaniem tego pierwiastka będzie taka liczba, która podniesiona do potęgi trzeciej da nam wynik równy \(8\). Taką liczbą jest \(2\), bo \(2^3=8\), więc:
$$\sqrt[3]{8}=2$$

Przykład 4. Ile wynosi \(\sqrt[5]{1}\)?

Musimy się zastanowić jaką liczbę należy podnieść do potęgi piątej, aby otrzymać \(1\). Taką liczbą jest \(1\), bo \(1^5=1\), więc:
$$\sqrt[5]{1}=1$$

Powyżej podaliśmy sobie kilka rozwiązań liczbowych danych pierwiastków, ale niestety obliczenie wartości pierwiastka nie zawsze jest takie proste. Pierwiastki z niektórych liczb dają nam wyniki niecałkowite, stąd też bardzo często zamiast zapisywać chociażby przybliżony wynik w formie ułamka pozostawia się liczbę w danym pierwiastku. Przykładami takich pierwiastków są: \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\) i wiele innych…

Na zakończenie powiedzmy sobie o dwóch zwrotach z którymi będziemy się bardzo często spotykać, czyli powiedzmy sobie co to jest „pierwiastek kwadratowy” oraz „pierwiastek sześcienny”. Pierwiastkiem kwadratowym nazywamy wszystkie te pierwiastki, które mają drugi stopień pierwiastka, natomiast pierwiastkami sześciennymi są te pierwiastki, które mają trzeci stopień pierwiastka. Przykładowo:
\(\sqrt{16}, \sqrt{25}, \sqrt{9}, \sqrt{3}\) – to są pierwiastki kwadratowe
\(\sqrt[3]{8}, \sqrt[3]{27}, \sqrt[3]{64}, \sqrt[3]{3}\) – to są pierwiastki sześcienne

12 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Anonim

Bardzo mi pomogło do egzaminów

nazwa_uzytkowniczki

Super, polecam extra tłumacza

Andrzej

odnośnie pierwiastka kwadratowego z 16: proponuję się trochę douczyć. Zgodnie z definicją pierwiastek kwadratowy z liczby rzeczywistej dodatniej to taka liczba, która podniesiona do kwadratu daje liczbę pod pierwiastkiem. Oczywiście -4 jest jednym z pierwiastków liczby 16 (to tzw pierwiastek algebraiczny). 4 to drugi pierwiastek z 16 (w tym przypadku jest to pierwiastek arytmetyczny)…. A więc do książek! Alleluja i do przodu….

Ola
Reply to  SzaloneLiczby

Jasne, że tak. W tym całym pierwiastkowym zamieszaniu jest jeden problem, później przychodzą równania kwadratowe i wtedy nagle mamy, że pierwiastek z 16 może być 4 lub -4, ze względu też na tą definicję że pierwiastek kwadratowy x to wartość bezwzględna z x, no i dzięki temu założeniu zawsze ten – się ucina :D ale my to stare wygi wiemy, gorzej z uczniami.

Grzegorz

Gdyby tak tłumaczyli nauczyciele

Kocham Matmę
Reply to  Grzegorz

Gdyby tak uczyli w szkołach to Polska była by pełna Einsteinów

matematyk

A gdzie pierwiastek kwadratowy z -1?

GabuchaRopucha

Extra dla przypomnienia :)

Asia

Naprawdę świetne wytłumaczenie, ahh… gdyby tak nam pani od matmy tłumaczyła to wszystko miałabym w jednym palcu (nie że narzekam bo pani od matmy też spoko tłumaczy ale nie kiedy nie idzie ją zrozumieć) PS. Miałam to już jakiś czas ale na zdalnych więc za bardzo nie pamiętam a jak wyrobimy się z tematami pani mówiła że będziemy powtarzać te pierwiastki więc wole sobie przypomnieć :)