Graniastosłupy – zadania (egzamin ósmoklasisty)

Akwarium będzie sięgać do wysokości \(2dm\).

Krok 1. Obliczenie pola podstawy prostopadłościanu.
Akwarium jest tak naprawdę prostopadłościanem w którego podstawie znajduje się prostokąt o wymiarach \(8dm\times5dm\). Pole podstawy tego prostopadłościanu jest więc równe:
$$P_{p}=8dm\cdot5dm=40dm^2$$

Krok 2. Obliczenie objętości wody.
Woda przepływa z prędkością \(8dm^3\) na minutę. Po \(10\) minutach będziemy więc mieć tej wody:
$$V=8dm^3\cdot10=80dm^3$$

Krok 3. Obliczenie wysokości sięgania wody.
\(80dm^3\) wody wlewa się do prostopadłościanu o podstawie \(40dm^2\). Musimy więc wyliczyć jak wysoko sięgnie ten słup wody, a skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość:
$$V=P_{p}\cdot H \\
80dm^3=40dm^2\cdot H \\
H=2dm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy akwarium (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz objętość wody wpływającej przez kran w ciągu \(10\) minut (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy akwarium oraz objętość wody wpływającej przez kran w ciągu \(10\) minut (Krok 1. i 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

D

Skoro wlano \(0,45l\) wody, a naczynie ma objętość \(V=0,75l\), to woda stanowi:
$$\frac{0,45}{0,75}=\frac{45}{75}=\frac{15}{25}=\frac{60}{100}=60\%$$

C

Krok 1. Obliczenie zużycia wody.
W ciągu tego miesiąca zużyto:
$$126,205m^3-108,593m^3=17,612m^3$$

Krok 2. Zaokrąglenie wyniku.
Zaokrąglając tę wartość do całości musimy zaokrąglić ją do góry, zatem w przybliżeniu będzie to \(17,612m^3\approx18m^3\).

D

\(10\) litrów to \(10dm^3\).
Licznik podaje wskazanie w \(m^3\), więc musimy zamienić te nasze \(10\) litrów na \(m^3\), pamiętając że \(1l=1dm^3\) oraz że \(1m^3=1000dm^3\). To oznacza, że:
$$10l=10dm^3=0,010m^3$$

Wskazanie licznika po zużyciu \(10l\) będzie więc równe:
$$126,205m^3+0,010m^3=126,215m^3$$

Do usypania wału potrzeba \(16500m^3\) ziemi.

Krok 1. Obliczenie wysokości dużego wału (świeżo usypanego).
Zgodnie z rysunkiem wiemy, że docelowy wał ma \(12m\) i że stanowić on będzie \(80\%\) tego co zostanie usypane. W związku z tym możemy zapisać następujące oznaczenia:
\(x\) - wysokość świeżo usypanego wału
\(0,8x\) - wysokość wału docelowego

Nasz wał docelowy ma \(12m\), czyli zajdzie równanie:
$$0,8x=12m \\
x=15m$$

To oznacza, że świeżo nasypany wał będzie mieć wysokość \(15m\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni przekroju dużego wału (świeżo usypanego).
Ten wał jest tak naprawdę graniastosłupem o podstawie trapezowej (można go sobie obrócić by sobie to lepiej wyobrazić). Spróbujmy więc na początku obliczyć pole powierzchni tego trapezu, które będzie jednocześnie polem podstawy graniastosłupa. Przed chwilą wyliczyliśmy sobie, że jego wysokość będzie równa \(15m\), natomiast długości podstawy dolnej i górnej się nie zmienią (bo tak wynika z treści zadania). W związku z tym pole trapezu wyniesie:
$$P_{p}=\frac{1}{2}(a+b)\cdot H \\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot(16m+6m)\cdot15m \\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot22m\cdot15m \\
P_{p}=11m\cdot15m \\
P_{p}=165m^2$$

Krok 3. Obliczenie objętości wału.
Z racji tego iż wał ma długość \(100m\), to jego objętość będzie równa:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=165m^2\cdot100m \\
V=16500m^3$$

To oznacza, że do usypania wału potrzebujemy \(16500m^3\) ziemi.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość dużego (świeżo usypanego) wału (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole powierzchni trapezu będącego przekrojem docelowego odcinka wału \(P=132m^2\).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni przekroju dużego wału (świeżo usypanego) (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz objętość wału (Krok 3.), ale otrzymany wynik jest niepoprawny z powodu błędu rachunkowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Z racji tego iż jest to trapez równoramienny to możemy skorzystać z jego własności i w ten sposób podzielić \(16m\) długości dolnej podstawy na odcinki o długościach \(5m, 6m, 5m\) (tak jak zaznaczono na rysunku).

Krok 2. Obliczenie długości ramienia trapezu.
Musimy obliczyć długość odcinka \(x\), który przyda nam się do obliczenia pola powierzchni warstwy gliny. Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa i trójkąta prostokątnego o bokach \(5m\), \(12m\) oraz \(x\):
$$5^2+12^2=x^2 \\
25+144=x^2 \\
x^2=169 \\
x=13[m]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostokąta.
Powierzchnia zbocza wału jest prostokątem o bokach \(13m\) oraz \(100m\). To oznacza, że poszukiwane pole będzie równe:
$$P=13m\cdot100m=1300m^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podzielisz dolną podstawę na odcinki o długościach \(5m, 6m, 5m\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość ramienia trapezu (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni prostokąta będącego zboczem wału (Krok 3.), ale otrzymany wynik jest niepoprawny z powodu błędu rachunkowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie prostopadłościanu mamy prostokąt o wymiarach \(15m\times10m\), zatem pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=15m\cdot10m=150m^2$$

Krok 2. Wyznaczenie objętości całego basenu.
Wiemy, że objętość \(240m^3\) wypełnia basen zaledwie do \(\frac{4}{5}\) głębokości. Ułóżmy zatem prostą proporcję:
Skoro \(240m^3\) wypełnia \(\frac{4}{5}\) basenu
To \(60m^3\) wypełnia \(\frac{1}{5}\) basenu
Więc \(300m^2\) wypełnia cały basen

Dzięki tej proporcji wiemy już, że cały basen ma objętość \(300m^3\).

Krok 3. Obliczenie głębokości basenu.
Znamy pole podstawy basenu, znamy jego objętość, więc korzystając ze wzoru na objętość prostopadłościanu możemy bez przeszkód wyznaczyć wysokość/głębokość bryły:
$$V=P_{p}\cdot H \\
300m^3=150m^2\cdot H \\
H=2m$$

C

Krok 1. Obliczenie wysokości słupa wody.
Skoro akwarium ma \(60cm\) wysokości, a woda sięga do \(\frac{2}{3}\) wysokości, to znaczy że słup wody osiąga:
$$\frac{2}{3}\cdot60cm=40cm$$

Krok 2. Obliczenie objętości wody.
Znając wysokość słupa wody możemy teraz obliczyć ile litrów wody znajduje się w akwarium. Z racji tego iż wynik trzeba podać w litrach, a \(1l=1dm^3\), to warto od razu zamienić sobie centymetry na decymetry:
$$V=abc \\
V=80cm\cdot50cm\cdot40cm \\
V=8dm\cdot5dm\cdot4dm \\
V=160dm^3=160l$$

C

Zadanie jest podchwytliwe, bo bardzo łatwo jest obliczyć niektóre klocki podwójnie (zwłaszcza te będące wierzchołkami bryły), dlatego warto sobie przeanalizować wszystko krok po kroku.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Szkielet naszego prostopadłościanu będzie wyglądał mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie liczby pomarańczowych klocków.
Pomarańczowych klocków przy każdej krawędzi o długości \(36cm\) mamy dokładnie \(7\). Takich krawędzi mamy \(4\), zatem pomarańczowych klocków jest:
$$4\cdot7=28$$

Krok 3. Obliczenie liczby zielonych klocków.
Przy każdej krawędzi o długości \(28cm\) mieści się \(5\) klocków. Takich krawędzi mamy \(4\), zatem zielonych klocków jest:
$$4\cdot5=20$$

Krok 4. Obliczenie liczby niebieskich klocków.
Przy każdej krawędzi o długości \(20cm\) mieszczą się \(3\) klocki. Takich krawędzi mamy oczywiście \(4\), zatem niebieskich klocków jest:
$$4\cdot3=12$$

Krok 5. Obliczenie liczby fioletowych klocków.
Fioletowe klocki to te klocki znajdujące się w wierzchołkach graniastosłupa. Jest ich łącznie \(8\) sztuk.

Krok 6. Obliczenie łącznej liczby wszystkich klocków.
Wszystkich klocków mamy zatem:
$$28+20+12+8=68$$

A

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie nasz graniastosłup ma trójkąt równoboczny (wystarczy sobie odwrócić tę bryłę) o boku \(3cm\). Zgodnie ze wzorem na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wzór na objętość graniastosłupa jest następujący:
$$\require{cancel}
V=P_{p}\cdot H \\
V=\frac{9\sqrt{3}}{\cancel{4}}\cdot \cancel{4}\sqrt{2} \\
V=9\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} \\
V=9\sqrt{6}$$

Pole powierzchni nowej bryły wynosi \(96cm^2\) i jest takie samo jak początkowego sześcianu.

Krok 1. Obliczenie objętości dużego sześcianu.
Wiemy, że nasz duży sześcian składa się z \(64\) małych sześcianików z czego każdy taki mały sześcianik ma krawędź \(1cm\). Objętość każdego takiego małego sześcianu o krawędzi \(1cm\) wynosi:
$$V=1cm\cdot1cm\cdot1cm=1cm^3$$

Jeżeli mamy \(64\) takie sześcianiki, to objętość naszej bryły jest równa:
$$64\cdot1cm^3=64cm^3$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Nam do obliczeń potrzebna będzie długość krawędzi sześcianu, którą wyznaczymy właśnie znając obliczoną przed chwilą objętość bryły:
$$V=a^3 \\
64cm^3=a^3 \\
a=4$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni sześcianu.
Znając krawędź sześcianu bez problemu obliczymy jego pole powierzchni. Nasz sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian z czego każda ma bok długości \(4cm\), zatem pole powierzchni sześcianu jest równe:
$$P_{p}=6\cdot4cm\cdot4cm \\
P_{p}=6\cdot16cm^2 \\
P_{p}=96cm^2$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły.
Teraz przystąpimy do obliczenia pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły. W tym celu pomoże nam poniższy rysunek:


Taka figura znajduje się w każdej ze ścian bocznych, dlatego musimy obliczyć jej pole powierzchni. Możemy to zrobić na różne sposoby np. dzieląc sobie tę figurę na prostokąty i kwadraty, ale najprościej będzie chyba dostrzec, że pole takiej ściany bocznej jest równe polu kwadratu o wymiarach \(4cm\times4cm\) pomniejszonego o cztery małe kwadraty o wymiarach \(1cm\times1cm\):
$$P=(4cm)^2-4\cdot(1cm)^2 \\
P=16cm^2-4cm^2 \\
P=12cm^2$$

Z racji tego iż mamy sześć takich ścian bocznych, to:
$$P_{b}=6\cdot12cm^2 \\
P_{b}=72cm^2$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni wypustek.


Każda pojedyncza wypustka tworzy nam trzy małe kwadraty o wymiarach \(1cm\times1cm\). Czyli każda taka wypustka powiększa nam pole powierzchni bryły o:
$$3\cdot1cm\cdot1cm=3cm^2$$

Takich wypustek mamy łącznie \(8\), więc ich łączne pole powierzchni będzie równe:
$$8\cdot3cm^2=24cm^2$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej nowopowstałej bryły.
Pole powierzchni nowej bryły jest więc równe:
$$P_{c}=72cm^2+24cm^2 \\
P_{c}=96cm^2$$

0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni sześcianu (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni bocznej jednej ze ścian bocznych w kształcie krzyża (Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni pojedynczej wypustki (Krok 5.).
2 pkt
• Gdy obliczysz dwa z trzech kluczowych elementów - pole powierzchni sześcianu (Krok 1.), pole powierzchni bocznej jednej ze ścian bocznych w kształcie krzyża (Krok 4.) lub pole powierzchni pojedynczej wypustki (Krok 5.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Musimy rozpatrzeć dwie sytuacje - pierwszą kiedy prostopadłościan leży na boku o największej powierzchni (wiemy, że wtedy słup wody sięga wysokości \(4cm\)) i drugą, kiedy leży na boku o najmniejszej powierzchni (tutaj poszukujemy wysokości słupa wody).



Objętość wody w jednym i drugim przypadku musi być jednakowa, zatem skoro możemy obliczyć objętość wody w pierwszym przypadku (a możemy, bo znamy wszystkie wymiary), to bez przeszkód obliczymy wysokość słupa wody w drugiej sytuacji.

Krok 2. Obliczenie objętości wody.
Objętość wody (nie prostopadłościanu!) wynosi:
$$V=18\cdot15\cdot4 \\
V=1080[cm^3]$$

Krok 3. Wyznaczenie wysokości słupa w drugim przypadku.
Pole podstawy drugiego prostopadłościanu jest równe:
$$P_{p}=15\cdot6 \\
P_{p}=90[cm^2]$$

Skoro wiemy, że objętość wody wynosi \(1080cm^3\). to możemy zapisać, że:
$$V=P_{p}\cdot H \\
1080cm^3=90cm^2\cdot H \\
H=12cm$$

B

Tutaj musimy użyć wyobraźni przestrzennej. Składając siatkę punkt \(P\) pokryje się jedynie z punktem \(Z\). Jeśli nie potrafisz sobie tego wyobrazić, to warto zauważyć, że punkt \(P\) znajduje się po prawej stronie siatki i nie ma możliwości by zbiegł się on w jakikolwiek sposób z punktami będącymi po lewej stronie siatki, czy też z górnym punktem \(W\).

A

Krok 1. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Objętość prostopadłościanu obliczymy ze wzoru:
$$V=abc$$

W kontekście zadania interesuje nas podanie objętości w litrach, a skoro \(1l=1dm^3\) to dobrze byłoby zamienić sobie centymetry na decymetry. I tak oto objętość całego prostopadłościanu wyniesie:
$$V=9dm\cdot4dm\cdot5dm \\
V=180dm^3=180l$$

Krok 2. Obliczenie ilości wody potrzebnej do dolania.
Chcemy zapełnić połowę prostopadłościanu, czyli chcemy by znalazło się w nim:
$$180l:2=90l$$

Skoro mamy już \(40l\), to dolać musimy:
$$90l-40l=50l$$

B

Dokładnie siedem sześcianów będzie mieć pomalowane cztery ściany, oto one:

Objętość graniastosłupa wynosi \(270cm^3\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść znane nam miary długości na nasz rysunek. Nanieśmy też sobie od razu informację gdzie w tej siatce znajduje się wysokość graniastosłupa, bo ona będzie nam potrzebna do obliczenia objętości.


Skrzydełka na górze i na dole siatki są trójkątami prostokątnymi, który znajduje się w podstawie. Skąd jednak wiemy, że boki o długości \(12cm\) oraz \(13cm\) są podpisane dobrze, a nie np. w odwrotnej kolejności? Faktycznie nie jest to zapisane wprost który bok ma jaką długość, ale my wiemy, że długości \(12cm\) oraz \(13cm\) to najdłuższe boki trójkąta prostokątnego. W trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest zawsze przeciwprostokątna, stąd wiemy, że to ona ma konkretnie \(13cm\).

Krok 2. Obliczenie długości trzeciego boku trójkąta znajdującego się w podstawie.
Z treści zadania wiemy, że dwa boki trójkąta znajdującego się w podstawie mają długość \(12cm\) oraz \(13cm\). Możemy więc z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć trzecią długość:
$$x^2+12^2=13^2 \\
x^2+144=169 \\
x^2=25 \\
x=5[cm]$$

To oznacza, że krótsza przyprostokątna (czyli najkrótsza krawędź podstawy graniastosłupa) ma długość \(5cm\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia wysokości graniastosłupa. Jak ją wyznaczymy? Skorzystamy tutaj z tego iż zacieniowaną figurą jest trapez o polu powierzchni równym \(168cm^2\). Dolna podstawa trapezu zgodnie z rysunkiem ma długość \(5+h+5=10+h\), natomiast górna podstawa ma długość \(h\). Wysokość trapezu jest równa \(12cm\). To oznacza, że \(h\) jest już jedyną niewiadomą, zatem wyznaczymy ją w prosty sposób:
$$168=\frac{1}{2}(10+h+h)\cdot12 \\
168=(2h+10)\cdot6 \\
168=12h+60 \\
108=12h \\
h=9[cm]$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy trójkąt prostokątny o podstawie \(12cm\) i wysokości \(5cm\). Pole podstawy będzie więc równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\
P_{p}=6\cdot5 \\
P_{p}=30[cm^2]$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znamy już wszystkie dane. Pole podstawy jest równe \(30cm^2\), wysokość bryły wynosi \(9cm\), zatem objętość wynosi:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=30cm^2\cdot9cm \\
V=270cm^3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość brakującego boku trójkąta, będącego krawędzią podstawy graniastosłupa (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz objętość graniastosłupa, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(336cm^3\)

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi bocznej i pola podstawy pierwszego graniastosłupa.
Na początku obliczmy z rysunku długość krawędzi podstawy pierwszego graniastosłupa. Będzie ono równe:
$$a=28cm:4=7cm$$

Znając długość krawędzi podstawy możemy obliczyć pole powierzchni graniastosłupa. Wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat (wynika to z faktu, że graniastosłup jest prawidłowy czworokątny). To oznacza, że pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=7^2 \\
P_{p}=49[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie objętości pierwszego graniastosłupa.
Objętość graniastosłupa wyliczymy ze wzoru:
$$V=P_{p}\cdot H$$

Pole podstawy jest już nam znane (\(P_{p}=49cm^2\)), wysokość bryły możemy odczytać z rysunku (\(H=12cm\)), zatem objętość graniastosłupa będzie równa:
$$V_{1}=49\cdot12 \\
V_{1}=588[cm^3]$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi bocznej i pola podstawy drugiego graniastosłupa.
Długość krawędzi podstawy drugiego graniastosłupa jest równa:
$$a=12cm:4=3cm$$

To oznacza, że pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=3^2 \\
P_{p}=9[cm^2]$$

Krok 4. Obliczenie objętości drugiego graniastosłupa.
Skoro \(P_{p}=9cm\) oraz \(H=28cm\), to objętość drugiego ostrosłupa będzie równa:
$$V_{2}=P_{p}\cdot H \\
V_{2}=9\cdot28 \\
V_{2}=252[cm^3]$$

Krok 5. Obliczenie różnicy objętości między pierwszym i drugim graniastosłupem.
Znając objętość jednego i drugiego graniastosłupa możemy obliczyć różnicę tych objętości:
$$V_{1}-V_{2}=588cm^3-252cm^3=336cm^3$$