Graniastosłupy – zadania (egzamin ósmoklasisty)

Suma długości wszystkich krawędzi wynosi \(52cm\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie naszkicować nasz prostopadłościan, łatwiej nam będzie wtedy wykonać obliczenia:


Krok 2. Obliczenie długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu.
W naszym prostopadłościanie mamy \(8\) krawędzi po \(5cm\) (podstawa dolna i górna) oraz \(4\) krawędzie po \(3cm\) (krawędzie boczne), zatem suma długości wszystkich krawędzi wyniesie:
$$8\cdot5cm+4\cdot3cm=40cm+12cm=52cm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ustalisz ile ścian jest kwadratami \(5cm\times5cm\), a ile prostokątami 5cm\times3cm.
LUB
• Gdy poprawnie ustalisz ile jest krawędzi o długości \(5cm\) lub ile jest takich krawędzi o długości \(3cm\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

A,

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie nasz graniastosłup ma trójkąt równoboczny (wystarczy sobie odwrócić tę bryłę) o boku \(3cm\). Zgodnie ze wzorem na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wzór na objętość graniastosłupa jest następujący:
$$\require{cancel}
V=P_{p}\cdot H \\
V=\frac{9\sqrt{3}}{\cancel{4}}\cdot \cancel{4}\sqrt{2} \\
V=9\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} \\
V=9\sqrt{6}$$

Czekoladki stanowią \(20\%\) objętości pudełka.

Krok 1. Obliczenie objętości pojedynczej czekoladki.
Każda czekoladka jest prostopadłościanem o wymiarach \(2cm\times2cm\times1,5cm\), zatem objętość takiej pojedynczej czekoladki będzie równa:
$$V=abc \\
V=2cm\cdot2cm\cdot1,5cm \\
V=6cm^3$$

Krok 2. Obliczenie objętości wszystkich czekoladek.
W pudełku mamy \(32\) czekoladki. Każda z nich ma objętość \(V=6cm^3\), zatem objętość tych wszystkich czekoladek wyniesie:
$$V_{czekoladek}=32\cdot6cm^3 \\
V_{czekoladek}=192cm^3$$

Krok 3. Obliczenie objętości całego pudełka.
Nasze pudełko ma wymiary \(16cm\times24cm\times2,5cm\), zatem jego objętość będzie równa:
$$V_{pudełka}=16cm\cdot24cm\cdot2,5cm \\
V_{pudełka}=960cm^3$$

Krok 4. Obliczenie ile procent objętości pudełka stanowią wszystkie czekoladki.
Na koniec musimy ustalić ile procent objętości pudełka będą stanowić nasze czekoladki. Skoro czekoladki mają objętość równą \(192cm^3\), a całe pudełko ma \(960cm^3\), to czekoladki stanowią:
$$\frac{192cm^3}{960cm^3}=\frac{1}{5}=20\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz objętość pojedynczej czekoladki (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz objętość pudełka (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Objętość graniastosłupa wynosi \(270cm^3\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść znane nam miary długości na nasz rysunek. Nanieśmy też sobie od razu informację gdzie w tej siatce znajduje się wysokość graniastosłupa, bo ona będzie nam potrzebna do obliczenia objętości.


Skrzydełka na górze i na dole siatki są trójkątami prostokątnymi, który znajduje się w podstawie. Skąd jednak wiemy, że boki o długości \(12cm\) oraz \(13cm\) są podpisane dobrze, a nie np. w odwrotnej kolejności? Faktycznie nie jest to zapisane wprost który bok ma jaką długość, ale my wiemy, że długości \(12cm\) oraz \(13cm\) to najdłuższe boki trójkąta prostokątnego. W trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest zawsze przeciwprostokątna, stąd wiemy, że to ona ma konkretnie \(13cm\).

Krok 2. Obliczenie długości trzeciego boku trójkąta znajdującego się w podstawie.
Z treści zadania wiemy, że dwa boki trójkąta znajdującego się w podstawie mają długość \(12cm\) oraz \(13cm\). Możemy więc z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć trzecią długość:
$$x^2+12^2=13^2 \\
x^2+144=169 \\
x^2=25 \\
x=5[cm]$$

To oznacza, że krótsza przyprostokątna (czyli najkrótsza krawędź podstawy graniastosłupa) ma długość \(5cm\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia wysokości graniastosłupa. Jak ją wyznaczymy? Skorzystamy tutaj z tego iż zacieniowaną figurą jest trapez o polu powierzchni równym \(168cm^2\). Dolna podstawa trapezu zgodnie z rysunkiem ma długość \(5+h+5=10+h\), natomiast górna podstawa ma długość \(h\). Wysokość trapezu jest równa \(12cm\). To oznacza, że \(h\) jest już jedyną niewiadomą, zatem wyznaczymy ją w prosty sposób:
$$168=\frac{1}{2}(10+h+h)\cdot12 \\
168=(2h+10)\cdot6 \\
168=12h+60 \\
108=12h \\
h=9[cm]$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy trójkąt prostokątny o podstawie \(12cm\) i wysokości \(5cm\). Pole podstawy będzie więc równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\
P_{p}=6\cdot5 \\
P_{p}=30[cm^2]$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znamy już wszystkie dane. Pole podstawy jest równe \(30cm^2\), wysokość bryły wynosi \(9cm\), zatem objętość wynosi:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=30cm^2\cdot9cm \\
V=270cm^3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość brakującego boku trójkąta, będącego krawędzią podstawy graniastosłupa (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz objętość graniastosłupa, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C,

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie prostopadłościanu mamy prostokąt o wymiarach \(15m\times10m\), zatem pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=15m\cdot10m=150m^2$$

Krok 2. Wyznaczenie objętości całego basenu.
Wiemy, że objętość \(240m^3\) wypełnia basen zaledwie do \(\frac{4}{5}\) głębokości. Ułóżmy zatem prostą proporcję:
Skoro \(240m^3\) wypełnia \(\frac{4}{5}\) basenu
To \(60m^3\) wypełnia \(\frac{1}{5}\) basenu
Więc \(300m^2\) wypełnia cały basen

Dzięki tej proporcji wiemy już, że cały basen ma objętość \(300m^3\).

Krok 3. Obliczenie głębokości basenu.
Znamy pole podstawy basenu, znamy jego objętość, więc korzystając ze wzoru na objętość prostopadłościanu możemy bez przeszkód wyznaczyć wysokość/głębokość bryły:
$$V=P_{p}\cdot H \\
300m^3=150m^2\cdot H \\
H=2m$$

C,

Krok 1. Obliczenie objętości całej skrzyni.
Korzystając ze wzoru na objętość prostopadłościanu możemy zapisać, że:
$$V=abc \\
V=1,5m\cdot1,2m\cdot1m \\
V=1,8m^3$$

Krok 2. Obliczenie objętości wsypanego piasku.
Wiemy, że wsypany piasek zajmuje \(\frac{3}{4}\) pojemności skrzyni, zatem zajmuje on:
$$\frac{3}{4}\cdot1,8m^3=1,35m^3$$

C,

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Musimy rozpatrzeć dwie sytuacje - pierwszą kiedy prostopadłościan leży na boku o największej powierzchni (wiemy, że wtedy słup wody sięga wysokości \(4cm\)) i drugą, kiedy leży na boku o najmniejszej powierzchni (tutaj poszukujemy wysokości słupa wody).



Objętość wody w jednym i drugim przypadku musi być jednakowa, zatem skoro możemy obliczyć objętość wody w pierwszym przypadku (a możemy, bo znamy wszystkie wymiary), to bez przeszkód obliczymy wysokość słupa wody w drugiej sytuacji.

Krok 2. Obliczenie objętości wody.
Objętość wody (nie prostopadłościanu!) wynosi:
$$V=18\cdot15\cdot4 \\
V=1080[cm^3]$$

Krok 3. Wyznaczenie wysokości słupa w drugim przypadku.
Pole podstawy drugiego prostopadłościanu jest równe:
$$P_{p}=15\cdot6 \\
P_{p}=90[cm^2]$$

Skoro wiemy, że objętość wody wynosi \(1080cm^3\). to możemy zapisać, że:
$$V=P_{p}\cdot H \\
1080cm^3=90cm^2\cdot H \\
H=12cm$$

\(P_{c}=502\)

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni całkowitego pojedynczego prostopadłościanu.
Możemy oczywiście liczyć pole powierzchni całkowitej fragmentami (dodając pola poszczególnych ścian i ich wycinków), aczkolwiek istnieje nieco sprytniejszy sposób. Pole powierzchni całkowitej tej sklejonej bryły będzie równa polu powierzchni dwóch naszych prostopadłościanów, a całość będzie pomniejszona o pole dwóch ścian (a w zasadzie o jedną całą ścianę i jeden jej fragment), które się ze sobą stykają.

Pole powierzchni pojedynczego prostopadłościanu jest równe:
$$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc) \\
P_{c}=2\cdot(5\cdot7+5\cdot9+7\cdot9) \\
P_{c}=2\cdot(35+45+63) \\
P_{c}=2\cdot143 \\
P_{c}=286$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej powstałej bryły.
Mamy dwa takie prostopadłościany, zatem suma ich pól powierzchni będzie równa \(2\cdot286cm^2=572cm^2\).

Od sumy pól powierzchni dwóch prostopadłościanów musimy odjąć dwa pola powierzchni o wymiarach \(5cm\times7cm\), którymi sklejone są te dwie bryły. Pole powierzchni naszej bryły będzie więc równe:
$$P_{c}=572-2\cdot5\cdot7 \\
P_{c}=572-70 \\
P_{c}=502$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia pola powierzchni prostopadłościanu o bokach \(5cm\), \(7cm\) oraz \(9cm\).
2 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia pola powierzchni całej bryły, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(336cm^3\)

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy i pola podstawy pierwszego graniastosłupa.
Na początku obliczmy z rysunku długość krawędzi podstawy pierwszego graniastosłupa. Będzie ono równe:
$$a=28cm:4=7cm$$

Znając długość krawędzi podstawy możemy obliczyć pole powierzchni graniastosłupa. Wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat (wynika to z faktu, że graniastosłup jest prawidłowy czworokątny). To oznacza, że pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=7^2 \\
P_{p}=49[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie objętości pierwszego graniastosłupa.
Objętość graniastosłupa wyliczymy ze wzoru:
$$V=P_{p}\cdot H$$

Pole podstawy jest już nam znane (\(P_{p}=49cm^2\)), wysokość bryły możemy odczytać z rysunku (\(H=12cm\)), zatem objętość graniastosłupa będzie równa:
$$V_{1}=49\cdot12 \\
V_{1}=588[cm^3]$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi bocznej i pola podstawy drugiego graniastosłupa.
Długość krawędzi podstawy drugiego graniastosłupa jest równa:
$$a=12cm:4=3cm$$

To oznacza, że pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=3^2 \\
P_{p}=9[cm^2]$$

Krok 4. Obliczenie objętości drugiego graniastosłupa.
Skoro \(P_{p}=9cm\) oraz \(H=28cm\), to objętość drugiego ostrosłupa będzie równa:
$$V_{2}=P_{p}\cdot H \\
V_{2}=9\cdot28 \\
V_{2}=252[cm^3]$$

Krok 5. Obliczenie różnicy objętości między pierwszym i drugim graniastosłupem.
Znając objętość jednego i drugiego graniastosłupa możemy obliczyć różnicę tych objętości:
$$V_{1}-V_{2}=588cm^3-252cm^3=336cm^3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy obydwu pudełek (patrz: Krok 1. oraz Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz objętość obydwu pudełek (patrz: Krok 2. oraz Krok 4.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C,

Nie da się stworzyć siatki z III figury. Skąd to wiemy? Kluczem jest tutaj położenie kwadratu, który nie styka się z trójkątem. Jakkolwiek byśmy tej siatki nie składali, to bok tego kwadratu nie zetknie nam się z bokiem trójkąta, czyli bryła nam się po prostu nie złoży.

C,

To zadanie wymaga od nas dobrej wyobraźni matematycznej. Jedyną pasującą kostką jest ta z trzeciej odpowiedzi.

B,

Tutaj musimy użyć wyobraźni przestrzennej. Składając siatkę punkt \(P\) pokryje się jedynie z punktem \(Z\). Jeśli nie potrafisz sobie tego wyobrazić, to warto zauważyć, że punkt \(P\) znajduje się po prawej stronie siatki i nie ma możliwości by zbiegł się on w jakikolwiek sposób z punktami będącymi po lewej stronie siatki, czy też z górnym punktem \(W\).

B,

Wystarczy zauważyć, że trasa na rysunku B jest trasą po "jednej ściance" sześcianu. Taka trasa nam nie pasuje, bo widzimy wyraźnie, że mrówka musiała przejść przez co najmniej dwie ścianki. To sugeruje nam, że to właśnie tutaj zaznaczona jest błędna trasa.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek następujące informacje:


Krok 2. Obliczenie brakującej długości krawędzi graniastosłupa.
Obliczmy od razu brakującą długość krawędzi graniastosłupa (która przyda nam się w jednym z kolejnych kroków).
$$3^2+x^2=5^2 \\
9+x^2=25 \\
x^2=16 \\
x=4 \quad\lor\quad x=-4$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(x=4\).

Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Największą ścianą boczną jest prostokąt o wymiarach \(7\times5\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P=7\cdot5 \\
P=35$$

To oznacza, że zdanie jest prawdą.

Krok 4. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt, którego przyprostokątnymi są boki o długości \(3\) oraz \(4\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4 \\
P=6$$

Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(6\), a nie \(12\), a to oznacza, że zdanie jest fałszem.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wiemy, że wszystkie klocki są jednakowe. To oznacza, że zdanie jest prawdą, co dobrze pokazuje poniższy rysunek:


Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Do obliczenia objętości potrzebna nam jest znajomość długości krawędzi podstawy, a tę obliczymy tak naprawdę wprost z rysunku:


Z treści zadania wiemy, że w podstawie tej bryły jest kwadrat. Wiemy więc, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat o boku \(3cm\), a sam graniastosłup ma wysokość \(8cm\). To oznacza, że objętość tego prostopadłościanu wyniesie:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=3cm\cdot3cm\cdot8cm \\
V=72cm^3$$

Zdanie jest więc prawdą.

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Każdy prostopadłościan, którego użyliśmy do zbudowania formy ma wymiary \(2cm\times2cm\times9cm\), zatem objętość każdego takiego elementu wynosi:
$$V=abc \\
V=2cm\cdot2cm\cdot9cm \\
V=36cm^3$$

Z racji tego, iż do konstrukcji użyliśmy czterech takich elementów, to objętość drewna z którego zbudowano formę jest równa:
$$V=4\cdot36cm^3=144cm^3$$

Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Musimy wyznaczyć wymiary naszego odlewu gipsowego. Z wysokością nie ma problemu, widzimy wyraźnie że będzie to \(2cm\), ale potrzebna nam jest jeszcze długość i szerokość tego odlewu. Najprościej będzie wyznaczyć te wartości na rysunku pomocniczym:


Skoro odlew ma wymiary \(7cm\times7cm\times2cm\), to jego objętość będzie równa:
$$V=7cm\cdot7cm\cdot2cm=98cm^3$$

C,

Gdybyśmy ułożyli duży sześcian o wymiarach \(5\times5\times5\), to łącznie wykorzystalibyśmy \(5\cdot5\cdot5=125\) klocków.
Gdybyśmy ułożyli duży sześcian o wymiarach \(6\times6\times6\), to łącznie wykorzystalibyśmy \(6\cdot6\cdot6=216\) klocków.

Skoro mamy \(203\) klocki, to maksymalnie ułożymy sześcian o wymiarach \(5\times5\times5\), a to oznacza, że liczba klocków jakie nam zostaną jest równa:
$$203-125=78$$

C,

Krok 1. Obliczenie liczby małych sześcianów o krawędzi \(1\).
Ustalmy najpierw ile powstało nam małych sześcianów o krawędzi \(1\). Najprościej będzie to dostrzec bazując na objętości brył. Sześcian o krawędzi \(1\) ma objętość \(V=1\cdot1\cdot1=1\). Sprawdźmy teraz jakie objętości mają dwa duże sześciany:

I sześcian ma objętość \(V=2\cdot2\cdot2=8\)
II sześcian ma objętość \(V=3\cdot3\cdot3=27\)

To oznacza, że ten pierwszy sześcian podzieli się na \(8\) małych sześcianów, a ten drugi na \(27\). Łącznie małych sześcianów będzie więc \(8+27=35\).

Krok 2. Ustalenie wymiarów prostopadłościanu.
Ustaliliśmy już, że mamy \(35\) małych sześcianów, co oznacza, że objętość naszej bryły jest równa \(35\). Objętość prostopadłościanu obliczamy ze wzoru \(V=abc\). Musimy teraz ustalić, jakie trzy liczby całkowite pomnożone przez siebie, dają wynik równy \(35\). Są tylko dwie możliwości: \(35\cdot1\cdot1\) oraz \(5\cdot7\cdot1\). Tą pierwszą sytuację musimy odrzucić, bo ona by oznaczała, że jedna ze ścian bocznych będzie kwadratem (a to jest wykluczone w treści zadania). Wniosek płynie z tego taki, że nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(a=5, b=7\) oraz \(c=1\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni możemy zapisać, że:
$$P=2ab+2ac+2bc \\
P=2\cdot5\cdot7+2\cdot5\cdot1+2\cdot7\cdot1 \\
P=70+10+14 \\
P=94$$

opcja B,

To zadanie sprawdza naszą wyobraźnię. Pola całkowite pierwszej i drugiej bryły są jednakowe i są równe początkowemu sześcianowi (czyli temu przed wycięciem poszczególnych elementów).

Poprawną odpowiedzią jest więc, że "Nie, ponieważ całkowite pole powierzchni każdej z otrzymanych brył jest
równe całkowitemu polu powierzchni początkowej kostki".

B,

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pierwszej bryły.
Każdy mały sześcian ma krawędź o długości \(1cm\), zatem pole pojedynczej ścianki sześcianu będzie równe \(1cm^2\).

Spójrzmy teraz na naszą pierwszą bryłę. Frontowa ściana składa się z sześciu "kwadracików", więc jej pole będzie równe \(6cm^2\). Analogicznie boczna część będzie miała \(2cm^2\), a górna \(3cm^2\). Każda z wymienionych ścian wystąpi podwójnie (pamiętaj o tych ściankach, których nie widać). Możemy więc powiedzieć, że pole powierzchni pierwszej bryły to:
$$P_{c1}=2\cdot6+2\cdot2+2\cdot3 \\
P_{c1}=12+4+6 \\
P_{c1}=22[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni drugiej bryły.
Podobnie przeanalizujmy drugą bryłę. Frontowa ściana ma \(4cm^2\). Boczne ściany będą miały po \(2cm^2\), a od góry mamy \(3cm^2\). I tu podobnie, tak się składa, że niewidoczne ścianki będą miały jednakowe pola powierzchni, zatem pole powierzchni drugiej bryły to:
$$P_{c2}=2\cdot4+2\cdot2+2\cdot3 \\
P_{c2}=8+4+6 \\
P_{c2}=18[cm^2]$$

Pole powierzchni drugiej bryły jest więc o \(4cm^2\) mniejsze.

C,

Zadanie jest podchwytliwe, bo bardzo łatwo jest obliczyć niektóre klocki podwójnie (zwłaszcza te będące wierzchołkami bryły), dlatego warto sobie przeanalizować wszystko krok po kroku.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Szkielet naszego prostopadłościanu będzie wyglądał mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie liczby pomarańczowych klocków.
Pomarańczowych klocków przy każdej krawędzi o długości \(36cm\) mamy dokładnie \(7\). Takich krawędzi mamy \(4\), zatem pomarańczowych klocków jest:
$$4\cdot7=28$$

Krok 3. Obliczenie liczby zielonych klocków.
Przy każdej krawędzi o długości \(28cm\) mieści się \(5\) klocków. Takich krawędzi mamy \(4\), zatem zielonych klocków jest:
$$4\cdot5=20$$

Krok 4. Obliczenie liczby niebieskich klocków.
Przy każdej krawędzi o długości \(20cm\) mieszczą się \(3\) klocki. Takich krawędzi mamy oczywiście \(4\), zatem niebieskich klocków jest:
$$4\cdot3=12$$

Krok 5. Obliczenie liczby fioletowych klocków.
Fioletowe klocki to te klocki znajdujące się w wierzchołkach graniastosłupa. Jest ich łącznie \(8\) sztuk.

Krok 6. Obliczenie łącznej liczby wszystkich klocków.
Wszystkich klocków mamy zatem:
$$28+20+12+8=68$$

B,

Dokładnie siedem sześcianów będzie mieć pomalowane cztery ściany, oto one:

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi pojedynczej kostki.
Skoro sześcian o krawędzi długości \(30cm\) podzielono dokładnie tak jak przedstawia to rysunek, to każda mała kostka ma wymiary \(10cm\times10cm\times10cm\).


Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z ośmiu kostek możemy złożyć następujący sześcian:


Widzimy więc, że jest to sześcian o boku \(20cm\). To oznacza, że jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{c}=6a^2 \\
P_{c}=6\cdot20^2 \\
P_{c}=6\cdot400 \\
P_{c}=2400[cm^2]$$

Pierwsze zdanie jest więc nieprawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystamy z tego samego sześcianu co w kroku drugim. Jego objętość będzie równa:
$$V=a^3 \\
V=20^3 \\
V=8000[cm^3]$$

Drugie zdanie jest więc prawdą.

Pole powierzchni nowej bryły wynosi \(96cm^2\) i jest takie samo jak początkowego sześcianu.

Krok 1. Obliczenie objętości dużego sześcianu.
Wiemy, że nasz duży sześcian składa się z \(64\) małych sześcianików z czego każdy taki mały sześcianik ma krawędź \(1cm\). Objętość każdego takiego małego sześcianu o krawędzi \(1cm\) wynosi:
$$V=1cm\cdot1cm\cdot1cm=1cm^3$$

Jeżeli mamy \(64\) takie sześcianiki, to objętość naszej bryły jest równa:
$$64\cdot1cm^3=64cm^3$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Nam do obliczeń potrzebna będzie długość krawędzi sześcianu, którą wyznaczymy właśnie znając obliczoną przed chwilą objętość bryły:
$$V=a^3 \\
64cm^3=a^3 \\
a=4$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni sześcianu.
Znając krawędź sześcianu bez problemu obliczymy jego pole powierzchni. Nasz sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian z czego każda ma bok długości \(4cm\), zatem pole powierzchni sześcianu jest równe:
$$P_{p}=6\cdot4cm\cdot4cm \\
P_{p}=6\cdot16cm^2 \\
P_{p}=96cm^2$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły.
Teraz przystąpimy do obliczenia pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły. W tym celu pomoże nam poniższy rysunek:


Taka figura znajduje się w każdej ze ścian bocznych, dlatego musimy obliczyć jej pole powierzchni. Możemy to zrobić na różne sposoby np. dzieląc sobie tę figurę na prostokąty i kwadraty, ale najprościej będzie chyba dostrzec, że pole takiej ściany bocznej jest równe polu kwadratu o wymiarach \(4cm\times4cm\) pomniejszonego o cztery małe kwadraty o wymiarach \(1cm\times1cm\):
$$P=(4cm)^2-4\cdot(1cm)^2 \\
P=16cm^2-4cm^2 \\
P=12cm^2$$

Z racji tego iż mamy sześć takich ścian bocznych, to:
$$P_{b}=6\cdot12cm^2 \\
P_{b}=72cm^2$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni wypustek.


Każda pojedyncza wypustka tworzy nam trzy małe kwadraty o wymiarach \(1cm\times1cm\). Czyli każda taka wypustka powiększa nam pole powierzchni bryły o:
$$3\cdot1cm\cdot1cm=3cm^2$$

Takich wypustek mamy łącznie \(8\), więc ich łączne pole powierzchni będzie równe:
$$8\cdot3cm^2=24cm^2$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej nowopowstałej bryły.
Pole powierzchni nowej bryły jest więc równe:
$$P_{c}=72cm^2+24cm^2 \\
P_{c}=96cm^2$$

0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni sześcianu (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni bocznej jednej ze ścian bocznych w kształcie krzyża (Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni pojedynczej wypustki (Krok 5.).
2 pkt
• Gdy obliczysz dwa z trzech kluczowych elementów - pole powierzchni sześcianu (Krok 1.), pole powierzchni bocznej jednej ze ścian bocznych w kształcie krzyża (Krok 4.) lub pole powierzchni pojedynczej wypustki (Krok 5.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B,

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i odczytanie wymiarów prostopadłościanu II.
Wiemy, że prostopadłościan I jest sześcianem, czyli wszystkie jego krawędzie muszą mieć jednakową długość. Skoro jedna z krawędzi ma długość \(3cm\), to znaczy że:


Ta prosta analiza pokazuje nam, że prostopadłościan II ma wymiary \(3cm\times4cm\times3cm\).

Krok 2. Obliczenie objętości prostopadłościanu II.
Korzystając ze wzoru na objętość prostopadłościanu możemy obliczyć, że:
$$V=abc \\
V=3cm\cdot4cm\cdot3cm \\
V=36cm^3$$

D,

Skoro wlano \(0,45l\) wody, a naczynie ma objętość \(V=0,75l\), to woda stanowi:
$$\frac{0,45}{0,75}=\frac{45}{75}=\frac{15}{25}=\frac{60}{100}=60\%$$

D,

\(10\) litrów to \(10dm^3\).
Licznik podaje wskazanie w \(m^3\), więc musimy zamienić te nasze \(10\) litrów na \(m^3\), pamiętając że \(1l=1dm^3\) oraz że \(1m^3=1000dm^3\). To oznacza, że:
$$10l=10dm^3=0,010m^3$$

Wskazanie licznika po zużyciu \(10l\) będzie więc równe:
$$126,205m^3+0,010m^3=126,215m^3$$

C,

Krok 1. Obliczenie wysokości słupa wody.
Skoro akwarium ma \(60cm\) wysokości, a woda sięga do \(\frac{2}{3}\) wysokości, to znaczy że słup wody osiąga:
$$\frac{2}{3}\cdot60cm=40cm$$

Krok 2. Obliczenie objętości wody.
Znając wysokość słupa wody możemy teraz obliczyć ile litrów wody znajduje się w akwarium. Z racji tego iż wynik trzeba podać w litrach, a \(1l=1dm^3\), to warto od razu zamienić sobie centymetry na decymetry:
$$V=abc \\
V=80cm\cdot50cm\cdot40cm \\
V=8dm\cdot5dm\cdot4dm \\
V=160dm^3=160l$$

A,

Krok 1. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Objętość prostopadłościanu obliczymy ze wzoru:
$$V=abc$$

W kontekście zadania interesuje nas podanie objętości w litrach, a skoro \(1l=1dm^3\) to dobrze byłoby zamienić sobie centymetry na decymetry. I tak oto objętość całego prostopadłościanu wyniesie:
$$V=9dm\cdot4dm\cdot5dm \\
V=180dm^3=180l$$

Krok 2. Obliczenie ilości wody potrzebnej do dolania.
Chcemy zapełnić połowę prostopadłościanu, czyli chcemy by znalazło się w nim:
$$180l:2=90l$$

Skoro mamy już \(40l\), to dolać musimy:
$$90l-40l=50l$$

Akwarium będzie sięgać do wysokości \(2dm\).

Krok 1. Obliczenie pola podstawy prostopadłościanu.
Akwarium jest tak naprawdę prostopadłościanem w którego podstawie znajduje się prostokąt o wymiarach \(8dm\times5dm\). Pole podstawy tego prostopadłościanu jest więc równe:
$$P_{p}=8dm\cdot5dm=40dm^2$$

Krok 2. Obliczenie objętości wody.
Woda przepływa z prędkością \(8dm^3\) na minutę. Po \(10\) minutach będziemy więc mieć tej wody:
$$V=8dm^3\cdot10=80dm^3$$

Krok 3. Obliczenie wysokości sięgania wody.
\(80dm^3\) wody wlewa się do prostopadłościanu o podstawie \(40dm^2\). Musimy więc wyliczyć jak wysoko sięgnie ten słup wody, a skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość:
$$V=P_{p}\cdot H \\
80dm^3=40dm^2\cdot H \\
H=2dm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy akwarium (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz objętość wody wpływającej przez kran w ciągu \(10\) minut (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy akwarium oraz objętość wody wpływającej przez kran w ciągu \(10\) minut (Krok 1. i 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.