Egzamin gimnazjalny 2004 - matematyka
Zadanie 9. (1pkt) Na lekcji jazdy konnej dzieci dosiadały konia prowadzonego po okręgu na napiętej uwięzi o długości \(5\) metrów. Jaką drogę pokonał koń, jeżeli łącznie przebył \(40\) okrążeń? Wynik zaokrąglij do \(0,1km\).
A. Około \(1,3km\)
B. Około \(1km\)
C. Około \(0,2km\)
D. Około \(12,6km\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie narysować tę sytuację. Koń porusza się po okręgu, a długość uwięzi będzie w tym przypadkiem promieniem. Wszystko wyjaśni poniższy rysunek:
Krok 2. Obliczenie długości obwodu okręgu.
Policzmy najpierw jaką długość pokonuje koń wykonując jedno okrążenie. Skorzystamy ze wzoru na obwód okręgu:
$$Obw=2πr \\
Obw=2π\cdot5m \\
Obw=10πm$$
Krok 3. Obliczenie długości całej trasy.
Nasz koń wykonuje \(40\) okrążeń, zatem otrzymany przed chwilą obwód będziemy musieli pomnożyć przez \(40\). Dodatkowo z racji tego iż w odpowiedziach pojawiają się przybliżenia, to w trakcie obliczeń zapiszemy, że \(π=3,14\). Zatem:
$$Trasa=40\cdot10π\;m \\
Trasa=400π\;m \\
Trasa\approx400\cdot3,14m\\
Trasa\approx1256m$$
Z racji tego iż w odpowiedziach mamy podane długości w kilometrach to i my musimy otrzymany wynik zamienić na tę jednostkę:
$$1256m=1,256km\approx1,3km$$
Zadanie 10. (1pkt) W trakcie konkursu każda drużyna otrzymała plastelinę i \(120\) patyczków tej samej długości. Zadanie polegało na zbudowaniu ze wszystkich patyczków \(15\) modeli sześcianów i czworościanów. Który układ równań powinna rozwiązać drużyna, aby dowiedzieć się, ile sześcianów i ile czworościanów trzeba zbudować?
\(x\) - liczba czworościanów
\(y\) - liczba sześcianów
A. \(\begin{cases}x+y=15 \\
12x-6y=120
\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}6y-12x=120 \\
x+y=15
\end{cases}\)
C. \(\begin{cases}6x+6y=120 \\
x+y=15
\end{cases}\)
D. \(\begin{cases}x+y=15 \\
6x+12y=120
\end{cases}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie liczby krawędzi sześcianu i czworościanu.
Budując bryły z patyczków budujemy tak naprawdę szkielet w którym patyczki są krawędziami danej bryły. Chcąc więc zacząć rozwiązywanie tego zadania musimy w ogóle ustalić ile krawędzi mają poszczególne bryły:
Czworościan ma \(6\) krawędzi, a sześcian ma \(12\) krawędzi.
Krok 2. Zapisanie prawidłowego układu równań.
Pierwsze równanie jest tak naprawdę znane, nawet przyglądając się wszystkim odpowiedziom widzimy wyraźnie, że w każdej z odpowiedzi pojawia się \(x+y=15\). Jest to logiczne, bo wszystkich brył ma być dokładnie \(15\). Ustalmy zatem jakie będzie drugie równanie. Skoro na każdy czworościan zużywamy \(6\) patyczków, to na \(x\) czworościanów zużyjemy \(6x\) patyczków. Analogicznie skoro na każdy sześcian zużywamy \(12\) patyczków, to na \(y\) sześcianów zużyjemy \(12y\) patyczków. Łącznie patyczków mamy \(120\), zatem drugim równaniem będzie na pewno:
$$6x+12y=120$$
To oznacza, że prawidłowy układ równań jest zapisany w czwartej odpowiedzi.
Zadanie 11. (3pkt) Diagram przedstawia wyniki ankiety przeprowadzonej wśród grupy gimnazjalistów na temat ulubionego miejsca wypoczynku. Każdy wskazał tylko jedno miejsce. Oblicz, ilu uczniów liczyła ankietowana grupa, jeśli nad jeziorem lubi wypoczywać \(90\) spośród ankietowanych gimnazjalistów.
Odpowiedź
W ankiecie brało udział \(300\) uczniów.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ile procent uczniów wybrało jezioro.
Na samym początku musimy ustalić ile procent uczniów wybrało jezioro jako ulubione miejsce wypoczynku. Na pozostałe formy wypoczynku zagłosowało:
$$20\%+15\%+10\%+25\%=70\%$$
Diagram kołowy sumuje się zawsze do \(100\%\), zatem jezioro wybrało:
$$100\%-70\%=30\%$$
Krok 2. Obliczenie łącznej liczby ankietowanych uczniów.
Wiemy, że \(90\) uczniów wybrało jezioro i jednocześnie jest to \(30\%\) wszystkich ankietowanych. Układając więc prostą proporcję bez problemu obliczymy łączną liczbę wszystkich ankietowanych:
Skoro \(30\%\) ankietowanych to \(90\) uczniów
To \(10\%\) ankietowanych to \(30\) uczniów
Więc \(100\%\) ankietowanych to \(300\) uczniów.
To oznacza, że w ankiecie brało udział \(300\) uczniów.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz ile procent uczniów wybrało jezioro (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zastosujesz dobrą metodę obliczenia liczby z danego jej procentu np. proporcję (Krok 2.) lub równanie typu \(0,3x=90\), ale popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 12. (1pkt) Diagram przedstawia wyniki ankiety przeprowadzonej wśród grupy gimnazjalistów na temat ulubionego miejsca wypoczynku. Każdy wskazał tylko jedno miejsce. Oblicz, jaką miarę ma kąt środkowy ilustrujący na diagramie kołowym procent uczniów lubiących wypoczywać w górach.
Odpowiedź
Kąt środkowy ma miarę \(72°\).
Wyjaśnienie:
Skoro wypoczynek w górach wybrało \(20\%\) ankietowanych, to nasz poszukiwany kąt środkowy będzie stanowić \(20\%\) miary kąta pełnego. W takim razie będzie to kąt:
$$0,2\cdot360°=72°$$
Zadanie 13. (4pkt) Na rzece zbudowano most, który zachodzi na jej brzegi: \(150\) metrów mostu zachodzi na jeden brzeg, a \(\frac{1}{3}\) długości mostu na drugi. Oblicz szerokość rzeki, jeżeli stanowi ona \(\frac{1}{6}\) długości mostu.
Odpowiedź
Szerokość rzeki wynosi \(50m\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie poprawnych oznaczeń.
Wypiszmy dane z treści zadania, stosując przy okazji poprawne oznaczenia:
\(x\) - długość mostu
\(150\) - długość mostu jaka zachodzi na pierwszy brzeg
\(\frac{1}{3}x\) - długość mostu jaka zachodzi na drugi brzeg
\(\frac{1}{6}x\) - szerokość rzeki
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Długość mostu będzie równa sumie części zachodzącej na pierwszy i drugi brzeg oraz szerokości samej rzeki. Możemy zatem zapisać, że:
$$x=150+\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}x$$
Najprościej będzie od razu pozbyć się ułamków, wymnażając wszystko przez \(6\), otrzymamy wtedy:
$$6x=900+2x+x \\
3x=900 \\
x=300$$
Krok 3. Wyznaczenie szerokości rzeki.
Otrzymany wynik to jeszcze nie koniec obliczeń, bo wyznaczyliśmy do tej pory długość mostu, a my szukamy szerokości rzeki. Z treści zadania i z oznaczeń które sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku wynika, że szerokość rzeki stanowi \(\frac{1}{6}\) długości mostu, czyli:
$$\frac{1}{6}\cdot300m=50m$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie równanie typu \(x=150+\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}x\) (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długość mostu (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz szerokość rzeki, ale otrzymany wynik nie jest prawidłowy ze względu na błąd rachunkowy popełniony w trakcie rozwiązywania.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 14. (5pkt) Dziecko nasypuje piasek do foremek w kształcie stożka o promieniu podstawy \(5cm\) i tworzącej \(13cm\). Następnie przesypuje go do wiaderka w kształcie walca o wysokości \(36cm\) i promieniu dwa razy większym niż promień foremki. Jaką część wiaderka wypełniło dziecko, wsypując \(6\) foremek piasku?
Odpowiedź
Dziecko wypełniło \(\frac{1}{6}\) wiaderka.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować szkice dwóch brył, które są przedmiotem naszego zadania, nanosząc od razu dane z treści zadania:
Krok 2. Obliczenie wysokości stożka (foremki).
Generalnie istota zadania opiera się na tym by obliczyć objętość dwóch naszkicowanych przed chwilą brył. Obliczenie wartości walca jest proste, bo mamy wszystkie potrzebne dane. Nieco gorzej jest ze stożkiem, bo tutaj brakuje nam wysokości tej bryły. Musimy zatem na samym początku obliczyć długość tej wysokości, a pomoże nam w tym Twierdzenie Pitagorasa:
$$5^2+H^2=13^2 \\
25+H^2=169 \\
H^2=144 \\
H=12$$
Krok 3. Obliczenie objętości stożka (foremki).
Obliczenia objętości brył zaczniemy od obliczenia objętości stożka, a w tym pomoże nam wzór na objętość tej bryły, który ma następującą postać:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$
Z racji tego iż w podstawie mamy koło, to pod \(P_{p}\) możemy podstawić wzór na pole koła, czyli \(πr^2\). Promień tego koła jest znany (\(r=5\)), wysokość obliczyliśmy w poprzednim kroku (\(H=12\)), zatem teraz bez przeszkód obliczymy objętość stożka:
$$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}π\cdot5^2\cdot12 \\
V=\frac{1}{3}π\cdot5^2\cdot12 \\
V=4π\cdot25 \\
V=100π$$
Krok 4. Obliczenie objętości walca (wiaderka).
Wiaderko ma promień podstawy równy dwukrotności promienia podstawy foremki, czyli:
$$r=2\cdot5cm=10cm$$
Wiemy już, że w podstawie znajduje się koło o promieniu \(r=10cm\), dodatkowo z treści zadania wiemy że wysokość walca jest równa \(H=36cm\), czyli objętość walca będzie równa:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=πr^2\cdot H \\
V=π\cdot10^2\cdot36 \\
V=100π\cdot36 \\
V=3600π$$
Krok 5. Obliczenie jaka część wiaderka została wypełniona.
Dziecko do wiaderka wrzuciło \(6\) foremek piasku, z czego każda ma objętość \(V=100π\). Zatem wrzucona objętość wynosi \(6\cdot100π=600π\). Wiaderko ma objętość \(3600π\), zatem piasek z sześciu foremek stanowi:
$$\frac{600π}{3600π}=\frac{1}{6}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz wysokość stożka (Krok 2.).
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz jedynie objętość wiaderka (Krok 4.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jedynie objętość foremki (Krok 3.).
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz objętość wiaderka i foremki (Krok 3. i 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz jaka część wiaderka została wypełniona, ale otrzymasz błędny wynik z powodu błędów rachunkowych popełnionych w trakcie obliczeń.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.