Prawdopodobieństwo – zadania (egzamin ósmoklasisty)

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
To zdanie jest prawdą. Gdybyśmy rzucali kostką sześciokrotnie i za każdym razem wynik rzutu byłby inny to otrzymalibyśmy sumę:
$$1+2+3+4+5+6=21$$

Skoro rzucamy pięciokrotnie, to widzimy wyraźnie, że wystarczy się pozbyć jedynki i otrzymamy dokładnie \(20\) oczek:
$$2+3+4+5+6=20$$

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Maksymalnie możemy wyrzucić szóstkę. Nawet jak \(16\) razy wyrzucimy tę szóstkę to otrzymamy łącznie:
$$16\cdot6=96\text{ oczek}$$

Zdanie jest więc nieprawdą.

C

Zgodnie z treścią zadania cyfra dziesiątek jest stała i jest równa \(5\). Musimy rozpatrzeć teraz kilka wariantów cyfr setek i cyfr jedności:
Jeżeli cyfra setek jest równa \(1\), to cyfra jedności będzie równa \(7\).
Jeżeli cyfra setek jest równa \(2\), to cyfra jedności będzie równa \(8\).
Jeżeli cyfra setek jest równa \(3\), to cyfra jedności będzie równa \(9\).
Jeżeli cyfra setek jest większa niż \(3\), to nie powstanie nam już liczba trzycyfrowa.

Istnieją zatem tylko trzy takie liczby:
$$157 \\
258 \\
359$$

C

Krok 1. Zapisanie wszystkich liczb trzycyfrowych.
Z cyfr \(2\), \(3\) i \(5\) możemy utworzyć następujące liczby:
$$235, 253, 325, 352, 523, 532$$

Krok 2. Weryfikacja każdej z odpowiedzi.
Prześledźmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są nieparzyste
Komentarz: To nieprawda, bo tylko dwie liczby są parzyste.

Odp. B. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są mniejsze od \(530\)
Komentarz: To nieprawda, bo liczba \(532\) jest większa od \(530\).

Odp. C. Dwie liczby utworzone przez Anię są podzielne przez \(5\).
Komentarz: To prawda, dwie liczby a mianowicie \(235\) oraz \(325\) są podzielne przez \(5\).

Odp. D. Wśród liczb utworzonych przez Anię są liczby podzielne przez \(3\)
Komentarz: To nieprawda, bo suma cyfr każdej z liczb jest równa \(10\), czyli liczby te nie są podzielne przez \(3\).

B

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich możliwych wyników rzutu kostką (czyli zdarzeń elementarnych).
Rzucamy jedną sześcienną kostką, czyli możemy otrzymać jeden z sześciu wyników: \(1,2,3,4,5,6\). To oznacza, że mamy sześć różnych możliwości otrzymania wyniku, czyli \(|Ω|=6\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wyrzucenie liczby większej od \(2\) i jednocześnie mniejszej od \(6\). Warunki naszego zadania spełniają zatem liczby: \(3,4,5\).

Interesują nas zatem trzy wyniki, czyli \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Obliczenie prawdopodobieństwa wyrzucenia liczby podzielnej przez \(2\) oraz przez \(3\).
Na kostce możemy wylosować jedną z sześciu liczb: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\).
Podzielne przez \(2\) są: \(2, 4, 6\)
Podzielne przez \(3\) są: \(3, 6\)
Prawd. wyrzucenia liczby podzielnej przez \(2\): \(p_{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
Prawd. wyrzucenia liczby podzielnej przez \(3\): \(p_{3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest więc fałszem, bo \(\frac{1}{2}\gt\frac{1}{3}\).

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest fałszywe, bo zarówno \(p_{2}=\frac{1}{2}\) jak i \(p_{3}=\frac{1}{3}\) są większe od \(\frac{1}{6}\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, a wynika to z tego, że ścianek z liczbami nieparzystymi mamy dwa razy więcej niż tych z liczbami parzystymi (są cztery nieparzyste cyfry oraz dwie parzyste). To właśnie sprawia, że prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby nieparzystej jest dwukrotnie większe.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. Pięć z sześciu ścianek daje nam wynik mniejszy od \(3\), zatem prawdopodobieństwo wyrzucenia wyniku mniejszego od \(3\) jest równe \(\frac{5}{6}\).

D

Krok 1. Określenie liczby możliwych kombinacji.
Rzucając dwa razy monetą możemy uzyskać następujące wyniki:
$$11, 12, 21, 22$$

Krok 2. Określenie która z liczb jest podzielna przez \(3\).
Spośród czterech możliwości tylko dwie są podzielne przez \(3\) i są to \(12\) oraz \(21\).

Krok 3. Określenie prawdopodobieństwa.
Skoro dwie z czterech liczb spełniają warunki naszego zadania, to prawdopodobieństwo będzie równe:
$$p=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Na początku mieliśmy \(18\) pytań w tym \(10\) z algebry. Jeżeli ktoś wylosował jedno pytanie z algebry, to tych pytań zostało \(17\) z czego z algebry jest \(9\). To oznacza, że faktycznie szanse na wylosowanie pytania z algebry wynoszą \(\frac{9}{17}\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą. Na początku mieliśmy \(18\) pytań z czego \(8\) było z geometrii. Na początku szanse na wylosowanie zadania z geometrii wynosiły zatem \(\frac{8}{18}\). Po wylosowaniu pytania z algebry mamy w puli nadal \(8\) zadań z geometrii, ale wszystkich zadań jest już tylko \(17\), co sprawia że szanse na wylosowanie pytania z geometrii wynoszą teraz \(\frac{8}{17}\).

Nie B,

W pierwszym koszu znajduje się \(8+12=20\) piłek.
Skoro \(12\) z nich jest czarnych to szanse na wylosowanie czarnej piłki wynoszą \(\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\).

W drugim koszu znajduje się \(10+15=25\) piłek.
Skoro \(15\) z nich jest czarnych to szanse na wylosowanie czarnej piłki wynoszą \(\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\).

Szanse na wylosowanie czarnej piłki są więc takie same w obu koszach. Prawidłową odpowiedzią jest zatem: Nie, ponieważ stosunek liczby piłek czarnych do liczby wszystkich piłek jest taki sam w obu koszach.

Tak C,

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich kul.
W pudełku znajduje się:
$$2+2+4=8\text{ kul}$$

Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania czarnej kuli.
Skoro czarnych kul są \(4\) sztuki, a w pudełku znajduje się tych kul \(8\), to szanse wylosowania czarnej kuli są równe \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\).

Prawidłową odpowiedzią jest zatem: Tak, ponieważ kule czarne stanowią połowę wszystkich kul w pudełku.

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Na pierwszym bączku mamy pięć różnych liczb: \(1,2,3,4,5\). Nas interesuje wylosowanie liczby większej niż \(3\), czyli interesują nas dwa wyniki: \(4\) oraz \(5\). Skoro interesują nas dwa wyniki z pięciu możliwych, to prawdopodobieństwo wylosowania liczby większej niż \(3\) jest równe \(\frac{2}{5}\). To oznacza, że to prawdopodobieństwo jest mniejsze niż \(\frac{1}{2}\), czyli pierwsze zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Na pierwszym bączku mamy pięć liczb, a trzy z nich to liczby nieparzyste. W związku z tym prawdopodobieństwo wylosowania liczby nieparzystej jest równe \(\frac{3}{5}\).
Na drugim bączku mamy sześć liczb, a trzy z nich to liczby nieparzyste. W związku z tym prawdopodobieństwo wylosowania liczby nieparzystej jest równe \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).

To oznacza, że prawdopodobieństwa są różne, czyli drugie zdanie jest fałszem.

Janek musi wyjąć przynajmniej \(7\) piłeczek.

Krok 1. Ustalenie liczby parzystych i nieparzystych piłeczek.
Liczb parzystych będzie łącznie pięć: \(2,4,6,8,10\)
Liczb nieparzystych będzie łącznie sześć: \(1,3,5,7,9,11\)

Krok 2. Wyznaczenie liczby piłeczek potrzebnych do wyciągnięcia.
Naszym zadaniem jest wylosowanie piłki z liczbą parzystą. W najgorszym możliwym wariancie Janek będzie losował od samego początku liczby nieparzyste. Aby mieć więc pewność, że wylosowana liczba jest parzysta, musimy wylosować przynajmniej \(7\) piłeczek, bo nawet jak sześć pierwszych liczb to będą numery nieparzyste, to siódmy będzie musiał już być parzysty, bo tylko takie zostaną wtedy w puli.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podasz poprawną odpowiedź, ale jej w żaden sposób nie uzasadnisz.
ALBO
• Gdy zauważysz, że można najpierw wyjmować wszystkie piłki z nieparzystymi numerami.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik i go uzasadnisz.

C

Krok 1. Obliczenie liczby czarnych piłeczek.
Skoro piłeczki czarne stanowią \(\frac{1}{4}\) całości, to jest ich łącznie:
$$\frac{1}{4}\cdot72=18$$

Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania przez Bartka piłeczki czarnej.
Bartek przystępuje do losowania w momencie, gdy wyciągnięto już \(12\) piłeczek. Przed jego losowaniem liczba piłeczek w pudełku jest więc równa:
$$72-12=60$$

Kiedy Bartek przystępuje do losowania to w pudełku jest \(60\) piłeczek, z czego \(18\) czarnych. To oznacza, że prawdopodobieństwo wylosowania piłki czarnej wyniesie:
$$P(A)=\frac{18}{60}=\frac{3}{10}$$

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest nieprawdą. Przed dołożeniem mieliśmy \(20+10=30\) kul. To sprawiało, że na początku prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosiło \(\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\), a czarnej \(\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\). Z tego wynika, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej było na początku dwa razy większe, a nie trzy razy większe.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą. Wynika to chociażby z tego, że po dołożeniu mamy \(30\) kul białych i tylko \(25\) kul czarnych, więc nawet bez liczenia prawdopodobieństwa widać, że skoro czarnych kul jest mniej, to wylosowanie jednej z nich jest po prostu mniejsze niż w przypadku kuli białej.

Tak C,

Krok 1. Obliczenie prawdopodobieństwa przed dołożeniem losów.
Na początku mieliśmy \(120\) losów, w tym \(80\) wygrywających. Prawdopodobieństwo wygranej było więc równe \(\frac{80}{120}=\frac{2}{3}\).

Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa po dołożeniu losów.
Po dołożeniu \(20\) losów wygrywających i \(20\) przegrywających mamy łącznie \(120+20+20=160\) losów. Losów wygrywających jest teraz \(80+20=100\). To oznacza, że prawdopodobieństwo wygranej wynosi teraz \(\frac{100}{160}=\frac{5}{8}\).

To oznacza, że prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego się zmieniło, ponieważ zmienił się stosunek liczby losów wygrywających do liczby wszystkich losów.