Prawdopodobieństwo - zadania (egzamin ósmoklasisty)
Zadanie 1. (1pkt) Organizatorzy konkursu matematycznego przygotowali zestaw, w którym było \(10\) pytań z algebry i \(8\) pytań z geometrii. Uczestnicy konkursu losowali kolejno po jednym pytaniu, które po wylosowaniu było usuwane z zestawu. Pierwszy uczestnik wylosował pytanie z algebry.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez drugą osobę pytania z algebry jest równe \(\frac{9}{17}\).
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez drugą osobę pytania z geometrii się nie zmieniło.
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) FAŁSZ
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Na początku mieliśmy \(18\) pytań w tym \(10\) z algebry. Jeżeli ktoś wylosował jedno pytanie z algebry, to tych pytań zostało \(17\) z czego z algebry jest \(9\). To oznacza, że faktycznie szanse na wylosowanie pytania z algebry wynoszą \(\frac{9}{17}\).
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą. Na początku mieliśmy \(18\) pytań z czego \(8\) było z geometrii. Na początku szanse na wylosowanie zadania z geometrii wynosiły zatem \(\frac{8}{18}\). Po wylosowaniu pytania z algebry mamy w puli nadal \(8\) zadań z geometrii, ale wszystkich zadań jest już tylko \(17\), co sprawia że szanse na wylosowanie pytania z geometrii wynoszą teraz \(\frac{8}{17}\).
Zadanie 2. (1pkt) W pudełku było \(20\) kul białych i \(10\) czarnych. Dołożono jeszcze \(10\) kul białych i \(15\) czarnych.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Przed dołożeniem kul prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej było trzy razy większe niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.
Po dołożeniu kul prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest większe niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) FAŁSZ
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest nieprawdą. Przed dołożeniem mieliśmy \(20+10=30\) kul. To sprawiało, że na początku prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosiło \(\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\), a czarnej \(\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\). Z tego wynika, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej było na początku dwa razy większe, a nie trzy razy większe.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą. Wynika to chociażby z tego, że po dołożeniu mamy \(30\) kul białych i tylko \(25\) kul czarnych, więc nawet bez liczenia prawdopodobieństwa widać, że skoro czarnych kul jest mniej, to wylosowanie jednej z nich jest po prostu mniejsze niż w przypadku kuli białej.
Zadanie 3. (1pkt) Rzucamy jeden raz sześcienną kostką do gry. Oznaczmy przez \(p_{2}\) prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez \(2\), a przez \(p_{3}\) - prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez \(3\).
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Liczba \(p_{2}\) jest mniejsza od liczby \(p_{3}\).
Liczby \(p_{2}\) i \(p_{3}\) są mniejsze od \(\frac{1}{6}\).
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) FAŁSZ
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie prawdopodobieństwa wyrzucenia liczby podzielnej przez \(2\) oraz przez \(3\).
Na kostce możemy wylosować jedną z sześciu liczb: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\).
Podzielne przez \(2\) są: \(2, 4, 6\)
Podzielne przez \(3\) są: \(3, 6\)
Prawd. wyrzucenia liczby podzielnej przez \(2\): \(p_{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
Prawd. wyrzucenia liczby podzielnej przez \(3\): \(p_{3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest więc fałszem, bo \(\frac{1}{2}\gt\frac{1}{3}\).
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest fałszywe, bo zarówno \(p_{2}=\frac{1}{2}\) jak i \(p_{3}=\frac{1}{3}\) są większe od \(\frac{1}{6}\).
Zadanie 6. (1pkt) Z cyfr \(2\), \(3\) i \(5\) Ania utworzyła wszystkie możliwe liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach. Które z poniższych zdań jest prawdziwe?
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie wszystkich liczb trzycyfrowych.
Z cyfr \(2\), \(3\) i \(5\) możemy utworzyć następujące liczby:
$$235, 253, 325, 352, 523, 532$$
Krok 2. Weryfikacja każdej z odpowiedzi.
Prześledźmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są nieparzyste
Komentarz: To nieprawda, bo połowa liczb jest parzysta.
Odp. B. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są mniejsze od \(530\)
Komentarz: To nieprawda, bo liczba \(532\) jest większa od \(530\).
Odp. C. Dwie liczby utworzone przez Anię są podzielne przez \(5\).
Komentarz: To prawda, dwie liczby a mianowicie \(235\) oraz \(325\) są podzielne przez \(5\).
Odp. D. Wśród liczb utworzonych przez Anię są liczby podzielne przez \(3\)
Komentarz: To nieprawda, bo suma cyfr każdej z liczb jest równa \(10\), czyli liczby te nie są podzielne przez \(3\).
Zadanie 7. (1pkt) Na rysunku przedstawiono siatkę nietypowej sześciennej kostki do gry. Rzucamy jeden raz taką kostką.

Oceń prawdziwość podanych zdań.
Prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystej liczby oczek jest \(2\) razy większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek.
Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek mniejszej od \(3\) jest równe \(\frac{5}{6}\).
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, a wynika to z tego, że ścianek z liczbami nieparzystymi mamy dwa razy więcej niż tych z liczbami parzystymi (są cztery nieparzyste cyfry oraz dwie parzyste). To właśnie sprawia, że prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby nieparzystej jest dwukrotnie większe.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. Pięć z sześciu ścianek daje nam wynik mniejszy od \(3\), zatem prawdopodobieństwo wyrzucenia wyniku mniejszego od \(3\) jest równe \(\frac{5}{6}\).
Zadanie 8. (2pkt) Jedenaście piłeczek, ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od \(1\) do \(11\), wrzucono do pudełka. Janek, nie patrząc na piłeczki, wyjmuje je z pudełka. Ile najmniej piłeczek musi wyjąć Janek, aby mieć pewność, że przynajmniej jedna wyjęta piłeczka jest oznaczona liczbą parzystą? Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź
Janek musi wyjąć przynajmniej \(7\) piłeczek.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie liczby parzystych i nieparzystych piłeczek.
Liczb parzystych będzie łącznie pięć: \(2,4,6,8,10\)
Liczb nieparzystych będzie łącznie sześć: \(1,3,5,7,9,11\)
Krok 2. Wyznaczenie liczby piłeczek potrzebnych do wyciągnięcia.
Naszym zadaniem jest wylosowanie piłki z liczbą parzystą. W najgorszym możliwym wariancie Janek będzie losował od samego początku liczby nieparzyste. Aby mieć więc pewność, że wylosowana liczba jest parzysta, musimy wylosować przynajmniej \(7\) piłeczek, bo nawet jak sześć pierwszych liczb to będą numery nieparzyste, to siódmy będzie musiał już być parzysty, bo tylko takie zostaną wtedy w puli.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podasz poprawną odpowiedź, ale jej w żaden sposób nie uzasadnisz.
ALBO
• Gdy zauważysz, że można najpierw wyjmować wszystkie piłki z nieparzystymi numerami.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik i go uzasadnisz.
Zadanie 9. (1pkt) Do dwóch koszy wrzucono piłki szare i czarne. Na diagramie przedstawiono liczbę piłek każdego koloru w I i w II koszu.

Czy wylosowanie piłki czarnej z kosza II jest bardziej prawdopodobne niż wylosowanie piłki czarnej z kosza I?
Ponieważ
A) w koszu II jest więcej piłek czarnych niż w koszu I
B) stosunek liczby piłek czarnych do liczby wszystkich piłek jest taki sam w obu koszach
C) w koszu II jest o \(3\) piłki czarne więcej niż w koszu I, ale szarych - tylko o \(2\) więcej
Odpowiedź
Nie ponieważ opcja B
Wyjaśnienie:
W pierwszym koszu znajduje się \(8+12=20\) piłek.
Skoro \(12\) z nich jest czarnych to szanse na wylosowanie czarnej piłki wynoszą \(\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\).
W drugim koszu znajduje się \(10+15=25\) piłek.
Skoro \(15\) z nich jest czarnych to szanse na wylosowanie czarnej piłki wynoszą \(\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\).
Szanse na wylosowanie czarnej piłki są więc takie same w obu koszach. Prawidłową odpowiedzią jest zatem: Nie, ponieważ stosunek liczby piłek czarnych do liczby wszystkich piłek jest taki sam w obu koszach.
Zadanie 10. (1pkt) W pudełku są \(2\) kule zielone, \(2\) białe i \(4\) czarne. Losujemy z pudełka \(1\) kulę. Czy prawdziwe jest stwierdzenie, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest równe \(\frac{1}{2}\)?
Ponieważ
A) w pudełku jest \(2\) razy mniej kul białych niż czarnych
B) w pudełku jest o połowę mniej kul zielonych niż kul czarnych
C) kule czarne stanowią połowę wszystkich kul w pudełku
Odpowiedź
Tak ponieważ opcja C
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich kul.
W pudełku znajduje się:
$$2+2+4=8\text{ kul}$$
Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania czarnej kuli.
Skoro czarnych kul są \(4\) sztuki, a w pudełku znajduje się tych kul \(8\), to szanse wylosowania czarnej kuli są równe \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\).
Prawidłową odpowiedzią jest zatem: Tak, ponieważ kule czarne stanowią połowę wszystkich kul w pudełku.
a w 4 nie może być np. jeszcze 650
Ale to cyfra setek ma być o 6 mniejsza od cyfry jedności, a u Ciebie jest na odwrót :)
Uwielbiam prawdopodobieństwo! Czy nie mogą jedynie z tego działu testu zrobić? :) ;)