Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2003 – Odpowiedzi

B

Diagram kołowy sumuje się do \(100\%\). Na Emila, Agatę, Jacka i Elę głosowało łącznie:
$$25\%+37,5\%+7,5\%+10\%=80\%$$

To oznacza, że na Adama zagłosowało:
$$100\%-80\%=20\%$$

C

Zadanie można rozwiązać w zasadzie na dwa sposoby:
I sposób - zamieniając procenty na ułamki zwykłe.
Na Agatę zagłosowało \(37,5\%\) osób. Możemy ten procent zamienić na ułamek zwykły, otrzymując:
$$37,5\%=\frac{37,5}{100}=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}$$

Teraz musimy przyrównać otrzymany ułamek do odpowiedzi z treści zadania.
Ułamek \(\frac{3}{8}\) jest większy od \(\frac{1}{3}\), bo \(\frac{1}{3}=\frac{3}{9}\) (jeżeli oba ułamki mają ten sam licznik to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik).
Jednocześnie ułamek \(\frac{3}{8}\) jest mniejszy od \(\frac{2}{5}\). Aby to udowodnić wystarczy sprowadzić obydwa ułamki do wspólnego mianownika:
$$\frac{3}{8}=\frac{15}{40} \\
\frac{2}{5}=\frac{16}{40}$$

Z dwóch ułamków mających ten sam mianownik większy jest ten, który ma większy licznik, zatem prawidłowa byłaby odpowiedź trzecia.

II sposób - zamieniając ułamki zwykłe na procenty.
Ten sposób wydaje się być nieco łatwiejszy w tym przypadku. Tak naprawdę wystarczyłoby pozamieniać ułamki znajdujące się w odpowiedziach na procenty i sprawdzić w którym przedziale znajdzie się nasz ułamek \(37,5\%\). Zamieniając ułamki zwykłe z odpowiedzi na procenty otrzymamy następujące warianty:

Odp. A. Mniej niż \(25\%\) ogółu
Odp. B. Mniej niż \(33\frac{1}{3}\%\), ale więcej niż \(25\%\) ogółu
Odp. C. Więcej niż \(33\frac{1}{3}\%\), ale mniej niż \(40\%\) ogółu
Odp. D. Więcej niż \(40\%\) ogółu

Widzimy wyraźnie, że \(37,5\%\) mieści się jedynie w przedziale z trzeciej odpowiedzi.

A

Chcąc obliczyć wartość \(0,25\) mola wystarczy wymnożyć przybliżenie podane w treści zadania przez \(0,25\) (czyli przez \(\frac{1}{4}\)). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{1}{4}\cdot6\cdot10^{23}=1,5\cdot10^{23}$$

D

Krok 1. Obliczenie masy jaja strusia.
Masa jaja strusia ważącego \(100kg\) stanowi \(1\%\) masy zwierzaka, czyli:
$$M_{s}=0,01\cdot100kg=1kg$$

Krok 2. Obliczenie masy jaja kury.
Masa jaja kury ważącej \(1kg\) stanowi \(4\%\) masy ptaka, czyli:
$$M_{j}=0,04\cdot1kg=0,04kg$$

Krok 3. Obliczenie różnicy mas jaj.
Musimy obliczyć różnicę mas obydwu jaj, pamiętając o tym, że \(1kg=1000g\), zatem:
$$1kg-0,04g=1000g-40g=960g$$

B

Prześledźmy po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A. Czas inkubacji jest wprost proporcjonalny do masy ciała ptaka
Komentarz: To jest nieprawda, bo przykładowo ptak o masie \(10g\) ma czas inkubacji \(10\) dni, a ptak \(10\) razy większy (\(100g\)) ma zaledwie \(60\%\) większy czas inkubacji, który wynosi \(16\) dni. Aby wielkości były wprost proporcjonalne, to czas inkubacji musiałby także być \(10\) razy większy, czyli wynosić \(100\) dni.

Odp. B. Czas inkubacji rośnie wraz ze wzrostem masy ciała ptaka
Komentarz: To jest prawda, bo faktycznie im większa masa ptaka tym dłuższy czas inkubacji.

Odp. C. Czas inkubacji jest odwrotnie proporcjonalny do masy ciała ptaka
Komentarz: To jest nieprawda, bo wraz ze wzrostem masy ciała wzrasta czas inkubacji (przy wartościach odwrotnie proporcjonalnych wraz ze wzrostem masy ciała czas inkubacji powinien proporcjonalnie maleć).

Odp. D. Czas inkubacji maleje wraz ze wzrostem masy ciała ptaka
Komentarz: To jest nieprawda, bo czas inkubacji zawsze wzrasta wraz ze wzrostem masy ciała ptaka, a nie maleje.

A

Zadanie możemy zrobić na dwa sposoby:
I sposób - korzystając ze skali podobieństwa.
Jeżeli jajka są podobne w skali \(3:1\) to znaczy, że ich skala podobieństwa jest równa \(k=3\).
Jeśli dwie bryły są do siebie podobne w skali podobieństwa \(k\) to ich objętości są podobne w skali \(k^3\) (dla przypomnienia: skala podobieństwa pól powierzchni jest równa \(k^2\)).
Skoro tak, to żółtko jaja strusia będzie \(k^3=3^3=27\) razy większe od jajka kurzego.

II sposób - korzystając ze wzoru na objętość kuli.
Objętość kuli wyliczymy ze wzoru:
$$V=\frac{4}{3}πr^3$$

Nie znamy długości promieni żółtek obydwu jajek, ale możemy zapisać, że:
\(r\) - promień jajka kurzego
\(3r\) - promień jajka strusiego

W związku z tym objętość żółtek będzie następująca:
Żółtko jajka kurzego: \(V=\frac{4}{3}πr^3\)
Żółtko jajka strusiego: \(V=\frac{4}{3}π(3r)^3=\frac{4}{3}π27r^3\)

Przyrównując te dwie wartości widzimy wyraźnie, że objętość żółtka jajka strusia jest \(27\) razy większa od objętości żółtka jaja kurzego.

D

Jedynym rysunkiem przedstawiającym przekrój poprzeczny jest ten zaznaczony na rysunku czwartym. Widać to zwłaszcza po tarczce zarodkowej, która znajduje się w górnej części żółtka.

A

Generalnie zadanie polega na tym by przeanalizować sobie mniej więcej jak wyglądają te wykresy, bo już po szybkiej analizie możemy określić w której klasie sprawdzian poszedł najgorzej. Zauważmy, że w klasie IIa tylko czterech uczniów zdobyło \(8\) punktów lub więcej. W pozostałych klasach liczba takich uczniów jest znacznie większa (\(7\) osób w klasie IIb oraz \(11\) osób w klasie IIc). Jednocześnie w klasie IIa mamy zdecydowanie najwięcej uczniów, którzy uzyskali bardzo niską punktację \(3\) punkty lub mniej. Takich osób jest aż \(13\). W klasie IIb uczniów mających maksymalnie \(3\) punkty jest tylko trzech, a w klasie IIc jest wręcz tylko jedna taka osoba. To oznacza, że bez cienia wątpliwości możemy stwierdzić, że sprawdzian był najtrudniejszy dla uczniów klasy IIa.

Oczywiście nic też nie stoi na przeszkodzie by dokonać tu obliczeń, które potwierdzą nasze spostrzeżenia. Aby odpowiedzieć sobie na pytanie dla której klasy ten sprawdzian był najtrudniejszy musimy wyliczyć średnią liczbę uzyskanych punktów dla każdej z klas. Aby to zrobić musimy obliczyć jaka jest liczba uczniów w każdej klasie i ile łącznie punktów oni zdobyli. Liczbę uczniów obliczymy dodając uczniów którzy zdobyli poszczególną liczbę punktów, natomiast łączną liczbę punktów obliczymy mnożąc ilość zdobytych punktów przez uczniów którzy osiągnęli dany wynik.

Klasa IIa:
Liczba uczniów: \(4+5+4+3+1+2+1=20\)
Liczba łącznie zdobytych punktów: $$4\cdot1+5\cdot2+4\cdot3+3\cdot6+1\cdot8+2\cdot9+1\cdot10= \\
=4+10+12+18+8+18+10=80$$
Średnia zdobytych punktów: \(\frac{80}{20}=4\)

Klasa IIb:
Liczba uczniów: \(1+2+2+6+2+4+2+1=20\)
Liczba łącznie zdobytych punktów: $$1\cdot2+2\cdot3+2\cdot4+6\cdot5+2\cdot7+4\cdot8+2\cdot9+1\cdot10= \\
2+6+8+30+14+32+18+10=120$$
Średnia zdobytych punktów: \(\frac{120}{20}=6\)

Klasa IIc:
Liczba uczniów: \(1+3+1+4+5+4+2=20\)
Liczba łącznie zdobytych punktów:
$$1\cdot3+3\cdot4+1\cdot5+4\cdot6+5\cdot8+4\cdot9+2\cdot10= \\
3+12+5+24+40+36+20=140$$
Średnia zdobytych punktów: \(\frac{140}{20}=7\)

A

Z wykresu możemy odczytać, że ani jeden uczeń nie zdobył równo \(6\) punktów.

B

Co najmniej \(6\) punktów uzyskało \(7\) uczniów (trzech którzy zdobyli \(6\) punktów, jeden który zdobył \(8\) punktów, dwóch którzy zdobyli \(9\) punktów oraz jeden który zdobył \(10\) punktów).

Panu Janowi zostanie \(76,8zł\).

Aby rozwiązać to zadanie musimy zrozumieć ideę lokat bankowych. Lokaty działają w ten sposób, że wpłacamy do banku określoną kwotę pieniędzy (nazwijmy ją kapitałem początkowym) na dany procent, a bank nalicza nam od tej kwoty odsetki (czyli tak jakby premię za trzymanie pieniędzy na lokacie). Sam podatek odprowadzany jest tylko i wyłącznie od tych odsetek. To bardzo ważna uwaga, bowiem najczęstszym błędem jest to, że uczniowie obliczają podatek nie od odsetek, tylko od kapitału początkowego (lub kapitału plus odsetek).

Krok 1. Obliczenie wysokości odsetek (przed opodatkowaniem).
Na samym początku musimy obliczyć ile wyniosą odsetki. Skoro wkładamy \(1200zł\) na rok, a oprocentowanie roczne jest równe \(8\%\), to odsetki wyniosą:
$$0,08\cdot1200zł=96zł$$

Krok 2. Obliczenie wysokości podatku od odsetek.
Odsetki są równe \(96zł\), podatek jest ustalony w wysokości \(20\%\), zatem kwota tego podatku będzie równa:
$$0,2\cdot96zł=19,2zł$$

Krok 3. Obliczenie wysokości odsetek (po opodatkowaniu).
Skoro otrzymalibyśmy \(96zł\) odsetek, ale musimy od tego jeszcze zapłacić \(19,2zł\) podatku, to zostanie nam:
$$96zł-19,2zł=76,8zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość odsetek (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość podatku od odsetek (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

W baku zostanie \(35\) litrów benzyny.

Aby obliczyć ile benzyny zostanie w baku po przejechaniu \(200km\) musimy zgodnie z informacjami podanymi w treści zadania podstawić do wskazanego wzoru \(x=200\). Zatem:
$$y=-0,05x+45 \\
y=-0,05\cdot200+45 \\
y=-10+45=35$$

To oznacza, że w baku zostanie \(35\) litrów benzyny.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podstawisz do wzoru \(x=200\) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Bak ma pojemność \(45\) litrów.

Analizując wzór możemy wywnioskować, że bak ma pojemność \(45\) litrów. Widać to chociażby w sytuacji w której podstawimy do wzoru \(x=0\), bo otrzymamy wtedy:
$$y=-0,05\cdot0+45 \\
y=0+45 \\
y=45$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Benzyny starczy na przejechanie \(900km\).

Naszym zadaniem jest tak naprawdę sprawdzenie po ilu kilometrach skończy się benzyna w baku. Aby to zrobić wystarczy podstawić do wzoru pod igreka wartość równą \(0\) (podstawiamy zero, bo brak benzyny to \(0\) litrów).
$$y=-0,05x+45 \\
0=-0,05x+45 \\
0,05x=45 \quad\bigg/\cdot20 \\
x=900$$

To oznacza, że benzyny starczy na przejechanie \(900km\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podstawisz do wzoru \(y=0\) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=900-20y\)

Musimy przekształcić podany wzór do takiej formy, by po lewej stronie równania znalazł się sam iks, a po prawej pozostałe wartości (igrek oraz liczby). Przenosimy zatem iksa na lewą stronę, a igreka na prawą:
$$y=-0,05x+45 \\
0,05x=45-y \quad\bigg/\cdot20 \\
x=900-20y$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie jedynie do postaci \(0,05x=45-y\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Adam błysnął lusterkiem na wysokości \(7\) metrów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby przystąpić do rozwiązywania zadania warto jest na początku narysować sobie szkic tej całej sytuacji. W tym przypadku warto ten szkic narysować jak najdokładniej, bo zgodnie z treścią zadania jest to jedna z rzeczy, która będzie punktowana:


Wyjaśnić sobie musimy skąd jeszcze wzięła się długość \(5,25m\). Skoro ławka stoi w odległości \(6m\) od domu Adama, a promień zajączka odbił się na odległość \(0,75m\) od ławki, to odległość od miejsca odbicia się promienia do domu Adama jest równa \(6m-0,75m=5,25m\).

Krok 2. Udowodnienie podobieństwa dwóch trójkątów.
To co jest dla nas istotne, to fakt iż powstały nam dwa trójkąty podobne. Skąd wiemy, że są to trójkąty podobne? Kąt padania promienia słonecznego jest na pewno równy kątowi odbicia (patrz: kąt alfa na rysunku). Skoro są to trójkąty prostokątne, to znaczy że już na pewno mają identyczne miary dwóch kątów - kąta prostego oraz tego kąta padania/odbicia. To oznacza z kolei, że także trzeci kąt w tych trójkach ma tą samą miarę, czyli oba te trójkąty są podobne, co stwierdziliśmy na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Krok 3. Zapisanie odpowiedniej proporcji.
Skoro udało nam się dojść do tego, że te trójkąty są podobne, to między długościami ich boków zajdzie relacja:
$$\frac{a}{b}=\frac{d}{c} \\
\text{lub } \frac{a}{d}=\frac{b}{c}$$

Krok 4. Podstawienie danych i obliczenie poszukiwanej wartości.
Znamy wartości trzech miar, czyli \(a=1, b=0,75, c=5,25\), poszukujemy jedynie długości \(d\). Podstawiając zatem te dane z rysunku do zapisanej wcześniej proporcji otrzymamy:
$$\frac{1}{0,75}=\frac{d}{5,25}$$

Można to rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej będzie zastosować mnożenie na krzyż, dzięki czemu mamy:
$$0,75d=5,25 \\
d=7$$

To oznacza, że Adam błysnął lusterkiem na wysokości \(7\) metrów.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykonasz poprawny rysunek szkicowy (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy udowodnisz podobieństwo występujących trójkątów i na tym zakończysz rozwiązywanie zadania (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednią proporcję np. \(\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\) (Krok 3.).
4 pkt
• Gdy podstawisz do proporcji wszystkie dane (Krok 4.), ale popełnisz błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Asfalt trzeba wylać na powierzchni \(462m^2\).

Całość zadania sprowadza się tak naprawdę do tego by obliczyć pola dwóch kół - dużego i małego. Poszukiwany obszar (pierścień) będzie właśnie różnicą powierzchni między kołem dużym i małym.

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni dużego koła.
Skorzystamy ze wzoru:
$$P=πr^2$$

Widzimy, że do obliczenia pola koła potrzebny jest nam promień, a my na rysunku mamy podaną średnicę równą \(28cm\). Z racji tego iż promień jest dwukrotnie mniejszy od średnicy, to \(r=14cm\). Teraz możemy podstawić już te dane do wzoru, od razu stosując proponowane przybliżenie \(π=\frac{22}{7}\):
$$P=\frac{22}{7}\cdot(14m)^2 \\
P=\frac{22}{7}\cdot196m^2 \\
P=616m^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni małego koła.
Ponownie musimy podstawić dane do wzoru na pole koła, ale musimy jeszcze ustalić jaka jest długość promienia tego małego koła. Przyglądając się rysunkowi widzimy wyraźnie, że aby obliczyć długość tego promienia musimy od promienia dużego koła odjąć szerokość pierścienia. Otrzymamy zatem:
$$r=14m-7m=7m$$

Znając długość promienia podstawiamy go ponownie do wzoru na pole koła:
$$P=\frac{22}{7}\cdot(7m)^2 \\
P=\frac{22}{7}\cdot49m^2 \\
P=154m^2$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni ronda.
Znając pola powierzchni dużego i małego koła bez problemu obliczymy pole pierścienia, czyli naszego ronda:
$$P=616m^2-154m^2=462m^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jedynie promienie obydwu kół jako \(r=7\) oraz \(R=14\).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz pole jednego z kół (Krok 1. lub 2.).
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz pole obydwu kół (Krok 1. i 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni ronda (Krok 3.), ale nie zapiszesz w końcowym wyniku poprawnej jednostki.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wysokość kopca jest równa \(2,5m\).

Wzór na pole stożka to:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$

Z treści zadania wynika, że:
$$V=45m^3 \\
P_{p}=54m^2$$

Szukamy wysokości kopca (czyli stożka) i jest to nasza jedyna niewiadoma we wzorze na objętość stożka, zatem podstawiając dane z treści zadania do wzoru otrzymamy:
$$45m^3=\frac{1}{3}\cdot54m^2\cdot H \\
45m^3=18m^2\cdot H \\
H=\frac{45m^3}{18m^2} \\
H=2,5m$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na objętość stożka \(V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.