Egzamin gimnazjalny 2015 - matematyka
Zadanie 4. (1pkt) Dane jest przybliżenie \(\sqrt{5}\approx2,236\).
Oceń prawdziwość podanych zdań.
\(\sqrt{20}\approx2\cdot2,236\)
\(\sqrt{500}\approx22,36\)
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo:
$$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\approx2\cdot2,236$$
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą, bo
$$\sqrt{500}=\sqrt{100\cdot5}=10\sqrt{5}\approx10\cdot2,236\approx22,36$$
Zadanie 5. (1pkt) Poniżej podano kilka kolejnych potęg liczby \(7\).
$$7^1=7 \\
7^2=49 \\
7^3=343 \\
7^4=2401 \\
7^5=16\;807 \\
7^6=117\;649 \\
7^7=823\;543 \\
7^8=5\;764\;801 \\
7^9=40\;353\;607 \\
...$$
Cyfrą jedności liczby \(7^{190}\) jest:
A. \(1\)
B. \(3\)
C. \(7\)
D. \(9\)
Wyjaśnienie:
Cyfra jedności to ostatnia cyfra w liczbie. Należy zauważyć, że cyfry jedności poszczególnych potęg układają się w bardzo charakterystycznym ciągu cyfr. Gdybyśmy wypisali po kolei ostatnie cyfry z powyższych liczb, to otrzymalibyśmy ciąg:
$$\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry},\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry}...$$
Co cztery liczby nasz ciąg cyfr jedności się powtarza, a skoro tak, to możemy sprawdzić ile takich powtórzeń się przytrafi:
$$190:4=47 r.2$$
Nasz ciąg powtórzy się zatem \(47\) razy. Reszta tego ciągu mówi nam o tym która cyfra jest przez nas poszukiwana. Skoro reszta wyszła równa \(2\), to interesuje nas druga cyfra tego ciągu. Drugą cyfrą jest \(9\), więc to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.
Zadanie 9. (1pkt) W konkursie przyznano nagrody pieniężne. Zdobywca pierwszego miejsca otrzymał \(5000zł\). Nagroda za zdobycie drugiego miejsca była o \(30\%\) mniejsza niż nagroda za zajęcie pierwszego miejsca. Nagroda za zdobycie trzeciego miejsca była o \(40\%\) mniejsza niż nagroda za zajęcie drugiego miejsca.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Uczestnik konkursu, który zdobył trzecie miejsce, otrzymał \(1400zł\).
Nagroda za zdobycie trzeciego miejsca była o \(70\%\) mniejsza od nagrody za zajęcie pierwszego miejsca.
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) FAŁSZ
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości nagród za poszczególne miejsca.
Za pierwsze miejsce przyznano \(5000zł\).
Za drugie miejsce przyznano \(0,7\cdot5000zł=3500zł\).
Za trzecie miejsce przyznano \(0,6\cdot3500zł=2100zł\).
Krok 2. Ocena prawdziwości obydwu zdań.
Pierwsze zdanie jest fałszem, bo nagroda za trzecie miejsce wyniosła \(2100zł\).
Drugie zdanie jest fałszem. Nagroda za trzecie miejsce była o \(5000zł-2100zł=2900zł\) mniejsza, czyli była mniejsza o \(\frac{2900}{5000}=0,58=58\%\).
Zadanie 11. (1pkt) Pięć różnych liczb naturalnych zapisano w kolejności od najmniejszej do największej: \(1, a, b, c, 10\). Mediana liczb: \(1, a, b\) jest równa \(3\), a mediana liczb: \(a, b, c, 10\) jest równa \(5\). Liczba \(c\) jest równa:
A. \(4\)
B. \(5\)
C. \(6\)
D. \(7\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie wartości liczby \(a\).
Skorzystamy tutaj z informacji, że mediana liczb \(1, a, b\) jest równa \(3\). Mediana to wartość środkowa, a taką jest w tym przypadku nasza liczba \(a\). To oznacza, że \(a=3\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości liczby \(b\) oraz \(c\).
Tym razem skorzystamy z informacji, że mediana liczb \(a, b, c, 10\) jest równa \(5\). Pod \(a\) możemy już podstawić trójkę, co nam da:
$$3, b, c, 10$$
Z racji tego iż jest tutaj parzysta liczba wyrazów, to mediana będzie równa średniej arytmetycznej liczb \(b\) oraz \(c\). Jakie to mogłyby być liczby, jeżeli wiemy że są zapisane w kolejności od najmniejszej do największej?
Nie mogą to być dwie piątki, bo w treści zadania mamy podaną informację, że są to liczby różne. Nie może to też być \(3\) i \(7\), bo powtórzyłaby się trójka. Jedyną pasującą zatem opcją jest to, że \(b=4\) oraz \(c=6\), wtedy mediana będzie równa:
$$\frac{4+6}{2}=5$$
To oznacza, że poszukiwaną przez nas liczbą jest \(c=6\).
Zadanie 13. (1pkt) Wzór \(y=600-100x\) opisuje zależność objętości \(y\) (w litrach) wody w zbiorniku od czasu \(x\) (w minutach) upływającego podczas opróżniania tego zbiornika. Który wykres przedstawia tę zależność?
Wyjaśnienie:
Najprościej będzie sprawdzić jakie wartości osiąga funkcja dla najbardziej charakterystycznych punktów. Takimi charakterystycznymi punktami będą z pewnością przecięcia/zetknięcia się z osią iksów oraz igreków. Sprawdźmy zatem jaką wartość osiąga funkcja dla argumentu \(x=0\) oraz dla jakiego argumentu funkcja osiąga wartość \(y=0\).
Krok 1. Sprawdzenie wartości funkcji dla argumentu \(x=0\).
Podstawiając do wzoru \(x=0\) otrzymamy:
$$y=600-100\cdot0=600$$
Krok 2. Sprawdzenie dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość \(y=0\).
Podstawiając do wzoru \(y=0\) otrzymamy:
$$0=600-100\cdot x \\
0=600-100x \\
-600=-100x \\
x=6$$
Obliczone współrzędne znalazły się jedynie na pierwszym wykresie i to będzie prawidłowa odpowiedź.
Zadanie 14. (1pkt) Jeżeli \(a\), \(b\) i \(c\) są długościami boków trójkąta oraz \(c\) jest najdłuższym bokiem, to ten trójkąt jest:
prostokątny, gdy \(a^2+b^2=c^2\)
rozwartokątny, gdy \(a^2+b^2\lt c^2\)
ostrokątny, gdy \(a^2+b^2\gt c^2\)
Z odcinków o długościach: \(2\sqrt{3}, 3\sqrt{2}, \sqrt{3}\):
A. nie można zbudować trójkąta.
B. można zbudować trójkąt prostokątny.
C. można zbudować trójkąt rozwartokątny.
D. można zbudować trójkąt ostrokątny.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie najdłuższego boku.
Musimy ustalić która z podanych długości jest największa:
$$2\sqrt{3}\approx2\cdot1,73\approx3,46 \\
3\sqrt{2}\approx3\cdot1,41\approx4,23 \\
\sqrt{3}\approx1,73$$
Najdłuższa jest więc miara \(3\sqrt{2}\) i to będzie odcinek \(c\). Dwie pozostałe miary to odcinki \(a\) oraz \(b\) (w dowolnej już kolejności).
Krok 2. Obliczenie wartości \(a^2+b^2\).
Sprawdźmy zatem jaki wynik da nam suma kwadratów odcinków \(a\) oraz \(b\):
$$(2\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2=4\cdot3+3=12+3=15$$
Krok 3. Analiza otrzymanego wyniku.
Sumę kwadratów obliczoną w drugim kroku musimy przyrównać do kwadratu odcinka \(c\). Długość odcinka \(c\) podniesiona do kwadratu da nam wartość:
$$(3\sqrt{2})^2=9\cdot2=18$$
Z naszych obliczeń wynika \(a^2+b^2\lt c^2\), bo \(15\lt18\) zatem ten trójkąt jest rozwartokątny.
Zadanie 16. (1pkt) Na rysunku przedstawiono sześciokąt foremny o boku równym \(2cm\). Przekątna \(AD\) dzieli go na dwa przystające trapezy równoramienne.
Wysokość trapezu \(ABCD\) jest równa:
A. \(\sqrt{2}cm\)
B. \(\frac{\sqrt{3}}{2}cm\)
C. \(\sqrt{3}\)
D. \(2cm\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie miary kątów wewnętrznych sześciokąta.
Aby rozwiązać to zadanie musimy wiedzieć, że każdy kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę \(120°\). Skąd to wiemy? Najprościej będzie to zapamiętać w ten sposób, że począwszy od trójkąta mamy następującą zależność jeśli chodzi o sumę kątów wewnętrznych:
Trójkąt - \(180°\)
Czworokąt - \(360°\)
Pięciokąt - \(540°\)
Sześciokąt - \(720°\)
Krótko mówiąc, z każdym kolejnym dodatkowym kątem figura ma sumę kątów wewnętrznych o \(180°\) większą.
My wiemy, że nasz sześciokąt jest foremny, a to oznacza że miary jego kątów są identyczne. Zatem miara pojedynczego kąta będzie równa po prostu:
$$720°:6=120°$$
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Mając informacje z kroku pierwszego oraz z treści zadania zróbmy sobie mały rysunek pomocniczy, na którym przy okazji zaznaczymy poszukiwaną wysokość trapezu.
Kąt \(CDE\) ma na pewno miarę równą \(120°:2=60°\), bo prosta \(AD\) podzieliła nam jeden z kątów wewnętrznych na dwie równe części. Wysokość trójkąta pada zawsze pod kątem \(90°\), a to z kolei oznacza że nasz trójkąt \(CDE\) jest klasycznym trójkątem o mierze kątów \(30°, 60°, 90°\). Dzięki temu możemy sobie oznaczyć poszczególne długości przyprostokątnych jako \(a\), \(a\sqrt{3}\) oraz przeciwprostokątną jako \(2a\).
Krok 3. Wykorzystanie własności trójkąta i wyznaczenie wysokości trapezu.
Znamy długość boku \(CD\) i jest ona równa \(2cm\). Skoro tak, to zgodnie z własnościami trójkątów \(30°, 60°, 90°\) odcinek \(ED\) będzie dwukrotnie krótszy, czyli będzie miał długość \(a=1cm\), a interesujący nas odcinek \(EC\) będący wysokością trójkąta będzie mieć miarę \(a\sqrt{3}\), czyli \(1\cdot\sqrt{3}cm=\sqrt{3}cm\).
Zadanie 17. (1pkt) Ania wycięła z kartki papieru dwa jednakowe trójkąty prostokątne o bokach długości \(12cm\), \(16cm\) i \(20cm\). Pierwszy z nich zagięła wzdłuż symetralnej krótszej przyprostokątnej, a drugi - wzdłuż symetralnej dłuższej przyprostokątnej. W ten sposób otrzymała czworokąty pokazane na rysunkach.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Pole czworokąta I jest równe polu czworokąta II.
Obwód czworokąta I jest mniejszy od obwodu czworokąta II.
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) FAŁSZ
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na obydwa rysunki odpowiednie miary, które występują w treści zadania:
Teraz zgodnie z treścią zadania musimy obliczyć pola oraz obwody obydwu trapezów, mając tak naprawdę wszystkie podane miary.
Krok 2. Obliczenie pola i obwodu pierwszego trapezu.
Zacznijmy od pola powierzchni. Nasz trapez jest nieco przekręcony, ale jego podstawy mają długość \(16cm\) oraz \(8cm\), natomiast wysokość jest równa \(6cm\), zatem:
$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \\
P=\frac{16+8}{2}\cdot6 \\
P=\frac{24}{2}\cdot6 \\
P=12\cdot6 \\
P=72[cm^2]$$
Obwód pierwszego trapezu jest natomiast równy:
$$Obw=6+8+10+16=40[cm]$$
Krok 3. Obliczenie pola i obwodu drugiego trapezu.
Teraz obliczmy te same dane dla drugiego trapezu. Tym razem nasz trapez ma podstawy równe \(12cm\) oraz \(6cm\), natomiast wysokość jest równa \(8cm\), zatem pole powierzchni będzie równe:
$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \\
P=\frac{12+6}{2}\cdot8 \\
P=\frac{18}{2}\cdot8 \\
P=9\cdot8 \\
P=72[cm^2]$$
Obwód tego drugiego trapezu będzie natomiast równy:
$$Obw=12+10+6+8=36cm$$
Krok 4. Ocena prawdziwości obydwu zdań.
Zgodnie z naszymi obliczeniami pola powierzchni obydwu trapezów są sobie równe, zatem pierwsze zdanie jest prawdą. Obwody trapezów są natomiast różne, co oznacza że drugie zdanie jest fałszem.
Zadanie 20. (1pkt) Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny i sześcian. Bryły mają jednakowe podstawy i równe wysokości, a suma objętości tych brył jest równa \(36cm^3\).
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Objętość sześcianu jest trzy razy większa od objętości ostrosłupa.
Krawędź sześcianu ma długość \(3cm\).
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zapiszmy sobie wzory na objętość ostrosłupa oraz sześcianu.
$$V_{ostrosłupa}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V_{sześcianu}=P_{p}\cdot H$$
Z treści zadania wiemy, że pola podstaw oraz wysokości są takie same w obydwu bryłach. Skoro tak, to faktycznie objętość sześcianu będzie trzykrotnie większa od objętości ostrosłupa, a wynika to wprost ze wzorów na objętość tych brył. To oznacza, że pierwsze zdanie jest prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Suma objętości tych dwóch brył jest równa \(36cm^3\). W poprzednim kroku udowodniliśmy sobie, że objętość sześcianu będzie \(3\) razy większa od objętości ostrosłupa. Jeżeli więc objętość ostrosłupa oznaczymy jako \(x\), to objętość sześcianu wyniesie \(3x\). Możemy zatem zapisać, że:
$$x+3x=36cm^3 \\
4x=36cm^3 \\
x=9cm^3$$
To oznacza, że nasz sześcian ma objętość:
$$3x=3\cdot9cm^3=27cm^3$$
Objętość sześcianu obliczamy ze wzoru \(V=a^3\), a skoro ta objętość wynosi \(27cm^3\), to otrzymamy równanie:
$$V=a^3 \\
27cm^3=a^3 \\
a=3cm$$
To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.
Zadanie 21. (3pkt) Maja, Ola i Jagna kupowały zeszyty. Maja za \(3\) grube zeszyty i \(8\) cienkich zapłaciła \(10zł\). Ola kupiła \(4\) grube oraz \(4\) cienkie zeszyty i również zapłaciła \(10zł\). Czy Jagnie wystarczy \(10\) złotych na zakup \(5\) grubych zeszytów i \(1\) cienkiego?
Odpowiedź
Jagnie nie wystarczy pieniędzy na planowane zakupy.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(g\) - grube zeszyty
\(c\) - cienkie zeszyty
Zgodnie z treścią zadania wiemy, że zakupy Mai możemy opisać równaniem:
$$3g+8c=10$$
Natomiast zakupy Oli możemy zapisać jako:
$$4g+4c=10$$
Krok 2. Zbudowanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch równań zapisanych w kroku pierwszym możemy ułożyć układ równań, którego rozwiązanie pozwoli nam ustalić cenę każdego z tych zeszytów:
$$\begin{cases}
3g+8c=10 \\
4g+4c=10
\end{cases}$$
Najprościej będzie zastosować chyba metodę przeciwnych współczynników, mnożąc drugie równanie przez \(-2\). Otrzymamy wtedy:
$$\begin{cases}
3g+8c=10 \\
-8g-8c=-20
\end{cases}$$
Dodając obydwa równania stronami otrzymamy:
$$-5g=-10 \\
g=2$$
Znamy już cenę grubego zeszytu (wynosi ona \(2zł\)), więc podstawiając ją do dowolnego z równań bez przeszkód obliczymy cenę cienkiego zeszytu. Przykładowo podstawiając to do pierwszego równania otrzymamy:
$$3\cdot2+8c=10 \\
6+8c=10 \\
8c=4 \\
c=0,5$$
W ten sposób wyznaczyliśmy cenę obydwu zeszytów: gruby zeszyt kosztuje \(2zł\), a cienki \(0,5zł\).
Krok 3. Ustalenie, czy Jagnie wystarczy pieniędzy na zakupy.
Na sam koniec musimy ustalić, czy Jagna będzie w stanie kupić \(5\) grubych zeszytów oraz \(1\) cienki, mając jedynie \(10zł\). Koszt zeszytów Jagny jest równy:
$$5\cdot2zł+1\cdot0,5zł=10zł+0,5zł=10,5$$
To oznacza, że Jagnie nie wystarczy pieniędzy na planowane zakupy.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie obydwa równania tworzące układ równań (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że gruby zeszyt jest czterokrotnie droższy od zeszytu cienkiego.
2 pkt
• Gdy obliczysz ceny obydwu zeszytów (Krok 2.), ale nie ustalisz czy Jagnie wystarczy pieniędzy na zakupy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 22. (2pkt) Przekątna prostokąta \(ABCD\) nachylona jest do jednego z jego boków pod kątem \(30°\). Uzasadnij, że pole prostokąta \(ABCD\) jest równe polu trójkąta równobocznego o boku równym przekątnej tego prostokąta.
Odpowiedź
Udowodniono wykorzystując własności trójkątów przystających.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie zwizualizować jak będzie wyglądać nasz trójkąt równoboczny i jak rozkładają się poszczególne miary kątów:
Naszym zadaniem jest udowodnienie, że pole prostokąta \(ABCD\) jest równe polu trójkąta \(ACE\).
Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów przystających i zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy najpierw na prostokąt \(ABCD\). Pole naszego prostokąta \(ABCD\) składa się z pól dwóch trójkątów: \(ABC\) oraz \(ACD\). Wiemy też, że te dwa trójkąty są trójkątami przystającymi (czyli takimi które mają jednakowe miary i tym samym jednakowe pole powierzchni), bo przekątna dzieli zawsze prostokąt na dwie równe części.
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ACE\), który jest naszym trójkątem równobocznym. Tutaj także mamy dwa trójkąty przystające, tym razem \(ABC\) oraz \(ABE\) i suma tych dwóch trójkątów daje pole dużego trójkąta równobocznego.
Skoro więc trójkąt \(ABC\) jest trójkątem przystającym do \(ACD\) oraz \(ABE\), to znaczy że te dwa trójkąty (\(ACD\) oraz \(ABE\)) są także przystające względem siebie i mają jednakowe pole powierzchni. To sprawia, że możemy zakończyć dowodzenie, bo udowodniliśmy że pole zarówno prostokąta jak i trójkąta równobocznego składa się z dwóch trójkątów o identycznych polach powierzchni.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy przeprowadzisz dowodzenie na podstawionych przez siebie liczbach.
1 pkt
• Gdy dorysujesz trójkąt \(ABE\), wskażesz że trójkąt \(ACE\) jest równoboczny i na tym zakończysz dowodzenie (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz miary kątów trójkąta \(ACD\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 23. (4pkt) Po rozklejeniu ściany bocznej pudełka mającego kształt walca otrzymano równoległobok. Jeden z boków tej figury ma długość \(44cm\), a jej pole jest równe \(220cm^2\). Oblicz objętość tego pudełka. Przyjmij przybliżenie \(π\) równe \(\frac{22}{7}\).
Odpowiedź
Objętość pudełka jest równa \(770cm^3\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wysokości równoległoboku.
Skoro podstawa równoległoboku ma długość \(44cm\), a jego pole jest równe \(220cm^2\), to możemy w prosty sposób obliczyć wysokość tej figury:
$$P=a\cdot h \\
220=44\cdot h \\
h=5[cm]$$
Obliczona przed chwilą wysokość równoległoboku jest tak naprawdę wysokością bryły, co przyda nam się do obliczenia objętości w ostatnim kroku.
Krok 2. Obliczenie długości promienia podstawy walca.
Nasza długość \(44cm\) jest tak naprawdę obwodem koła będącego w podstawie walca. Możemy ten fakt wykorzystać do obliczenia długości promienia podstawy, wykorzystując przy okazji przybliżenie \(π=\frac{22}{7}\).
$$Obw=2πr \\
44=2\cdot\frac{22}{7}r \\
44=\frac{44}{7}r \quad\bigg/\cdot7 \\
308=44r \\
r=7[cm]$$
Krok 3. Obliczenie objętości pudełka.
Znamy wysokość bryły (\(h=5cm\)), znamy też długość promienia podstawy (\(r=7cm\)), więc możemy bez przeszkód obliczyć objętość:
$$V=πr^2\cdot h \\
V=\frac{22}{7}\cdot7^2\cdot5 \\
V=\frac{22}{7}\cdot49\cdot5 \\
V=770[cm^3]$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość równoległoboku (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość promienia podstawy walca (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość równoległoboku (Krok 1.) oraz długość promienia podstawy walca (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz objętość pudełka, ale otrzymany wynik jest błędny ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy obliczysz objętość pudełka bez wykorzystania zaokrąglenia liczby \(π\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.