Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Nowa Era 2019

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz ilość wody (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz masę drożdży (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie współczynnika proporcji.
Podany przepis mówi nam, że do przygotowania pizzy potrzeba \(250g\) mąki. Skoro Ewa chce wykorzystać \(600g\), to znaczy że chce zrobić pizzę, która jest \(600:250=2,4\) razy większa. To oznacza, że każdego ze składników pizzy trzeba użyć w ilości \(2,4\) razy większej niż jest to podane w przepisie.

Krok 2. Obliczenie ilości wody oraz drożdży.
W przepisie mamy informację, że potrzebujemy \(150ml\) wody, a skoro musimy jej użyć \(2,4\) razy więcej, to zużyjemy jej:
$$150ml\cdot2,4=360ml$$

Analogicznie postąpimy z drożdżami. W przepisie jest informacja, że potrzebujemy \(7g\) drożdży instant, a skoro musimy ich użyć \(2,4\) razy więcej, to zużyjemy ich w ilości:
$$7g\cdot2,4=16,8g$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz wartości liczb \(a\) oraz \(b\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wartości liczb \(a\) oraz \(b\).
Zacznijmy od liczby \(a\). Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$7^7:7^2:7^5=7^{7-2}:7^5=7^5:7^5=1$$

Teraz obliczmy wartość liczby \(b\). Tutaj raczej problemów być nie powinno, bo po prostu \(\sqrt{9}=3\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(|a-b|\).
Wiemy już, że \(a=1\) oraz \(b=3\), zatem:
$$|a-b|=|1-3|=|-2|=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie uzasadnisz (obliczysz) dzień urodzin jednego syna (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby dni między datą urodzin taty oraz syna Mateusza.
Musimy obliczyć ile dni jest od \(17\) kwietnia do \(17\) lipca. Możemy to zrobić dowolnie wybraną przez siebie metodą, ale najbezpieczniej będzie chyba przeanalizować to w ten sposób:
• \(18\) kwietnia to \(1.\) dzień po urodzinach
• \(30\) kwietnia to \(13.\) dzień po urodzinach
• \(31\) maja to \(44.\) dzień po urodzinach
• \(30\) czerwca to \(74.\) dzień po urodzinach
• \(17\) lipca to \(91.\) dzień po urodzinach

Krok 2. Obliczenie liczby dni między datą urodzin taty oraz syna Szymona.
Rozpiszmy to tak samo jak przed chwilą, tyle że tym razem liczymy od \(17\) lipca do \(17\) października:
• \(18\) lipca to \(1.\) dzień po urodzinach
• \(31\) lipca to \(14.\) dzień po urodzinach
• \(31\) sierpnia to \(45.\) dzień po urodzinach
• \(30\) września to \(75.\) dzień po urodzinach
• \(17\) października to \(92.\) dzień po urodzinach

Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Aby urodziny były w ten sam dzień tygodnia, to liczba dni dzieląca poszczególne urodziny musi być podzielna przez \(7\).

Urodziny taty od urodzin Mateusza dzieli \(91\) dni, czyli \(91:7=13\) pełnych tygodni. Tata z Mateuszem będą więc mieć urodziny w ten sam dzień tygodnia.

Urodziny taty od urodzin Szymona dzielą \(92\) dni, czyli \(13\) pełnych tygodni i jeszcze \(1\) dzień. Z tego też względu tata z Szymonem nie będą mieć urodzin tego samego dnia.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długość skośnego boku serwety (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz długość prostego boku serwety (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długość skośnego boku serwety (patrz: Krok 2.) oraz długość prostego boku serwety (patrz: Krok 3.).
LUB
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy zauważyć, że w rogach rysunku mamy trójkąty prostokątne, których przyprostokątne mają długość \(20cm\). Wspominamy sobie o tych trójkątach, bowiem na obwód serwety składają się m.in. przeciwprostokątne tychże trójkątów (oznaczymy je sobie na szkicu jako \(x\)). Dodatkowo na dole i górze mamy fragmenty serwetki, które oznaczymy sobie jako \(y\). Całość na rysunku z oznaczeniami będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie długości odcinków oznaczonych jako \(x\).
Na rysunku mamy cztery odcinki oznaczone jako \(x\), zatem obliczmy miarę każdego z takich boków. Możemy skorzystać tutaj wprost z Twierdzenia Pitagorasa i zapisać, że \(20^2+20^2=x^2\), ale możemy też postąpić nieco sprytniej. Tak naprawdę nasze trójkąty prostokątne są klasycznymi trójkątami o kątach \(45°, 45°, 90°\) (wiemy to, bo przyprostokątne mają jednakową długość). Z własności takich trójkątów wynika, że ich przeciwprostokątna jest \(\sqrt{2}\) razy dłuższa od długości przyprostokątnych, zatem możemy zapisać od razu, że \(x=20\sqrt{2}cm\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinków oznaczonych jako \(y\).
Odcinki oznaczone jako \(y\) są dość proste do policzenia, bowiem będzie to długość \(100cm\), która jest pomniejszona z lewej i prawej strony o \(20cm\). Możemy więc zapisać, że:
$$y=100cm-2\cdot20cm \\
y=100cm-40cm \\
y=60cm$$

Krok 4. Obliczenie obwodu całej serwety.
Na obwód naszej serwety składają się cztery odcinki oznaczone jako \(x\) oraz dwa odcinki oznaczone jako \(y\), zatem:
$$Obw=4\cdot20\cdot{2}+2\cdot60 \\
Obw=80\sqrt{2}+120[cm]$$

Przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,4\) otrzymamy:
$$Obw\approx80\cdot1,4+120 \\
Obw\approx112+120 \\
Obw\approx232[cm]\approx2,32m$$

To oznacza, że tasiemka o długości \(2,5m\) jak najbardziej wystarczy do obszycia naszej serwety.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz koszt pojedynczego wejścia na basen Michała oraz taty (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz koszt jedenastu wyjść na basen Michała (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz koszt jedenastu wyjść na basen taty (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz koszt jedenastu wyjść na basen Michała oraz taty (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik i poprawnie omówisz opłacalność karnetów.

Krok 1. Obliczenie ceny pojedynczego wejścia na basen (bez karnetu).
Michał i tata korzystają z basenu przez \(60\) minut. To oznacza, że zgodnie z cennikiem muszą zapłacić za taki pobyt cenę za \(45\) minut plus opłaty za przekroczenie limitu o \(15\) minut. Spójrzmy jak to będzie wyglądać w praktyce:

Michał musi zapłacić \(6,50zł\) za \(45\) minut. Za przekroczenie czasu o \(15\) minut będzie musiał zapłacić dodatkowo \(3\cdot0,50zł=1,50zł\). Całe pojedyncze wyjście na basen kosztować więc będzie:
$$6,50zł+1,50zł=8zł$$

Tata musi zapłacić \(10zł\) za \(45\) minut. Za przekroczenie czasu o \(15\) minut będzie musiał zapłacić dodatkowo \(3\cdot1zł=3zł\). Całe pojedyncze wyjście na basen kosztować więc będzie:
$$10zł+3zł=13zł$$

Krok 2. Obliczenie ceny biletów na \(11\) wejść na basen (bez karnetu).
Skoro cena biletu Michała wynosi \(8zł\), to na \(11\) wejść wyda on \(8zł\cdot11=88zł\).
Skoro cena biletu taty wynosi \(13zł\), to na \(11\) wejść wyda on \(13zł\cdot11=143zł\).

Krok 3. Analiza opłacalności karnetów.
Michał za karnet zapłacił \(90zł\). Gdyby kupował bilety oddzielnie, to zapłaciłby \(88zł\). W przypadku Michała karnet nie był więc opłacalny.

Tata za karnet zapłacił \(125zł\). Gdyby kupował bilety oddzielnie, to zapłaciłby \(143zł\). W przypadku taty karnet był więc opłacalny.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie udowodnisz, że zacieniony trójkąt jest równoboczny (patrz: Krok 3.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz długość boku trójkąta (patrz: Krok 4.), bez uzasadnienia że jest on równoboczny.
2 pkt
• Gdy poprawnie udowodnisz, że zacieniony trójkąt jest równoboczny (patrz: Krok 3.) oraz poprawnie obliczysz długość boku trójkąta (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Dostrzeżenie, że boki \(EC\) oraz \(FC\) mają jednakową długość.
Spójrzmy na odcinki \(EC\) oraz \(FC\). Jeden i drugi to wysokości trójkątów równobocznych (\(ACD\) oraz \(ABC\)) o boku \(a=4cm\). To z kolei prowadzi nas do bardzo ważnego wniosku, że odcinki \(EC\) oraz \(FC\) są jednakowej długości (w dalszych krokach obliczymy sobie jaka jest to dokładnie długość). Póki co możemy zapisać, że \(|EC|=|FC|\). Mając tę informację wiemy już na pewno, że trójkąt \(EFC\) jest przynajmniej równoramienny (nie jesteśmy jeszcze pewni, czy jest równoboczny).

Krok 2. Dostrzeżenie, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\).
Wysokość trójkąta równobocznego jest tak naprawdę dwusieczną kąta. Jeżeli więc spojrzymy np. na trójkąt \(ACD\), to stwierdzimy, że wysokość \(EC\) dzieli kąt przy wierzchołku \(C\) na dwa kąty o mierze \(30°\). Podobnie będzie w przypadku trójkąta \(ABC\). Na rysunku sytuacja będzie wyglądać następująco:


Możemy więc powiedzieć, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\).

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Wiemy już, że trójkąt jest przynajmniej równoramienny, bo ramiona \(EC\) oraz \(FC\) są jednakowej długości. Wiemy też, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\). Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. U nas oznaczałoby to, że kąty przy podstawie \(EF\) muszą mieć łączną miarę \(180°-60°=120°\), a to oznacza, że każdy z kątów przy podstawie musi mieć miarę:
$$120°:2=60°$$

Wyszło nam więc, że każdy kąt trójkąta \(EFC\) ma miarę \(60°\), zatem jest to trójkąt równoboczny.

Krok 4. Obliczenie długości boków trójkąta \(EFC\).
Do obliczenia pola powierzchni potrzebujemy poznać długość boku trójkąta. Widzimy wyraźnie, że bok np. \(EC\) jest wysokością trójkąta równobocznego \(ACD\). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$|EC|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|EC|=\frac{4\sqrt{3}}{2} \\
|EC|=2\sqrt{3}[cm]$$

To oznacza, że każdy bok naszego trójkąta \(EFC\) ma długość \(2\sqrt{3}cm\).

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(EFC\).
Wiemy już, że bok tego trójkąta ma długość \(2\sqrt{3}cm\), zatem podstawiając te dane do wzoru na pole trójkąta równobocznego otrzymamy:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{4\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=3\sqrt{3}[cm^2]$$