Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Marzec 2020

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy metodą "prób i błędów" obliczysz koszt przejazdu taksówkami jednej i drugiej firmy dla przynajmniej dwóch różnych długości.
LUB
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ułożenie równań do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że Pan Jan i Pan Wojciech przejechali trasę o jednakowej długości. Oznaczmy więc sobie liczbę pokonanych kilometrów jako niewiadomą \(x\).

Teraz naszym zadaniem jest ułożenie odpowiednich równań. Zacznijmy od Pana Jana i taksówki "Jedynka". Opłata początkowa jest równa \(3,2zł\), a do tego za każdy przejechany kilometr opłata wzrasta o kolejne \(3,2zł\). Skoro więc Pan Jan przejechał \(x\) kilometrów, to możemy zapisać, że koszt jego jazdy wyniósł:
$$3,2+3,2\cdot x$$

Podobnie możemy rozpatrzeć jazdę Pana Wojciecha w taksówce "Dwójka". Tutaj opłata początkowa jest równa \(8zł\), a za każdy przejechany kilometr opłata wzrasta o kolejne \(2,4zł\). Skoro więc Pan Wojciech przejechał \(x\) kilometrów, to możemy zapisać, że koszt jego jazdy wyniósł:
$$8+2,4\cdot x$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że Pan Jan i Pan Wojciech zapłacili za swój kurs jednakową kwotę. To oznacza, że między wyrażeniem \(3,2+3,2\cdot x\) oraz \(8+2,4\cdot x\) możemy postawić znak równości. Skoro tak, to:
$$3,2+3,2\cdot x=8+2,4\cdot x \quad\bigg/-3,2 \\
3,2x=4,8+2,4x \quad\bigg/-2,4x \\
0,8x=4,8 \\
x=6$$

To oznacza, że każdy z Panów przejechał trasę o długości \(6km\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz koszt \(40dag\) lub \(4kg\) rodzynek (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy obliczysz koszt \(60dag\) lub \(6kg\) pestek dyni (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wartości rodzynek.
W zadaniu musimy pamiętać, że \(1\) kilogram to \(100dag\). Aby dowiedzieć się ile kosztuje cała mieszanka musimy obliczyć wartość każdego z produktów, czyli wartość rodzynek oraz pestek. Zacznijmy od rodzynek. Skoro w mieszance znajduje się \(40dag\) rodzynek, to wiemy już że jest to \(0,4kg\). Cena za kilogram tego produktu to \(12zł\), zatem wartość rodzynek jest równa:
$$0,4\cdot12zł=4,8zł$$

Krok 2. Obliczenie wartości pestek dyni.
Analogicznie jak w przypadku rodzynek, musimy zapisać, że pestek dyni mamy \(60dag\), czyli \(0,6kg\). Skoro kilogram tych pestek kosztuje \(17zł\), to wartość tego produktu wyniesie:
$$0,6\cdot17zł=10,2zł$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(1\) kilograma mieszanki.
Na koniec musimy dodać wartość rodzynek oraz pestek, zatem:
$$4,8zł+10,2zł=15zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie składające się z sumy czterech boków czworokąta (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy zapiszesz cztery oddzielne równania typu \(\frac{1}{2}x+15=25\) lub \(x+5=25\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Analiza treści zadania.
Zastanówmy się co tak naprawdę musimy udowodnić i w jaki sposób możemy to zrobić. Naszym zadaniem jest udowodnienie, że gdy obwód tej figury jest równy \(100cm\), to figura jest rombem - czyli krótko mówiąc, jest czworokątem który ma wszystkie boki równej długości. Spróbujmy więc sprawdzić jaka jest wartość niewiadomej \(x\), gdy obwód tej figury jest równy \(100cm\). Poznanie tej wartości \(x\) pozwoli nam w dalszych krokach obliczyć długość każdego z boków.

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Jeżeli zsumujemy długości wszystkich boków i zapiszemy, że obwód jest równy \(100cm\), to otrzymamy następujące równanie:
$$\left(\frac{1}{2}x+15\right)+\left(\frac{3}{2}x-5\right)+(x+5)+(2x-15)=100$$

Oczywiście nie ma potrzeby zapisywania tych wszystkich nawiasów, ale warto to zrobić by się nie pogubić w całym zapisie. Spróbujmy teraz rozwiązać nasze równanie. Zwróć uwagę, że tak naprawdę wartości liczbowe nam się skrócą, bo raz mamy \(+15\), potem \(-15\), raz mamy \(-5\), potem \(5\). Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$\frac{1}{2}x+15+\frac{3}{2}x-5+x+5+2x-15=100 \\
5x=100 \\
x=20[cm]$$

Krok 3. Obliczenie długości każdego z boków czworokąta.
Podstawmy teraz do każdego z wyrażeń wartość \(x=20\). Zaczynając od dolnego boku:
I bok: \(\frac{1}{2}\cdot20+15=10+15=25[cm]\)
II bok: \(\frac{3}{2}\cdot20-5=30-5=25[cm]\)
III bok: \(20+5=25[cm]\)
IV bok: \(2\cdot20-15=40-15=25[cm]\)

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Wyszło nam, że gdy obwód tego czworokąta jest równy \(100cm\), to każdy z boków ma długość \(25cm\). To oznacza, że nasza figura jest faktycznie rombem, a to właśnie należało udowodnić.

A tak na marginesie - czy mamy pewność, że ta figura jest przy okazji kwadratem, skoro ma wszystkie boki równej długości? A no niestety takiej pewności nie mamy, bo nie wiemy, czy kąty między poszczególnymi bokami są kątami prostymi. Stąd też właśnie jesteśmy w stanie udowodnić, że ten czworokąt jest rombem, ale nie jesteśmy w stanie udowodnić, że będzie to kwadrat.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz średnią prędkość na trasie w jedną stronę (patrz: Krok 1. lub Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz średnią prędkość na trasie w jedną i drugą stronę (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie średniej prędkości jazdy.
Pan Kazimierz przejechał trasę \(90km\) w czasie \(1,5h\), zatem jego średnia prędkość jazdy wyniosła:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{90km}{1,5h} \\
v=60\frac{km}{h}$$

Krok 2. Obliczenie średniej prędkości jazdy w drodze powrotnej.
W drodze powrotnej Pan Kazimierz pokonał trasę o \(15\) minut szybciej. Skoro początkowo przejechał trasę w \(1,5h\) (czyli \(90\) minut), to w drodze powrotnej przejechał ten dystans w \(90-15=75\) minut. Musimy jeszcze te minuty zamienić na godziny, a więc możemy zapisać, że \(75\) minut to \(1,25h\). Długość trasy się nie zmieniła, nadal \(s=90km\), zatem możemy już przystąpić do liczenia średniej prędkości jazdy w drodze powrotnej:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{90km}{1,25h} \\
v=72\frac{km}{h}$$

Krok 3. Obliczenie o ile wzrosła średnia prędkość jazdy w drodze powrotnej.
Skoro na początku średnia prędkość wyniosła \(60\frac{km}{h}\), a w drodze powrotnej było to już \(72\frac{km}{h}\), to średnia prędkość jazdy Pana Kazimierza wzrosła o:
$$72\frac{km}{h}-60\frac{km}{h}=12\frac{km}{h}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy w poprawny sposób będziesz obliczać pole trójkąta \(AED\) (patrz: Krok 3.), ale otrzymany wynik będzie błędny np. ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości dolnej i górnej podstawy.
Zacznijmy od obliczenia długości górnej podstawy, czyli odcinka \(CD\). Wiemy, że jest to odcinek \(2\) razy dłuższy od odcinka \(AE\), zatem:
$$|CD|=2\cdot4cm \\
|CD|=8cm$$

Nasz trapez jest równoramienny, zatem jakbyśmy od punktu \(C\) poprowadzili wysokość, która przetnie odcinek \(AB\) w punkcie \(F\), to otrzymamy odcinek \(FB\), który będzie równy odcinkowi \(AE\), czyli także będzie miał on długość \(4cm\).


To z kolei oznacza, że dolna podstawa \(AB\) będzie mieć długość:
$$|AB|=4cm+8cm+4cm \\
|AB|=16cm$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu (czyli długości odcinka \(ED\)).
Wiemy już, że dolna podstawa ma długość \(a=16cm\), górna ma długość \(b=8cm\), a pole trapezu jest równe \(P=72cm^2\). Korzystając więc ze wzoru na pole trapezu możemy bez przeszkód obliczyć wysokość naszej figury:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
72cm^2=\frac{1}{2}\cdot(16cm+8cm)\cdot h \\
72cm^2=\frac{1}{2}\cdot24cm\cdot h \\
72cm^2=12cm\cdot h \\
h=6cm$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(AED\).
Wiemy już, że wysokość trapezu wynosi \(6cm\), czyli \(|ED|=6cm\). Dolna przyprostokątna \(|AE|\) ma długość \(4cm\), zatem pole trójkąta \(AED\) będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot4cm\cdot6cm \\
P=12cm^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz objętość pojedynczej czekoladki (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz objętość pudełka (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie objętości pojedynczej czekoladki.
Każda czekoladka jest prostopadłościanem o wymiarach \(2cm\times2cm\times1,5cm\), zatem objętość takiej pojedynczej czekoladki będzie równa:
$$V=abc \\
V=2cm\cdot2cm\cdot1,5cm \\
V=6cm^3$$

Krok 2. Obliczenie objętości wszystkich czekoladek.
W pudełku mamy \(32\) czekoladki. Każda z nich ma objętość \(V=6cm^3\), zatem objętość tych wszystkich czekoladek wyniesie:
$$V_{czekoladek}=32\cdot6cm^3 \\
V_{czekoladek}=192cm^3$$

Krok 3. Obliczenie objętości całego pudełka.
Nasze pudełko ma wymiary \(16cm\times24cm\times2,5cm\), zatem jego objętość będzie równa:
$$V_{pudełka}=16cm\cdot24cm\cdot2,5cm \\
V_{pudełka}=960cm^3$$

Krok 4. Obliczenie ile procent objętości pudełka stanowią wszystkie czekoladki.
Na koniec musimy ustalić ile procent objętości pudełka będą stanowić nasze czekoladki. Skoro czekoladki mają objętość równą \(192cm^3\), a całe pudełko ma \(960cm^3\), to czekoladki stanowią:
$$\frac{192cm^3}{960cm^3}=\frac{1}{5}=20\%$$