Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) 2019 - matematyka
Arkusz zawiera 15 zadań zamkniętych oraz 6 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 30 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to około 100 minut.
Zadanie 1. (1pkt) Na obozie sportowym przebywali uczniowie z klas IV, V, VI i VII. Liczbę uczestników obozu z poszczególnych klas przedstawiono na diagramie 1. Każdy z uczestników obozu uprawia jedną z trzech dyscyplin lekkoatletycznych: biegi, rzuty, skoki. Na diagramie 2. przedstawiono, jaka część uczniów trenuje poszczególne dyscypliny.
Wśród wszystkich uczestników obozu \(28\%\) stanowili uczniowie z klas:
Zadanie 2. (1pkt) Na obozie sportowym przebywali uczniowie z klas IV, V, VI i VII. Liczbę uczestników obozu z poszczególnych klas przedstawiono na diagramie 1. Każdy z uczestników obozu uprawia jedną z trzech dyscyplin lekkoatletycznych: biegi, rzuty, skoki. Na diagramie 2. przedstawiono, jaka część uczniów trenuje poszczególne dyscypliny.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Skoki trenuje więcej osób niż rzuty.
Biegi trenuje o \(10\) osób więcej niż skoki.
Zadanie 3. (1pkt) Podczas lekcji matematyki uczniowie zaokrąglali liczbę \(0,84631\). Adam zaokrąglił tę liczbę do części dziesiątych, Bartek - do części setnych, Magda - do części tysięcznych, a Zosia - do części dziesięciotysięcznych. Które z dzieci otrzymało największą liczbę?
Zadanie 4. (1pkt) Rowerzysta wyruszył w trasę o godzinie \(10:45\), a do celu przyjechał o godzinie \(14:05\). Jego prędkość średnia na całej trasie była równa \(15\frac{km}{h}\). Jaki dystans przejechał rowerzysta?
Zadanie 5. (1pkt) Wyrażenie: \((x-2)(4x-3)-x(1-x)\) po uproszczeniu jest równe:
Zadanie 6. (1pkt) Na rysunku przedstawiono kształt i wymiary elementu układanki, w którym sąsiednie boki są do siebie prostopadłe.
Z takich elementów zbudowano dwie figury przedstawione na poniższym rysunku.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Obwód figury I jest o \(2b\) większy od obwodu figury II.
Pole figury II jest równe \(12a^2\).
Zadanie 7. (1pkt) Wydajność dużej pompy strażackiej to \(24 000\) litrów wody na minutę, natomiast wydajność małej pompy to \(1200\) litrów wody na minutę. Mała pompa w ciągu \(1\) godziny pracy zużywa \(0,931\) litra paliwa.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
W ciągu jednej godziny działania dużej pompy strażackiej przepłynie przez nią \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\) litrów wody niż w tym samym czasie przez małą pompę.
Mała pompa w ciągu \(15\) godzin pracy zużyje \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\) litrów paliwa.
Zadanie 8. (1pkt) Na poniższej osi liczbowej literami \(k, l, m, n\) oznaczono cztery kolejne liczby całkowite. Jedna z tych liczb jest równa \(0\). Kropką oznaczono liczbę \(\sqrt{41}\).
Na osi liczbowej liczbę \(0\) oznaczono literą:
Zadanie 9. (1pkt) Dane są punkty o współrzędnych: \(A=(2,1)\), \(B=(4,9)\), \(C=(-2,5)\), \(D=(8,5)\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \((3,5)\).
Środek odcinka \(AB\) jest także środkiem odcinka \(CD\).
Zadanie 10. (1pkt) W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczono wierzchołki trójkąta prostokątnego \(ABC\) (patrz: rysunek).
Przeciwprostokątna trójkąta \(ABC\) ma długość:
Zadanie 11. (1pkt) Rzucono czterema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Na \(20\) widocznych ścianach tych czterech kostek suma oczek jest równa \(76\). Za niewidoczną uznano ścianę, na której kostka stoi.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Na każdej z niewidocznych ścian tych kostek jest jedno oczko.
Na niewidocznej ścianie jednej z tych kostek może być pięć oczek.
Zadanie 12. (1pkt) Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty oraz podano niektóre ich wymiary i miary kilku kątów.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Te trójkąty są równoramienne.
Te trójkąty są przystające.
Zadanie 13. (1pkt) W trójkącie \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\), poprowadzono wysokość \(CD\). Obwód trójkąta \(ACD\) jest równy \(24 cm\), a obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(36 cm\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Obwód trójkąta \(BCD\) jest równy \(18 cm\).
Wysokość \(CD\) ma długość \(6 cm\).
Zadanie 14. (1pkt) Na rysunku przedstawiono fragment siatki prostopadłościanu oraz podano długości niektórych jego krawędzi.
Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa:
Zadanie 15. (1pkt) Z sześciu jednakowych sześciennych klocków o krawędzi \(1 cm\) zbudowano bryłę I. Następnie z bryły tej usunięto dwa sześciany i otrzymano bryłę II (patrz: rysunki).
Pole powierzchni bryły II jest mniejsze od pola powierzchni bryły I o:
Zadanie 16. (2pkt) We wtorek w kwiaciarni obowiązywały ceny zapisane poniżej.
Za dodatki użyte do wykonania bukietu dolicza się \(20\%\) wartości kwiatów, z których wykonano ten bukiet. Ile zapłaci tego dnia klient za bukiet złożony z \(3\) tulipanów, \(2\) róż i \(5\) goździków? Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ceny kwiatów.
Klient za kwiaty zapłacił:
$$3\cdot3zł+2\cdot8zł+5\cdot3zł= \\
=9zł+16zł+15zł=40zł$$
Krok 2. Obliczenie kwoty dodatków.
Dodatki będą kosztować \(20\%\) wartości kwiatów, czyli:
$$0,2\cdot40zł=8zł$$
Krok 3. Obliczenie ceny całego bukietu.
Sumując kwiaty oraz dodatki wyjdzie nam, że bukiet kosztuje:
$$40zł+8zł=48zł$$
Zadanie 17. (2pkt) Pan Jan wybrał z bankomatu \(2900 zł\). Na tę kwotę składały się łącznie \(22\) banknoty \(200\)-złotowe i \(100\)-złotowe. Ile banknotów \(100\)-złotowych pan Jan wybrał z bankomatu? Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba banknotów \(100zł\)
\(22-x\) - liczba banknotów \(200zł\)
Możemy więc powiedzieć, że:
\(100\cdot x\) - kwota złożona z banknotów \(100zł\)
\(200\cdot(22-x)\) - kwota złożona z banknotów \(200zł\)
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma pieniędzy wybranych z bankomatu wynosi \(2900zł\), zatem możemy zapisać, że:
$$100\cdot x+200\cdot(22-x)=2900 \\
100x+4400-200x=2900 \\
-100x=-1500 \\
x=15$$
To oznacza, że pan Jan wybrał \(15\) banknotów \(100\)-złotowych.
Zadanie 18. (2pkt) W trójkącie równoramiennym \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\), poprowadzono dwie wysokości: \(AD\) i \(CE\). Na rysunku przedstawiono ten trójkąt i zaznaczono w nim niektóre kąty.
Uzasadnij, że kąt \(\alpha\) ma miarę \(110°\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy na rysunku kąty proste oraz oznaczmy miejsce przecięcia się wysokości jako punkt \(S\):
Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ECB\) oraz \(CSD\).
Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, zatem wysokość \(CE\) dzieli nam kąt \(ACB\) na dwie równe części. To prowadzi nas do wniosku, że kąt \(ECB\) ma także miarę \(20°\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(SDC\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, zatem kąt \(CSD\) będzie mieć miarę:
$$180°-90°-20°=70°$$
Krok 3. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Kąty \(CSD\) oraz poszukiwany kąt \(\alpha\) to kąty przyległe, zatem łączna miara tych dwóch kątów jest równa \(180°\). Skoro tak, to:
$$\alpha=180°-70°=110°$$
Zadanie 19. (3pkt) Bilet normalny na koncert kosztuje \(45 zł\), a cena biletu ulgowego stanowi \(\frac{5}{9}\) ceny biletu normalnego. Janek zakupił pięć razy więcej biletów normalnych niż biletów ulgowych. Za wszystkie bilety zapłacił \(500 zł\). Ile biletów każdego rodzaju Janek zakupił? Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ceny biletu ulgowego.
Skoro cena biletu ulgowego stanowi \(\frac{5}{9}\) ceny biletu normalnego, to bilet ulgowy kosztuje:
$$\frac{5}{9}\cdot45zł=25zł$$
Krok 2. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba zakupionych biletów ulgowych
\(5x\) - liczba zakupionych biletów normalnych
Skoro bilet ulgowy kosztuje \(25zł\), a normalny \(45zł\), to możemy zapisać, że:
\(25\cdot x\) - tyle złotych zapłacono za bilety ulgowe
\(45\cdot5x=225x\) - tyle złotych zapłacono za bilety normalne
Krok 3. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Wiemy, że za wszystkie bilety zapłacono \(500zł\), a skoro tak, to powstanie nam do rozwiązania następujące równanie:
$$25x+225x=500 \\
250x=500 \\
x=2$$
Krok 4. Ustalenie liczby biletów ulgowych i normalnych.
Otrzymaliśmy wynik \(x=2\). Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami wiemy już zatem, że biletów ulgowych kupiono dwie sztuki. Musimy jeszcze ustalić, ile było biletów normalnych. Tych jest pięć razy więcej niż ulgowych, czyli będzie ich \(5\cdot2=10\).
Zadanie 20. (3pkt) Duży prostokąt przedstawiony na rysunku jest podzielony na osiem małych przystających prostokątów.
Oblicz obwód dużego prostokąta. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Małe prostokąty są przystające, czyli mówiąc wprost - każdy z nich ma te same wymiary. Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że dłuższy bok prostokąta ma miarę trzy razy większą od krótszego boku:
Krok 2. Obliczenie długości krótszego boku prostokąta.
Z rysunku wynika, że suma dłuższego i krótszego boku prostokąta ma łącznie długość \(8,4\). Stosując zatem nasze oznaczenia, możemy zapisać, że:
$$3x+x=8,4 \\
4x=8,4 \\
x=2,1$$
To oznacza, że krótszy bok prostokąta ma długość \(2,1\). Gdyby zaszła taka potrzeba, moglibyśmy przy okazji policzyć, że dłuższy bok prostokąta ma długość \(3\cdot2,1=6,3\).
Krok 3. Obliczenie obwodu dużego prostokąta.
Celem zadania jest obliczenie obwodu dużego prostokąta. Patrząc się na rysunek widzimy, że dolny bok prostokąta ma długość \(3x+x+x+x=6x\), a boczny bok ma długość \(3x+x=4x\) (lub po prostu \(8,4\), bo wynika to z rysunku). To oznacza, że obwód tej figury jest równy:
$$Obw=2\cdot6x+2\cdot4x \\
Obw=12x+8x \\
Obw=20x \\
Obw=20\cdot2,1 \\
Obw=42$$
Zadanie 21. (3pkt) Przedstawione na rysunku trójkąt prostokątny równoramienny oraz kwadrat mają równe pola.
Oblicz obwód kwadratu. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości przyprostokątnych trójkąta.
Trójkąt jest prostokątny równoramienny, czyli to tak naprawdę trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\). Z własności takich trójkątów wynika, że gdy przyprostokątne mają długość \(a\), to przeciwprostokątna ma długość \(a\sqrt{2}\). Możemy więc zapisać, że:
$$a\sqrt{2}=6\sqrt{2} \\
a=6$$
Krok 2. Obliczenie pola trójkąta.
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest podstawą trójkąta, a druga jest jego wysokością. Możemy więc bez problemu obliczyć pole tej figury, korzystając ze standardowego wzoru na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6 \\
P=3\cdot6 \\
P=18$$
Krok 3. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z treści zadania wynika, że trójkąt i kwadrat mają jednakowe pole powierzchni. Pole kwadratu zapisalibyśmy jako \(P=x^2\), a skoro tak, to:
$$x^2=18 \\
x=\sqrt{18} \quad\lor\quad x=-\sqrt{18}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(x=\sqrt{18}\), co moglibyśmy jeszcze rozpisać jako \(x=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\).
Krok 4. Obliczenie obwodu kwadratu.
Celem naszego zadania jest obliczenie obwodu kwadratu, zatem:
$$Obw=4\cdot3\sqrt{2} \\
Obw=12\sqrt{2}$$
Poprzednie
Zakończ
Następne
bardzo fajny egzamin
Fajny egzamin do uczenia się
Prościutki egzamin
Fajny egzamin, extra
Dosyć ok testy, zobaczymy tylko jakie będą z tego efekty…
Super
super arkusze polecam!!