Egzamin ósmoklasisty - Matematyka - 2021

Poniżej znajduje się egzamin ósmoklasisty z matematyki (CKE – maj 2021). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin ósmoklasisty 2021 - matematyka

Arkusz zawiera 15 zadań zamkniętych oraz 4 zadania otwarte. Łącznie do zdobycia jest 25 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to około 100 minut.

Zadanie 1. (1pkt) Na diagramie słupkowym przedstawiono liczby medali zdobytych na czterech letnich igrzyskach olimpijskich przez reprezentację Polski.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań, dotyczących medali zdobytych przez reprezentację Polski podczas letnich igrzysk olimpijskich w latach 2004–2016. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba zdobytych złotych medali stanowi więcej niż jedną trzecią liczby wszystkich zdobytych medali.

Podczas letnich igrzysk olimpijskich średnio zdobywano 3 złote medale.

Zadanie 2. (1pkt) Dane są cztery liczby $x$, $y$, $t$, $u$ zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:

$$x=-62,5+30 \quad\quad y=-14,4-12,6 \quad\quad t=-12:0,3 \quad\quad u=-8,02\cdot6$$

Która z tych liczb jest największa?

$x$

$y$

$t$

$u$

Zadanie 3. (1pkt) Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wartość wyrażenia $\frac{3}{7}+\frac{3}{5}$ jest liczbą $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$

mniejszą od $1$

większą od $1$

Wartość wyrażenia $\frac{3}{7}-\frac{3}{5}$ jest liczbą $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$

ujemną

dodatnią

Zadanie 4. (1pkt) Z reguł działań na potęgach wynika, że:
$$(200\;000)^3=(2\cdot100\;000)^3=(2\cdot10^5)^3=2^3\cdot10^{15}$$

Z tych samych reguł wynika, że liczba $(60\;000\;000)^3$ jest równa:

$6^3\cdot10^{21}$

$6\cdot10^{21}$

$6^3\cdot10^{10}$

$6\cdot10^{10}$

Zadanie 5. (1pkt) Czy iloczyn dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez $10$?

Tak

Nie

ponieważ

wśród dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych nie musi znajdować się liczba podzielna przez $10$.

wśród dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest co najmniej jedna liczba nieparzysta i co najmniej jedna liczba parzysta.

wśród dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest co najmniej jedna liczba podzielna przez $5$ i co najmniej jedna liczba parzysta.

Zadanie 6. (1pkt) Podatek od dochodów za rok 2016 w Polsce był obliczany według sposobów przedstawionych w poniższej tabeli.
egzamin ósmoklasisty

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

W 2016 roku podstawa obliczenia podatku dla pana Jana wyniosła $84 500 zł$. Wysokość podatku (w zł) od dochodu pana Jana opisuje wyrażenie $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$

$0,18\cdot84500-556,02$

$0,18\cdot(84500-556,02)$

W 2016 roku podstawa obliczenia podatku dla pani Zofii wyniosła $97 300 zł$. Wysokość podatku (w zł) od dochodu pani Zofii opisuje wyrażenie $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$

$14839,02+0,32\cdot85528$

$14839,02+0,32\cdot(97300-85528)$

Zadanie 7. (1pkt) Do liczby $(-\sqrt{10})$ dodajemy $5$. Otrzymany wynik jest liczbą:

większą od $1$

dodatnią mniejszą od $1$

mniejszą od $(-8)$

ujemną większą od $(-8)$

Zadanie 8. (1pkt) Trójki liczb naturalnych $a$, $b$ i $c$ które spełniają warunek $a^2+b^2=c^2$ nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:
$$a=2n+1 \quad\quad\quad b=2n(n+1) \quad\quad\quad c=2n^2+2n+1$$

gdzie $n$ oznacza dowolną liczbę naturalną ($n\ge1$). W zadaniach 8. i 9. liczby $a$, $b$ i $c$ są wyznaczone za pomocą tych wzorów.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba $a$ zawsze będzie $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$

parzysta

nieparzysta

Liczby $b$ i $c$ różnią się o $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$

$1$

$n$

Zadanie 9. (1pkt) Trójki liczb naturalnych $a$, $b$ i $c$ które spełniają warunek $a^2+b^2=c^2$ nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:
$$a=2n+1 \quad\quad\quad b=2n(n+1) \quad\quad\quad c=2n^2+2n+1$$

gdzie $n$ oznacza dowolną liczbę naturalną ($n\ge1$). W zadaniach 8. i 9. liczby $a$, $b$ i $c$ są wyznaczone za pomocą tych wzorów.

Jeżeli najmniejsza z liczb $a$, $b$ i $c$ jest równa $9$, to największa z tych liczb jest równa:

$41$

$73$

$145$

$181$

Zadanie 10. (1pkt) Ala kupiła trzy zeszyty i blok rysunkowy. Średnia arytmetyczna cen tych czterech artykułów była równa $6zł$. Zeszyty kosztowały łącznie $15zł$. Ile kosztował blok rysunkowy?

$4zł$

$5zł$

$8zł$

$9zł$

Zadanie 11. (1pkt) W pewnej loterii wśród $150$ losów co szósty był wygrywający, a pozostałe losy były puste. Wyciągnięto $30$ losów i żaden z nich nie był wygrywający.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Na loterię przygotowano $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$ losów wygrywających.

$120$

$25$

Wyciągnięto jeszcze jeden los. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to los wygrywający, wynosi $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$

$\frac{25}{120}$

$\frac{25}{125}$

Zadanie 12. (1pkt) W trójkącie $ABC$ narysowano dwie wysokości: $CD$ i $AE$, jak na rysunku. Kąt rozwarty pomiędzy tymi wysokościami jest równy $138°$.
egzamin ósmoklasisty

Jaką miarę ma kąt $α$ zaznaczony na rysunku?

$38°$

$42°$

$45°$

$48°$

Zadanie 13. (1pkt) Listewkę o długości $50 cm$ planowano pociąć na równe części. Iwona zaproponowała podział na kawałki po $5 cm$ i zaznaczyła na listewce czerwonym kolorem linie cięcia. Agata chciała podzielić tę samą listewkę na części po $2 cm$ i linie cięcia zaznaczyła na zielono. Ile razy linia czerwona pokrywała się z linią zieloną?

$5$

$4$

$3$

$2$

Zadanie 14. (1pkt) Skrzynia ma kształt prostopadłościanu. Podłoga skrzyni ma wymiary $1,5 m$ i $1,2 m$, a wysokość skrzyni jest równa $1 m$. Piasek wsypany do skrzyni zajmuje $\frac{3}{4}$ jej pojemności. Ile metrów sześciennych piasku wsypano do skrzyni?

$1,8m^3$

$0,45m^3$

$1,35m^3$

$2,4m^3$

Zadanie 15. (1pkt) Staś ma dwa jednakowe klocki w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, każdy o polu powierzchni całkowitej $80 cm^2$. Podstawa i ściana boczna klocka mają równe pola. Staś skleił oba klocki podstawami tak, jak na rysunku.
egzamin ósmoklasisty

Jakie pole powierzchni ma bryła otrzymana przez Stasia?

$112cm^2$

$128cm^2$

$144cm^2$

$160cm^2$

Zadanie 16. (2pkt) Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady w taki sposób, że bratu przypadnie $\frac{1}{2}$ całej tabliczki, siostrze $\frac{5}{12}$ całej tabliczki, a jemu $\frac{1}{6}$ całej tabliczki. Czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy? Uzasadnij swoją odpowiedź.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Zsumujmy wszystkie ułamki, zgodnie z tym jak Paweł chciał podzielić czekoladę:
$$\frac{1}{2}+\frac{5}{12}+\frac{1}{6}=\frac{6}{12}+\frac{5}{12}+\frac{2}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$

Okazuje się, że zaproponowany podział jest niemożliwy, ponieważ suma wszystkich udziałów jest większa od $1$. Można więc powiedzieć, że Paweł rozdzielił więcej czekolady, niż miał do dyspozycji.

Zadanie 17. (3pkt) Adam mieszka w miejscowości Bocianowo, a jego kolega Bartek – w miejscowości Żabno. Adam umówił się z Bartkiem w Żabnie na godzinę 18:00. Wyjechał z Bocianowa na skuterze o godzinie 17:20. Średnia prędkość jazdy Adama była równa $25\frac{km}{h}$.

Na kwadratowej siatce Adam przedstawił schemat trasy, którą jechał. O której godzinie Adam dotarł na spotkanie z Bartkiem?
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość kawałka trasy wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy przyjmiesz poprawny sposób obliczenia czasu przejazdu co najmniej jednego poprawnie wyznaczonego
odcinka drogi.
2 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości trasy między Stawiskiem i Bajorkiem.
Odległość od Stawiska do Bajorka jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego dolna przyprostokątna ma długość $3$ kratek, a boczna przyprostokątna ma długość $4$ kratek:
egzamin ósmoklasisty

Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że w takim razie:
$$3^2+4^2=c^2 \\
9+16=c^2 \\
c^2=25 \\
c=5 \quad\lor\quad c=-5$$

Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam $c=5$. To oznacza, że trasa od Stawiska do Bajorka ma $5km$.

Krok 2. Obliczenie długości całej trasy.
Licząc po kratkach możemy powiedzieć, że:
od Bociankowa do Stawiska są $3km$
od Stawiska do Bajorska jest $5km$ (to policzyliśmy w pierwszym kroku)
od Bajorka do Żabna jest $7km$

Cała trasa ma więc łącznie długość:
$$3km+5km+7km=15km$$

Krok 3. Obliczenie czasu jazdy.
Teraz skorzystamy ze wzoru $v=\frac{s}{t}$, który musimy jeszcze przekształcić:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v}$$

Wiemy, że $v=25\frac{km}{h}$, a przed chwilą obliczyliśmy także, że $s=15km$. Skoro tak, to:
$$t=\frac{15km}{25\frac{km}{h}} \\
t=0,6h$$

Musimy jeszcze zamienić ten czas na minuty. Godzina ma $60$ minut, zatem:
$$t=0,6\cdot60min=36min$$

Krok 4. Obliczenie godziny dotarcia na spotkanie.
Skoro Adam wyjechał o godzinie 17:20 i jechał $36$ minut, to do Bartka dotarł o godzinie 17:56.

Zadanie 18. (2pkt) Ania chciała kupić $10$ jednakowych puszek karmy dla psa, ale zabrakło jej $11$ złotych. Kupiła $6$ takich puszek karmy i zostało jej $3,40$ złotych. Ile kosztuje jedna puszka karmy?
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą, dzięki któremu można obliczyć np. cenę puszki karmy lub kwoty posiadanej przez Anię.
ALBO
• Gdy metodą "prób i błędów" sprawdzisz warunki zadania dla co najmniej dwóch różnych cen puszek lub kwot posiadanych przez Anię.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Do zadania można podejść na różne sposoby. Najprościej byłoby zauważyć, że jeżeli do zakupu $10$ puszek zabrakło Ani $11zł$, a przy zakupie $6$ puszek zostało jej jeszcze $3,40$ złotych reszty, to $4$ puszki kosztują $11zł+3,40zł=14,40zł$. Skoro tak, to jedna puszka karmy kosztuje:
$$14,40zł:4=3,60zł$$

Zadanie 19. (3pkt) Dany jest prostokąt $ABCD$ o wymiarach $12 cm$ i $16 cm$. Odcinek $AC$ jest przekątną tego prostokąta. Odcinek $DS$ jest wysokością trójkąta $ACD$ (patrz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Oblicz długość odcinka $DS$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej $AC$ (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta $ACD$ (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka $DS$ (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej $AC$.
Skoro boki prostokąta mają długość $12 cm$ i $16 cm$, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że przekątna będzie mieć długość:
$$12^2+16^2=|AC|^2 \\
144+256=|AC|^2 \\
|AC|^2=400 \\
|AC|=20 \quad\lor\quad |AC|=-20$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam $|AC|=20$.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta $ACD$.
Trójkąt $ACD$ jest połową prostokąta $ABCD$. Policzmy zatem najpierw pole tego prostokąta:
$$P=12cm\cdot16cm \\
P=192cm^2$$

Skoro trójkąt $ACD$ jest połową tej figury, to jego pole będzie równe:
$$P_{ACD}=192cm^2:2 \\
P_{ACD}=96cm^2$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka $DS$.
Odcinek $DS$ jest wysokością trójkąta $ACD$, którego podstawa ma długość $a=20$ i którego pole jest równe $96cm^2$. Skoro tak, to korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
96cm^2=\frac{1}{2}\cdot20cm\cdot h \\
96cm^2=10cm\cdot h \\
h=9,6cm$$

To oznacza, że odcinek $DS$ ma długość $9,6cm$.

Zdobyłeś/aś: 0/25pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2021 – Odpowiedzi

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2021 – PDF

Podaj swój nick lub imię*

E-mail

31 komentarzy

Inline Feedbacks

View all comments

mr. grzesiorko

piękne zdobyłem 25/25p

Odpowiedz

kondzio

chcę napisać egzaminy jak najlepiej i dostać się do najlepszej szkoły

Maciek W

Reply to kondzio

naucz się: wzorów i naucz się z nich korzystać, rób na logikę i sprawdzaj zadania

Kacper

Git strona

reina

fajna strona, można się dużo nauczyć

Fifek

bardzo pomocna strona

kosmita

jupi zdobyłem 23/25 pkt

Fanatyk lazani

Bardzo szanuję, pomaga przygotować się.

Last edited 2 lat temu by Fanatyk lazani

sp smiechowice

wzorowa strona

Tomasz

Polecam

szary

23/25

Matusia

23/25 polecam kochani haha

Szymon

Super strona przydaje się do egzaminu ósmoklasisty

kamil jawniak

fajne

Zosia :)

uwielbiam tę stronkę, niesamowicie ułatwia życie!! <3

Świetna strona do nauki naprawdę pomaga

Adam Zbigniew

super mam 19/25 jej

robi wrazene

24/25

War

Chcę dobrze napisać egzamin

uufcgfyt

ludzie tu zdobywają takie wysokie wyniki, tymczasem ja i moje 13 punktów :(

Reply to uufcgfyt

spokojnie ja też

essa

25/25 essa

Nirzozumialeniebezpiecznytomasz

świetna strona.

ZUZIA

Pięknie zdobyłam 9/25p

Diamond

super strona

IGOR

13/25

Klaudia

Super stronka. Gorąco Polecam. Miałam 24p/25p

krasnalizator

8/25 chyba nie zdam xd

martop

16/25 na pewno nie strzelałem

Cinek

bardzo fajna strona

Wojtek

Za kilka dni mam egzamin