Matura podstawowa Pierwiastki – zadania maturalne Pierwiastki - zadania Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(\sqrt[3]{(-8)^{-1}}\cdot16^{\frac{3}{4}}\) jest równa: A) \(-8\) B) \(-4\) C) \(2\) D) \(4\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: Zadanie polega tak naprawdę na poprawnym wykonaniu działań na potęgach i pierwiastkach. Pamiętaj, że ujemny wykładnik potęgi odwraca nam liczbę potęgowaną: $$a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n$$ Całość rozwiązania możemy rozpisać w następujący sposób: $$\sqrt[3]{(-8)^{-1}}\cdot16^{\frac{3}{4}}= \\ =\sqrt[3]{\frac{1}{(-8)^1}}\cdot(2^4)^{\frac{3}{4}}= \\ =\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}\cdot(2)^{4\cdot\frac{3}{4}}= \\ =-\frac{1}{2}\cdot2^3= \\ =-\frac{1}{2}\cdot8=-4$$ Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\) jest równa: A) \(2\sqrt{2}\) B) \(2\) C) \(4\) D) \(\sqrt{10}-\sqrt{6}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: Zadanie możemy rozwiązać na kilka sposobów (nawet usuwając niewymierność z mianownika, czyli mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{2}\)), ale najprościej jest rozwiązać je w następujący sposób: $$\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{25\cdot2}-\sqrt{9\cdot2}}{\sqrt{2}}= \\ =\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$$ Zadanie 3. (1pkt) Liczba \((\sqrt[3]{16}\cdot4^{-2})^3\) jest równa: A) \(4^4\) B) \(4^{-4}\) C) \(4^{-8}\) D) \(4^{-12}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: Wykonując poprawnie działania na pierwiastkach i ułamkach oraz pamiętając, że \(16=4^2\), otrzymamy: $$(\sqrt[3]{16}\cdot4^{-2})^3=(16^{\frac{1}{3}}\cdot4^{-2})^3= \\ =(16^{\frac{1}{3}})^3\cdot(4^{-2})^3=16^{\frac{1}{3}\cdot3}\cdot4^{-2\cdot3}= \\ =16^1\cdot4^{-6}=4^2\cdot4^{-6}= \\ =4^{2-6}=4^{-4}$$ Zadanie 4. (1pkt) Liczba \(\frac{5^3\cdot25}{\sqrt{5}}\) jest równa: A) \(5^5\sqrt{5}\) B) \(5^4\sqrt{5}\) C) \(5^3\sqrt{5}\) D) \(5^6\sqrt{5}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej będzie chyba rozbić liczbę \(25\) na \(5\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\), bo wtedy skróci nam się od razu pierwiastek z mianownika. Można też potraktować \(25\) jako \(5^2\), a następnie standardowo usunąć niewymierność z mianownika. Obydwie metody prowadzą skutecznie do tego samego wyniku: $$\require{cancel} \frac{5^3\cdot25}{\sqrt{5}}=\frac{5^3\cdot5\cdot\sqrt{5}\cdot\cancel{\sqrt{5}}}{\cancel{\sqrt{5}}}=5^4\sqrt{5}$$ Zadanie 5. (1pkt) Wartość wyrażenia \(\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}\) jest równa: A) \(-2\) B) \(-2\sqrt{3}\) C) \(2\) D) \(2\sqrt{3}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź C Wyjaśnienie: Krok 1. Obliczenie części składowych tego wyrażenia. Jeśli nie czujemy się zbyt pewnie w działaniach na pierwiastkach, to dobrze jest rozbić sobie ten przykład na dwie części, obliczając oddzielnie wartość każdego z tych dwóch ułamków. Aby obliczyć wartości tych ułamków musimy po prostu usunąć niewymierności znajdujące się w mianownikach. I tak oto: $$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\cdot(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)\cdot(\sqrt{3}+1)}=\frac{2\sqrt{3}+2}{3-1}=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}=\sqrt{3}+1\\ \\ \frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\cdot(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\cdot(\sqrt{3}-1)}=\frac{2\sqrt{3}-2}{3-1}=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}=\sqrt{3}-1$$ Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia. Uważając na znaki możemy teraz bez przeszkód obliczyć wartość naszego wyrażenia: $$\sqrt{3}+1-(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2$$ Zadanie 6. (1pkt) Liczba \(\left(\frac{1}{(\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2)^0}\right)^{-2}\) jest równa: A) \(\frac{1}{225}\) B) \(\frac{1}{15}\) C) \(1\) D) \(15\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź C Wyjaśnienie: Zadanie choć wygląda na dość skomplikowane, to w praktyce jest bardzo proste. Wystarczy zauważyć, że cała wartość mianownika jest podniesiona do potęgi zerowej (a wartość tego mianownika jest na pewno różna od zera, bo dodajemy do siebie trzy liczby dodatnie). To z kolei oznacza, że bez dalszych obliczeń możemy stwierdzić, że wartość całego wyrażenia w mianowniku jest równa \(1\), bo każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi \(0\) daje wynik równy \(1\). Stąd też: $$\left(\frac{1}{(\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2)^0}\right)^{-2}=\left(\frac{1}{1}\right)^{-2}=1^{-2}=1$$ Zadanie 7. (1pkt) Liczba \((\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+2\sqrt{15}\) jest równa: A) \(2+2\sqrt{15}\) B) \(8\) C) \(2+4\sqrt{15}\) D) \(2\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) otrzymamy: $$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+2\sqrt{15}= \\ =(\sqrt{5})^2-2\cdot\sqrt{5}\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{15}= \\ =5-2\sqrt{15}+3+2\sqrt{15}= \\ =5+3=8$$ Zadanie 8. (1pkt) Liczba \(2\sqrt{18}-\sqrt{32}\) jest równa: A) \(2^{-\frac{3}{2}}\) B) \(2^{-\frac{1}{2}}\) C) \(2^{\frac{1}{2}}\) D) \(2^{\frac{3}{2}}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyłączenie czynników przed znak pierwiastka i zapisanie wyniku w formie potęgi o wykładniku wymiernym (czyli w formie ułamka). Zatem: $$2\sqrt{18}-\sqrt{32}=2\sqrt{9\cdot2}-\sqrt{16\cdot2}=2\cdot3\sqrt{2}-4\sqrt{2}= \\ =6\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}=2^1\cdot2^{\frac{1}{2}}=2^{1+\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}$$ Zadanie 9. (1pkt) Wartość wyrażenia \(\frac{\sqrt[5]{-32}\cdot2^{-1}}{4}\cdot2^2\) jest równa: A) \(-\frac{1}{2}\) B) \(\frac{1}{2}\) C) \(1\) D) \(-1\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: $$\frac{\sqrt[5]{-32}\cdot2^{-1}}{4}\cdot2^2=\frac{-2\cdot\frac{1}{2}}{4}\cdot4=-1$$ Zadanie 10. (1pkt) Liczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa: A) \(\sqrt{\frac{16}{63}}\) B) \(\frac{16}{3\sqrt{7}}\) C) \(1\) D) \(\frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: Krok 1. Wykonanie obliczeń na pierwiastkach. $$\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}=\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{3}$$ Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i obliczenie sumy. Aby dodać do siebie te dwa ułamki, które znalazły się w naszym rozwiązaniu musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(3\sqrt{7}\), zatem: $$\frac{3\cdot3}{\sqrt{7}\cdot3}+\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}{3\cdot\sqrt{7}}= \\ =\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\frac{16}{3\sqrt{7}}$$ Zadanie 11. (1pkt) Liczba \(2^{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[3]{2^5}\) jest równa: A) \(2^{\frac{20}{3}}\) B) \(2\) C) \(2^{\frac{4}{5}}\) D) \(2^3\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Pamiętając o tym, że \(\sqrt[3]{2^5}=(2^5)^\frac{1}{3}=2^{\frac{5}{3}}\) możemy całość obliczyć w następujący sposób: $$2^{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[3]{2^5}=2^{\frac{4}{3}}\cdot2^{\frac{5}{3}}= \\ =2^{\frac{4}{3}+\frac{5}{3}}=2^{\frac{9}{3}}=2^3$$ Zadanie 12. (1pkt) Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa: A) \(\sqrt[6]{3}\) B) \(\sqrt[4]{3}\) C) \(\sqrt[3]{3}\) D) \(\sqrt{3}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Aby obliczyć ten przykład to najprościej jest zamienić wszystkie pierwiastki na odpowiednie potęgi: $$\sqrt[3]{3\sqrt{3}}=\left(3^{1}\cdot3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}= \\ =3^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$ Zadanie 13. (1pkt) Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa: A) \(\sqrt[3]{52}\) B) \(3\) C) \(2\sqrt[3]{2}\) D) \(2\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź C Wyjaśnienie: Musimy rozbić liczbę \(54\) na takie dwa czynniki, aby z jednego z nich dało się wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia. Zatem: $$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27\cdot2}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$ Zadanie 14. (1pkt) Liczba \(\left(\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)^2\) jest równa: A) \(4\) B) \(9\) C) \(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\) D) \(4+2\sqrt{3}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Rozwiązanie tego zadania będzie znacznie prostsze, kiedy potęgę znajdującą się na końcu liczby rozpiszemy jako oddzielnie potęgowanie licznika i mianownika: $$\left(\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{(3+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{3})^2}$$ W liczniku posłużymy się teraz wzorem skróconego mnożenia, zatem całość obliczeń będzie wyglądać następująco: $$\frac{(3+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{3})^2}=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{3}=\frac{12+6\sqrt{3}}{3}=4+2\sqrt{3}$$ Zadanie 15. (1pkt) Wskaż równość prawdziwą: A) \(-256^2=(-256)^2\) B) \(256^3=(-256)^3\) C) \(\sqrt{(-256)^2}=-256\) D) \(\sqrt[3]{-256}=-\sqrt[3]{256}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: W tym zadaniu należało przede wszystkim pamiętać o tym, że \(-a^2\) to nie jest to samo, co \((-a)^2\) oraz o tym, że liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, a podniesiona do potęgi nieparzystej daje wynik ujemny. Prawidłową zależnością jest jedynie ta opisana w ostatniej odpowiedzi, czyli \(\sqrt[3]{-256}=-\sqrt[3]{256}\). Pozostałe są błędne, bo: $$(-256)^2=256^2 \\ (-256)^3=-256^3 \\ \sqrt{(-256)^2}=256$$ Zadanie 16. (1pkt) Ułamek \(\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\) jest równy: A) \(1\) B) \(-1\) C) \(7+4\sqrt{5}\) D) \(9+4\sqrt{5}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Nie możemy ot tak skrócić sobie licznika z mianownikiem, bo między liczbami stoją znaki dodawania/odejmowania. Musimy tak naprawdę wymnożyć licznik i mianownik przez wartość \(\sqrt{5}+2\), pobywając się w ten sposób niewymierności w mianowniku. Zatem: $$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{(\sqrt{5}+2)\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)}= \\ =\frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4}=9+4\sqrt{5}$$
Fajne zadania, do wytłumaczenia Młodemu materiału, z którego kuleje. Dzięki wielkie!