Pomnożenie przez √5-2 nic nam nie da (możesz spróbować), gdyż cały czas będzie nam się plątał ten pierwiastek po mianowniku.
W takich sytuacjach zmieniamy znak wewnątrz wyrażenia i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a-b)=a^2-b^2, który pozwoli nam skutecznie pozbyć się pierwiastka ;)
BigDuck
w zad 4 mogłabym poprosić o dokładniejsze wytłumaczenie jak 25 zamienia się na 5 x 5podpierwiastkiem x 5podpierwiastkiem, próbowałam na różne sposoby robić zadanie i za każdym razem nie wychodzi mi poprawna odpowiedź. bo z mojego rozumowania 25 to tylko pierwiastek z 5
25 to 5*5, to wiadomo :) Teraz jedną „piątkę” zamieniamy sobie na mnożenie √5*√5 i mamy to, co jest właśnie podane w rozwiązaniu :) Rozpisując to tak ładniej: 25=5*5=5*√5*√5
skad mamy wiedziec zeby zamienic sobie jedna piatke na :pierwiastek z 5 razy pierwiastek z 5? Na logike wychodzi odpowiedz A jak wiekszosci piszacych. Bo w liczniku dodajemy potegi 3+2 z podstawy 5.
Chcemy skrócić licznik z mianownikiem, więc musimy coś zrobić, by w liczniku tę wartość √5 uzyskać. No a jednym ze sposobów będzie właśnie rozpisanie 5 jako √5*√5.
Ewentualnie możemy zrobić to tak, że w liczniku mamy 5^3 razy 5^2 czyli 5^5, a w mianowniku mamy 5^{1/2}. Czyli będziemy mieć 5^5 dzielone przez 5^{1/2}, co daje 5^{4 i 1/2}, czyli 5^4 razy 5^{1/2}, czyli właśnie 5^4 razy √5.
maraska08
W zadaniu nr 5 dlaczego jest 2√3+2/2= √3+1 a nie np √3+2
W liczniku mamy dodawanie, więc jeśli skracamy licznik z mianownikiem, to skrócić musimy KAŻDY składnik! Gdyby tam między 2√3 oraz 2 było mnożenie, to wynik byłby taki jak mówisz ;)
Jak 2^3 skracasz z 2, to otrzymasz 2^2 :)
Zobacz: 2^3 to 2*2*2 i chcesz to podzielić przez 2, czyli otrzymasz 2*2, czyli 2^2
grosek10
Totalnie nie czaje zadania 4.
Jeżeli mam 5 do 3 i 25 zamienię na 5 do 2, to mnożąc przez siebie te 2 potęgi wyjdzie mi 5 do 5.
5 do potęgi 5 i mianownik czyli pierwiastek z 5 wymnażam przez pierwiastek z 5 żeby skrócić mianownik i wychodzi mi 5 do potęgi 5 pierwiastka z 5.
Jak wymnożysz licznik i mianownik przez √5, to licznik będzie równy tak jak napisałeś, czyli 5 do potęgi 5 pierwiastka z 5, a w mianowniku będziemy mieć 5 :) No i teraz skracając licznik z mianownikiem otrzymamy dokładnie tą samą odpowiedź :)
Cieszę się, że mogłem pomóc :) Błędy rachunkowe zdarzają się każdemu, dlatego zawsze zachęcam do tego, by na sprawdzianach lub maturze rozpisywać sobie wszystko jak najdokładniej się da (czasem może nawet przesadnie dokładnie :D).
AM
Super strona … matura blisko a dzięki tej stronie czuję się pewniejsza
SK
A ja mam pytanie do zadania 12, w jaki sposób z tego pierwiastka pojawiło nam się (3^1⋅3^1/2)^1/3
Kłania się tutaj zamiana pierwiastków na potęgi – pamiętaj, że np. √3 to 3 do potęgi 1/2. Dodatkowo 3 możemy zapisać sobie jako 3^1 i stąd też pod dużym pierwiastkiem mamy tak naprawdę mnożenie 3^1 razy 3^1/2. A że ten duży pierwiastek jest trzeciego stopnia, no to pozbywając się go, musimy całość podnieść do potęgi 1/3 ;)
Przepraszam, ale mam pytanie do zadania 14, ponieważ wyszło mi 9, a ta odpowiedź jest nieprawidłowa. Dlaczego nie można √3 zamienić na 3½ i skorzystać z tej własności? (3¹ + 3½)² przez 3½, później odjąć potęgi czyli (3^3/2 – 1/2)² = 3² =9
Co robię źle?
Pomysł na rozwiązanie jest teoretycznie dobry, ale popełniasz kluczowy błąd rachunkowy ;) 3^1+3^1/2 to nie jest 3^3/2. Wykładniki potęg dodajemy tylko wtedy, gdy mamy mnożenie potęg, a nie dodawanie! :) Krótko mówiąc gdyby tam było 3^1 razy 3^1/2, to wtedy faktycznie byłoby to równe 3^3/2.
Faktycznie! Nie zwróciłam na to uwagi. Dziękuję bardzo za pomoc!
Krycha
Nie spodziewałem się takich zadań , ale miałem licząc w % to 93%
Wiki2021
Mam pytanie, skąd się bierze -2 w zadaniu 9, może jestem ślepa ale rozkminiam to i nie mogę rozkminić ;) Już wiem nie wiem jakim cudem zupełnie coś innego mi wychodziło
Pierwiastek piątego stopnia z -32 to właśnie -2 :)
kanyafa
Jak zamieniono w pierwszym zadaniu pierwiastek trzeciego stopnia z minus jednej ósmej na ułamek z minus jednej drugiej? Nie widzę tutaj żadnej koleracji.
Pod pierwiastkiem mamy -8 do potęgi -1. Ujemna potęga oznacza, że musimy daną liczbę odwrócić, a odwrotnością -8 jest -1/8, stąd też właśnie to ona jest potem pod pierwiastkiem. No a pierwiastek trzeciego stopnia z -1/8 to właśnie -1/2 :)
Tak, cały licznik musimy podzielić przez 3. W liczniku jest dodawanie, więc dzielimy 12 przez 3 i dzielimy 6√3 przez 3 :)
W 16 zwróć uwagę, że mamy tam tak naprawdę wzór skróconego mnożenia (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 i właśnie stąd wyjdzie m.in. 4√5 :)
badbcatha
Hej! Mam pytanie odnośnie zadania 5. Przy usuwaniu niewymierności, wszystko rozumiem do momentu rozwiązania. Dlaczego z zapisu 2+2√3/ 2 wyszło nagle √3+1?
Musimy podzielić przez 2 wszystkie składniki z licznika (bo mamy dodawanie), czyli przez 2 musimy podzielić zarówno 2 jak i 2√3. Skoro więc 2:2=1 oraz 2√3:3, no to mamy 1+√3 lub zapisując to ładniej √3+1 :)
Nataro
Fajny sposób do nauki materiału, wszystko łatwo wyjaśnione bez niepotrzebnego komplikowania. Bardzo dziękuję tej stronce, że jestem w stanie zdobyć 5 ze dużych wymagań matematyczki.
Anonim
Co do wyjaśnień w zadaniu 5, jak z 2√3+2/2 zrobiło się √3+1? Ta 2 w mianowniku dzieli wszystkie dwójki w liczniku czy jest ona jakby jednorazowa?
W liczniku masz dodawanie, więc chcąc skrócić ten ułamek, musisz przez 2 podzielić każdy składnik tego dodawania :) I wtedy 2√3:2 daje √3, a 2:2 daje 1, stąd też mamy √3+1 :)
Nikcc
Dlaczego √3+1–√3+1=2, a nie 1??? Prosze o odpowiedź
Jak widać, pierwiastki tak naprawdę nam znikną i z tego całego działania zostaje 1+1, czyli właśnie 2 :)
Abaddon
Cześć, mam pytanie co do zadania 15. Dlaczego -a^2 to nie to samo, co (-a)^2? Wiem, że to są podstawy, ale nigdzie nie potrafię znaleźć odpowiedzi. Robi Pan świetną robotę z tą stroną, bardzo dziękuję!
Tłumaczę to dość dobrze w swoim kursie i to już w sumie w pierwszej lekcji, także polecam: https://szaloneliczby.pl/kurs-maturalny-matematyka-poziom-podstawowy/ jeśli jeszcze nie korzystasz :) Chodzi tutaj o to, że jak mamy -a^2 to mamy tak naprawdę działanie -a*a, natomiast (-a)^2 to jest działanie (-a)*(-a). Mówiąc wprost, jest to kwestia tego co dany zapis reprezentuje. Analogicznie -5^2 to jest -5*5=-25, natomiast (-5)^2 to będzie (-5)*(-5)=25 :)
Wow, bardzo dziękuję za szybką i wyczerpującą odpowiedź. Ciekawe, zawsze myślałem, że -a^2 to właśnie (-a)*(-a). Podziwiam, że się Panu chce tak tłumaczyć.
Kursu nie wykupiłem, bo mam problem ze słuchem; domyślam się, że pewnie nie ma tam napisów, także póki co próbuję się uczyć na własną rękę. Ale chyba jednak wykupię dostęp do Pana lekcji i puszczę z głośnika prosto przy uchu :P
Cieszę się, że mogłem rozwiać wątpliwości! :) Lubię pomagać, właśnie dlatego powstała ta strona, więc nie ma co się bać pytać – jak będę umiał pomóc to chętnie pomogę :)
Angi987
mam pytanie, skąd w zadaniu 14 : jest 6 pierwiastków z 3?
Ale 3+√3 podniesione do kwadratu to nie będzie 9+3! :) Tu się kłaniają wzory skróconego mnożenia :) Ze wzorów wynika, że (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 i dlatego otrzymałeś błędny wynik ;)
wiktoriawiki
W zadaniu 10 w kroku drugim dlaczego tak wygląda mianownik?
Chcemy dodać do siebie dwa ułamki, więc musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka pomnożyłem przez 3, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez pierwiastek z 7 ;)
Matura 2024
Zadania z tej strony przypominają mi wszystko od a do z. Dziękuję!
Andrzej
Bardzo pomocne materiały dydaktyczne, pozdrawiam
Uczeń
Zadanie nr 2 dało się zrobić w jeszcze prostszy i szybszy sposób – podzielić odrazu licznik przez mianownik, zatem zostaje: pierwiastek z 25 minus pierwiastek z 9, równa się: 5 minus 3, równa się: 2.
Zgadza się ;) Tak w dużej mierze to właśnie to moje rozwiązanie opiera się na tym co napisałeś ;) W ogóle jest to bardzo fajny przykład, bo jest tu naprawdę sporo fajnych dróg do rozwiązania tego działania.
Borys
W zadaniu 15, równanie -a^2=(-a)^2 jest prawdziwe według kalkulatora, równanie „A” także. proszę o lepsze wyjaśnienie lub jakiś dowód.
Przykładowo -3^2 oznacza, że do kwadratu podnosimy tylko 3, a minus z przodu przepisujemy, czyli mamy -3*3=-9. Natomiast (-3)^2 oznacza, że do kwadratu podnosimy -3, czyli mamy wtedy (-3)*(-3)=9. Są to więc dwa różne wyniki ;) Na kalkulatorze naukowym jak poprawnie wpiszesz te dwa przykłady to też otrzymasz różne wyniki.
Fajne zadania, do wytłumaczenia Młodemu materiału, z którego kuleje. Dzięki wielkie!
mam pytanie w zadaniu 16. dlaczego usuwamy niewymierność z mianownika √5+2, a nie √5-2?
Pomnożenie przez √5-2 nic nam nie da (możesz spróbować), gdyż cały czas będzie nam się plątał ten pierwiastek po mianowniku.
W takich sytuacjach zmieniamy znak wewnątrz wyrażenia i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a-b)=a^2-b^2, który pozwoli nam skutecznie pozbyć się pierwiastka ;)
w zad 4 mogłabym poprosić o dokładniejsze wytłumaczenie jak 25 zamienia się na 5 x 5podpierwiastkiem x 5podpierwiastkiem, próbowałam na różne sposoby robić zadanie i za każdym razem nie wychodzi mi poprawna odpowiedź. bo z mojego rozumowania 25 to tylko pierwiastek z 5
25 to 5*5, to wiadomo :) Teraz jedną „piątkę” zamieniamy sobie na mnożenie √5*√5 i mamy to, co jest właśnie podane w rozwiązaniu :) Rozpisując to tak ładniej: 25=5*5=5*√5*√5
skad mamy wiedziec zeby zamienic sobie jedna piatke na :pierwiastek z 5 razy pierwiastek z 5? Na logike wychodzi odpowiedz A jak wiekszosci piszacych. Bo w liczniku dodajemy potegi 3+2 z podstawy 5.
Chcemy skrócić licznik z mianownikiem, więc musimy coś zrobić, by w liczniku tę wartość √5 uzyskać. No a jednym ze sposobów będzie właśnie rozpisanie 5 jako √5*√5.
Ewentualnie możemy zrobić to tak, że w liczniku mamy 5^3 razy 5^2 czyli 5^5, a w mianowniku mamy 5^{1/2}. Czyli będziemy mieć 5^5 dzielone przez 5^{1/2}, co daje 5^{4 i 1/2}, czyli 5^4 razy 5^{1/2}, czyli właśnie 5^4 razy √5.
W zadaniu nr 5 dlaczego jest 2√3+2/2= √3+1 a nie np √3+2
W liczniku mamy dodawanie, więc jeśli skracamy licznik z mianownikiem, to skrócić musimy KAŻDY składnik! Gdyby tam między 2√3 oraz 2 było mnożenie, to wynik byłby taki jak mówisz ;)
Ale skrócić wszystkie składniki ? 2^3 skracam z 2 = ^3+2 Nie rozumiem tego… :(
Jak 2^3 skracasz z 2, to otrzymasz 2^2 :)
Zobacz: 2^3 to 2*2*2 i chcesz to podzielić przez 2, czyli otrzymasz 2*2, czyli 2^2
Totalnie nie czaje zadania 4.
Jeżeli mam 5 do 3 i 25 zamienię na 5 do 2, to mnożąc przez siebie te 2 potęgi wyjdzie mi 5 do 5.
5 do potęgi 5 i mianownik czyli pierwiastek z 5 wymnażam przez pierwiastek z 5 żeby skrócić mianownik i wychodzi mi 5 do potęgi 5 pierwiastka z 5.
Jak wymnożysz licznik i mianownik przez √5, to licznik będzie równy tak jak napisałeś, czyli 5 do potęgi 5 pierwiastka z 5, a w mianowniku będziemy mieć 5 :) No i teraz skracając licznik z mianownikiem otrzymamy dokładnie tą samą odpowiedź :)
Tuman ze mnie… muszę wolniej liczyć. Dzięki bardzo!
Cieszę się, że mogłem pomóc :) Błędy rachunkowe zdarzają się każdemu, dlatego zawsze zachęcam do tego, by na sprawdzianach lub maturze rozpisywać sobie wszystko jak najdokładniej się da (czasem może nawet przesadnie dokładnie :D).
Super strona … matura blisko a dzięki tej stronie czuję się pewniejsza
A ja mam pytanie do zadania 12, w jaki sposób z tego pierwiastka pojawiło nam się (3^1⋅3^1/2)^1/3
Kłania się tutaj zamiana pierwiastków na potęgi – pamiętaj, że np. √3 to 3 do potęgi 1/2. Dodatkowo 3 możemy zapisać sobie jako 3^1 i stąd też pod dużym pierwiastkiem mamy tak naprawdę mnożenie 3^1 razy 3^1/2. A że ten duży pierwiastek jest trzeciego stopnia, no to pozbywając się go, musimy całość podnieść do potęgi 1/3 ;)
Dziękuje bardzo, już rozumiem!:)
Przepraszam, ale mam pytanie do zadania 14, ponieważ wyszło mi 9, a ta odpowiedź jest nieprawidłowa. Dlaczego nie można √3 zamienić na 3½ i skorzystać z tej własności? (3¹ + 3½)² przez 3½, później odjąć potęgi czyli (3^3/2 – 1/2)² = 3² =9
Co robię źle?
Pomysł na rozwiązanie jest teoretycznie dobry, ale popełniasz kluczowy błąd rachunkowy ;) 3^1+3^1/2 to nie jest 3^3/2. Wykładniki potęg dodajemy tylko wtedy, gdy mamy mnożenie potęg, a nie dodawanie! :) Krótko mówiąc gdyby tam było 3^1 razy 3^1/2, to wtedy faktycznie byłoby to równe 3^3/2.
Faktycznie! Nie zwróciłam na to uwagi. Dziękuję bardzo za pomoc!
Nie spodziewałem się takich zadań , ale miałem licząc w % to 93%
Mam pytanie, skąd się bierze -2 w zadaniu 9, może jestem ślepa ale rozkminiam to i nie mogę rozkminić ;) Już wiem nie wiem jakim cudem zupełnie coś innego mi wychodziło
Pierwiastek piątego stopnia z -32 to właśnie -2 :)
Jak zamieniono w pierwszym zadaniu pierwiastek trzeciego stopnia z minus jednej ósmej na ułamek z minus jednej drugiej? Nie widzę tutaj żadnej koleracji.
Pod pierwiastkiem mamy -8 do potęgi -1. Ujemna potęga oznacza, że musimy daną liczbę odwrócić, a odwrotnością -8 jest -1/8, stąd też właśnie to ona jest potem pod pierwiastkiem. No a pierwiastek trzeciego stopnia z -1/8 to właśnie -1/2 :)
te zadania są zbiorem z ostatnich matur?
Tak, wszystkie zadania są z matur :)
w zadaniu 15 jest dobrze wyjaśnienie a inna (błędna odpowiedź zaznaczona)
Hmm, ale z wyjaśnienia wynika, że prawidłowa jest ostatnia odpowiedź i taka też jest zaznaczona ;)
Nie rozumiem ostatecznego wyniku w zadaniu 14, jak to zostało rozwiązane? Dzieląc przez 3?
I w zadaniu 16 skąd wzięło się 4 pierwiastki z 5?
Tak, cały licznik musimy podzielić przez 3. W liczniku jest dodawanie, więc dzielimy 12 przez 3 i dzielimy 6√3 przez 3 :)
W 16 zwróć uwagę, że mamy tam tak naprawdę wzór skróconego mnożenia (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 i właśnie stąd wyjdzie m.in. 4√5 :)
Hej! Mam pytanie odnośnie zadania 5. Przy usuwaniu niewymierności, wszystko rozumiem do momentu rozwiązania. Dlaczego z zapisu 2+2√3/ 2 wyszło nagle √3+1?
Musimy podzielić przez 2 wszystkie składniki z licznika (bo mamy dodawanie), czyli przez 2 musimy podzielić zarówno 2 jak i 2√3. Skoro więc 2:2=1 oraz 2√3:3, no to mamy 1+√3 lub zapisując to ładniej √3+1 :)
Fajny sposób do nauki materiału, wszystko łatwo wyjaśnione bez niepotrzebnego komplikowania. Bardzo dziękuję tej stronce, że jestem w stanie zdobyć 5 ze dużych wymagań matematyczki.
Co do wyjaśnień w zadaniu 5, jak z 2√3+2/2 zrobiło się √3+1? Ta 2 w mianowniku dzieli wszystkie dwójki w liczniku czy jest ona jakby jednorazowa?
W liczniku masz dodawanie, więc chcąc skrócić ten ułamek, musisz przez 2 podzielić każdy składnik tego dodawania :) I wtedy 2√3:2 daje √3, a 2:2 daje 1, stąd też mamy √3+1 :)
Dlaczego √3+1–√3+1=2, a nie 1??? Prosze o odpowiedź
Jak widać, pierwiastki tak naprawdę nam znikną i z tego całego działania zostaje 1+1, czyli właśnie 2 :)
Cześć, mam pytanie co do zadania 15. Dlaczego -a^2 to nie to samo, co (-a)^2? Wiem, że to są podstawy, ale nigdzie nie potrafię znaleźć odpowiedzi. Robi Pan świetną robotę z tą stroną, bardzo dziękuję!
Tłumaczę to dość dobrze w swoim kursie i to już w sumie w pierwszej lekcji, także polecam: https://szaloneliczby.pl/kurs-maturalny-matematyka-poziom-podstawowy/ jeśli jeszcze nie korzystasz :) Chodzi tutaj o to, że jak mamy -a^2 to mamy tak naprawdę działanie -a*a, natomiast (-a)^2 to jest działanie (-a)*(-a). Mówiąc wprost, jest to kwestia tego co dany zapis reprezentuje. Analogicznie -5^2 to jest -5*5=-25, natomiast (-5)^2 to będzie (-5)*(-5)=25 :)
Wow, bardzo dziękuję za szybką i wyczerpującą odpowiedź. Ciekawe, zawsze myślałem, że -a^2 to właśnie (-a)*(-a). Podziwiam, że się Panu chce tak tłumaczyć.
Kursu nie wykupiłem, bo mam problem ze słuchem; domyślam się, że pewnie nie ma tam napisów, także póki co próbuję się uczyć na własną rękę. Ale chyba jednak wykupię dostęp do Pana lekcji i puszczę z głośnika prosto przy uchu :P
Cieszę się, że mogłem rozwiać wątpliwości! :) Lubię pomagać, właśnie dlatego powstała ta strona, więc nie ma co się bać pytać – jak będę umiał pomóc to chętnie pomogę :)
mam pytanie, skąd w zadaniu 14 : jest 6 pierwiastków z 3?
Wzory skróconego mnożenia się kłaniają! :) (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, stąd też (3+√3)^2 jest równe 3^2+2*3*√3+(√3)^2, co daje nam 9+6√3+3 :)
nie rozumiem zadania 16 proszę o wyjaśnienie. ;)
To jest po prostu związane z usuwaniem niewymierności z mianownika :) Bardzo dobrze opisuję to tutaj: https://szaloneliczby.pl/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika/
pytanie co do zadania 14. Bo wyszedł mi wynik 4. Czemu nie można 3 + √3 podnieść do potęgi? Wtedy wychodzi 9 + 3
Ale 3+√3 podniesione do kwadratu to nie będzie 9+3! :) Tu się kłaniają wzory skróconego mnożenia :) Ze wzorów wynika, że (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 i dlatego otrzymałeś błędny wynik ;)
W zadaniu 10 w kroku drugim dlaczego tak wygląda mianownik?
Chcemy dodać do siebie dwa ułamki, więc musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka pomnożyłem przez 3, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez pierwiastek z 7 ;)
Zadania z tej strony przypominają mi wszystko od a do z. Dziękuję!
Bardzo pomocne materiały dydaktyczne, pozdrawiam
Zadanie nr 2 dało się zrobić w jeszcze prostszy i szybszy sposób – podzielić odrazu licznik przez mianownik, zatem zostaje: pierwiastek z 25 minus pierwiastek z 9, równa się: 5 minus 3, równa się: 2.
Zgadza się ;) Tak w dużej mierze to właśnie to moje rozwiązanie opiera się na tym co napisałeś ;) W ogóle jest to bardzo fajny przykład, bo jest tu naprawdę sporo fajnych dróg do rozwiązania tego działania.
W zadaniu 15, równanie -a^2=(-a)^2 jest prawdziwe według kalkulatora, równanie „A” także. proszę o lepsze wyjaśnienie lub jakiś dowód.
Przykładowo -3^2 oznacza, że do kwadratu podnosimy tylko 3, a minus z przodu przepisujemy, czyli mamy -3*3=-9. Natomiast (-3)^2 oznacza, że do kwadratu podnosimy -3, czyli mamy wtedy (-3)*(-3)=9. Są to więc dwa różne wyniki ;) Na kalkulatorze naukowym jak poprawnie wpiszesz te dwa przykłady to też otrzymasz różne wyniki.