Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Marzec 2021 – Odpowiedzi

B

Krok 1. Weryfikacja pierwszej informacji.
Uczniowie, którzy wybrali liceum, technikum lub szkołę zawodową stanowią łącznie \(56\%+24\%+16\%=96\%\) uczestników ankiety. To oznacza, że uczniowie niezdecydowani stanowią \(100\%-96\%=4\%\), a takich uczniów (zgodnie z treścią wiadomości nad wykresem) było \(6\). Możemy więc ułożyć prostą proporcję i zapisać, że:
Skoro \(4\%\) ankietowanych to \(6\) uczniów
To \(100\%\) ankietowanych to \(150\) uczniów

To oznacza, że pierwsza informacja jest jak najbardziej do odczytania z treści artykułu.

Krok 2. Weryfikacja drugiej informacji.
Z treści artykułu nigdzie nie wynika, że w ankiecie wzięli udział wszyscy uczniowie klas ósmych.

Krok 3. Weryfikacja trzeciej informacji.
Do technikum lub szkoły branżowej planuje iść \(24\%+16\%=40\%\) uczniów, co faktycznie stanowi mniej niż połowę uczniów biorących udział w ankiecie.

To oznacza, że jedynie I oraz III informacja wynika z analizy treści artykułu.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Skoro mamy \(186\) pudełek, a w każdym z nich jest \(6\) piłek, to łącznie wszystkich piłek mamy:
$$186\cdot6=1116$$

Musimy teraz określić, czy liczba spakowanych piłek jest podzielna przez \(4\). Liczba jest podzielna przez \(4\) wtedy, gdy dwie ostatnie cyfry są równe \(00\) lub gdy tworzą liczbę podzielną przez \(4\). W przypadku naszej liczby dwie ostatnie cyfry to \(16\), a wiemy, że \(16\) jest podzielne przez \(4\). To oznacza, że liczba \(1116\) jest podzielna przez \(4\), zatem zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy już, że jest \(1116\) piłek. Chcemy teraz się dowiedzieć, czy ta liczba jest podzielna przez \(9\). Dana liczba jest podzielna przez \(9\) tylko wtedy, gdy suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez \(9\). Suma cyfr liczby \(1116\) jest równa:
$$1+1+1+6=9$$

Widzimy więc, że suma cyfr jest podzielna przez \(9\), więc cała liczba \(1116\) jest podzielna przez \(9\). To oznacza, że zdanie jest prawdą.

D

Pierwsza nierówność jest nieprawdziwa - kiedy dwa ułamki mają jednakowy mianownik (a tak jest w tym przypadku) to większy jest ten, który ma większy licznik.
Druga nierówność jest nieprawdziwa, ponieważ \(\frac{5}{4}+\frac{5}{2}=\frac{5}{4}+\frac{10}{4}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\)
Trzecia nierówność jest nieprawdziwa, ponieważ \(\frac{13}{17}\cdot3=\frac{39}{17}\)
Czwarta nierówność jest prawdziwa - kiedy dwa ułamki mają jednakowy licznik (a tak jest w tym przypadku) to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik.

A

Obliczmy wartość każdego z tych wyrażeń:
\(6\cdot1\frac{2}{3}=6\cdot\frac{5}{3}=\frac{30}{3}=10\)
\(6:1,2=60:12=5\)
\(7,25-2\frac{1}{4}=7,25-2,25=5\)

Wartość całkowitą otrzymaliśmy w każdym z tych trzech wyrażeń.

C

Krok 1. Obliczenie długości trwania zajęć.
Zajęcia trwały od \(17:45\) do \(19:05\), a więc trwały one \(1\) godzinę i \(20\) minut, czyli \(80\) minut.

Krok 2. Obliczenie długości trwania jednej części.
Wiemy, że przerwa stanowiła \(10\) minut z tych \(80\). To oznacza, że obydwie części zajęć (bez przerwy) trwały łącznie \(80-10=70\) minut. Każda część trwała tyle samo minut, więc pojedyncza część trwała \(70:2=35\) minut.

Krok 3. Obliczenie, kiedy zaczęła się druga część.
Zajęcia rozpoczęły się o godzinie \(17:45\). Pierwsza część trwała \(35\) minut, więc trwała do godziny \(18:20\). Nie jest to jednak jeszcze czas rozpoczęcia drugiej części, bo mieliśmy \(10\) minut przerwy, zatem druga część rozpoczęła się o godzinie \(18:30\).

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Rozpiszmy sobie jak zmieniała się cena laptopa:
\(x\) - początkowa cena laptopa
\(0,85x\) - cena laptopa po pierwszej obniżce
\(0,85x-150\) - cena laptopa po drugiej obniżce

Z treści zadania wiemy, że po obu obniżkach laptop kosztuje \(2400zł\), więc możemy zapisać, że:
$$0,85x-150=2400 \\
0,85x=2550 \\
x=3000$$

To oznacza, że początkowa cena laptopa wynosiła \(3000zł\). Pierwsze zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Tu już bez obliczeń powinniśmy dostrzec, że to zdanie jest fałszem, ponieważ już po pierwszej obniżce o \(15\%\) cena laptopa stanowiła \(85\%\) ceny początkowej, a po niej nastąpiła jeszcze kolejna obniżka.

Możemy jednak samodzielnie obliczyć jakim procentem ceny początkowej jest cena po obu obniżkach. Skoro cena końcowa jest równa \(2400zł\), a cena początkowa wynosiła \(3000zł\), to otrzymamy:
$$\frac{2400}{3000}\cdot100\%=0,8\cdot100\%=80\%$$

Zdanie jest więc fałszem.

D

Z działań na potęgach wiemy, że \(6^8=2^8\cdot3^8\). Skoro tak, to:
$$\frac{6^8}{2^4}=\frac{2^8\cdot3^8}{2^4}=\frac{2^8}{2^4}\cdot3^8=2^{8-4}\cdot3^8=2^4\cdot3^8$$

B, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Nie możemy obliczyć oddzielnie pierwiastka z \(1\) i pierwiastka z \(\frac{25}{144}\), a potem tych wartości do siebie dodać! Liczby po pierwiastkiem musimy do siebie dodać, a dopiero potem obliczymy wartość pierwiastka:
$$\sqrt{1+\frac{25}{144}}=\sqrt{\frac{144}{144}+\frac{25}{144}}=\sqrt{\frac{169}{144}}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Analogicznie postępujemy w tym drugim przykładzie:
$$\sqrt[3]{3+\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{\frac{24}{8}+\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$$

Tak C,

Krok 1. Obliczenie prawdopodobieństwa przed dołożeniem losów.
Na początku mieliśmy \(120\) losów, w tym \(80\) wygrywających. Prawdopodobieństwo wygranej było więc równe \(\frac{80}{120}=\frac{2}{3}\).

Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa po dołożeniu losów.
Po dołożeniu \(20\) losów wygrywających i \(20\) przegrywających mamy łącznie \(120+20+20=160\) losów. Losów wygrywających jest teraz \(80+20=100\). To oznacza, że prawdopodobieństwo wygranej wynosi teraz \(\frac{100}{160}=\frac{5}{8}\).

To oznacza, że prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego się zmieniło, ponieważ zmienił się stosunek liczby losów wygrywających do liczby wszystkich losów.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Aby określić, czy zdanie jest prawdziwe, możemy po prostu obliczyć ile jest przekątnych w dwunastokącie i czworokącie. W tym celu do wzoru \(k=\frac{n(n-3)}{2}\) musimy podstawić najpierw \(n=12\), a potem \(n=4\), otrzymując:
Dwunastokąt wypukły:
$$k_{12}=\frac{12\cdot(12-3)}{2} \\
k_{12}=\frac{12\cdot9}{2} \\
k_{12}=6\cdot9 \\
k_{12}=54$$

Czworokąt wypukły:
$$k_{4}=\frac{4\cdot(4-3)}{2} \\
k_{4}=\frac{4\cdot1}{2} \\
k_{4}=\frac{4}{2} \\
k_{4}=2$$

Zdanie jest więc fałszem, bo liczba przekątnych w dwunastokącie wypukłym jest \(27\) razy większa.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Analogicznie jak w przypadku pierwszego zdania - musimy tym razem podstawić do wzoru \(n=8\) oraz \(n=6\), otrzymując:
Ośmiokąt wypukły:
$$k_{8}=\frac{8\cdot(8-3)}{2} \\
k_{8}=\frac{8\cdot5}{2} \\
k_{8}=\frac{40}{2} \\
k_{8}=20$$

Sześciokąt wypukły:
$$k_{6}=\frac{6\cdot(6-3)}{2} \\
k_{6}=\frac{6\cdot3}{2} \\
k_{6}=\frac{18}{2} \\
k_{6}=9$$

Tym razem zdanie jest prawdą, bo faktycznie liczba przekątnych ośmiokąta wypukłego jest o \(11\) większa.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wiemy, że podstawy wszystkich figur są jednakowe. To, co różni równoległobok \(P\) od równoległoboku \(R\) to jedynie wysokość. Z treści zadania możemy wywnioskować, że wysokość równoległoboku \(R\) jest dwa razy większa od \(P\). To oznacza, że pole równoległoboku \(R\) musi być dwa razy większe od pola równoległoboku \(P\). Jeżeli więc pole równoległoboku \(P\) jest równe \(4\), to pole równoległoboku \(R\) jest równe \(8\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy, że pole równoległoboku obliczamy ze wzoru \(P=ah\), natomiast pole trójkąta ze wzoru \(P=\frac{1}{2}ah\).

Z treści zadania wynika, że podstawy figury \(P\) oraz \(S\) są jednakowe, za to wysokość trójkąta jest dwa razy wyższa (czyli możemy przyjąć, że wysokość trójkąta to \(2h\)). Skoro tak, to pole trójkąta \(S\) będziemy mogli zapisać jako \(P=\frac{1}{2}a\cdot2h=ah\).

Widzimy więc, że otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak wzór na pole równoległoboku, a to prowadzi nas do wniosku, że figury \(P\) oraz \(S\) mają jednakowe pola powierzchni. Pole trójkąta \(S\) będzie więc równe \(4\), zatem zdanie jest prawdą.

A

Z treści zadania wynika, że miary kątów możemy zapisać jako \(2α, 3a, 7α\). Suma miar kątów w trójkącie musi być równa \(180°\), zatem:
$$2α+3α+7α=180° \\
12α=180° \\
α=15°$$

Miara największego kąta jest równa \(7α\), zatem ten kąt ma miarę \(7\cdot15°=105°\). Jest to kąt rozwarty, a to oznacza, że nasz trójkąt jest rozwartokątny.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Prostokąt \(EFCD\) ma boki o długości \(11cm\) oraz \(2cm\), zatem jego pole będzie równe:
$$P=11cm\cdot2cm \\
P=22cm^2$$

Wiemy, że to pole stanowi \(\frac{2}{7}\) pola prostokąta \(ABCD\), zatem:
$$\frac{2}{7}P=22cm^2 \quad\bigg/\cdot\frac{7}{2} \\
P=77cm^2$$

Ewentualnie możemy skorzystać z prostej proporcji:
Skoro \(\frac{2}{7}\) pola to \(22cm^2\)
To \(\frac{1}{7}\) pola to \(11cm^2\)
Więc całe pole to \(77cm^2\)

To oznacza, że zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Bok \(EF\) ma długość \(11\), więc analogicznie i bok \(AB\) będzie mieć tą samą długość. Ustaliliśmy już, że pole prostokąta \(ABCD\) wynosi \(77cm^2\). Korzystając ze wzoru na pole prostokąta możemy więc zapisać, że drugi bok tej figury ma długość:
$$P=ab \\
77cm^2=11cm\cdot b \\
b=7cm$$

To oznacza, że odcinek \(AD\) ma długość \(7cm\). Skoro więc odcinek \(ED\) ma długość \(2cm\), to odcinek \(AE\) ma długość \(7cm-2cm=5cm\). Zdanie jest więc fałszem.

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z własności rombów wiemy, że ma on dwie przekątne o różnej długości, które przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym. Skoro tak, to zajdzie nam taka oto sytuacja:


Krok 2. Obliczenie długości drugiej przekątnej rombu.
Widzimy, że na rysunku utworzył nam się trójkąt prostokątny, zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$15^2+x^2=17^2 \\
225+x^2=289 \\
x^2=64 \\
x=8$$

Obliczona długość stanowi \(\frac{1}{2}\) długości drugiej przekątnej rombu, zatem cała przekątna ma długość \(2\cdot8=16\).

Krok 3. Obliczenie pola rombu.
Znamy już długości dwóch przekątnych, czyli \(e=30cm\) oraz \(f=16cm\). Pole rombu będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}ef \\
P=\frac{1}{2}\cdot30\cdot16 \\
P=15\cdot16 \\
P=240$$

C

Krok 1. Obliczenie liczby małych sześcianów o krawędzi \(1\).
Ustalmy najpierw ile powstało nam małych sześcianów o krawędzi \(1\). Najprościej będzie to dostrzec bazując na objętości brył. Sześcian o krawędzi \(1\) ma objętość \(V=1\cdot1\cdot1=1\). Sprawdźmy teraz jakie objętości mają dwa duże sześciany:

I sześcian ma objętość \(V=2\cdot2\cdot2=8\)
II sześcian ma objętość \(V=3\cdot3\cdot3=27\)

To oznacza, że ten pierwszy sześcian podzieli się na \(8\) małych sześcianów, a ten drugi na \(27\). Łącznie małych sześcianów będzie więc \(8+27=35\).

Krok 2. Ustalenie wymiarów prostopadłościanu.
Ustaliliśmy już, że mamy \(35\) małych sześcianów, co oznacza, że objętość naszej bryły jest równa \(35\). Objętość prostopadłościanu obliczamy ze wzoru \(V=abc\). Musimy teraz ustalić, jakie trzy liczby całkowite pomnożone przez siebie, dają wynik równy \(35\). Są tylko dwie możliwości: \(35\cdot1\cdot1\) oraz \(5\cdot7\cdot1\). Tą pierwszą sytuację musimy odrzucić, bo ona by oznaczała, że jedna ze ścian bocznych będzie kwadratem (a to jest wykluczone w treści zadania). Wniosek płynie z tego taki, że nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(a=5, b=7\) oraz \(c=1\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni możemy zapisać, że:
$$P=2ab+2ac+2bc \\
P=2\cdot5\cdot7+2\cdot5\cdot1+2\cdot7\cdot1 \\
P=70+10+14 \\
P=94$$

Udowodniono, korzystając z rozpisania wszystkich nagród z użyciem niewiadomej \(x\).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Przyjrzyjmy się ile pieniędzy otrzymał każdy z chłopców. Najprościej będzie przyjąć sobie, że Kamil dostał kwotę \(x\), co pozwoli nam to wszystko rozpisać w następujący sposób:
\(x\) - kwota, którą dostał Kamil
\(2\cdot x=2x\) - kwota, którą dostał Jędrek (bo dostał dwa razy więcej od Kamila)
\(2\cdot2x=4x\) - kwota, którą dostał Marcin (bo dostał dwa razy więcej od Jędrka)

Krok 2. Obliczenie łącznej puli nagród.
Korzystając z naszej rozpiski widzimy, ze cała pula nagród wyniosła:
$$x+2x+4x=7x$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że Kamil dostał \(x\) z puli \(7x\), a więc dostał on \(\frac{x}{7x}=\frac{1}{7}\) tej kwoty i właśnie to należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależności między zdobytymi nagrodami (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Ula idzie do szkoły drogą \(B\) o \(6\) minut krócej.

Krok 1. Obliczenie długości drogi \(B\).
Zacznijmy od obliczenia długości drogi \(B\) (czyli tej po ukosie). Z racji tego, iż na rysunku mamy trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$600^2+800^2=c^2 \\
360000+640000=c^2 \\
c^2=1000000 \\
c=1000$$

Wyszło nam, że długość drogi \(B\) jest równa \(1000m\), czyli \(1km\). Zamiana metrów na kilometry jest bardzo ważna, ponieważ prędkość mamy wyrażoną w \(\frac{km}{h}\).

Krok 2. Obliczenie czasu pokonania drogi \(A\).
Droga \(A\) ma długość \(800m+600m=1400m=1,4km\). Wiemy, że Ula porusza się z prędkością \(4\frac{km}{h}\), zatem korzystając ze wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\) możemy zapisać, że:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v}$$

Podstawiając teraz dane \(s=1,4km\) oraz \(v=4\frac{km}{h}\), otrzymamy:
$$t=\frac{1,4km}{4\frac{km}{h}} \\
t=0,35h$$

Krok 3. Obliczenie czasu pokonania drogi \(B\).
Analogicznie obliczymy czas pokonania drogi \(B\). Tutaj \(s=1km\) oraz \(v=4\frac{km}{h}\), zatem:
$$t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{1km}{4\frac{km}{h}} \\
t=0,25h$$

Krok 4. Obliczenie różnicy czasu.
Skoro drogę \(A\) pokonujemy w czasie \(0,35h\), a drogę \(B\) w czasie \(0,25h\), to różnica czasu wyniesie:
$$0,35h-0,25h=0,1h$$

Proszą nas o podanie tego czasu w minutach, a skoro jedna godzina to \(60\) minut, to:
$$0,1\cdot60min.=6min.$$

To oznacza, że Ula idzie do szkoły drogą \(B\) o \(6\) minut krócej.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz czas przejścia drogą \(A\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz czas przejścia drogą \(B\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz czas przejścia drogą \(A\) (patrz: Krok 2.) oraz czas przejścia drogą \(B\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

W kwiaciarni było \(16\) białych róż.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że róż czerwonych jest \(3\) razy więcej niż białych, zatem możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba róż białych
\(3x\) - liczba róż czerwonych

To oznacza, że w takim razie róż białych i czerwonych jest łącznie:
$$x+3x=4x$$

Krok 2. Zapisanie liczby róż, po zakupie Pana Nowaka.
Pan Nowak kupił \(40\) czerwonych róż. Zapisaliśmy sobie, że róż czerwonych jest \(3x\), więc po zakupie Pana Nowaka, tych czerwonych róż zostało \(3x-40\). Z treści zadania wiemy, że po zakupie Pana Nowaka, białych róż jest \(2\) razy więcej od czerwonych, czyli białych róż jest teraz:
$$2\cdot(3x-40)=6x-80$$

Krok 3. Obliczenie liczby białych róż.
Na początku zapisaliśmy sobie, że białych róż jest \(x\), a teraz wyszło nam, że jest ich \(6x-80\). Te wartości muszą być sobie równe, bo liczba białych róż się nie zmieniła, jest cały czas taka sama. Możemy więc zapisać, że:
$$x=6x-80 \\
-5x=-80 \\
x=16$$

To oznacza, że w kwiaciarni było \(16\) białych róż.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Obwód figury F wynosi \(66cm\).

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu \(ABCD\).
Skoro pole naszego kwadratu jest równe \(400cm^2\), to korzystając ze wzoru na pole kwadratu możemy zapisać, że:
$$P=a^2 \\
400cm^2=a^2 \\
a=20cm$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu \(K_{1}\).
Długość boku kwadratu \(K_{1}\) obliczymy dokładnie w ten sam sposób, co długość boku kwadratu \(ABCD\):
$$P=a^2 \\
49cm^2=a^2 \\
a=7cm$$

Krok 3. Obliczenie długości boku kwadratu \(K_{2}\).
Wiemy już, że duży kwadrat \(ABCD\) ma bok o długości \(20\), czyli że przykładowo odcinek \(|BC|=20cm\). Wiemy też, że kwadrat \(K_{1}\) ma długość boku \(7cm\). Jeżeli więc spojrzymy na bok \(BC\), to będziemy mogli wywnioskować, że kwadrat \(K_{2}\) ma bok o długości \(20-7=13\).


Krok 4. Obliczenie obwodu figury \(F\).
Spójrzmy na poniższy rysunek oraz na długości boków figury \(F\):


Z rysunku wynika, że obwód figury \(F\) będzie równy:
$$20cm+7cm+13cm+6cm+7cm+13cm=66cm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku kwadratu \(ABCD\) (patrz: Krok 1.) oraz \(K_{1}\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długości boków figury \(F\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.