Trójkąty – zadania (egzamin ósmoklasisty)

C

Zadanie można rozwiązać na wiele sposobów, ale spróbujmy to przeanalizować jak najbardziej matematycznie. Jeżeli stosunek długości boków ma być równy \(3:4:5\), to nasze odcinki muszą mieć długość \(3x\), \(4x\) oraz \(5x\). Krótko mówiąc - każdy kolejny bok musi być tyle samo razy większy od trójki, czwórki lub piątki.

Jeżeli więc pierwszy odcinek miałby mieć długość \(6\) (co jest wartością dwa razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(8\) (czyli dwa razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(10\) (czyli dwa razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(6,8,10\) są więc jak najbardziej poprawne.

Jeżeli pierwszy odcinek miałby mieć długość \(9\) (co jest wartością trzy razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(12\) (czyli trzy razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(15\) (czyli trzy razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(9,12,15\) są więc jak najbardziej poprawne.

Jeżeli pierwszy odcinek miałby mieć długość \(12\) (co jest wartością cztery razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(16\) (czyli cztery razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(20\) (czyli cztery razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(12,20,25\) są więc niepoprawne (powinno to być \(12,16,20\)).

Jeżeli pierwszy odcinek miałby mieć długość \(21\) (co jest wartością siedem razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(28\) (czyli siedem razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(35\) (czyli siedem razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(21,28,35\) są więc jak najbardziej poprawne.

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Żeby trójkąt mógł mieć obwód \(28cm\), to jego trzeci bok musiałby mieć długość:
$$28cm-12cm-15cm=1cm$$

Trójkąt o bokach długości \(1cm\), \(12cm\) i \(15cm\) nie istnieje, bo suma długości dwóch krótszych boków nie jest większa od długości najdłuższego boku. To oznacza, że ten trójkąt nie może mieć obwodu o długości \(28cm\), czyli zdanie jest fałszywe.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Gdyby trzeci bok miał długość \(3cm\), to długości boków tego trójkąta prezentowałyby się następująco: \(3cm\), \(12cm\) i \(15cm\). Tutaj ponownie, suma długości dwóch krótszych boków nie jest większa od długości największego boku (jest równa, ale nie jest większa), co wyklucza istnienie takiego trójkąta, czyli zdanie jest fałszywe.

B

Musimy dobrze przeanalizować rysunek. Czym się różni suma obwodów trójkąta \(AED\) oraz czworokąta \(EBCD\), od obwodu trójkąta \(ABC\)? Różni się właśnie tylko tym odcinkiem \(DE\), którego długości szukamy. To właśnie na tej obserwacji oprzemy rozwiązania tego zadania.

Suma obwodów trójkąta \(AED\) oraz czworokąta \(EBCD\) wynosi:
$$Obw=16cm+30cm \\
Obw=46cm$$

Skoro suma tych dwóch figur jest równa \(46cm\), a obwód trójkąta \(ABC\) wynosi \(34cm\), to różnica obwodów jest równa:
$$46cm-34cm=12cm$$

Ale to nie koniec obliczeń. Pułapką w tym zadaniu jest fakt, że my ten odcinek \(DE\) policzyliśmy tak naprawdę podwójnie (raz w obwodzie trójkąta \(AED\) i raz w czworokącie \(EBCD\)). Skoro tak, to:
$$|DE|=12cm:2=6cm$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Odcinek \(AC\) jest opisany jako \(x-4\), natomiast \(CD\) jest opisany jako \(x-7\). Widzimy więc, że zdanie jest fałszem, ponieważ różnica między tymi odcinkami wynosi \(3\) jednostki (bo \(7-4=3\)), a nie \(4\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(31\), to sumując boki trójkąta, otrzymamy następujące równanie:
$$x+(x-4)+(x-4)=31 \\
x+x-4+x-4=31 \\
3x-8=31 \\
3x=39 \\
x=13$$

Obwód trójkąta \(ACD\) jest równy:
$$Obw_{ACD}=(x-4)+(x-7)+(x-5) \\
Obw_{ACD}=x-4+x-7+x-5 \\
Obw_{ACD}=3x-16$$

Skoro \(x=13\), to:
$$Obw_{ACD}=3\cdot13-16 \\
Obw_{ACD}=39-16 \\
Obw_{ACD}=23$$

Zdanie jest więc prawdą.

D

Krok 1. Obliczenie miary trzeciego kąta w tym trójkącie.
Suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), zatem skoro pierwszy i drugi kąt mają \(35°\), to trzeci kąt ma miarę:
$$180°-35°-35°=110°$$

Krok 2. Wybór właściwej odpowiedzi.
Skoro dwa kąty w trójkącie są jednakowej miary, to na pewno jest to trójkąt równoramienny. Dodatkowo wiemy, że w tym trójkącie jeden z kątów ma miarę \(110°\), czyli jest rozwarty. Stąd też łącząc ze sobą te dwie informacje możemy powiedzieć, że jest to trójkąt równoramienny rozwartokątny.

D

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Zgodnie z treścią zadania wiemy, że:
\(α\) - pierwszy kąt
\(α+30°\) - drugi kąt
\(3α\) - trzeci kąt

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Wiedząc, że suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\) możemy zapisać, że:
$$α+(α+30°)+(3α)=180° \\
5α+30°=180° \\
5α=150° \\
α=30°$$

Krok 3. Wyznaczenie miar wszystkich kątów.
Patrząc na nasze oznaczenia możemy stwierdzić, że poszczególne kąty mają następujące miary:
Pierwszy kąt - \(30°\)
Drugi kąt - \(30°+30°=60°\)
Trzeci kąt - \(3\cdot30°=90°\)

To oznacza, że trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym, bo jeden z jego kątów ma miarę \(90°\).

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Jeżeli jest to trójkąt równoramienny, to kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Możemy więc przyjąć, że zarówno kąt \(KLM\) jak i \(MKL\) mają miarę \(α\). Z treści zadania wynika, że kąt między ramionami, czyli kąt \(KML\), jest dwa razy większy, zatem ma on miarę \(2α\). Skoro więc suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to otrzymamy równanie:
$$α+α+2α=180° \\
4α=180° \\
α=45°$$

Zgodnie z naszymi oznaczeniami kąt \(KLM\) to kąt o mierze \(α\), czyli ma on miarę \(45°\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Kontynuując obliczenia z poprzedniego kroku widzimy, że skoro \(α=45°\), a nasz kąt \(KML\) ma miarę \(2α\), to miara tego kąta jest równa \(2\cdot45°=90°\). To oznacza, że nasz trójkąt jest trójkątem prostokątnym.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z własności kątów wiemy, że kąt \(BAC\) oraz \(BDE\) będą miały jednakową miarę (są to kąty odpowiadające). Miarę kąta \(BDE\) możemy wyznaczyć w dość prosty sposób, bowiem tworzy on z kątem \(140°\) parę kątów przyległych. Wiedząc, że kąty przyległe mają miarę \(180°\) możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle BDE|=180°-140°=40°$$

Jak już ustaliliśmy, kąt \(BAC\) ma taką samą miarę co \(BDE\), zatem \(|\sphericalangle BAC|=40°\). Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy już, że kąty \(BDE\) oraz \(BAC\) mają jednakową miarę (i wiemy nawet, że jest to dokładnie \(40°\)). Wiemy też z samego rysunku, że trójkąty \(ABC\) oraz \(DBE\) mają jednakowy kąt przy wierzchołku \(B\). Wniosek z tego płynie taki, że już w tym momencie mamy pewność, że ten duży i mały trójkąt mają jednakowe miary dwóch kątów, zatem i miara trzeciego kąta musi być jednakowa (nie ma innej możliwości, bo każdy trójkąt ma taką samą sumę wszystkich kątów). Zdanie jest więc prawdą.

Gdyby ktoś nie był jeszcze o tym przekonany, to zawsze można obliczyć miarę kąta przy wierzchołku \(B\). Z poprzedniego kroku wiemy, że zarówno kąty \(BDE\) jak i \(BAC\) mają miarę \(40°\), zatem patrząc się na trójkąt \(ABC\) możemy stwierdzić, że:
$$|\sphericalangle ABC|=180°-45°-40°=95°$$

Teraz patrzymy się na trójkąt \(DBE\). Wiemy już, że kąt przy wierzchołku \(D\) ma miarę \(40°\), kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(95°\), zatem kąt przy wierzchołku \(E\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle DEB|=180°-40°-95°=45°$$

W tym momencie widzimy wyraźnie, że obydwa te trójkąty mają miary kątów \(40°, 45°, 95°\).

Tak na marginesie to zwróć uwagę na to, że rysunek szkicowy podany w treści zadania był sporą zmyłką, bo z rysunku nie wynika to, że kąt przy wierzchołku \(B\) jest rozwarty.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby ocenić prawdziwość obydwu zdań najprościej będzie sporządzić rysunek pomocniczy, na którym zamieścimy informacje z treści zadania:


Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Na podstawie rysunku spróbujmy obliczyć miary poszczególnych kątów. Wiedząc, że suma miar kątów w trójkącie jest równa \(180°\) możemy zapisać, że:
$$48°+α+β=180° \\
48°+α+α-48°=180° \\
2α=180° \\
α=90°$$

W pierwszym pytaniu mamy stwierdzić jaka jest miara kąta przy wierzchołku \(B\), a będzie ona równa zgodnie z rysunkiem:
$$β=α-48° \\
β=90°-48° \\
β=42°$$

Pierwsze zdanie jest więc fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W obliczeń wykonanych w drugim kroku wyszło nam, że kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(90°\), zatem prawdą jest, że ten trójkąt jest prostokątny.

C

Przeanalizujmy każdą parę trójkątów:
Para I:
Miara trzeciego kąta górnego trójkąta jest równa: \(180°-37°-65°=78°\)
Miara trzeciego kąta dolnego trójkąta jest równa: \(180°-78°-65°=37°\)
To oznacza, że te trójkąty mają jednakowe miary wszystkich kątów, zatem są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Para II:
Mamy trójkąty równoramienne, więc kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Skoro tak, to w trójkącie po lewej stronie kąty przy podstawie mają łączną miarę \(180°-44°=136°\), a skoro są to kąty o jednakowej mierze to każdy z nich ma \(136°:2=68°\).
Trójkąt po prawej stronie jest także równoramienny, więc kąty przy podstawie mają jednakowe miary, czyli będzie to \(68°\) oraz \(68°\), a to z kolei oznacza, że trzeci kąt ma miarę: \(180°-68°-68°=44°\).
Wyszło nam więc, że te trójkąty są podobne zgodnie z cechą kąt-kąt-kąt.

Para III:
Trzeci kąt trójkąta po lewej stronie ma miarę: \(180°-90°-52°=38°\).
Trzeci kąt trójkąta po prawej stronie ma miarę: \(180°-90°-41°=49°\).
Te trójkąty nie mają jednakowych miar kątów, więc nie są trójkątami podobnymi

Para IV:
Trójkąt po lewej stronie ma znane wymiary \(3\) oraz \(5\). Brakuje nam długości jednego z boków, ale widząc że jest to trójkąt prostokątny możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+b^2=5^2 \\
9+b^2=25 \\
b^2=16 \\
b=4$$

Analogiczna sytuacja jest w trójkącie po prawej stronie:
$$a^2+4^2=5^2 \\
a^2+16=25 \\
a^2=9 \\
a=3$$

To oznacza, że te trójkąty są podobne, bo mają jednakowe długości wszystkich boków (cecha bok-bok-bok).

Ostatecznie z naszej analizy wynika, że trójkąty przystające nie znalazły się jedynie na trzecim rysunku.

B

Krok 1. Obliczenie miar brakujących kątów w trójkątach.
Aby mieć przejrzystą sytuację to obliczmy sobie brakujące miary kątów w każdym z tych trzech podanych trójkątów.
$$|\sphericalangle ABC|=180°-45°-76°=59° \\
|\sphericalangle MKL|=180°-55°-49°=76° \\
|\sphericalangle PQR|=180°-55°-76°=49°$$

Krok 2. Weryfikacja poprawności odpowiedzi:
Odp. A - to jest na pewno nieprawda, bo miary kątów w tych trójkątach są różne.
Odp. B - to zdanie jest prawdą, bo miary kątów są jednakowe oraz trójkąty te mają identyczną długość boku między kątami o identycznych miarach.
Odp. C - to zdanie jest nieprawdą, bo miary kątów w tych trójkątach są różne.
Odp. D - to zdanie jest nieprawdą, bo trójkąt \(ABC\) ma miary kątów inne niż pozostałe trójkąty.

D

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta \(ABC\).
Znamy długości przyprostokątnych, zatem możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
15^2+20^2=c^2 \\
225+400=c^2 \\
c^2=625 \\
c=25[cm]$$

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta \(DEF\).
O przeciwprostokątnej trójkąta \(DEF\) wiemy to, że jej długość jest dwa razy większa od długości przeciwprostokątnej trójkąta \(ABC\) (wynika to z faktu, że obydwa te trójkąty są podobne w skali \(2:1\)). Zatem przeciwprostokątna trójkąta \(DEF\) ma miarę:
$$2\cdot25cm=50cm$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie długości odcinków \(KE\) oraz \(EL\).
Spójrzmy na mały trójkąt \(KEN\). Z treści zadania możemy wywnioskować, że odcinki \(NK\) oraz \(NE\) mają długość \(1cm\). Skoro tak, to wiemy już, że jest to trójkąt prostokątny równoramienny, czyli krótko mówiąc - jest to trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\). W takich trójkątach przeciwprostokątna jest \(\sqrt{2}\) razy większa od długości przyprostokątnych (podobna sytuacja jak z przekątną kwadratu), zatem odcinek \(KE\) ma miarę \(\sqrt{2}cm\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to moglibyśmy wyliczyć długość odcinka \(KE\) z Twierdzenia Pitagorasa.

Teraz spójrzmy na mały trójkąt \(ELM\). Tutaj sytuacja jest identyczna jak przed chwilą, ten trójkąt także ma przyprostokątne o długości \(1cm\), zatem odcinek \(EL\) ma także długość \(\sqrt{2}cm\).

Nanieśmy teraz te nasze informacja na rysunek:


Przy okazji zwróć uwagę na to, że kąt \(KEL\) jest kątem prostym. Skąd to wiemy? Możemy to udowodnić z Twierdzenia Pitagorasa, bowiem zachodzi tutaj równość:
$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2^2 \\
2+2=4 \\
4=4 \\
L=P$$

To oznacza, że trójkąt \(KEL\) jest prostokątny.

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Aby trójkąty były względem siebie przystające, to muszą mieć jednakowe długości wszystkich boków. Widzimy wyraźnie, że trójkąty \(KEN\) oraz \(KEL\) mają różne miary, więc na pewno nie są przystające. Zdanie jest więc fałszem.

Tak na marginesie - te trójkąty są podobne (a nie przystające) i to jest główna pułapka w tym zadaniu. Skala podobieństwa tych trójkątów będzie równa \(k=\sqrt{2}\), bowiem każdy bok trójkąta \(KEL\) jest \(\sqrt{2}\) razy większy od boku trójkąta \(KEN\).

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Do zadania możemy podejść na dwa sposoby. Jeżeli ustalimy sobie (tak jak w poprzednim kroku), że skala podobieństwa tych trójkątów jest równa \(k=\sqrt{2}\), to bardzo szybko będziemy w stanie ustalić, że pole trójkąta \(KEL\) będzie \(2\) razy większe od pola trójkąta \(MEL\), bowiem \(k^2=\sqrt{2}^2=2\). To będzie więc jednocześnie oznaczało, że faktycznie pole trójkąta \(MEL\) jest dwa razy mniejsze od pola trójkąta \(KEL\).

Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy podobieństwa trójkątów, to posłużyć możemy się standardowymi wzorami na pole trójkąta, wszak w trójkątach prostokątnych długości przyprostokątnych są jednocześnie podstawą oraz wysokością. Zatem:
$$P_{MEL}=\frac{1}{2}ah \\
P_{MEL}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1 \\
P_{MEL}=0,5[cm^2]$$

$$P_{KEL}=\frac{1}{2}ah \\
P_{KEL}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \\
P_{KEL}=1[cm^2]$$

Teraz widzimy wyraźnie, że pole trójkąta \(MEL\) jest faktycznie dwa razy mniejsze od pola trójkąta \(KEL\). Zdanie jest więc prawdą.

B

Krok 1. Obliczenie długości boku \(BD\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$1^2+(\sqrt{2})^2=|BD|^2 \\
1+2=|BD|^2 \\
|BD|^2=3 \\
|BD|=\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku \(CD\).
Z rysunku wynika, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem prostokątnym w którym znamy długości dwóch boków: \(|BC|=1\) oraz \(|BD|=\sqrt{3}\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy teraz obliczyć długość poszukiwanego boku \(CD\):
$$1^2+(\sqrt{3})^2=|CD|^2 \\
1+3=|CD|^2 \\
|CD|^2=4 \\
|CD|=2$$

Nie B,

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AE\).
Spójrzmy na biały trójkąt \(ADE\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny (bo kąt przy wierzchołku \(D\) jest kątem prostokąta). Odcinek \(AD\) ma długość \(5cm\), natomiast odcinek \(DE\) ma długość \(4cm\). Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$4^2+5^2=|AE|^2 \\
16+25=|AE|^2 \\
|AE|^2=41 \\
|AE|=\sqrt{41} \quad\lor\quad |AE|=-\sqrt{41}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(|AE|=\sqrt{41}\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(BE\).
Spoglądamy na trójkąt \(BCE\). Sytuacja jest analogiczna do tej przed chwilą - to także jest trójkąt prostokątny i to właśnie z niego wyliczymy długość boku \(BE\). Odcinek \(BC\) ma długość \(5cm\), natomiast odcinek \(EC\) ma długość \(10cm-4cm=6cm\). W związku z tym:
$$6^2+5^2=|BE|^2 \\
36+25=|BE|^2 \\
|BE|^2=61 \\
|BE|=\sqrt{61} \quad\lor\quad |BE|=-\sqrt{61}$$

Ujemny wynik także odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BE|=\sqrt{61}\).

Krok 3. Sprawdzenie, czy trójkąt \(ABE\) jest prostokątny.
Jeżeli trójkąt miałby być prostokątny to zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa \(|AE|^2+|BE|^2\) powinno być równe \(|AB|^2\). Jeżeli taka równość nie zajdzie, to trójkąt nie będzie prostokątny. Sprawdźmy zatem ile jest równe \(|AE|^2+|BE|^2\):
$$|AE|^2+|BE|^2=\sqrt{41}^2+\sqrt{61}^2=41+61=102$$

Teraz sprawdźmy ile jest równe \(|AB|^2\):
$$|AB|^2=10^2=100$$

Widzimy wyraźnie, że suma kwadratów potencjalnych długości przyprostokątnych jest większa niż kwadrat długości potencjalnej przeciwprostokątnej. Stąd też płynie wniosek, że ten trójkąt nie jest prostokątny, ponieważ \(|AE|^2+|EB|^2\gt|AB|^2\).

\(|DS|=9,6cm\)

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Skoro boki prostokąta mają długość \(12 cm\) i \(16 cm\), to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że przekątna będzie mieć długość:
$$12^2+16^2=|AC|^2 \\
144+256=|AC|^2 \\
|AC|^2=400 \\
|AC|=20 \quad\lor\quad |AC|=-20$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AC|=20\).

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ACD\).
Trójkąt \(ACD\) jest połową prostokąta \(ABCD\). Policzmy zatem najpierw pole tego prostokąta:
$$P=12cm\cdot16cm \\
P=192cm^2$$

Skoro trójkąt \(ACD\) jest połową tej figury, to jego pole będzie równe:
$$P_{ACD}=192cm^2:2 \\
P_{ACD}=96cm^2$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DS\).
Odcinek \(DS\) jest wysokością trójkąta \(ACD\), którego podstawa ma długość \(a=20\) i którego pole jest równe \(96cm^2\). Skoro tak, to korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
96cm^2=\frac{1}{2}\cdot20cm\cdot h \\
96cm^2=10cm\cdot h \\
h=9,6cm$$

To oznacza, że odcinek \(DS\) ma długość \(9,6cm\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej \(AC\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ACD\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(DS\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy dostrzec, że łącząc punkt \(S\) z punktami \(A\) oraz \(B\) powstanie nam następujący trójkąt równoramienny \(ABS\):


Skąd wiemy, że jest to trójkąt równoramienny? Wynika to z tego, że długości promienia są jednakowe, czyli tym samym ramiona \(AS\) oraz \(BS\) mają tą samą długość. Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że ich wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, stąd też odcinek \(AB\) o długości \(8cm\) mogliśmy sobie podzielić na dwie części \(AP\) oraz \(PB\), które mają długość równą \(4cm\).

Po dorysowaniu wysokości powstały nam więc dwa trójkąty prostokątne i to właśnie z nich będziemy mogli za chwilę obliczyć poszukiwane długości.

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy obliczyć długość odległość od punktu \(S\) do odcinka \(AB\), czyli długość odcinka \(SP\). Powinniśmy już dostrzec, że jest to klasyczny trójkąt prostokątny o bokach \(3cm,4cm,5cm\), ale jeśli tego nie widzimy, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$|SP|^2+4^2=5^2 \\
|SP|^2+16=25 \\
|SP|^2=9 \\
|SP|=3 \quad\lor\quad |SP|=-3$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|SP|=3cm\), co oznacza, że to zdanie jest prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Obwód trójkąta \(ASB\) jest równy:
$$Obw=8cm+5cm+5cm \\
Obw=18cm$$

To zdanie jest więc fałszem.

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro mamy trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów ostrych ma \(30°\), to wiemy już, że mówimy o charakterystycznym trójkącie o kątach \(30°, 60°, 90°\). Krótsza przyprostokątna to ta, która leży naprzeciwko kąta o mierze \(30°\) (oznaczamy ją zwyczajowo jako \(a\)). Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie długości dłuższej przyprostokątnej.
Z treści zadania wynika, że suma długości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej jest równa \(12 cm\). Zgodnie z oznaczeniami na rysunku możemy więc zapisać, że:
$$a+2a=12cm \\
3a=12cm \\
a=4cm$$

Dłuższa przyprostokątna ma długość \(a\sqrt{3}\), zatem będzie miała ona miarę:
$$b=4\sqrt{3}cm$$

C

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Spójrzmy na duży trójkąt \(ABC\). Skorzystamy tutaj z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z tych własności wynika, że przyprostokątna leżąca przy kącie \(30°\) (czyli nasz odcinek \(AB\)) ma długość \(a\sqrt{3}\), druga przyprostokątna (czyli nasz odcinek \(BC\)) ma długość \(a\), natomiast przeciwprostokątna (czyli nasz odcinek \(AC\)) ma długość \(2a\).

Skoro odcinek \(AB\) ma długość \(4\sqrt{3}cm\), to możemy zapisać że:
$$a\sqrt{3}cm=4\sqrt{3}cm \\
a=4cm$$

W związku z tym przeciwprostokątna \(AC\) ma długość:
$$|AC|=2a \\
|AC|=2\cdot4cm \\
|AC|=8cm$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ADE\). Tutaj także skorzystamy z własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\). Tym razem znamy długość krótszej przyprostokątnej \(DE\), czyli możemy zapisać że \(a=3cm\). Nas interesuje długość odcinka \(AE\), czyli:
$$|AE|=2a \\
|AE|=2\cdot3cm \\
|AE|=6cm$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(EC\).
Odcinek \(EC\) jest różnicą między odcinkiem \(AC\) oraz odcinkiem \(AE\):
$$|EC|=8cm-6cm \\
|EC|=2cm$$

C

Krok 1. Obliczenie pól trzech małych trójkątów.
Aby obliczyć pole szarego trójkąta najprościej będzie obliczyć pola trzech małych białych trójkątów, których sumę pól powierzchni odejmiemy od pola kwadratu.
\(P=\frac{1}{2}ah \\
P_{1}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6=\frac{1}{2}\cdot36=18[cm^2] \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot12=\frac{1}{2}\cdot72=36[cm^2] \\
P_{3}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot12=\frac{1}{2}\cdot72=36[cm^2]\)

Suma tych trzech pól powierzchni jest równa:
$$P=18+36+36=90cm^2$$

Krok 2. Obliczenie pola kwadratu.
Cały kwadrat ma pole powierzchni równe:
$$P=12\cdot12=144[cm^2]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni zamalowanego trójkąta.
Nasz zamalowany trójkąt będzie różnicą między polem powierzchni kwadratu i polem trzech trójkątów, zatem:
$$P=144cm^2-90cm^2=54cm^2$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni trójkątów \(PAB\) oraz \(PAC\).
Zacznijmy od obliczenia pola powierzchni trójkąta \(PAB\). Widzimy wyraźnie (licząc po kratkach), że podstawa tego trójkąta ma długość \(a=7\), natomiast wysokość ma długość \(h=3\) (wysokość to w tym przypadku odległość od wierzchołka \(B\) do osi iksów). To oznacza, że pole tego trójkąta jest równe:
$$P_{PAB}=\frac{1}{2}ah \\
P_{PAB}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot3 \\
P_{PAB}=10,5$$

Teraz obliczmy pole trójkąta \(PAC\). Tutaj także podstawa ma długość \(a=7\), natomiast wysokość ma długość \(h=3\) (jest to odległość od wierzchołka \(C\) do osi iksów). Pole tego trójkąta będzie więc równe:
$$P_{PAC}=\frac{1}{2}ah \\
P_{PAC}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot3 \\
P_{PAC}=10,5$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z obliczeń wykonanych w pierwszym kroku wynika, że faktycznie pola powierzchni tych dwóch trójkątów są sobie równe, zatem to zdanie jest prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Pole trójkąta \(ABC\) jest sumą pól trójkątów \(PAB\) oraz \(PAC\), zatem:
$$P_{ABC}=P_{PAB}+P_{PAC} \\
P_{ABC}=10,5+10,5 \\
P_{ABC}=21$$

To oznacza, że zdanie jest prawdą.

D

Krok 1. Obliczenie długości boku \(CD\).
Bok \(CD\) jest wysokością trójkąta równobocznego, zatem korzystając ze wzoru na taką wysokość możemy zapisać, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{10\sqrt{3}}{2} \\
h=5\sqrt{3}$$

To oznacza, że \(|CD|=5\sqrt{3}\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DC\).
Wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę zawsze na dwie równe części, zatem odcinek \(DC\) jest równy połowie długości boku trójkąta:
$$|DC|=10cm:2 \\
|DC|=5cm$$

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta \(ADC\).
Znamy już długości wszystkich boków tego trójkąta, zatem obliczenie obwodu jest już tylko formalnością:
$$Obw=5+10+5\sqrt{3} \\
Obw=15+5\sqrt{3}$$

C

Krok 1. Obliczenie długości boku trójkąta.
Bok trójkąta jest jednocześnie długością przekątnej \(DB\). Przekątna kwadratu o boku \(a=4\) ma długość \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$DB=4\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta równobocznego.
Znając długość boku możemy bez problemu obliczyć pole trójkąta równobocznego, korzystając z następującego wzoru:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{(4\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{16\cdot2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{32\sqrt{3}}{4} \\
P=8\sqrt{3}$$

Uzasadniono korzystając z własności trójkątów równoramiennych i równobocznych. Pole powierzchni jest równe \(P=3\sqrt{3}cm^2\).

Krok 1. Dostrzeżenie, że boki \(EC\) oraz \(FC\) mają jednakową długość.
Spójrzmy na odcinki \(EC\) oraz \(FC\). Jeden i drugi to wysokości trójkątów równobocznych (\(ACD\) oraz \(ABC\)) o boku \(a=4cm\). To z kolei prowadzi nas do bardzo ważnego wniosku, że odcinki \(EC\) oraz \(FC\) są jednakowej długości (w dalszych krokach obliczymy sobie jaka jest to dokładnie długość). Póki co możemy zapisać, że \(|EC|=|FC|\). Mając tę informację wiemy już na pewno, że trójkąt \(EFC\) jest przynajmniej równoramienny (nie jesteśmy jeszcze pewni, czy jest równoboczny).

Krok 2. Dostrzeżenie, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\).
Wysokość trójkąta równobocznego jest tak naprawdę dwusieczną kąta. Jeżeli więc spojrzymy np. na trójkąt \(ACD\), to stwierdzimy, że wysokość \(EC\) dzieli kąt przy wierzchołku \(C\) na dwa kąty o mierze \(30°\). Podobnie będzie w przypadku trójkąta \(ABC\). Na rysunku sytuacja będzie wyglądać następująco:


Możemy więc powiedzieć, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\).

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Wiemy już, że trójkąt jest przynajmniej równoramienny, bo ramiona \(EC\) oraz \(FC\) są jednakowej długości. Wiemy też, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\). Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. U nas oznaczałoby to, że kąty przy podstawie \(EF\) muszą mieć łączną miarę \(180°-60°=120°\), a to oznacza, że każdy z kątów przy podstawie musi mieć miarę:
$$120°:2=60°$$

Wyszło nam więc, że każdy kąt trójkąta \(EFC\) ma miarę \(60°\), zatem jest to trójkąt równoboczny.

Krok 4. Obliczenie długości boków trójkąta \(EFC\).
Do obliczenia pola powierzchni potrzebujemy poznać długość boku trójkąta. Widzimy wyraźnie, że bok np. \(EC\) jest wysokością trójkąta równobocznego \(ACD\). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$|EC|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|EC|=\frac{4\sqrt{3}}{2} \\
|EC|=2\sqrt{3}[cm]$$

To oznacza, że każdy bok naszego trójkąta \(EFC\) ma długość \(2\sqrt{3}cm\).

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(EFC\).
Wiemy już, że bok tego trójkąta ma długość \(2\sqrt{3}cm\), zatem podstawiając te dane do wzoru na pole trójkąta równobocznego otrzymamy:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{4\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=3\sqrt{3}[cm^2]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie udowodnisz, że zacieniony trójkąt jest równoboczny (patrz: Krok 3.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz długość boku trójkąta (patrz: Krok 4.), bez uzasadnienia że jest on równoboczny.
2 pkt
• Gdy poprawnie udowodnisz, że zacieniony trójkąt jest równoboczny (patrz: Krok 3.) oraz poprawnie obliczysz długość boku trójkąta (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zwróćmy uwagę, że podany trójkąt jest równoramienny (bo ramiona \(AC\) oraz \(BC\) są jednakowej długości). Skoro tak, to wysokość \(CD\) podzieli nam trójkąt na dwa identyczne trójkąty prostokątne (wysokość trójkąta równoramiennego zawsze dzieli podstawę na dwie równe części). Oznaczmy więc podstawę trójkąta jako \(x\), a ramiona jako \(y\), otrzymując taką oto sytuację:


Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest na pewno fałszem. Trójkąt \(BCD\) musi mieć taki sam obwód jak trójkąt \(ACD\), gdyż są to trójkąty przystające, zatem obwód trójkąta \(BCD\) jest równy \(24cm\).

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Podstawa ma długość \(\frac{1}{2}x\), druga przyprostokątna ma długość \(h\), a przeciwprostokątna to \(y\). Czyli:
$$\frac{1}{2}x+y+h=24$$

Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Tutaj obwód jest równy \(36 cm\), czyli zgodnie z oznaczeniami na rysunku:
$$x+2y=36$$

Jeżeli podzielimy obydwie strony tego równania przez \(2\), to otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x+y=18$$

Podstawiając teraz równanie \(\frac{1}{2}x+y=18\) do obwodu trójkąta \(ACD\), otrzymamy:
$$18+h=24 \\
h=6$$

Zdanie jest więc prawdą.