Liczby i działania – zadania (egzamin ósmoklasisty)

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo \(1725\) dzieli się bez reszty przez \(15\) dając wynik równy \(115\) (możemy to obliczyć chociażby pisemnie).

Tak na marginesie warto wspomnieć, że liczba jest podzielna przez \(15\) jeżeli dzieli się jednocześnie przez \(3\) oraz \(5\).
Liczba \(1725\) dzieli się przez \(3\) (bo suma cyfr \(1+7+2+5=15\) jest liczbą podzielną przez \(3\)) oraz dzieli się przez \(5\), bo ostatnią cyfrą jest piątka. Udowodniliśmy wiec, że \(1725\) jest podzielne przez \(3\) oraz \(5\), zatem jest też podzielne przez \(15\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą, bo po podzieleniu \(1725\) przez \(125\) otrzymamy ułamek \(13,8\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Z warunków zadania wynika, że liczba \(x\) jest liczbą ujemną, a liczba \(y\) jest od niej jeszcze mniejsza, więc na pewno także jest to liczba ujemna.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą i wynika to wprost z drugiego warunku \(y\lt x\).

C

Zgodnie z treścią zadania cyfra dziesiątek jest stała i jest równa \(5\). Musimy rozpatrzeć teraz kilka wariantów cyfr setek i cyfr jedności:
Jeżeli cyfra setek jest równa \(1\), to cyfra jedności będzie równa \(7\).
Jeżeli cyfra setek jest równa \(2\), to cyfra jedności będzie równa \(8\).
Jeżeli cyfra setek jest równa \(3\), to cyfra jedności będzie równa \(9\).
Jeżeli cyfra setek jest większa niż \(3\), to nie powstanie nam już liczba trzycyfrowa.

Istnieją zatem tylko trzy takie liczby:
$$157 \\
258 \\
359$$

B

Przeanalizujmy każdą z liczb:
\(x\cdot y\) - mnożenie liczby dodatniej przez ujemną zawsze da liczbę ujemną.
\(x-y\) - mamy tutaj liczbę dodatnią odjąć liczbę ujemną, co możemy zamienić na dodawanie dwóch liczb dodatnich (np. \(2-(-3)=2+3\)). Wynik więc będzie na pewno dodatni.
\(\frac{x}{y}\) - dzielenie liczby dodatniej przez ujemną zawsze da liczbę ujemną.
\((y-x)^2\) - wartość w nawiasie jest na pewno ujemna (bo od ujemnej liczby odejmujemy dodatkowo liczbę dodatnią), a liczby ujemne podniesione do kwadratu dają liczby dodatnie.

To oznacza, że dwie z tych liczb są dodatnie.

C

Krok 1. Zapisanie wszystkich liczb trzycyfrowych.
Z cyfr \(2\), \(3\) i \(5\) możemy utworzyć następujące liczby:
$$235, 253, 325, 352, 523, 532$$

Krok 2. Weryfikacja każdej z odpowiedzi.
Prześledźmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są nieparzyste
Komentarz: To nieprawda, bo tylko dwie liczby są parzyste.

Odp. B. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są mniejsze od \(530\)
Komentarz: To nieprawda, bo liczba \(532\) jest większa od \(530\).

Odp. C. Dwie liczby utworzone przez Anię są podzielne przez \(5\).
Komentarz: To prawda, dwie liczby a mianowicie \(235\) oraz \(325\) są podzielne przez \(5\).

Odp. D. Wśród liczb utworzonych przez Anię są liczby podzielne przez \(3\)
Komentarz: To nieprawda, bo suma cyfr każdej z liczb jest równa \(10\), czyli liczby te nie są podzielne przez \(3\).

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z informacji wynika, że pierwsza liczba jest na pewno dodatnia. Druga liczba może być dodatnia lub ujemna (tego nie wiemy). W związku z tym pierwsze zdanie jest fałszem, bo nie mamy pewności że iloraz \(\frac{b}{a}\) jest dodatni. Jeśli \(b\) jest ujemne, a może takie być, to ułamek ten będzie ujemny.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest także fałszem, bo różnica \(b-a\) będzie zawsze ujemna. Przykładowo jak \(b=0\) oraz \(a=2,5\), to \(b-a=-2,5\).

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy sprawdzić ile par cyfr daje sumę równą \(12\), biorąc pod uwagę fakt, że druga liczba musi być większa. Z cyframi \(1\) i \(2\) nie utworzymy żadnej pary (bo musielibyśmy dodać \(11\) lub \(10\), a to nie są cyfry). Będą to więc następujące pary:
$$3 i 9 \\
4 i 8 \\
5 i 7$$

Powstaną nam więc tylko trzy takie liczby: \(39\), \(48\) oraz \(57\), zatem pierwsze zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro suma cyfr daje nam wynik równy \(12\), to liczby te jak najbardziej są podzielne przez \(3\), czyli drugie zdanie jest prawdą.

A

Krok 1. Odczytanie daty zapisanej w systemie rzymskim.
$$M - 1000 \\
C - 100 \\
X - 10 \\
MCMXC - 1990$$

Krok 2. Obliczenie różnicy lat.
Skoro budowla powstał w \(1533\) roku, a renowacja zegara odbyła się w \(1990\) roku, to różnica w latach między tymi wydarzeniami jest równa:
$$1990-1533=457$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Aby wynikiem mnożenia (czyli iloczynem) dwóch liczb była liczba ujemna, to jedna z nich musi być dodatnia, a druga ujemna np. \(2\cdot(-3)=-6\). To prowadzi nas do wniosku, że \(x\) oraz \(y\) muszą mieć różne znaki, stąd też zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Jeżeli dwie liczby mają taką samą odległość od zera na osi liczbowej, to albo są to dwie liczby przeciwne np. \(x=-2\) oraz \(y=2\), albo też są to dwie jednakowe wartości np. \(x=2\) oraz \(y=2\) lub też \(x=-2\) oraz \(y=-2\). Sytuację w której są to liczby przeciwne od razu wykluczamy, bo suma tych liczb ma być dodatnia, a przecież suma liczb przeciwnych jest równa \(0\). Wariant w którym są to dwie te same liczby (niezależnie od tego, czy są one dodatnie, równe zero, czy ujemne) także odrzucamy, bo iloczyn takich liczb nie będzie liczbą ujemną. Nie jest więc możliwe, by dwie liczby \(x\) oraz \(y\) znajdujące się w jednakowej odległości od zera spełniały warunki naszego zadania, stąd też jest to nieprawda.

B

Obliczając to wyrażenie arytmetyczne otrzymamy:
$$\left(1-\frac{5}{6}\right)-0,5=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}= \\
=\frac{1}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}\approx-0,33$$

Nasz wynik znajduje się zatem między \(-0,5\) oraz \(0\).

B

Obliczając wartość każdego z wyrażeń bez problemu określimy która z liczb jest największa.
$$\frac{3}{4}\cdot(-3)=-2,25 \\
\frac{3}{4}:(-3)=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-0,25 \\
\frac{3}{4}+(-3)=\frac{3}{4}-3=-2,25 \\
-\frac{3}{4}-3=-3,75$$

Widzimy wyraźnie, że największa jest druga liczba.

A

Krok 1. Ustalenie kiedy wartość różnicy \(x-y\) będzie najmniejsza.
Aby różnica była jak najmniejsza, to te nasze dwie liczby muszą być jak najbliżej siebie na osi liczbowej. Stanie się tak wtedy, kiedy \(x\) będzie jak najmniejszy, czyli kiedy \(x=8\) oraz kiedy \(y\) będzie jak największy, czyli kiedy \(y=-2\).

Krok 2. Obliczenie minimalnej różnicy.
Najmniejsza różnica będzie zatem równa: \(8-(-2)=10\).