Liczby i działania – zadania (egzamin ósmoklasisty)

C

Zgodnie z treścią zadania cyfra dziesiątek jest stała i jest równa \(5\). Musimy rozpatrzeć teraz kilka wariantów cyfr setek i cyfr jedności:
Jeżeli cyfra setek jest równa \(1\), to cyfra jedności będzie równa \(7\).
Jeżeli cyfra setek jest równa \(2\), to cyfra jedności będzie równa \(8\).
Jeżeli cyfra setek jest równa \(3\), to cyfra jedności będzie równa \(9\).
Jeżeli cyfra setek jest większa niż \(3\), to nie powstanie nam już liczba trzycyfrowa.

Istnieją zatem tylko trzy takie liczby:
$$157 \\
258 \\
359$$

B

Sprawdźmy wartości podanych liczb, wykonując poszczególne obliczenia arytmetyczne:
\(p=\frac{27\cdot9}{27+9}=\frac{243}{36}=6,75 \\
r=\frac{27+9}{27-9}=\frac{36}{18}=2 \\
s=\frac{18}{3}=6\)

Zapisem liczb od najmniejszej do największej będzie więc \(r,s,p\).

B

Obliczając to wyrażenie arytmetyczne otrzymamy:
$$\left(1-\frac{5}{6}\right)-0,5=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}= \\
=\frac{1}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}\approx-0,33$$

Nasz wynik znajduje się zatem między \(-0,5\) oraz \(0\).

A

Krok 1. Ustalenie kiedy wartość różnicy \(x-y\) będzie najmniejsza.
Aby różnica była jak najmniejsza, to te nasze dwie liczby muszą być jak najbliżej siebie na osi liczbowej. Stanie się tak wtedy, kiedy \(x\) będzie jak najmniejszy, czyli kiedy \(x=8\) oraz kiedy \(y\) będzie jak największy, czyli kiedy \(y=-2\).

Krok 2. Obliczenie minimalnej różnicy.
Najmniejsza różnica będzie zatem równa: \(8-(-2)=10\).

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z informacji wynika, że pierwsza liczba jest na pewno dodatnia. Druga liczba może być dodatnia lub ujemna (tego nie wiemy). W związku z tym pierwsze zdanie jest fałszem, bo nie mamy pewności że iloraz \(\frac{b}{a}\) jest dodatni. Jeśli \(b\) jest ujemne, a może takie być, to ułamek ten będzie ujemny.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest także fałszem, bo różnica \(b-a\) będzie zawsze ujemna. Przykładowo jak \(b=0\) oraz \(a=2,5\), to \(b-a=-2,5\).

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Aby wynikiem mnożenia (czyli iloczynem) dwóch liczb była liczba ujemna, to jedna z nich musi być dodatnia, a druga ujemna np. \(2\cdot(-3)=-6\). To prowadzi nas do wniosku, że \(x\) oraz \(y\) muszą mieć różne znaki, stąd też zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Jeżeli dwie liczby mają taką samą odległość od zera na osi liczbowej, to albo są to dwie liczby przeciwne np. \(x=-2\) oraz \(y=2\), albo też są to dwie jednakowe wartości np. \(x=2\) oraz \(y=2\) lub też \(x=-2\) oraz \(y=-2\). Sytuację w której są to liczby przeciwne od razu wykluczamy, bo suma tych liczb ma być dodatnia, a przecież suma liczb przeciwnych jest równa \(0\). Wariant w którym są to dwie te same liczby (niezależnie od tego, czy są one dodatnie, równe zero, czy ujemne) także odrzucamy, bo iloczyn takich liczb nie będzie liczbą ujemną. Nie jest więc możliwe, by dwie liczby \(x\) oraz \(y\) znajdujące się w jednakowej odległości od zera spełniały warunki naszego zadania, stąd też jest to nieprawda.

B

Przeanalizujmy każdą z liczb:
\(x\cdot y\) - mnożenie liczby dodatniej przez ujemną zawsze da liczbę ujemną.
\(x-y\) - mamy tutaj liczbę dodatnią odjąć liczbę ujemną, co możemy zamienić na dodawanie dwóch liczb dodatnich (np. \(2-(-3)=2+3\)). Wynik więc będzie na pewno dodatni.
\(\frac{x}{y}\) - dzielenie liczby dodatniej przez ujemną zawsze da liczbę ujemną.
\((y-x)^2\) - wartość w nawiasie jest na pewno ujemna (bo od ujemnej liczby odejmujemy dodatkowo liczbę dodatnią), a liczby ujemne podniesione do kwadratu dają liczby dodatnie.

To oznacza, że dwie z tych liczb są dodatnie.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy sprawdzić ile par cyfr daje sumę równą \(12\), biorąc pod uwagę fakt, że druga liczba musi być większa. Z cyframi \(1\) i \(2\) nie utworzymy żadnej pary (bo musielibyśmy dodać \(11\) lub \(10\), a to nie są cyfry). Będą to więc następujące pary:
$$3 i 9 \\
4 i 8 \\
5 i 7$$

Powstaną nam więc tylko trzy takie liczby: \(39\), \(48\) oraz \(57\), zatem pierwsze zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro suma cyfr daje nam wynik równy \(12\), to liczby te jak najbardziej są podzielne przez \(3\), czyli drugie zdanie jest prawdą.

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Aby liczba była podziela przez \(3\), suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez \(3\). Sprawdźmy zatem podane liczby:
· \(3321 \Rightarrow 3+3+2+1=9\)
· \(1764 \Rightarrow 1+7+6+4=18\)
· \(6114 \Rightarrow 6+1+1+4=12\)
· \(2936 \Rightarrow 2+9+3+6=20\)
· \(1452 \Rightarrow 1+4+5+2=12\)
· \(1627 \Rightarrow 1+6+2+7=16\)

To oznacza, że liczbami podzielnymi przez \(3\) będą: \(3321, 1764, 6114, 1452\), czyli są cztery takie liczby.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Aby liczba była podziela przez \(4\), jej dwie ostatnie cyfry muszą tworzyć liczbę podzielną przez \(4\). Spośród podanych liczb ten warunek spełniają jedynie liczby \(1764\) (bo \(64:4=16\)), \(2936\) (bo \(36:4=9\)) oraz \(1452\) (bo \(52:4=13). Są to więc trzy liczby.

C

Krok 1. Zapisanie wszystkich liczb trzycyfrowych.
Z cyfr \(2\), \(3\) i \(5\) możemy utworzyć następujące liczby:
$$235, 253, 325, 352, 523, 532$$

Krok 2. Weryfikacja każdej z odpowiedzi.
Prześledźmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są nieparzyste
Komentarz: To nieprawda, bo tylko dwie liczby są parzyste.

Odp. B. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są mniejsze od \(530\)
Komentarz: To nieprawda, bo liczba \(532\) jest większa od \(530\).

Odp. C. Dwie liczby utworzone przez Anię są podzielne przez \(5\).
Komentarz: To prawda, dwie liczby a mianowicie \(235\) oraz \(325\) są podzielne przez \(5\).

Odp. D. Wśród liczb utworzonych przez Anię są liczby podzielne przez \(3\)
Komentarz: To nieprawda, bo suma cyfr każdej z liczb jest równa \(10\), czyli liczby te nie są podzielne przez \(3\).

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo \(1725\) dzieli się bez reszty przez \(15\) dając wynik równy \(115\) (możemy to obliczyć chociażby pisemnie).

Tak na marginesie warto wspomnieć, że liczba jest podzielna przez \(15\) jeżeli dzieli się jednocześnie przez \(3\) oraz \(5\).
Liczba \(1725\) dzieli się przez \(3\) (bo suma cyfr \(1+7+2+5=15\) jest liczbą podzielną przez \(3\)) oraz dzieli się przez \(5\), bo ostatnią cyfrą jest piątka. Udowodniliśmy wiec, że \(1725\) jest podzielne przez \(3\) oraz \(5\), zatem jest też podzielne przez \(15\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą, bo po podzieleniu \(1725\) przez \(125\) otrzymamy ułamek \(13,8\).

Agnieszka zapisała liczbę \(4963\).

Liczbę zapisaną przez Agnieszkę możemy symbolicznie zapisać jako \(496■\). Generalnie nie mamy żadnej cechy podzielności liczb przez \(7\), która mogłaby nam pomóc w rozwikłaniu jaka to cyfra znajduje się na ostatnim miejscu tej liczby, ale możemy zauważyć, że ta nasza liczba to tak naprawdę suma \(4900+6■\). \(4900\) jest na pewno podzielne przez \(7\), więc musimy znaleźć liczbę dwucyfrową podzielną przez \(7\) w której cyfra dziesiątek jest równa \(6\). Taka jest tylko jedna liczba i jest to \(63\) i taka też będzie "końcówka" naszej czterocyfrowej liczby. To oznacza, że Agnieszka zapisała liczbę \(4963\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozbijesz tę liczbę na sumę \(4900+6■\), ale nie wywnioskujesz końcowego rozwiązania.
LUB
• Gdy zapiszesz dzielenie pisemne \(496■:7\) i nie dojdziesz do końcowego rozwiązania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

D

Krok 1. Ustalenie co może znaleźć się pod znakiem \(\#\), aby liczba była podzielna przez \(4\).
Liczba jest podzielna przez \(4\) tylko wtedy, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez \(4\). Sprawdźmy zatem kiedy nasza liczba będzie podzielną przez \(4\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(0\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(04\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(4\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(44\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(6\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(64\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(8\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(84\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\).

Możemy więc zaobserwować, że podstawiając dowolną cyfrę spośród proponowanych w odpowiedziach ABCD, uda nam się utworzyć liczbę podzielną przez \(4\).

Krok 2. Ustalenie kiedy liczba będzie niepodzielna przez \(3\).
Liczba jest podzielna przez \(3\) tylko wtedy, gdy suma jej cyfr daje liczbę podzielną przez \(3\). Analogicznie jeśli suma cyfr nie da liczby podzielnej przez \(3\), to liczba będzie niepodzielna przez \(3\) (taka sytuacja nas właśnie interesuje). Sprawdźmy zatem jak zachowa się nasza liczba podstawiając proponowane cyfry:
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(0\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+0+4=19\), czyli liczba jest niepodzielna przez \(3\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(4\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+4+4=23\), czyli liczba jest niepodzielna przez \(3\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(6\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+6+4=25\), czyli liczba jest niepodzielna przez \(3\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(8\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+8+4=27\), czyli liczba jest podzielna przez \(3\), bo \(27:3=9\).

To oznacza, że jedyną cyfrą, która na pewno nie znalazła się pod znakiem \(\#\) jest \(8\), bo wtedy nasza liczba staje się podzielna przez \(3\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Skoro mamy \(186\) pudełek, a w każdym z nich jest \(6\) piłek, to łącznie wszystkich piłek mamy:
$$186\cdot6=1116$$

Musimy teraz określić, czy liczba spakowanych piłek jest podzielna przez \(4\). Liczba jest podzielna przez \(4\) wtedy, gdy dwie ostatnie cyfry są równe \(00\) lub gdy tworzą liczbę podzielną przez \(4\). W przypadku naszej liczby dwie ostatnie cyfry to \(16\), a wiemy, że \(16\) jest podzielne przez \(4\). To oznacza, że liczba \(1116\) jest podzielna przez \(4\), zatem zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy już, że jest \(1116\) piłek. Chcemy teraz się dowiedzieć, czy ta liczba jest podzielna przez \(9\). Dana liczba jest podzielna przez \(9\) tylko wtedy, gdy suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez \(9\). Suma cyfr liczby \(1116\) jest równa:
$$1+1+1+6=9$$

Widzimy więc, że suma cyfr jest podzielna przez \(9\), więc cała liczba \(1116\) jest podzielna przez \(9\). To oznacza, że zdanie jest prawdą.

C

Krok 1. Wyznaczenie wartości liczby \(x\).
Musimy ustalić jaka liczba jest najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez \(3\) i \(4\). Taką liczbą jest oczywiście \(12\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to możemy wypisać sobie kilka początkowych wielokrotności liczb \(3\) oraz \(4\) i sprawdzić jaka liczba będzie pierwszą, która się powtórzy:
$$W_{3}=\{3,6,9,12...\} \\
W_{4}=\{4,8,12...\}$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości liczby \(y\).
Liczba \(y\) jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(2\) i \(9\). Tutaj możemy wykazać się sprytem, bowiem największą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(9\) jest \(99\), ale niestety \(99\) nie jest podzielne przez \(2\). W związku z tym kolejną liczbą do sprawdzenia byłaby liczba o \(9\) mniejsza, czyli \(90\) i ta z kolei jest podzielna zarówno przez \(9\) jak i przez \(2\), zatem to jest ta poszukiwana przez nas liczba.

Krok 3. Wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb \(x\) oraz \(y\).
Wiemy już, że \(x=12\) oraz \(y=90\). Naszym zadaniem jest teraz wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW). Oczywiście możemy to wyznaczyć ręcznie, wypisując sobie poszczególne wielokrotności i sprawdzając która z nich będzie NWW, ale ponownie możemy postąpić nieco sprytniej. Patrząc się na odpowiedzi moglibyśmy odrzucić liczby \(72, 108\) oraz \(216\), bo nie są to wielokrotności liczby \(90\). Z tak prostej analizy została nam już tylko jedna odpowiedź i jest to \(180\), która jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb \(12\) oraz \(90\).

Tak ponieważ opcja C

Zadanie wymaga od nas przeanalizowania całej sytuacji. Powinniśmy zauważyć, iż pomnożenie liczby podzielnej \(5\), przez dowolną liczbę parzystą, da liczbę podzielną przez \(10\) (np. \(5\cdot4=20\) lub \(15\cdot8=120\)).

Mając zestaw pięciu kolejnych liczb całkowitych, możemy być pewni, iż wśród tych liczb będzie właśnie przynajmniej jedna liczba podzielna przez \(5\) i co najmniej jedna liczba parzysta, a to sprawi, że iloczyn tych liczb będzie podzielny przez \(10\), niezależnie od pozostałych liczb tego zestawu.

Przykładowo:
$$12\cdot13\cdot14\cdot15\cdot16=12\cdot15\cdot13\cdot14\cdot16=180\cdot13\cdot14\cdot16$$
\(180\) jest podzielne przez \(10\), więc i cały iloczyn będzie podzielny przez \(10\).

Nie ponieważ opcja C

Krok 1. Ustalenie wartości liczb \(x\) oraz \(y\).
Skoro Monika zaokrągliła liczbę \(3465\) do pełnych setek, to zgodnie z zasadami zaokrąglania musiała ją zaokrąglić w górę, zatem z takiego zaokrąglenia otrzymała liczbę \(x=3500\).
Skoro Paweł zaokrąglił liczbę \(3495\) do pełnych tysięcy, to zgodnie z zasadami zaokrąglania musiał ją zaokrąglić w dół, przez co otrzymał on liczbę \(y=3000\).

Krok 2. Wybór właściwej odpowiedzi.
Z naszej analizy wynika, że otrzymane przez Monikę i Pawła liczby nie są równe, a otrzymane zaokrąglenia różnią się o \(3500-3000=500\). Z tego też względu prawidłową odpowiedzią jest "Nie, ponieważ otrzymane zaokrąglenia różnią się o \(500\)".

C

Zaokrąglenie równe \(1450\) otrzymamy zaokrąglając do dziesiątek liczby:
$$1445,1446,1447,1448,1449, \\
1451, 1452, 1453, 1454$$
Liczby \(1450\) zgodnie z treścią zadania nie bierzemy pod uwagę. Jest więc \(9\) takich liczb.

B

Sprawdźmy jak wyglądają poszczególne zaokrąglenia liczby \(0,84631\).
· do części dziesiątych: \(0,8\)
· do części setnych: \(0,85\)
· do części tysięcznych: \(0,846\)
· do części dziesięciotysięcznych: \(0,8463\)

Wynika stąd, że najwyższy wynik dało zaokrąglenie do części setnych, czyli największą liczbę otrzymał Bartek.

A

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie sprawdzić ile minut ćwiczeń wykonała Ola w każdym cyklu. Wiemy, że Ola opuściła \(2\) minuty pierwszego cyklu, czyli tutaj wykonała \(15-2=13\) minut ćwiczeń. Drugi cykl wykonała cały, więc doliczamy jej \(15\) minut. W trzecim cyklu Ola opuściła \(7\) minut, zatem wykonała \(15-7=8\) minut ćwiczeń.

To oznacza, że Ola ćwiczyła łącznie przez \(13+15+8=36\) minut.

C

Policzmy wszystkie wydatki po kolei, zaczynając od gry rodzinnej. Janek wypożyczył ją na siedem dni, czyli według cennika zapłacił za nią \(4zł\) za pierwsze trzy dni oraz \(4\cdot1zł=4zł\) za cztery pozostałe dni. Łączny koszt wypożyczenia wyniósł więc:
$$4zł+4zł=8zł$$

Za trzy pierwsze dni koszt wypożyczenia gry logicznej wynosi \(6zł\), a za cztery kolejne dni \(4\cdot2zł=8zł\). Musimy pamiętać, że Janek wypożyczył dwie takie gry, zatem koszt ich wypożyczenia wynosi:
$$2\cdot(6zł+8zł)=2\cdot14zł=28zł$$

Łączny koszt wypożyczenia wszystkich gier wyniósł zatem:
$$8zł+28zł=36zł$$

8a otrzyma \(576zł\), natomiast 8b otrzyma \(504zł\).

Łącznie w obydwu klasach liczba uczniów wynosi:
$$32+28=60$$

Skoro mamy \(1080zł\) do podziału pomiędzy \(60\) uczniów, to na każdego ucznia przypada:
$$1080zł:60=18zł$$

To oznacza, że klasa 8a otrzyma:
$$32\cdot18zł=576zł$$

Natomiast 8b otrzyma:
$$28\cdot18zł=504zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz kwotę przypadającą na jedną osobę.
ALBO
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia kwoty, którą otrzyma jedna z klas, ale np. popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

W pojemniku nie zmieści się \(1,5kg\) mąki, ponieważ jego maksymalna pojemność wynosi \(1,2kg\).

Krok 1. Obliczenie, ile szklanek mieści się objętościowo w jednym pojemniku.
Słoik ma \(2\) litry, czyli \(2000ml\), natomiast szklanka ma \(250ml\). To oznacza, że w takim pojemniku zmieści się \(2000:250=8\) szklanek mąki.

Krok 2. Obliczenie, ile mąki zmieści się w pojemniku.
W każdej szklance zmieści się \(150g\) mąki, zatem łącznie babcia Kasi pomieści:
$$8\cdot150g=1200g=1,2kg$$

To oznacza, że w pojemniku nie zmieści się \(1,5kg\) mąki, ponieważ jego maksymalna pojemność wynosi \(1,2kg\).

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie sumy wszystkich oczek na kostkach.
Na pojedynczej kostce mamy sześć ścianek z liczbami od \(1\) do \(6\). Suma oczek na każdej kostce jest więc równa:
$$1+2+3+4+5+6=21$$

Skoro mamy cztery kostki, to łączna suma oczek wyniesie:
$$4\cdot21=84$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z treści zadania wynika, że suma oczek na widocznych ściankach jest równa \(76\). To oznacza, że na niewidocznych ściankach liczba oczek wynosi:
$$84-76=8$$

Pierwsze zdanie jest więc fałszem, bo gdyby na niewidocznych ściankach było po jednym oczku, to mielibyśmy \(4\cdot1=4\) niewidoczne oczka, a mamy \(8\).

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą, bo możliwy jest wariant, w którym na jednej kostce jest \(5\) niewidocznych oczek, a na pozostałych trzech będziemy mieć wtedy po jednym niewidocznym oczku, gdyż \(5+1+1+1=8\).

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Przyjmując, że \(C\) to chłopiec, a \(D\) to dziewczyna, dzieci z klasy 8a stałyby w takim oto szeregu (pamiętaj, że szereg musi zaczynać i kończyć chłopiec):
$$C-D-C-D-...-C-D-C$$

Teraz do zadania możemy podejść na różne sposoby, ale warto zauważyć, że w tym zestawie każda dziewczyna może stworzyć parę z chłopcem i na koniec takiego parowania zostanie nam jeden chłopiec bez pary. Obrazowo wyglądałoby to w ten sposób:
$$CD-CD-...-CD-C$$

W ten sposób wyraźnie widać, że skoro jest \(12\) dziewcząt, to chłopców będzie \(13\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Bardzo podobnie przeanalizujemy sobie klasę 8b. Z treści zadania wynika, że mamy tutaj o \(2\) chłopców mniej niż w klasie 8a, więc tych chłopców jest:
$$13-2=11$$

Tym razem dzieci ustawione są w szeregu, który zaczyna się i kończy dziewczyną:
$$D-C-D-C-....-D-C-D$$

Możemy dla pewności obliczeń połączyć jeszcze dzieci w pary:
$$DC-DC-....-DC-D$$

Teraz widzimy wyraźnie, że skoro w tej klasie jest \(11\) chłopców, to będziemy mieć \(12\) dziewczyn. Łącznie jest to więc \(11+12=23\) uczniów.

Trener powinien zamówić \(3\) małe opakowania oraz \(4\) duże lub \(7\) małych opakowań oraz \(1\) duże.

Możemy sobie rozpisać wszystkie możliwości i sprawdzić które rozwiązania będą spełniać warunki naszego zadania:
Jeżeli kupimy \(0\) małych opakowań, to dużych musimy kupić \(25:4=6,25\).
Jeżeli kupimy \(1\) małe opakowanie (\(3\) piłki), to dużych musimy kupić \(22:4=5,5\).
Jeżeli kupimy \(2\) małe opakowania (\(6\) piłek), to dużych musimy kupić \(19:4=4,75\).
Jeżeli kupimy \(3\) małe opakowania (\(9\) piłek), to dużych musimy kupić \(16:4=4\).
Jeżeli kupimy \(4\) małe opakowania (\(12\) piłek), to dużych musimy kupić \(13:4=3,25\).
Jeżeli kupimy \(5\) małe opakowania (\(15\) piłek), to dużych musimy kupić \(10:4=2,5\).
Jeżeli kupimy \(6\) małe opakowania (\(18\) piłek), to dużych musimy kupić \(7:4=1,75\).
Jeżeli kupimy \(7\) małe opakowania (\(21\) piłek), to dużych musimy kupić \(4:4=1\).
Jeżeli kupimy \(8\) małe opakowania (\(24\) piłki), to dużych musimy kupić \(1:4=\frac{1}{4}\).

Interesują nas tylko te przypadki w których otrzymaliśmy całkowitą liczbę dużych opakowań, czyli są dwie możliwości zakupu \(25\) piłek:
\(3\) małe opakowania oraz \(4\) duże
\(7\) małych opakowań oraz \(1\) duże

Do zadania można też było podejść nieco sprytniej. Wystarczyło zauważyć, że małych opakowań musi być nieparzysta ilość, bo tylko wtedy uda nam się zakupić łącznie nieparzystą ilość piłek. Dostrzegając tę rzecz mogliśmy pominąć sprawdzanie przypadków z parzystą ilością małych opakowań.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z dwoma niewiadomymi np. \(3m+4d=25\).
LUB
• Gdy podejmiesz minimum trzy próby (np. zakup dwóch, czterech i sześciu małych opakowań) i żadna z nich nie będzie dobrym rozwiązaniem.
2 pkt
• Gdy podasz tylko jedną możliwość zakupu piłek.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.