Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) – Matematyka – 2023 – Odpowiedzi

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Interesuje nas sprzedaż butelek z wodą, czyli zerkamy na słupki oznaczone ciemniejszym zielonym. Sumując odczyty z trzech dni, otrzymamy:
$$45+85+60=190$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W poniedziałek sprzedano \(45\) butelek, a dostawa wyniosła \(60\) butelek. To oznacza, że butelki ze sprzedaną wodą stanowią:
$$\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$$

Zdanie jest więc prawdą.

D

Zadanie polega tak naprawdę na odjęciu ułamka dziesiętnego od ułamka zwykłego. W tym celu musimy te dwa ułamki zapisać w jednakowej postaci, czyli albo musimy zapisać je w postaci ułamków zwykłych, albo dziesiętnych.

Ułamek zwykły \(\frac{2}{3}\) możemy zamienić na ułamek dziesiętny \(0,(6)\), czyli \(0,666...\), co możemy zapisać w przybliżeniu jako \(0,667\). Treść zadania możemy więc opisać następującym działaniem:
$$\frac{2}{3}m-0,5m\approx0,667m-0,5m\approx0,167m\approx16,7cm$$

To oznacza, że pozostała część tasiemki ma długość większą od \(16 cm\), ale mniejszą od \(17 cm\).

C

\(1\) tona to \(1000kg\). W takim razie \(6\) ton to \(6000kg\). Masa słonia afrykańskiego jest więc \(6000kg:3kg=2000\) razy większa.

B, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Największą z podanych liczb jest \(0,7\). Najmniejszą jest z kolei \(-0,65\). Suma tych dwóch liczb jest zatem równa:
$$0,7+(-0,65)=0,05$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Chcąc obliczyć odległość na osi między tymi liczbami, wystarczy wykonać następujące działanie:
$$-0,456-(-0,65)=-0,456+0,65=0,194$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Mamy tutaj przykład "potęgi do potęgi", zatem wykładniki potęg będziemy mnożyć. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$(4^4)^3=4^{4\cdot3}=4^{12}$$

Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z działań na potęgach wynika, że liczbę \(10^3\) możemy rozbić na iloczyn \(5^3\cdot2^3\). To pozwoli nam rozpisać całość w następujący sposób:
$$5^3\cdot10^3=5^3\cdot5^3\cdot2^3=5^{3+3}\cdot2^3=5^6\cdot2^3$$

Widzimy więc, że to zdanie będzie prawdą.

A

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Rozpiszmy całą sytuację z użyciem wyrażeń algebraicznych:
\(k\) - tyle litrów wody było na początku
\(\frac{1}{3}k\) - tyle wody odlał Marcin
\(k-\frac{1}{3}k\) - tyle wody zostało po odlaniu przez Marcina

Z tego co zostało, Magda odlała jeszcze \(3\) litry wody, więc w naczyniu pozostało \(k-\frac{1}{3}k-3\) litrów wody.

Krok 2. Wybór poprawnej odpowiedzi.
Dokładnie takiej odpowiedzi w proponowanych nie znajdziemy, ale widzimy, że swój wzrok trzeba kierować w kierunku pierwszej lub ostatniej propozycji. Tu powinniśmy zauważyć, że \(k-\left(\frac{1}{3}\cdot k+3\right)=k-\frac{1}{3}k-3\), zatem poszukiwanym przez nas wyrażeniem będzie to z pierwszej odpowiedzi.

C

Z tabelki możemy odczytać, że organizator zwróci studentowi \(85\%\) kwoty, czyli zwrot wyniesie:
$$0,85\cdot800zł=680zł$$

B

\(1\) minuta to \(60\) sekund, więc \(3\) minuty to \(180\) sekund. Możemy więc ułożyć bardzo prostą proporcję:
Skoro co \(10\) sekund Ewa robi \(a\) kroków
To w \(180\) sekund zrobi ona \(18a\) kroków

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Powinniśmy zauważyć, że najmniejszą liczbą naturalną spełniającą nasz warunek będzie \(11\), ponieważ \(\sqrt{121}=11\), natomiast największą będzie \(17\), ponieważ \(\sqrt{289}=17\). To oznacza, że nierówność z treści zadania spełnią liczby od \(11\) do \(17\) włącznie, czyli jest to łącznie \(7\) liczb.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą nasz warunek będzie \(3\), ponieważ \(\sqrt[3]{27}=3\), a największą taką liczbą będzie \(5\), ponieważ \(\sqrt[3]{125}=5\). To oznacza, że naszą nierówność spełniają liczby \(3\), \(4\) oraz \(5\), czyli łącznie \(3\) liczby.

A

Liczby dwucyfrowe to liczby od \(10\) do \(99\) włącznie. Takich liczb mamy łącznie \(90\). Liczbami podzielnymi przez \(20\) będą: \(20\), \(40\), \(60\) oraz \(80\), czyli są \(4\) takie liczby. To oznacza, że prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez \(20\) jest równe:
$$p=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}$$

C

\(1\) godzina to \(60\) minut. W takim razie \(12\) minut stanowi \(\frac{12}{60}h=\frac{1}{5}h\). Korzystając ze wzoru na prędkość, możemy zapisać, że:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{18km}{\frac{1}{5}h} \\
v=\frac{18}{\frac{1}{5}}\frac{km}{h} \\
v=18\cdot5\frac{km}{h} \\
v=90\frac{km}{h}$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Jeżeli powstałe trapezy są identyczne i są równoramienne, to także powstałe trójkąty będą równoramienne, bo ramiona trapezów pokrywają się z ramionami trójkątów. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Spójrzmy na poniższy rysunek:


Kąty ostre trapezów oraz trójkątów tworzą kąt prosty. To oznacza, że gdyby kąty ostre trapezów miały miarę \(30°\), to kąty ostre trójkąta miałyby miarę \(60°\). Widzimy więc, że trójkąty miałyby dwa kąty o mierze \(60°\), czyli tym samym także trzeci kąt musiałby mieć miarę \(60°\), bo suma kątów w trójkącie musi być równa \(180°\). Zdanie jest więc prawdą.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wysokość musi padać na podstawę pod kątem prostym. Tutaj musimy dostrzec, że kąt \(EDC\) będzie kątem o mierze \(90°\), ponieważ jest to kąt naprzeciwległy do zaznaczonego kąta prostego. Bok \(DC\) jest zatem przyprostokątną tego trójkąta, czyli tym samym będzie to faktycznie jedna z wysokości równoległoboku \(ECFD\), która pada na podstawę \(DE\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W równoległoboku \(ABCD\) możemy przyjąć, że podstawą jest bok \(DC\), a wysokością bok \(DE\), przez co pole powierzchni będzie równe \(P=|CD|\cdot|DE|\).

Analogicznie w równoległoboku \(ECFD\) moglibyśmy zapisać, że podstawą jest bok \(DE\), a wysokością bok \(CD\), przez co pole powierzchni byłoby równe \(P=|DE|\cdot|CD|=|CD|\cdot|DE|\).

Jak więc widzimy, te dwa pola powierzchni są sobie równe, czyli zdanie jest prawdą.

C

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Jeżeli stosunek długości boków trójkąta jest równy \(2:4:5\), to długości boków możemy opisać jako \(2x\), \(4x\) oraz \(5x\).

Skoro obwód trójkąta jest równy \(33cm\), to możemy zapisać, że:
$$2x+4x+5x=33cm \\
11x=33cm \\
x=3cm$$

Krok 2. Obliczenie długości najkrótszego boku trójkąta.
Ale uwaga, to nie jest koniec zadania. Wiemy już ile jest równy \(x\), ale zgodnie z naszą rozpiską, najkrótszy bok trójkąta ma długość \(2x\). Chcąc więc poznać długość najkrótszego boku trójkąta musimy jeszcze wykonać następujące działanie:
$$2\cdot3cm=6cm$$

B, C

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta.
Spójrzmy na narysowany trójkąt. Jest to trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają długość \(3cm\) oraz \(4cm\). Tu już powinniśmy kojarzyć, że w takim razie trzeci bok tego trójkąta (będący przeciwprostokątną) ma długość \(5cm\), co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+4^2=c^2 \\
9+16=c^2 \\
c^2=25 \\
c=5 \quad\lor\quad c=-5$$

Ujemną długość odrzucamy, ponieważ bok trójkąta musi mieć dodatnią długość. Zostaje nam zatem \(c=5cm\).

Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Powierzchnię boczną stanowią trzy prostokąty o wymiarach \(3cm\times1cm\), \(4cm\times1cm\) oraz \(5cm\times1cm\). Pole powierzchni bocznej będzie zatem równe:
$$P_{b}=3\cdot1+4\cdot1+5\cdot1 \\
P_{b}=3+4+5 \\
P_{b}=12[cm^2]$$

W podstawie mamy trójkąt prostokątny, w którym \(a=4cm\) oraz \(h=3cm\), zatem pole podstawy będzie równe.
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot3 \\
P_{p}=6[cm^2]$$

Pole powierzchni bocznej jest więc dwa razy większe.

Krok 3. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Na pole powierzchni całkowitej składa się suma dwóch pól podstaw oraz pole powierzchni bocznej, zatem możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2\cdot P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=2\cdot6+12 \\
P_{c}=12+12 \\
P_{c}=24[cm^2]$$

\(90\) monet

Połowa z \(48\) monet pięciozłotowych to \(24\) monety. Ich wartość wyrażona w złotówkach jest równa:
$$24\cdot5=120zł$$

Tę kwotę Wojtek wymienił na dwuzłotówki, dzięki czemu liczba monet jakie otrzymał jest równa:
$$120zł:2zł=60$$

To oznacza, że liczba monet dwuzłotowych posiadanych przez Wojtka wynosi::
$$30+60=90$$

\(40\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania oznaczenia, za pomocą których opiszemy liczbę książek w poszczególnych językach. I tu uwaga - można zastosować bardzo różne oznaczenia np. jako \(x\) moglibyśmy oznaczyć książki w języku francuskim, aczkolwiek analizując treść zadania wygląda na to, że najprościej będzie jako \(x\) oznaczyć książki w języku niemieckim. W związku z tym:
\(x\) - liczba książek w języku niemieckim
\(\frac{1}{3}x\) - liczba książek w języku włoskim
\(2x\) - liczba książek w języku angielskim
\(\frac{1}{3}x+20\) - liczba książek w języku francuskim

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Skoro łącznie wszystkich książek jest \(240\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$x+\frac{1}{3}x+2x+\frac{1}{3}x+20=240 \\
3\frac{2}{3}x+20=240 \\
3\frac{2}{3}x=220 \\
\frac{11}{3}x=220 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{11} \\
x=\frac{660}{11} \\
x=60$$

Krok 3. Obliczenie liczby książek w języki francuskim.
Celem zadania jest obliczenie ile było książek w języku francuskim. Zgodnie z naszymi oznaczeniami jest ich \(\frac{1}{3}x+20\), a więc skoro \(x=60\), to tych książek będziemy mieć:
$$\frac{1}{3}\cdot60+20=20+20=40$$

\(P=28cm^2\)

Krok 1. Obliczenie długości boków \(AF\) oraz \(FB\).
Z treści zadania wynika, że trójkąty \(EAF\) oraz \(FBC\) są jednakowe, czyli że mają te same miary boków i kątów. Dodatkowo możemy stwierdzić, że obydwa trójkąty są prostokątne. Widzimy, że w trójkącie \(FBC\) przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta \(\alpha\) ma miarę \(4cm\), więc analogicznie tak samo musi być w przypadku trójkąta \(EAF\). To prowadzi nas do wniosku, że \(|AF|=4cm\).

I dokładnie te same wnioski pozwolą nam wyznaczyć długość boku \(FB\). Jeśli spojrzymy na trójkąt \(FBC\) to zauważymy, że bok \(FB\) jest przyprostokątną leżącą przy kącie \(\alpha\), więc długość tego boku musi być taka sama jak boku \(AE\), zatem możemy stwierdzić, że \(|FB|=3cm\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).
Długość boku AB będzie sumą długości boków \(AF\) oraz \(FB\), zatem:
$$|AB|=4cm+3cm \\
|AB|=7cm$$

Krok 3. Obliczenie pola prostokąta \(ABCD\).
Wiemy już, że dłuższy bok \(AB\) ma miarę \(7cm\), z rysunku odczytujemy, że drugi bok prostokąta \(BC\) ma długość \(4cm\), zatem pole tej figury wyniesie:
$$P=7cm\cdot4cm \\
P=28cm^2$$

\(V=75cm^3\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Największą trudnością tego zadania jest zrozumienie jak w ogóle złożono ten karton. Trzeba sobie wyobrazić, że te wszystkie boczne i górne skrzydełka składamy do środka, dzięki czemu powstanie nam pudełko na kształt prostopadłościanu (które nie będzie miało górnej podstawy).


Ustalmy teraz jakie są kluczowe wymiary tego prostopadłościanu. W podstawie będziemy mieć prostokąt o wymiarach \(10cm\times3cm\), a wysokość tego pudełka będzie równa \(2,5cm\).


Krok 2. Obliczenie objętości pudełka.
Znamy już wszystkie długości krawędzi pudełka, zatem korzystając ze wzoru na objętość prostopadłościanu, możemy zapisać, że:
$$V=10\cdot3\cdot2,5 \\
V=75[cm^3]$$